A x = b z = z. y = z. x = 2 3 (0; 1; 1) = (1; 0; 0) + ( 1; 0; 2) + (0; 3; 2) 1 = 3 = 3 0 = 2 + 2

Transcripción

1 Question. Solve simultaneously by using the reduced row echelon form the systems for i where Solution: b Tenemos soluciones: i) Solution : x b i F$F b F FF FF F +F F b z z y + z F F F F F F 5 F F F F +F F x z ii) Solution : Incomatible. iii) Solution : Incomatible. Question. Consider the basis of R B f( ) ( ) ( )g B f( ) ( ) ( )g Find the coordinates of v R resect to the base B if the coordinates of v in the base B are v B ( ). Solution: We build the matrix of change Solving the system B B ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) +

2 we obtain [ ] Solving the system + we obtain Solving the system we obtain The matrix of change is + B B Therefore if the coordinates of v in the base B are v B ( ) then nother method: Then if we solve the system v B B B v B v ( ) + ( ) + ( ) ( 9 4) Solution is: [ ]. Question. Consider the subsaces of R a) Find the dimension of S T and S + T: b) Is the sum direct? Why? Solution: a) b) S (x y z) R : x T (x y z) R : z y S f( y z) : y z Rg hf( ) ( )gi dim (S) T f(x y y) : x y Rg hf( ) ( )gi dim (T ) S + T hf( ) ( ) ( ) ( )gi hf( ) ( ) ( )gi R dim (S + T ) Therefore the sum is not direct. dim (S \ T ) dim (S) + dim (T ) dim (S + T ) + Question 4. Consider the subsace S hf( ) ( )gi in R 4 and the vector v ( ) R 4. Calculate the distance between v and S.

3 Solution: Let us denote Then v u ku k w u (u v ) v ( ) v ( ) + w kw k q u ( ) u ( ) ( ) ( ) + fv v g is an orthonormal base of S. Then the rojection of v onto S is roj S (v) ( ) + ( ) Finally, the distance is ( ) dist (v S) kv roj S (v)k k( ) ( )k Question 5. Find the least squares solution of x + x x + x x x Solution: The system in matrix form is x x x Then alying least squares method T x x x x x x then we need to solve the system 9 T

4 and x + x x x x x The error is Err x x x 4 Question. Consider the subsace H of R de ned by H h( ) ( m) ( )i i) Find dim H in terms of m. ii) For m, nd the imlicit equations of H and a base of H. iii) For m, nd H?, the orthogonal subsace of H. Solution: a) If m then dim (H). If m then dim (H). m b) i j k Therefore is the equation of the lane. m i k j x y z c) For m, nd H?, the orthogonal subsace of H. In this case, H? hf( )gi. Note: ( ) ( ) ( ) ( ) Question 7. Let f : R R 4 be a function de ned by f (x y z) (z x + y x z y + z) : Calculate a base of ker f and a base of Im (f). Solution: By de nition ker (f) (x y z) R : f (x y z) ( ) (x y z) R : (z x + y x z y + z) ( ) 4

5 Therefor we need to solve the following system z x + y x z y + z whose solution is [x y z ]. Then ker (f) hf( )gi f( )g By de nition, It is easy to check that Im (f) f (x y z) : (x y z) R f(z x + y x z y + z) : x y z Rg fx ( ) + y ( ) + z ( ) : x y z Rg hf( ) ( ) ( )gi therefore all the vectors are lineraly indeendent. You can check that dim R dim (ker (f)) + dim (Im (f)) + Question 7. Let f : R R be a endomorhism such that its associated matrix resect to the canonical base is 5 : 5 a) Find all the values R for which is diagonalizable. b) If ossible, diagonalize 5 and calculate ( 5 ) m. Solution: det 5 5 ( ) ( ) If then the matrix is diagonalizable. If then has algebraic multilicity and since det det 5 then the matrix is not diagonalizable. If then has a.m. and since det 5 5 5

