1 Definición de derivada

Transcripción

1 Tema Grado e Igeiería Mecáica FUNCIONES DE UNA VARIABLE POLINOMIOS DE TAYLOR CONOCIMIENTOS PREVIOS Para poder seguir adecuadamete este tema, se requiere que el alumo repase y poga al día sus coocimietos e los siguietes coteidos: Fucioes elemetales: gráfica, domiio, image, simetría y traslacioes. Defiició de derivada. Tabla de derivadas. Problemas de optimizació. DEFINICIÓN DE DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN Defiició de derivada La epresió de D = - a. - f ( a) f -a se deomia cociete icremetal de f e el puto a para u valor Esta epresió represeta la pediete de la secate a la gráfica de la fució f que ue los putos ( af, ( a )) y ( f, ) ( a fa, ) = +D +D. Defiició (Derivada). La derivada de ua fució y f f - f ( a) f ( a +D) -f ( a) cociete icremetal, lim = lim a -a D 0 D = e u puto a es el límite del

2 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Este valor represeta la pediete de la recta tagete a la gráfica de f e el puto ( afa, ) f a ó. Se deota por dy a d df ó ( a) d ( +D )- f a f a tg a = lim D 0 D Si ua fució f es derivable e el puto a la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto af, ( a ) es y = f ( a) + f '( a)( - a). Si y = f ( a) - - a. f ' a Reglas de derivació REGLAS DE DERIVACIÓN f = f, g g Producto por u úmero ( a f)' = a f ' f ' a ¹ 0, la ecuació de la recta ormal es =, a Î Suma y resta ( f + g)' = f ' + g' ( f - g)' = f '- g' Producto y cociete ( f g)' = f ' g + f g' é Composició f ( g( ù )) ' = f '( g ) g' ' Derivada de la fució iversa êë úû = = f ' - - f co f y ( y) ' æf ö f ' g -f g' ç = çèg ø g Regla de la cadea Si y = f ( u) es derivable e g( ) y u g y = ( f g) = f ( g ) es derivable e, siedo la derivada = es derivable e, etoces la fució compuesta ( f g)( ) = f ( g ) g que se puede epresar tambié co la siguiete otació dy dy du =. d du d

3 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA La depedecia de uas variables respecto de otras se puede idicar mediate u diagrama de depedecia, que para este caso sería: y u g f g() f(g()) TIPO FUNCIÓN DERIVADA a y = a y = a - y = éf ù a ê ë ú û y = a é êf ë úû f Tipo potecial y = y = y = f y = f f Tipo epoecial Tipo logarítmico Tipo seo Tipo coseo Tipo tagete y y y y = e = e = a = a f f y = log y = log f y = log a y = log a f y = se se y f y = cos y = cos( f ) y = tg y = tg( f ) y = e a- ù f y = e f y = a loga log f y = a f a y = f y = f y =. log a f y = f y = cos. log a cos y = f ' f y =- se ' se( ) y =-f f y cos y =. f cos f tg

4 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR TIPO FUNCIÓN DERIVADA y = cotg Tipo cotagete y = cotg( f ) y = arcse y = arcse f y = arccos y arccos f Fucioes arco - y = se - y = f se f y = - y = f - f y = - = - y = - f - f y = arctg y = y = arctg f + y =. f + f Derivada de la fució implícita y f calcular la derivada Cuado la fució viee dada e forma eplícita, es decir, de la forma de f se reduce a aplicar la defiició o algua de las reglas de derivació estudiadas. Si embargo, muchas veces ua fució viee dada a través de ua ecuació de la forma F, y 0 e la que o es fácil, o resulta imposible, obteer eplícitamete y e fució de. Este tipo de fucioes recibe el ombre de fucioes implícitas de ua variable. Defiició (Fució implícita). Ua ecuació de la forma F(, y ) = 0 defie a la variable y como fució implícita de, e u etoro de (, y ), si eiste u itervalo D cetrado e 0 0 de forma que, para todo e D, eiste y = f 0 tal que se verifica ( ) F, f = 0. Para este tipo de fucioes se debe proceder de la siguiete maera para obteer la derivada de y respecto de :. Se deriva ambos miembros de la epresió co respecto a, aplicado la regla de la cadea, teiedo e cueta que y es fució de.. Se despeja la epresió dy d. 8 Por ejemplo, si se cosidera la fució dada mediate y + y -- 5 = 0 se tedrá:

5 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5. Derivado ambos lados de la igualdad y aplicado la regla de la cadea supoiedo que y es fució de 4. Despejado dy d dy d 7 y + y + 8y - = 0 dy - y = d y+ 8y 7 4 Derivada de la fució iversa Si y = f es ua fució iyectiva y derivable e y además iversa, f -, tambié es derivable e y = f, verificádose f ' ¹ 0, etoces la fució - ( f ) ( y) = f f f - f() 5 Derivada eésima Si y f = es derivable e u domiio D queda defiida la fució derivada: f ': D f ' Si esta fució f '( ) a su vez es derivable se puede calcular su derivada, ( f '' ) ombre de derivada seguda. Se deota, f '' dy = d, que recibe el Este proceso puede cotiuar y se tedría la derivada de orde o derivada eésima que cosistiría e derivar la fució veces. Si la fució es y f f ( dy = d = se deotará:

6 6 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR FÓRMULA DE LEIBNIZ (Derivada eésima de u producto). Si f y g so derivables hasta el orde etoces la fució h f g ( ( h f g = = = es derivable hasta el orde y además æ ö æ ö æ f g f g ö æ f g ö = f g 0 ç ç ç - ç è ø è ø è ø è ø ( ( - ( - ' ( '... Nota El factorial de u úmero atural se defie como!... 0! Por ejemplo,!!! 6 4! 4 4 5! ! Se cumple que!! Nota Los úmeros combiatorios se defie como æ ö! C = m, = çm è ø m! - m! siedo u úmero atural y 0 m El úmero combiatorio C,m represeta el úmero de grupos distitos de m elemetos que se puede formar a partir de objetos, de forma que cada grupo se diferecie de otro e algú elemeto (combiacioes de elemetos tomados de m e m). 6 Recta tagete. Aproimació lieal Defiició (Diferecial). Sea y f = ua fució derivable e u itervalo abierto que cotiee al úmero, La diferecial de es igual al icremeto de, D = d La diferecial de y se defie como = ' dy f d Iterpretació geométrica: La diferecial de y para u icremeto de, D = d, es igual al icremeto de la ordeada de la recta tagete correspodiete a ese icremeto de.

