EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE SISTEMAS DE 1er y 2do ORDEN

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1 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE SISTEMAS DE 1er y do ORDEN A cotiuació se resuelve tres problemas sobre sistemas de primer y segudo orde. El primer problema es sobre sistemas de primer orde co codicioes iiciales distitas de cero y está resuelto de maera tal de aclarar los coceptos básicos míimos y ecesarios para la solució de esta clase de problemas. Debe recordarse que la ecuació de sistemas de primer orde co codicioes iiciales distitas de cero es perfectamete aplicable, realizado las cosideracioes correspodietes e sus factores, a los sistemas de primer orde co codicioes iiciales iguales a cero. El segudo y tercer problema es sobre sistemas de segudo orde, e ambos se busca la determiació de los coeficietes de la fució de trasferecia que describe al sistema por medio de los parámetros de esta clase de sistema. E el primer caso, la determiació es a través de las fucioes de trasferecia de u diagrama de bloques. E el segudo caso, la determiació es a través de la curva respuesta del sistema ate ua etrada escaló. UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 1 de 10

2 1) U termómetro se ecuetra iicialmete e equilibrio co u baño a temperatura Tx. Para el tiempo t 0 miutos el termómetro es retirado del baño a temperatura Tx y es sumergido e otro baño a temperatura Ty. Para el tiempo t 4 miutos la medició del termómetro se estabiliza e 40 C. Imediatamete después de hacer esta lectura, el termómetro es re-itroducido rápidamete e el baño a temperatura Tx. Para el tiempo t 6 miutos la medició del termómetro idica 60 C. Asumiedo que la costate de tiempo, τ, del termómetro es la misma e ambos baños. Determie: SOLUCION: a. La costate de tiempo, τ. b. Las temperaturas Tx y Ty. c. La gráfica de temperatura vs tiempo. Realizado u gráfico de la secuecia de evetos para visualizar lo ocurrido. Se sabe que el termómetro puede ser cosiderado como u sistema de primer orde. Tambié se sabe que e estos sistemas para u t 4 * τ t S, el error e la lectura es de 1.83 %, es decir, el sistema se ecuetra a % del valor fial, y por tal motivo se cosidera que el sistema ya se ha estabilizado co el medio. Al revisar la redacció os ecotramos que: U termómetro se ecuetra iicialmete e equilibrio co u baño a temperatura Tx, lo cual os idica que la temperatura iicial del termómetro es Tx ya que esta e equilibrio, o tiee mucho tiempo co el medio. Para el tiempo t 4 miutos la medició del termómetro se estabiliza e 40 C, es fácil deducir etoces que τ es 1 miuto y que Ty es 40 C porque a ese icremeto de tiempo UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. de 10

3 la lectura del termómetro se estabiliza e ese valor (Valor e estado estable). Para τ, matemáticamete teemos que: t t 4 τ τ y() y + y y t t SS i ( ti) T() T + T T t t SS i ( ti) miutos 1miuto 4 Por otra parte, el problema establece que cuado t 6 miutos el termómetro idica 60 C, y podemos apreciar que para este caso, o codició, el icremeto de tiempo es de miutos solamete, (6-4), razó por la cual la lectura del termómetro o puede ser cosiderada como la defiitiva, esta cosideració se fudameta e el hecho de miutos es meor que 4 τ. Por tal motivo, podemos decir que para esta codició el termómetro se ecuetra e estado trasitorio. De todo lo ateriormete plateado, queda establecido que teemos u sistema de primer orde co codicioes iiciales distitas de cero, razó por la cual debemos utilizar la ecuació que describe este comportamieto. e τ 1 y que se re-escribe segú las variables (Factores) del problema como: e 1 τ ( tti ) ( tti ) dode: T(t) T(6) 60 C, T(t i ) T(4) 40 C, T SS Tx, y τ 1. De maera tal que al desarrollar la ecuació obteemos el valor de Tx: [ Tx 40] 1 ( 60 40) [ Tx 40][ ] 0 Tx Tx Tx 631. C e ( 64) t 1 UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 3 de 10

