Dado el sistema de ecuaciones lineales de la forma

Transcripción

1 Aálss del Error e Solucó de Sstems de Ecucoes Leles Ddo el sstem de ecucoes leles de l form R A b, dode A ; b R E reldd teemos: A δa δ b δb A Aδ δa δa δ A δb S desprecmosδa δ : δ A - δb δa Métodos Numércos

2 Norm Medd esclr de l mgtud de u vector o u mtrz. Norm Vectorl: Ddo u vector X, defmos orm p p : p : p : X p X X X p X e m / p R Métodos Numércos

3 Norm Mtrcl: Dd u mtrz A, defmos ls orms mtrcles, e fucó de ls orms vectorles defds tes, se llm orm ducd Norm Colum Norm Fl A m 0 A A m j j A m R j j Norm Ríz A λ m /, λ m : rdo espectrl de [A] T [A] Métodos Numércos

4 Número de Codcó CodA κa A A - El producto de orms es u medd cutttv del grdo de ml codcometo de l mtrz de coefcetes. Mde cu cerc está u mtrz de ser sgulr Se us pr clculr como fect los errores reltvos e A y/o b el cálculo de. Se puede demostrr que X b y X A Cod A Cod A X b X S A y b tee t cfrs sgfctvs y κa es de u orde 0 s etoces l precsó del resultdo será0 s-t X A Métodos Numércos 4

5 Sstem de ecucoes ml codcods U pequeño error e ls etrds de l mtrz A, cus u gr error e l solucó. Métodos Numércos

6 Defcó de Resduo Se c vlor clculdo Teorem: Pr tod mtrz A vle que Métodos Numércos e r s r A e e A A A r A b r e c c c Ddo el sstem A b, dode A ; b R R R b r A K e b r A K

7 Error e Elmcó de Guss Wlso estudó el efecto del redodeo e el método de Elmcó de Guss, cosderdo l trgulcó co pvoteo y l solucó de los dos sstems trgulres, cocluyedo que es u proceso muy estble, cosderdo que l mtrz A o se ml codcod. U form de chequer esto es cotroldo los elemetos de U, s crece mucho es u señl de ml codcó de l msm Tmbé multplcr l vers por l mtrz de coefcetes orgl y estmr s el resultdo es sufcetemete cerco l mtrz detdd. Métodos Numércos 7

8 METODOS ITERATIVOS So recomeddos pr mtrces sprse, crcterzds por ordees ltos y muchos elemetos ulos. Ls vetjs respecto los métodos drectos se relco co: úmero de opercoes poscoes de memor errores de redodeo El prcpo de estos métodos es dvdr l mtrz A, de form tl que el sstem se fácl de resolver. Geermos u ecucó de l form: B C B se llm mtrz de tercó Métodos Numércos 8

9 Método de Jcob Métodos Numércos 9

10 Método de Jcob Este método se puede lustrr usdo ls sguetes ecucoes: Despejo cd de l ecucó -esm, rrcmos de 0 Métodos Numércos 0 b b b b b b

11 Método de Jcob Form Grl: b j j j j,..., > 0 Crteros de Covergec <ε < ε > N Métodos Numércos

12 Pr 0,, Pr,,, F F Algortmo Jcob Pr j,,,-,,, j j F 0 b / Métodos Numércos

13 Método de Guss Sedel Métodos Numércos

14 Form Grl: Algortmo Guss-Sedel Pr 0,,, Pr,,, sum0 Pr j,,,-, b j j j j j j sum sum j j F Pr j,, sum sum j j F F F b sum / Métodos Numércos 4

15 Método Sobrereljcó SOR Este método us u fctor de podercó pr mejorr el vlor clculdo ω ω 0 ω 0 <ω< hce covergete el método subreljcó ω Guss Sedel <ω< celer covergec del método sobre reljcó Métodos Numércos 5

16 Covergec Método de Jcob: Podemos frmr su covergec s A es dgolmete domte: Método de Guss Sedel: Podemos frmr su covergec s A es dgolmete domte y tmbé s es smétrc y defd postv Teorem de Covergec: Supoedo teer l ecucó: X B C, s e lgu orm mtrcl B < y s 0,, es l sucesó geerd por est ecucó, est sucesó coverge l úc solucó de l ecucó vectorl B C depedetemete del 0 escogdo > j j, j Métodos Numércos 6