7 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 Diferecial seguda é () ù é () ù () é ù ê ë úû êë úû êë úû é () ù () () () = = = + = d y d dy d f d df d f d d = êë úû + = + f d d f d f d f d y f derivable e el puto a. Aproimació lieal. Cosideremos la gráfica de ua fució Si dibujamos la tagete e el puto a, f a vemos que para valores próimos al puto a, los valores que toma la ordeada de la recta tagete y la fució casi coicide. Diremos por ello que la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto a es ua liealizació (aproimació lieal) de la fució e ese puto. Teiedo e cueta que la ecuació de la recta tagete e el puto, f ( a ) se tedrá que su ecuació es: y - f ( a) = f ( a)( -a) y = f ( a) + f ( a)( - a) La epresió L f ( a) f ( a)( a) de f e a af a tiee por pediete = + - se deomia liealizació (aproimació lieal)» = + ( - ) f L f a f a a

8 8 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR POLINOMIOS DE TAYLOR. DEFINICIÓN Y CÁLCULO 7 Defiició Defiició (Poliomio de Taylor). Supogamos que f ( ) es ua fució derivable veces e el puto = a. Se defie el poliomio de Taylor de grado correspodiete a la fució f e el puto = a como ( a) ( k f k T éf ; aù ê = - a = ë úû å k= 0 k! f ' a f a f a = f ( a) + - a + - a + + -a!!! E el caso e que a = 0 el poliomio se llama de MacLauri. '' (... Veamos alguas propiedades que os permitirá obteer poliomios de Taylor a partir de otros coocidos Sea f y g fucioes que admite poliomio de Taylor hasta el grado e el puto a etoces se cumple las propiedades siguietes: Liealidad: T ( af + bg; a) = at ( f; a) + bt ( g; a ) Derivació, itegració: T f; a ' T f '; a Otras operacioes: Se puede obteer el poliomio de productos y cocietes de fucioes a partir de los correspodietes a cada ua de las fucioes ivolucradas. 8 Resto eésmo Defiició (Resto ésimo de Taylor). Sea f ua fució para la que eiste T éf ; aù êë úû. Se defie el resto ésimo de Taylor correspodiete a la fució f e el puto = a, y lo escribiremos R éf ; aù êë ú como û R é f ( ); a ù f ( ) T é f ( ); a ù ê = - ë úû êë úû La epresió f ( ) = T é f ( ); a ù R é f ( ); a ù ê + ë úû êë úû se llama fórmula de Taylor de f ( ) de grado e el puto = a. E las proimidades del puto = a se verifica o sólo que el resto eésimo es pequeño (ifiitésimo) sio que se hace pequeño e comparació co ( - a). Esto se epresa e el siguiete teorema.

9 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 TEOREMA DE TAYLOR: Si f es derivable veces e el puto correspodiete resto de Taylor etoces R f ; aù lim ë úû = 0 a é ê ( -a) = a y R éf ; aù êë úû es su Resto de Lagrage siedo t u puto itermedio etre a y. ( + f () t! R éf ; aù a ê ú = - ë û + + Resto de Cauchy. Sea f es ua fució derivable + veces e u itervalo abierto I, que cotega al puto a. Si R éf ; aù êë ú es el resto eésimo de Taylor correspodiete a la û fució f e el puto a etoces: ( + f () t R éf ; aù ê =! ( - t ) ( - a ë úû ) siedo t u puto itermedio etre a y. Resto Itegral t ( f R f ; a t dt! defiido si la derivada + de f es itegrable e el itervalo I. a APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS 9 Ifiitésimos. Defiició E el cálculo de límites de fucioes surge las mismas idetermiacioes que e el caso de sucesioes y se aplica las mismas técicas para su resolució. Ua de esas técicas cosiste e la comparació de los órdees de ifiitud o los órdees de magitud de los ifiitésimos que produce estas idetermiacioes. Defiició (Ifiitésimo). Ua fució j ( ) es u ifiitésimo para si tiede a cero cuado se aproima al puto a, limj = 0 a

10 0 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR PROPOSICION. La suma, diferecia y producto de ifiitésimos para = a es u ifiitésimo para = a El producto de u ifiitésimo para = a por ua fució acotada e u etoro del puto a es u ifiitésimo para = a. 0 Orde de u ifiitésimo Defiició (Ifiitésimos del mismo orde, orde superior y orde iferior). Se dice que j ( ) y j lim = l a m co l ¹ 0, l ¹. E este caso se escribe j O( m ) y m so dos ifiitésimos del mismo orde para = a si j a m j m so equivaletes para = a si lim = a m es de orde superior a E este caso se escribe o m para = a si lim = 0. =. Defiició (Ifiitésimos de orde p). Decimos que u ifiitésimo es de orde p para æ si j O ( a) p ö = - ç è ø es decir, si j a ( -a) lim = l co l ¹ 0, l ¹ p = a PROPOSICION. El orde de u ifiitésimo para orde superior para = a. = a o varía al sumarle o restarle otro de Cosideremos ahora u ifiitésimo de orde p para a, esto sigifica que E este caso se tiee que: j ( -a) lim = l co l ¹ 0, l ¹ a p p p p p a o a a o a

