x j x 1,,x n, j 1,,n La condición necesaria y suficiente es que el determinante Jacobiano de la transformación no se anule,

Transcripción

1 Mecánca Cambo de Coordenadas En coordenadas Cartesanas estamos acostumbrados a pensar a los vectores base como versores (vectores de norma 1 o untaros) drgdos a lo largo de los correspondentes ejes, en el sentdo en que la correspondente coordenada aumenta. La dea geométrca en coordenadas curvlíneas es la msma, en el sentdo que los vectores base son tangentes a las correspondentes curvas coordenadas; pero la untaredad de los vectores base no está garantzada. Supongamos que sean x, 1,,n, coordenadas Cartesanas usuales en R n, y sean x j, j 1,,n coordenadas en otro sstema arbtraro, que llamaremos coordenadas Curvlíneas. El cambo de coordenadas vendrá dado por relacones de la forma x x x 1,,x n, 1,,n que en general podrán no ser lneales estas relacones, pero debemos poder nvertr la transformacón para obtener x j x j x 1,,x n, j 1,,n La condcón necesara y sufcente es que el determnante Jacobano de la transformacón no se anule, J x1,,x n x 1,,x n x x j 0, en cuyo caso la transformacón es no sngular. J x 1 x 1 x... 1 x 1 x 2 x n x 2 x 2 x... 2 x 2 x 2 x n x n x 2 x n x... n x 2 x n Por ejemplo, sean x 1 y x 2 las coordenadas Cartesanas usuales en el plano, y sean x 1 y

2 x 2 coordenadas polares (en la notacón usual x 1 x, x 2 y, x 1 y x 2 ), observe que los suprandces no son potencas. Entonces x 1 x 1 cosx 2, x 2 x 1 senx 2 x 1 x 1 2 x 2 2, x 2 arctan x2 x 1 y el jacobano es el determonante de J. J x1,x 2 x 1,x 2 cosx 2 x 1 snx 2 snx 2 x 1 cosx 2 x 1 que solamente se anula para el caso x 1 0, es decr que el sstema de coordenadas polares es sngular en el orgen. Coordenadas Curvlneas Consderemos el desplazamento nfntesmal dr entre dos puntos nfntamente cercanos de R n. Como es un vector, debe ser ndependente del sstema de coordenadas, de modo n n que s lo desarrollamos en la base Cartesana e 1 y en la base Curvlínea e j, debe ser el msmo vector, es decr, supongamos r un vector cualquera y tomemos un dferencal: dr dx e dx j e j j1 Las relacones entre las componentes Cartesanas dx y las componentes Curvlíneas dx j puede obtenerse smplemente dferencando las componentes x como funcones de las componentes x j, lo que dá J dx x x j dx j y substtuyendo en el desarrollo de dr debemos tener x x e dx j e j j dx j como es para un dr arbtraro, debemos deducr que Los coefcentes x x1,...,x n x 1,...,x n x j x x j e e j pueden asumrse como elementos de una matrz Jacobana n n, J j cuyos elementos son

3 J j x x j y su determnante es el Jacobano J de la Transformacón. Por la regla de la cadena, k x x k x x j x j x k con k la delta de Kronecker. La matrz nversa de J es J 1 x 1,...,x n x 1,...,x n x j x por lo que dx j x j x dx Vemos así que s el cambo de base es efectuado por una matrz J, el cambo de componentes es efectuado por la matrz nversa J 1. Llamaremos covarantes a objetos que transforman como la base, y lo denotaremos utlzando subíndces. Llamaremos contravarantes a objetos que transformen de la manera opuesta, y lo denotaremos utlzando superíndces. Entre otras cosas esto garantza que, s contraemos índces entre un objeto covarante y uno contravarante, el objeto resultante será nvarante ante cambos de base, que es lo que esperamos de objetos a los que podamos asgnar un sgnfcado físco. Por ejemplo, en la transformacón de coordenadas Cartesanas a Polares en el plano, la matrz Jacobana es J x 1,x 2 x 1,x 2 cosx 2 x 1 snx 2 snx 2 x 1 cosx 2 cos sn sn cos y su nversa es J 1 x 1,x 2 x 1,x 2 cosx 2 1 snx 2 x 1 snx 2 1 cosx 2 x 1 cos sn 1 sn 1 cos por lo que