4 A cotiuació se muestra el gráfico dode se visualiza los distitos cambios por los que atraviesa el sistema. Notas: Los círculos idica las coordeadas de las cuales se dispoe de toda la iformació ecesaria, o que puede ser hallada. Para el caso de 4 # t # 6 miutos, el segmeto es el T(t) resultate de aplicar a la ecuació los siguietes valores a sus factores: T(ti)T(4)40, T SS T(10)63.13, τ 1, ti 4. El segmeto puteado e rojo, extremo derecho de la gráfica, es la proyecció de la ecuació para los valores de t $ 6 miutos. Para el caso de 0 # t # 4 miutos, el segmeto es el T(t) resultate de aplicar a la ecuació los siguietes valores a sus factores: T(ti)T(0)63.13, T SS T(4)40, τ 1, ti 0. UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 4 de 10

5 ) Para el sistema de cotrol que se muestra e la figura, determie la gaacia a y la localizació del polo b de los parámetros que defie al cotrolador, de tal maera que la respuesta del sistema o exceda u máximo pico porcetual (Mp%) de 5 %, y que el tiempo de subida (tr) sea meor que 0.1 segudos. SOLUCION: Al operar sobre el diagrama de bloques aterior, lo podemos trasformar e: G G f f Hallado la fució de trasferecia de lazo cerrado teemos que: s s Gs 1 + GsHs 100a ( S + b)( S + 8) 100a 1 + ( S + b)( S + 8) 100a S + + b S + b + a ( 8 ) ( ) S ( ζ ) 100a ( S + b)( S + 8) ( S + b)( S + 8) + 100a ( S + b)( S + 8) K + S + ζ Dode: K 100a; 8 + b ; 8b + 100a UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 5 de 10

6 Del problema teemos que si existe los valores de Mp y tr, estamos ate u sistema subamortiguado, por tato hay u factor de amortiguamieto y ua frecuecia de oscilació. Para cumplir las especificacioes, asumo etoces que: Mp 0 %, y que tr 0.08 segudos, co lo que: ζ Mp% L Mp % L Mp % L L ζ tr ζ ζ ( ) tr b ζ b ( )( 4. 44) b b + 100a a a 100 Co estos valores de a y b, el sistema queda expresado como: A cotiuació se muestra la respuesta de este sistema ate ua etrada escaló uitario. UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 6 de 10

7 Nota: A efectos de diseño se pudo haber trabajado co Mp5 % y tr segudos. Del gráfico podemos observar que si bie los valores e los parámetros utilizados para el diseño o correspode co los valores a los cuales está respodiedo el sistema estos, aú así, cumple co las especificacioes solicitadas ya que se ecuetra por debajo de los valores máximos. El que los valores reales o correspoda co los valores calculados, es ua codició que o es de extrañar cuado se esta e el proceso de diseño. Lo realmete importate, es mateerse detro de las especificacioes, o toleracias, solicitadas. UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 7 de 10

8 3) Ecuetre la fució de trasferecia, G(s), que describe a u sistema físico que ate ua etrada de tipo u(t) respode como se idica e la figura. SOLUCION: la forma de la figura os idica que es u sistema de segudo orde subamortiguado, el cual asumiré que se ecuetra e lazo abierto, ya que o idica lo cotrario, y por tato su forma es: K Gs S + ( ζ ) S + Al observar la gráfica podemos establecer que: y max (t) 7., tp 0.01 segudos y que y(%) y SS 6. Co lo cual podemos establecer los siguietes calculos: UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 8 de 10

9 ( Mp) 100 Mp y ( t) max yss 1. Mp% 0% Mp% y SS ζ Mp% l Mp% l l l ζ tp 1 ζ tp 1 ζ ζ ζ co lo que G s queda como: Gs S K S Aplicado el teorema del valor fial puedo hallar el valor de K, ya que y(%) y SS 6. Ys Gs Ys Rs Gs Rs rt ut Rs S UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 9 de 10

10 Ys K ( + 3 S ) SS Teorema del valor fial S K lim yt lims Ys lim t S 0 S 0 SS y lim S 0 6 K K 3 K ( S + 3 S ) ( + 3 S ) K De maera tal que la fució de trasferecia queda de la siguiete forma: Gs S S UNET, Dpto. Electróica, Nuc. Ist. y Cotrol, Tito Gozález, zulaco64@gmail.com, 6 Abr 007. Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de 1er y do Orde. 10 de 10