11 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Parte pricipal de u ifiitésimo Defiició (Parte pricipal de u ifiitésimo). Si j u ifiitésimo de orde p para j = a y se cumple lim = l co l ¹ 0, l ¹ a La epresió p ( -a) p l - a se llama parte pricipal de dicho ifiitésimo. Nótese que j ( ) es u ifiitésimo equivalete a su parte pricipal. PRINCIPIO DE SUSTITUCION. Si e la epresió de u límite se sustituye u ifiitésimo que sea factor o divisor por su parte pricipal o por otro equivalete, el valor del límite o se ve alterado. IMPORTANTE: Cuado los ifiitésimos aparezca como sumados la sustitució de u ifiitésimo por otro equivalete puede coducir e geeral a errores Si 0 etoces se» Si 0 etoces - cos» Si 0 etoces tg» etoces Si 0 siguiete maera: si Si 0 Tabla de equivalecias log +». Esta equivalecia se puede epresar de la etoces log» - etoces log( k k + )» ( k > 0) Si 0 etoces a -» loga Si 0 etoces arcse» Si 0 etoces arctg» etoces Si 0 a +» + a etoces P ( )» térmio de meor grado Si 0

12 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Cálculo de la parte pricipal utilizado poliomios de Taylor y = f ua fució que es u ifiitésimo para a co todas sus derivadas ulas Sea hasta el orde ( k k - e el puto a y cumpliedo Utilizado la fórmula de Taylor se tedrá: f a ¹ 0. ( a) k ç( ) ( k f æ kö f = - a + o - a k! ç è ø y = f para a es k y su De esta epresió se deduce que el orde del ifiitésimo parte pricipal es ( k f a k a k! -. Ifiitos Defiició (Ifiitos). Ua fució w es u ifiito para = a si tiede a ifiito cuado se aproima al puto a, es decir, si lim w = a OBSERVACION. Todo lo visto ateriormete para ifiitésimos puede aplicarse a ifiitos teiedo e cueta que si w es u ifiito para = a etoces j = es u ifiitésimo para = a w E particular, la sustitució de ifiitos e la epresió de u límite se rige por las mismas reglas que las de los ifiitésimos. Defiició (Ifiitos de orde iferior, superior). Sea w y ( ) se dice que: es u ifiito de orde iferior a es u ifiito de orde superior a es u ifiito del mismo orde que w lim = l co l ¹ 0, l ¹ a t t para a t para a t dos ifiitos para = a = si w a t = si w lim a t ( ) t para = a si lim = 0 E el caso particular de que l = etoces se dice que so equivaletes. =

13 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Defiició (Ifiito de orde p). Decimos que u ifiito w lim = l co l ¹ 0, l ¹ a ( -a) p w para = a es de orde p si A cotiuació, se da e la tabla los deomiados órdees fudametales de ifiitud para tediedo a ifiito. Segú se avace de izquierda a derecha e las columas los órdees de ifiitud va decreciedo. Potecial Epoecial Epoecial Potecial Logaritmo a b a 0 b > c 0 c ( log ) q p q > p > 0 APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN Etremo relativo y absoluto Defiició (Etremo relativo). Sea. Decimos que f tiee y f ua fució real defiida sobre u domiio D u míimo relativo e u puto a Î D si eiste u itervalo ( a r, a r) e D de forma que f > f ( a) para Î( a - r, a + r), ¹ a. u máimo relativo e u puto a D si eiste u itervalo ( a r, a r) e D de forma que f < f ( a) para Î( a - r, a + r), ¹ a. - + coteido - + coteido Si u puto es míimo o máimo relativo se dice que es u etremo relativo o local. Defiició (Etremo absoluto). Sea y f. Decimos que f alcaza su valor míimo absoluto e u puto a D su valor máimo absoluto e u puto a D = ua fució real defiida sobre u domiio D Î si f f ( a) Î si f f ( a) > para D, ¹ a. < para Î D, ¹ a. Si u puto es míimo o máimo absoluto se dice que es u etremo absoluto o global.

14 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR PROPOSICIÓN. Cosideremos ua fució y f el puto a, etoces se podrá escribir = co derivadas hasta el orde e ( ç( ) f '' a f a æ ö f - f ( a) = f '( a)( - a) + - a a + o - a!! ç è ø ( f ' a f '' a... f a 0, etoces Supogamos que Si es par y ( 0 Si es par y ( 0 f a > etoces e el puto a la fució tiee u míimo local. f a < etoces e el puto a la fució tiee u máimo local. Si es impar e el puto a hay u puto de ifleió. APLICACIÓN DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR. DERIVACIÓN NUMÉRICA E este apartado se cosidera el caso e que solo se cooce el valor de ua fució e putos,,,...,, equiespaciados. E este caso, se puede calcular ua aproimació de la derivada e o = a, f '( a ), siedo a cualquiera de estos putos, utilizado diferecia progresiva, diferecia regresiva o diferecia cetrada. 4 Diferecia progresiva f '( a)» ( + )- f a h f a h Para acotar el error que se comete e esta aproimació hay que teer e cueta la fórmula de Taylor de grado, Luego Como R O h ( + ) = + ' + f a h f a f a h R f ' ( a) ( + )- f a h f a R = - h h, etoces el error de trucamieto ( + )- f a h f a Error = f '( a) - = O h h Ua cota del error podría obteerse cosiderado que Si M es ua cota de '' () t f! '' h h = co é êë, f t e éaa, + hù êë úû etoces ua cota del error será: R t Î a a + h ù úû Error R = h M h!

