M.C. Jorge Enrique Valle Can Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Matemáticas Integral Profesional Teoría de Números II Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1131 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Programa elaborado por: L.M. Rodolfo Conde del Águila M.C. Jorge Enrique Valle Can Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura Subsecuente Seriación implícita Conocimientos previos: Si Se recomienda haber aprobado el curso de teoría de números I F1131 Teoría de Números II 1 /6

2 Presentación La teoría de números o aritmética superior es una de las ramas de las matemáticas cuyos antecedentes los podemos encontrar en escritos de los matemáticos de la antigüedad como Euclides y Diofanto, sin embargo en los siglos XIX y XX recibe un impulso importante con los trabajos de Fermat, Euler, Gauss, Kummer, Diritchlet, Chebishev, entre otros. La teoría de los números se ha caracterizado fundamentalmente por la enorme belleza de sus resultados y en la actualidad es notable el uso que tienen estos resultados en la criptografía. Objetivo General La teoría de números o aritmética superior es una de las ramas de las matemáticas cuyos antecedentes los podemos encontrar en escritos de los matemáticos de la antigüedad como Euclides y Diofanto, sin embargo en los siglos XIX y XX recibe un impulso importante con los trabajos de Fermat, Euler, Gauss, Kummer, Diritchlet, Chebishev, entre otros. La teoría de los números se ha caracterizado fundamentalmente por la enorme belleza de sus resultados y en la actualidad es notable el uso que tienen estos resultados en la criptografía. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Desarrollo de la teoría de los números y su relación con otras asignaturas Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Desarrollo lógico de teorías matemáticas y sus relaciones entre ellas. F1131 Teoría de Números II 2 /6

3 Salón de clases Escenario de aprendizaje Perfil sugerido del docente Licenciado en matemáticas con posgrado en matemáticas básicas Contenido Temático Unidad No. 1 Algunas Funciones de la Teoría de los Números Objetivo particular Comprender algunas funciones numéricas básicas como: La función entero mayor, número de divisores positivos de un natural, función de Euler, función multiplicativa, fórmula de inversión de Moebius y función de recurrencia. Hrs. estimadas 25 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación 1.1. Función Entero Mayor 1.2. Propiedades de la función Entero Mayor 1.3. Funciones numéricas 1.4. Propiedades de la funciones numéricas Comprensión de las propiedades básicas de algunas funciones numéricas como: La función entero mayor, número de divisores positivos de un Exposiciones del profesor. Realizar ejercicios que contribuyan a entender con claridad los conceptos. Resolver ejercicios de la bibliografía solicitada. Realizar exámenes parciales. Valorar la participación del alumno en la clase. F1131 Teoría de Números II 3 /6

4 1.5. Función multiplicativa 1.6. Función de Inversión de Moebius 1.7. Función de recurrencia Números de Fibonacci 1.8. Función Entero Mayor 1.9. Propiedades de la función Entero Mayor Funciones numéricas Propiedades de la funciones numéricas Función multiplicativa Función de Inversión de Moebius Función de recurrencia Números de Fibonacci. natural, función de Euler, función multiplicativa, fórmula de inversión de Moebius y función de recurrencia. Habilidad para resolver problemas de la teoría de los números usando propiedades básicas de funciones Unidad No. 2 Ecuaciones Diofantinas Objetivo particular Comprender la dificultad que presentan las ecuaciones de Diofanto y resolver, cuando existen, soluciones enteras positivas. Analizar la ecuación de Fermat para los casos n=2 y n=4. Hrs. estimadas 30 Temas Resultados del Estrategias y criterios de F1131 Teoría de Números II 4 /6

5 aprendizaje Sugerencias didácticas evaluación 2.1. Ecuaciones diofantinas 2.2. Ecuaciones ax + by = c 2.3. Soluciones positivas 2.4. Ecuación X 2 + Y 2 = Z Ecuación X 4 + Y 4 = Z 4 Suma de cuatro cuadrados Comprensión de las ecuaciones diofantinas y la ecuación de Fermat. Capacidad para determinar cuando una ec. Diofantina tiene o no solución y habilidad para resolver ecuaciones Diofantinas. Exposiciones del profesor. Realizar ejercicios que contribuyan a entender con claridad los conceptos. Resolver ejercicios de la bibliografía solicitada. Realizar exámenes parciales. Valorar la participación del alumno en la clase. Unidad No. 3 Enteros Gausseanos Objetivo particular Comprender las propiedades de anillos que tienen los enteros gausseanos. Hrs. estimadas 25 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación F1131 Teoría de Números II 5 /6

6 3.1. Definición de entero gausseano 3.2. Suma y producto de gausseanos 3.3. Divisibilidad 3.4. Unidades y asociados 3.5. Entero primo y entero compuesto 3.6. Algoritmo de la División 3.7. Máximo común divisor 3.8. Algoritmo de Euclides Comprensión la estructura de anillo de los enteros Gausseanos y sus propiedades. Capacidad para determinar si un entero Gausseano es o no primo. Habilidad para resolver problemas que involucren el algoritmo de la división para enteros Gausseanos Exposiciones del profesor. Realizar ejercicios que contribuyan a entender con claridad los conceptos. Resolver ejercicios de la bibliografía solicitada. Realizar exámenes parciales. Valorar la participación del alumno en la clase. Bibliografía básica 1. Niven, I., Zuckerman, H. (1985). Introducción a la Teoría de los Números. México: Edit. Limusa. 2. Ardí, G. H., Wright, E. M. (2008). An introducción of the Theory of Numbers. 6a Ed. Oxford University Press. 3. Silverman, J. (2001). Friendly Introduction to Number Theory. New Jersey: Prentice Hall. Bibliografía complementaria 1. Backer, A. (1984). Concise Introduction to the Theory of Numbers. Cambridge University Press. 2. Usiskin, Z. (1980). Algebra, Theory of Numbers and Their Applications. USA: American Mathematical Society. 3. Pommersheim, J., Marks, T., Flapan, E. (2010). Number Theory: A Lively Introduction with Proofs, Applications and Stories. New York: Wiley. F1131 Teoría de Números II 6 /6