6 then tha matrix is diagonalizable. b) Eigenvectors and Eigenvectors: 8 < 9 8 < : $ : 5 9 $ 8 < 9 : $ 5 Question 8. Utiliza la forma escalonada reducida de la matriz amliada ara resolver 9 x + x + x x 4 + x x x 4 x x 8x + x 4 Solución: 8 F+FF F FF F FF F F Por lo tanto, x 4 x 4 x x x x + x 4 x + x x 4 Question 9. licando Gauss-Jordan halla la inversa de Solución: Por lo tanto la matriz inversa es En efecto, F F F Question. Halla las coordenadas resecto de la base B f( tiene coordenadas v B ( ) en la base B f( ) (4 )g: : ) ( )g de v R sabiendo que v

7 Solución: Construimos la matriz de cambio de base: ( ) ( ) + ( ) (4 ) ( ) + ( ) Es decir, tenemos que resolver los sistemas + y 4 + Las soluciones son: del rimer sistema y La matriz de cambio quedará Por lo tanto, v B y y M BB Question. Considera los subesacios de R 8 5 S hf( ) ( ) ( )gi T hf( ) ( ) ( 5)gi :. a) Halla las dimensiones de S y S + T. b) Justi ca si es directa la suma de los esacios S y T. Solución: Dimensión de S: Por lo tanto, dim S. Diemnsión de T : Por lo tanto, dim T. Dimensión de T + S: 5 Por lo tanto dim T +S. Como dim (T + S) dim (T )+dim (S) dim (T \ S) entonces dim (T \ S) y la suma no es directa. Question. Considera en R 4 el subesacio vectorial S hf( ) ( )gi (a) Halla la royección del vector v ( ) sobre S. (b) Halla la distancia entre v y S. 7

8 Solución: ortonormal. Vamos a alicar el método de Gram-Schimdt ara transformar la base de S en una base u ( ) k( )k w ( ) u ( ) ( ) + 4 ( ) Comrobamos: u u Hallamos ahora la royección del vector v ( ) sobre S: roy S (v) (v u ) u + (v u ) u ( ) + ( ) (b) Halla la distancia entre v y S. v roy S (v) ( ) Question. Considera el subesacio H de R de nido or H h( ) ( m) ( )i. (a) Hallar dim H según los valores de m. (b) Para m, encontrar las ecuaciones imlícitas de H y una base de H. (c) Para m, hallar H?, el sulemento ortogonal de H. 8

9 Solución: m Si m entonces la dimensión de H es. Si m, entonces dim H. Para m entonces una base de H odría ser f( ) ( )g. Entonces m (x y z) ( ) + ( ) x + y z Por lo tanto la ecuación imlícita queda x z + y. El sulemento ortogonal será Resolvemos el sistema S? f(x y z) : (x y z) ( ) y (x y z) ( ) g f(x y z) : x + z y x + y g x + z x + y Cuya matriz amliada queda de donde x z y y z. Por lo tanto S? f(x y z) : x z y y zg f( z z z) : z Rg h( )i Question 4. Sea f : R 4 R de nida or f (x y z t) (z x + y z x t) : Calcula una base de ker f y una de Im f. Solución: z x + y z x t De las ecuaciones tenemos z x t y t t t Por lo tanto ker f h( )i dim ker f 9

10 La matriz de la alicación es: f (x y z t) (z x + y z x t) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) Tenemos que Im f h( ) ( ) ( ) ( )i Como los vectores son L.D. odemos eliminar uno de ellos de forma que Im f h( ) ( ) ( )i R y dim Im f. Question 5. Considera la matriz a a 4 a : Halla todos los a R ara los que a sea diagonalizable. En caso de ser osible, diagonaliza y calcula ( ) n. Solución: Calculamos el determinante de a I y lo igualamos a cero. j Ij det 4 a a ( ) ( ) (a ) 4 (a ) (a ) ( ) 4 (a ) ( + ) ( ) Tenemos a Si a la matriz es diagonalizable. Si a entonces tiene m.a. y ( ) 4 4 ( ) ( ) Por lo tanto la matriz no es diagonalizable. Si a, entonces 4 Por lo tanto la matriz no es diagonalizable. 4 4

11 8 < Eigenvectors y eigenvalues: 9 8 < : $ 9 8 < : $ 9 : $ Por lo tanto D P Comrobamos P D P 4 Por último ( ) n ( )n ( ) n n