15 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 5 Diferecia cetral f '( a)» ( + )- ( - ) f a h f a h h Para acotar el error que se comete e esta aproimació hay que teer e cueta la fórmula de Taylor de grado, y las epresioes Restado es decir, '' f ' a f a f ( a + h) = f ( a) + h + h + O h!! '' f ' a f a f ( a - h) = f ( a) - h + h + O h!! ( + )- ( - ) = ' + f a h f a h f a h O h f ' Luego, el error de trucamieto ( a) ( + )- ( - ) O( h ) f a h f a h = - h h ( + )- ( - ) f a h f a h Error = f '( a) - = O h h Observació: Es iteresate ver que la diferecia cetrada aproima mejor el valor de la derivada que las diferecias progresivas y regresivas, ya que e el primer caso el error es u ifiitésimo de orde mietras que e los restates casos es de orde. Ejercicios propuestos Determiar el domiio de las siguietes fucioes a) f b) f Solució: æ + ö = log ç è - ø = a) Domf = (-,-) È (, ) b) Domf = (-, 0ù ú û Estudiar la simetría o paridad de las siguietes fucioes: a) se + + f () =, + cos b) g = c) y = + d) y = - e) y = se f) y = + g) y = cos( - ) Solució: Simetría impar las fucioes de los apartados: a), d) y f).

16 6 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Simetría par las fucioes: e) y g). No tiee simetría las fucioes: b) y c). Dibujar de forma aproimada la gráfica de las siguietes fucioes elemetales e idicar si se trata de fucioes pares o impares: a) y 4 6 = - + b) y =- arctg c) y cos = - d) y =- tg e) y = e f) y =- 9 g) y ( ) = - ; h) y = + log ; i) y = - j) y =- + k) y = - l) y = + e m) y = + ) y = Ch = e ñ) y = Sh = -e - + e - 5 Sea las fucioes f = + a + b y abcî,,. Se pide: g = - c co a) Determiar la relació etre los parámetros a, b, c para que las gráficas de las dos fucioes se corte e el puto (, ). b) Determiar los valores de a, b y c para que cumpliédose las codicioes ateriores, las fucioes f ( ) y g( ) tega e el puto (, ) la misma tagete. Solució: a) a = - b c =- b) a = b = 0 c =- 6 E la figura se ha dibujado las gráficas de tres fucioes: f, f y f. Determiar qué gráfica correspode a cada fució y por qué 4 Aalizar la cotiuidad y derivabilidad de la fució f = Hacer tambié la represetació gráfica de la fució. Solució: f ( ) es cotiua derivable " Î -{-, }. " Î y es Solució: azul o o: f (), roja : f, verde : f

17 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 7 a) Hallar las ecuacioes de la tagete y la ormal a la curva 4 f() = ( ), e = b) Determiar si las rectas tagetes a la curva de ecuació y =- 4 +, e sus putos de corte co la recta + y = 0 so paralelas etre sí. c) Obteer las ecuacioes de las rectas tagete y ormal a la curva y = a, e =. Solució: a) Recta tagete: y - = ( -) Recta ormal: y - =- ( - ) Los putos de corte so: ( 6, 6) y ( 6, 6) So paralelas. Recta tagete: y a aloga( ) - Recta ormal: y - a = ( - ) - = - ; aloga 8 a) U puto e el plao se mueve a lo largo de la curva de ecuació y = +, de maera que la variació de la abscisa respecto d al tiempo es 4 dt =. Calcular la variació de la ordeada respecto del tiempo, dy dt, cuado =. b) Hallar dy d si u + u y = u -, u = se c) Ua rueda de u metro de radio gira a diez revolucioes por segudo. Si se marca u puto P de ella, hallar la velocidad de desplazamieto horizotal de ese puto para los siguietes águlos: p p (c.) q = 0 (c.) q = (c.) q = 6 Solució: dy -se --se a) b) = 0 d cos c) 0 m / sg c) - 0 p m / sg c) - 0 pm / sg 9 Derivar implícitamete æ ö a) - log ç + = 0 y çè e ø b) arctg y y = -y Solució: a) y ' = y + y + y b) y ' =- + y - Hallar la derivada eésima de a) f cos b) f se c) f = e = 0 = e = 0 = e e = 0 d) f log( ) e) f) = + e = 0 f () = - 4 f () = ( - ) ( + ) g) f log( ( )( ) ) < h) f = acos( a) Solució: æ ( a) f cos p ö = + ç çè ø f ( = - - e ìï 0 si impar ( 0) = ï í m ï (- ) si par ( = m) ïî æ ( f se p ö = + ç çè ø b) f 0 ( ( 0) ìï 0 si par = ï í m ï (- ) si impar ( = m + ) ïî ( ( c) f = e f = ( d) f = (-) ( - )!( + ) - ( f ( 0) = (-) ( - )! ( e) f é ù (-)! = ê( - ) ( + ë ) ú û

18 8 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR ( f = -! A é f) ( + ) A = + - ê( -) - + ë é ( f =- -! + ê - - ë æ ( pö + h) f () = a cos a + ç çè ø ù ú û ù ú û g) a) Eplicar e qué cosiste aproimar el valor de ua fució de ua variable e u etoro de u puto, utilizado la diferecial e dicho puto. Aplicació: Co qué precisió tedríamos que medir el radio r de ua esfera para calcular el área de la superficie, S = 4pr, co u marge de variació del % de su valor eacto? Epresar el error como porcetaje del valor eacto del radio. b) Hallar dy para la fució y = ( + 4). Calcular el valor aproimado de y( - 0.5), utilizado la diferecial. c) Obteer u valor aproimado de 6 y de 65 Solució: a) Se debe medir r co u error que o difiera más del 0.5% del valor eacto. b) dy = d y( - 0.5)» 8 c) 76 6» = » 8 + = a) Epresar e potecias de - el poliomio 4 P () = b) Desarrollar e potecias de + el poliomio 5 4 P () = Solució: a) 4 P () = = 4 ( ) ( ) ( ) 7( ) = b) 5 4 P = = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 = a) Escribir la fórmula de Taylor co el Resto de Lagrage para la fució f = + para a = 0 y = 4. Acotar el Resto para Î- é 0.5, 0.5ù ê ë ú. û - e + e b) Dada la fució f () =, calcular el poliomio de MacLauri de grado 4 y hallar el valor aproimado de f (0.) utilizado dicho poliomio. Estimar el error cometido e la aproimació. Solució: a) + = T éf ;0 ù + R éf ;0ù 4 ê = ë úû 4 êë úû = , 9/ ( + t) t Î ( 0, ) 5 ìï 7, si 0 < R ï 5 4 í ïï 7, si / - < ï 56( + ïî ) b) - 4 e + e f =» T éf ;0ù 4 ê = + + ë úû 4 40 f ( + + = error = R ( 0.) 0 4 Se cosidera la aproimació b b +, b > 0. Justificar la b procedecia de la aproimació y estimar el error cometido al aproimar 7 cosiderado b = 5. Solució: La aproimació se justifica a partir del poliomio de Taylor de grado de la fució f = b + e el puto a = 0 para valores de próimos a 0. El error cometido es meor que /50.

19 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 Sea la fució f = - a) Hallar el poliomio de Taylor de grado e a = 0. b) Escribir el resto de Lagrage. c) Utilizado el resto de Lagrage determiar ua cota superior del error cometido para la aproimació cuadrática de la fució cosiderado = 0. Solució: a) ( k - )!! k T éf ;0ù ê = - - ë úû å k k = k! dode ( k ) ( k )( k ) -!! = Nota: El bifactorial de u úmero atural se defie de la siguiete maera: ìï si = 0!! = ï í( -)( -4) si es par ï ( -)( -4) si es impar ïî Por ejemplo, 8!! = 864!! = 975 b) c) 5 ( + f () t ;0ú (! ) -( -)!! ( + ) / -t ( + ) R éf ù ê = = ë û + = t Î! ( t) () t ( f R ( 0,) = 0. =! - 0 = 5/! t= 0. - ( 0, ) / = < a) Demostrar que para 0, y + - so ifiitésimos equivaletes. b) Hallar u ifiitésimo equivalete a f = log( + ) e = 0. c) Determiar el orde de los ifiitésimos cuado 0 (c.) f() = se + cos - (c.) f = 5 se + 6 Solució: a) / + + lim = lim = / b) f = log( + )» 7 c.) El orde es y el valor pricipal es c.) El orde es y el valor pricipal es 7 a) Hallar el puto más cercao y el más alejado de la parábola y = 4 - al puto ( 0, ), para valores de la detro del itervalo Î- é, ù ê ë ú û. b) Determiar la logitud de los lados de u triágulo isósceles de perímetro uidad y área máima. Cometar el resultado. Solució: a) más lejao:( 0, 4 ), más próimos: æ 5 ö æ, 5 ö ç ç, ç-, çè ø ç çè ø b) Los tres lados debe ser iguales y medirá /, se trata de u triágulo equilátero. 8 Estudiar el comportamieto e el orige de las fucioes: a) f = se (- cos ) b) f = 0 se tg( ) c) f = tg( log( - )) ( - cos ) Solució: (a) E = 0 hay u puto de ifleió. (b) E = 0 hay u míimo. (c) E = 0 hay u máimo.

20 0 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Test de autoevaluació Dada la fució f () = -. Idicar cuál de las siguietes respuestas os describe el domiio de f () : A) (-,-ù ú û B) é êë 0, ) C) (-,-ù é úû È êë, ) D) Nigua de las ateriores E = 0 la fució ìï - ¹ 0 f () = ï í ïï se 0 = 0 ïî preseta ua discotiuidad: A) Evitable. B) De salto fiito. C) Es cotiua. D) Nigua de las ateriores. Las rectas tagete y ormal a la curva f () =, > 0e el puto de abscisa = so respectivamete: A) y = +, y =- +. B) y =- -, y = +. C) y =, y =- +. D) Nigua de las ateriores. 4 El poliomio de Taylor de grado de la fució f = e a =- es: A) T é ; ù ( ) ( ) ê - ú = ë û 9 B) T é ; ù ( ) ( ) ê - = ë ú û 9 C) T é ; ù ( ) ( ) ê - = ë ú û 9 D) Nigua de las ateriores 5 El poliomio de MacLauri de grado tres para la fució f = log( + ) aproima el log(.) co el valor y el error idicados. A) log(.)» 0.87 ; B) log(.)» 0.87 ; error 0 error 4 0 C) log(.)» 0.87 ; error 0 D) Nigua de las ateriores Sea f () ua fució cotiua y derivable, cumpliedo las codicioes: f () =, f () = 0, f () = y f () =. La fórmula de Taylor co el resto de Lagrage para f (), utilizado el poliomio de Taylor de tercer grado e el puto a = es: A) f () = + ( - ) + ( c-), c Î (, ) (4 B) f () c 4 f = + ( - ) + ( - ) + ( -), c Î (,) 4 C) f () c 4 f = + ( - ) + ( - ) + ( -), c Î (, ) 6 D) Nigua de las ateriores. 7 La derivada de la fució implícita y = f, defiida por la ecuació es A) dy - = y. d + y B) dy + = y. d - y æ y ö æ ö y arctg + log = ç a è ø ç è ø C) dy =. d - y D) Nigua de las ateriores. 8 Determiar el valor de dóde alcaza el máimo la fució a a- f () = e ( > 0; a> 0) A) = a. B) = 0 C) = e D) Nigua de las ateriores 9 Para aproimar el valor de a, se utiliza la recta tagete a la fució f =

21 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA e el puto = y se obtiee a».05. Cuál será el puto a? A) a =.0 B) a =.5 C) a =.0 D) Nigua de las ateriores. 0 A) El valor de tg - se lim 0 B) 4 C) D) Nigua de las ateriores es: Dados los ifiitésimos para f æö = se ç çè ø / = - e g / / =- log( e ) k = arctg( - e ) h podemos afirmar que: A) Todos so equivaletes. B) Sólo so equivaletes g y h. C) Sólo so equivaletes f y h. D) No se cumple igua de las afirmacioes ateriores 4 La fució f = tiee e el orige: A) U puto de ifleió. B) U máimo. C) U míimo. D) No se cumple igua de las afirmacioes ateriores. Solucioes del Test: C D C A B B B A C A D C Ejercicios resueltos Calcular la derivada de las siguietes fucioes, simplificado al máimo el resultado. a) y = se(se(se)) b) y = arccos c) y = a - + Solució a) = ( ) y cos se se cos se cos (b) Se cumple y = arccos = cosy. Derivado los dos miembros de la última igualdad respecto de y aplicado la regla de la cadea se obtiee: Como se cocluye fialmete =-sey y y =- se y se y = - cos y = - y =- -

22 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR (c) Se cumple y = a log y = loga + Derivado respecto de los dos miembros de esta última igualdad y aplicado la regla de la cadea se tiee que loga loga loga y =- y =-y y =- a y ( + ) ( + ) ( + ) - + U puto P se mueve sobre la parábola = y situada e el primer cuadrate de forma que su coordeada está aumetado a razó de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que el puto P se aleja del orige cuado =9. Solució Se trata de u problema de razoes de cambio relacioadas. La fució distacia de u puto situado e las coordeadas (, y) al orige es: d() t = () t + y () t Si el puto (, y) está e la parábola = y será: d t t t La velocidad a la que se aleja del orige aplicado la regla de la cadea es: d' t t t t ' t ' t -/ () = ( () + ()) ( () () + ()) E el istate e que =9 y teiedo e cueta que '() t = 5 cm / seg se cocluye que la velocidad a la que el puto P se aleja del orige es: -/ ( 9 + 9) ( ) = = E ua empresa la fuerza laboral L se mide e horas trabajador y es ua fució del tiempo, L = f () t. Sea M = g() t la producció media por persoa. Supoga que la producció Q está dada por el producto LM. E cierto mometo la fuerza laboral L está creciedo a u ritmo

23 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA de 4% aual y la producció media está creciedo a ua razó de 5% al año. Ecotrar la razó de cambio de la producció total cuado Q=0. Solució Datos del problema: Q LM f t g t Se pide: dq dl dm M L dt dt dt dl = 0'04 L dt dm = 0'05 M dt 4 dq dt Q 0 0'04 L M L 0'05M 0'09 L M 0'09 Q 0,9 a) Sea g = f ( se ), sabiedo que f '( 0) = 0 calcular g ' resultado obteido para ua fució f cocreta. p. Comprobar además el b) Supogamos que u cubo de hielo se derrite coservado su forma cúbica y que éste volume decrece proporcioal al área de su superficie. Cuáto tardará e derretirse si el cubo pierde ¼ de su volume durate la primera hora? c) Qué precisió debe de teer la medida del radio r de ua esfera para calcular el área de su superficie detro de u % de su valor real? (Superficie de ua esfera: 4 r ) Solució a) Aplicado la regla de la cadea, ( p) ( p) p g' = f ' se cos g' = f ' se cos = f ' 0 - = 0 Por ejemplo, podemos cosiderar Se tedría para este ejemplo = = ( se ) = ( se ) f g f g' = se cos g' p = se p cos p = 0 B) Se cosidera = () t el lado del cubo e el istate t, su volume y su superficie es: V = S = 6 Como el volume decrece proporcioal al área de la superficie se tedrá: dv dt =- K6 es decir, d d K k dt dt =- 6 =- d Itegrado: =-k () t =- kt + A dt

24 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Para t=0 se tiee que ( 0) = A, luego A es el lado del cubo ates de empezar el deshielo. Como además se sabe que el cubo de hielo dismiuye ¼ de su volume e la primera hora se tiee que: k A A V V V V V 4 4 ( 0) - = ( 0) = ( 0) æ ö k A A k - + = = - A 4 4 ç 4 çè ø lo que os da ua relació etre la costate k y el lado iicial del cubo A, A k = - 4 Se os preguta el valor de t e el que (t)=0, luego se tedrá que calcular A () t =- kt + A = 0 t = =» horas k - 4 b) Sea D r el error e la medida de r. Sea correspodiete al error D r. Sabemos que, D S el error e la medida del área de la superficie, D S S = 4 pr ds La aproimació lieal de S es S r 8 r r dr Epresado la codició del euciado se tiee, 4pr r 0,5 8prD r D r = r Por lo tato se deberá medir el radio co u error meor que el 0,5 por cieto del valor verdadero. 5 Dada la curva y y = 0, se pide represetarla y calcular la recta tagete y ormal a dicha curva e el puto P(, - + ). Solució Completado cuadrados y y y ( ) ( + ) = y + 6 = y Se tiee que

25 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 y y y = = 4 luego la curva es ua circuferecia cetrada e el puto (, ) y de radio. Para calcular la pediete de la recta tagete calculamos la derivada e el puto P. Derivado implícitamete: - + yy' y' = 0 y' =- y + 6 e el puto P y ' P - =- = la ecuació de la recta tagete es: y = (- + ) - ( - ) y la de la recta ormal y = (- + ) + ( - ) 6 Ua persoa coduce e direcció sur a 64 km/h y pasa por Madrid a las del mediodía. Otra persoa va hacia el este a 60 km/h, pasado por Madrid 5 miutos más tarde. A qué velocidad se separa a las 4h?. Solució Sea, el espacio recorrido hacia el este por el coche que va e esta direcció, e el istate t. Sea y, el espacio recorrido hacia el sur por el coche que va e esta direcció, e el istate t. El istate t = 0 es a las :5h. Por tato a las 4h es t = 7/4. y = 6km, es el espacio recorrido por el coche que va hacia el sur e t = 0. 0

26 6 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR ìï = 60t í ï 0 t 7/4 ï y = t ïî La distacia etre ambos vehículos e el istate t es: st () = t () + yt () y la variació de esta distacia co el tiempo (velocidad de separació de los vehículos) se obtiee derivado co respecto de t : ds() t () t () t + y() t y () t (60)60 t + (6+ 64)64 t v = = = dt t () + yt () (60) t + (6+ 64) t E la gráfica se ha represetado las curvas de las distacias de los dos móviles a Madrid e cada istate t a partir de las :5h, así como la distacia y la velocidad de separació etre ellos. Los valores de estas fucioes a las 4h ( t = 7/4 ), so: Distacia recorrida por el coche que va hacia el este: (7 / 4) = 05km Distacia recorrida por el coche que va hacia el sur: y(7 / 4) = 8km Distacia etre ambos vehículos: s(7 / 4) = 65.56km Velocidad de separació de ambos vehículos: v(7 / 4) = 87.5 km / h

27 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 7 7 Halla las ecuacioes de las rectas tagete y ormal a la curva defiida por la ecuació - y + - y - y + + = e el puto (-,) Solució Si m es la derivada de y respecto de de la fució defiida implícitamete por etoces: - y + - y - y + + = Recta tagete e (-,) : y - = m( + ) Recta ormal e (-,) : y - = - ( + ) m Para hallar m se deriva implícitamete la ecuació y se particulariza e (-,) -y - 6yy + -5y -5y - 6yy + 9 = 0 y (-,) =- Por tato, Recta tagete e (-,) : Recta ormal e (-,) : y - =- ( + ) y - = ( + ) 8 Calcular la derivada eésima de las siguietes fucioes a) f = ( - ) b) f = cos Solució

28 8 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Derivado sucesivas veces la fució f b) Derivado la fució f = cos = = - ( - ) - = (- )( - ) f ' - ( ) - = (- )(- )( - ) 4 f '' - = (- )(- )(- )( - ) 5 f ''' ( )! ( + = ) ( f æ pö f =- se cos =- se = cos + ç çè ø æ f p ö ç çè ø =- se ç + = cos( + p) æ pö f =- se ( + p) = cos ç + çè ø... æ ( pö - f = cos ç +, ³ çè ø 9 0, a) Utilizar el poliomio de Taylor de segudo grado para calcular aproimadamete e. Dar ua cota del error cometido. b) Aproimar e co error meor que 0, 0. Solució a) Derivado sucesivas veces f = e f(0) = üï ïïï f e f e e f = e f (0) = ï ïþ ( 0, ) 0, = (0) = ý» + +» + 0,+ =, ï Para calcular el error cometido se calcula la derivada tercera: y se tiee e cueta que: f = e f ( c) = e < c < < c < e < e < e < e < 0 c c 0 0, 0 co lo cual, ua cota del error cometido es c

29 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 9 c e 0, 008 R (0,) = 0, < = 0, b) Escribimos el poliomio de Taylor de grado e el orige, de la fució f () = e : f () = e f(0) = üï ï ìï f () = e f (0) = e» !... ï ï ý í ( + + f () c c + e ( ( ) f () = e f (0) = R () = = ï ( )! ( )! ( + ( + ) ïî + + f () = e f (0) = ï þ Teiedo e cueta que 0 < c <, se tiee 0 c c e e e e < < < < ua cota del resto es: + + æö æö c e æö R çè ø çè ø = < = ç è ø ( + )! ( + )! ( + )! Para ecotrar de qué grado debe cosiderarse el poliomio, basta tomar cumpliedo: < 0, 0 = ( + )! 00 ( + )! > 00 Dado valores a : =. = 6 < 00.! = = < = = > =.4! se cocluye que el poliomio de Taylor buscado es el tercero, co lo cual resulta que ua aproimació de e = e / co u error meor que ua cetésima es: / ( / ) ( / ) e = e» =,9!! 0 Determiar los valores de a y b para que el ifiitésimo de la epresió f = + a se + btg, cuado tiede a cero, sea del mayor orde posible. Solució Vamos a sustituir los primeros térmios de los poliomios de Taylor de se y tg, e la epresió de f ( ). Para que dicha epresió sea u ifiitésimo del mayor orde posible, calcularemos los valores de a y b adecuados que os aule los primeros térmios. El poliomio de Taylor de orde 5 de se e el orige es

30 0 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR 5 se» - +! 5! El poliomio de Taylor de orde 5 de tg( ) se obtiee dividiedo etre sí los primeros térmios de los poliomios de Taylor de las fucioes se y cos, así se! 5! tg =» = ! 4! Luego el poliomio de Taylor de orde 5 de f ( ) es 5 4 cos 5 æ 5 ö æ ö 5 T ( f;0 5 ) = + a b = ç è! 5! ø çè 5 ø æ a bö æ a bö 5 = ( + a + b) ç è! ø è ç5! 5 ø Empezamos aulado los coeficietes de,, hasta que o sea posible térmios e : + a + b = 0 a b térmios e : - + = 0! resolviedo este sistema de dos ecuacioes y dos icógitas, se obtiee la solució a =- ; b =- Co estos valores de a y b, f ( ) será u ifiitésimo de orde 5. El térmio de grado 5 es el que os dará el valor pricipal, que calculamos El valor pricipal de f ( ) es a b a + 6b + = = =- 5! se e + se + a + b Sea f = se a) Obteer los valores de a y b para que f ( ) sea cotiua e = 0. b) Hallar a y b para que f ( ) sea ifiitésimo e = 0. E este caso hallar el orde de Solució p f ( ) y u ifiitésimo de la forma A que sea equivalete a f ( ). a) Para = 0, la fució o está defiida ya que se el deomiador se aula.

31 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Veamos si se puede eteder la defiició de la fució e dicho puto por cotiuidad, esto es, si es posible calcular a y b co la codició de que eista L = lím f. Si fuera posible, bastaría defiir f (0) = L para garatizar la cotiuidad e el orige. Utilizamos aproimacioes de Taylor de tercer grado: Sustituyedo, ìï se ï» - í 6 se ïe» + se» + - ïî 6 0 æ ö æ ö + - se a + b e + se + a + b çè 6 ø çè 6 ø L = lim = lim = 0 0 se æ ö - ç çè 6 ø 4 ( + a) + ( + b) - - = lim 6 6 = + b 0 4-6, si a =- Por tato f es cotiua e el orige si a =- y b es cualquier valor real. b) Para que f sea u ifiitésimo e el orige debe ser L = 0, es decir a =- y b =-. E este caso, lim f = lim = lim p Sea g () = A, para que g sea ifiitésimo equivalete a f ( ) debe cumplirse, ìï f A =- lim = lim = lim = ï í p p 6 p g + A ( 6 - ) 6A - A ï p = ïî Por tato, g =-. 6 Se cosidera los rectágulos que está situados e la regió del plao limitada por las curvas y = e y =, que tiee u vértice e cada curva, que tiee sus lados paralelos a los ejes y sus lados horizotales mide (ver figura). Determiar de etre todos ellos, aquél que tiee área máima.

32 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR Solució æ ö Sea las coordeadas del puto P: a, a ç çè ø. Etoces las coordeadas del puto Q so æ ö æ a, ö a - - ç ç çè è ø ø El área del rectágulo es: æ ö æ ö A= AP AQ = a a - - ç ç çè è ø ø æ ö A = a 0 a a ç - = - = çè a - ø æ ö Resolviedo esta ecuació resulta a = luego P, ç çè ø etoces u cuadrado. y Q æ ö, ç. El rectágulo solució es çè ø Calcula los lados del rectágulo de área máima que puede iscribirse e la elipse de ecuació Solució a y + = b Fució a maimizar: Area = 4y Será máima cuado: darea = 0 4( y + y ) = 0 d

33 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA Se calcula y derivado implícitamete la ecuació de la elipse: yy b + = 0 y =- Sustituyedo e y + y = 0 se tiee: a b a y ay - b b = 0 ay - b = 0 y = ay a Y como e y está sobre la elipse, verificará a y + =, por tato: b + = = a, y = b a a Por la aturaleza geométrica del problema se deduce que éstos valores sólo puede correspoder a u máimo de la fució Área. El valor del área máima será 4 Area = ab Dada las fucioes f y g derivables se cosidera la fució h f g g =, g ' =, f ( 4) =, f '4 = 4. h ' () sabiedo que: () Solució Aplicado la regla de la cadea a la fució h f ( g ) Sustituyedo e = 5 = se tiee que: = ( )( + ) h' f ' g g g' () ( ())( () ()) h ' = f '4 g 4 g + 4 g ' = f ' = 4 = 48 f Dada la fució log u valor aproimado de log( 0.5 ) co u error meor que Solució. Calcula æ ö = - ç, se pide calcular, utilizado u poliomio de Taylor, çè ø 0 -. Como se pide obteer u valor aproimado para log(0.5) se tedrá que para =. Tomamos a=0. æ ö æö log log - = ç è ø çèø E este ejercicio se trata de escribir el resto del poliomio de Taylor de grado de la fució f e el puto a=0 cuado el valor de = y, ua vez acotado, aalizar para qué valor de se podría asegurar que el resto es meor que E este caso 0 -. La epresió del resto de orde e geeral es: ( + f () t + (, ) +! R = -a t Î a

34 4 T FUNCIONES DE UNA VARIABLE. POLINOMIOS DE TAYLOR ( + f () t ( +! ) R = t Î ( 0,) Calculamos etoces la derivada de orde + de f. æ ö = - ç çè ø log f æ ö f ' ç è ø = ç - = = ( - ) - = (- )( - ) f '' - f ''' = = (-) ( -)!( - ) - - ( f El resto del poliomio de Taylor de grado para a=0 y = tiee por epresió: R Acotado el resto: () ( t ) ! - - = = t Î 0, + +! + t - R = < t Î 0, + + () ( + )( t -) Para asegurar que el resto sea meor que es decir, = basta elegir cumpliedo < + 00 Para calcular el valor aproimado de log(0.5) calculamos la aproimació por el poliomio de Taylor de grado 00 ( Cosiderado siedo f ( 0) (00 f ' 0 f '' 0 f 0 T00 = f ( 0 ) !! 00! ( - )! =- y = Estudiar la eistecia de etremo e el orige de la fució f = ( -se )(Ch - ) Solució Cosiderado los poliomios de Taylor e el orige:

35 CÁLCULO I GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA 5 - se» - æ ö ç - = çè 6 ø 6 æ ö æ ö e + e çè ø çè ø Ch =»» + Ch -» se tiee 6 f = ( -se )(Ch- )» = 6 Como la primera derivada o ula e el orige de la fució f es la seta, siedo además positiva, la fució tiee u míimo local e este puto.