4 dx 1 dx 2 J dx 1 dx 2 es decr: dx 1 x1 x 1 dx1 x1 x 2 dx 2 cosx 2 dx 1 x 1 snx 2 dx 2 dx 2 x2 x 1 dx1 x2 x 2 dx 2 snx 2 dx 1 x cosx 2 dx 2 y en notacon usual dx cos d sn d dy sn d cos d Asmsmo e 1 x1 x 1 e 1 x2 x 1 e 2 cosx 2 e 1 snx 2 e 2 e 2 x1 x 2 e 1 x2 x 2 e 2 x 1 snx 2 e 1 x 1 cosx 2 e 2 o, lo usual e e cos e x sn e y sn e x cos e y Aquí se puede observar que los vectores base curvlíneos no son necesaramente untaros, s ben dx, dy y d tenen dmensones de longtud, d es admensonal; sn embargo e x dx, e y dy, e d y e d deben tener todos dmensones de longtud, por lo que e x, e y y e deben ser admensonales, pero e debe tener dmensones de longtud, como de hecho las tene. Geométrcamente es claro que s dejamos fjo ( d 0) y varamos en un d, el extremo de r descrbrá un arco de crcunferenca de longtud d, y en consecuenca debemos tener por lo tanto debemos tener como en efecto acabamos de ver. e d e d

5 Los versores e x, e y, e y e que estamos acostumbrados a usar pueden construrse, de ser necesaro, dvdendo los correspondentes vectores base por su norma y, de hecho, habtualmente asummos que e x e x y e y e y, con lo cual tambén e e ; pero entonces e 1 e y se deberá reescrbr dr d e d e Covaranza y contravaranza n Sea V un espaco vectoral, e 1 una base de V, y x x e V. Sea e n 1 otra base de V. Entonces, para cada e exste un conjunto de j 0, tal que e j e. j. Las componentes j de los vectores e en la base e son los elementos de una matríz de transformacón n n, que representa el cambo de base o transformacón de coordenadas. e n e S usamos las bases e y e como columnas de una matrz E y E, ambas n n, respectvamente, tendremos: E e 1 e 2... e n, y E e 1 1 e 2 n 1... e n podremos escrbr la transformacón en notacón matrcal E E Dado que los elementos de las bases son lnealmente ndependente, la matrz de transformacón es no sngular y por lo tanto tene nversa, esto es 1, de esta forma tendremos que E 1 E 1 E E 1 Ahora pensemos en un vector x con sentdo físco propo, por lo tanto deberá ser ndependente de la base que eljamos, esto será: x x. e x j. e j en donde utlzamos que: las componentes de los vectores les pondremos suprandce y

6 la convencón de la suma para ndces guales, es decr que x n e 1 x e. Reemplazando e j e. j e gualando nos queda x x. e x j. e. j dado que los componentes x y x son escalares, puedo reordenar, x x. e x j. j. e e gualando componenetes nos queda: x x j. j S aplcamos la transformacón nversa, tendremos x j 1 j. x S ahora, ordenamos las componentes de x y x j en matrces, podemos escrbrlo en notacón matrcal de la sguente forma: x 1 x comparando con E E, se observa que se transforman de manera opuesta. S pensamos que esta transformacón es una rotacón, podemos asumr que mentras las bases rotan en un sentdo, las componentes de los vectores rotan en sentdo contraro. Por ello, por convencón, todo objeto (vector, tensor), que ante cambo de base, se transforme como las componentes de la base se les llama covarante. En tanto que aquellos objetos que se transformen como las componentes se les llama contravarante. La notacón que hemos adoptado para los índces es consstente con esta dstncón: los subíndces corresponden a objetos covarantes, y los superíndces a objetos contravarantes. Aunque normalmente, se utlza subíndce para los elementos. Tensor Métrco Consderemos ahora el dferencal de arco ds defndo geométrcamente como ds dr En coordenadas Cartesanas lo escrbríamos ds dx dx n 2 dx dx ds 2 j.dx dx j

7 apelando a la norma Eucldana. Recordando la defncón del producto escalar en coordenadas Cartesanas, donde por defncón vemos que a b a.e b j.e j a.b j.e e j a.b j e e j e e j j ds 2 dr dr j Como ds tene claramente un sgnfcado físco (o geométrco) ndependente del sstema de coordenadas, deberíamos tener ds 2 dx e dx j e j dx k e k dx l e l Como a pror no sabemos qué debería ser e k e l, optamos por escrbr ds 2 x x k dx k e x j x l dx l e j x x k. xj x l dx k.dx l e e j x x. xj k x l dx k.dx l j x x. x k x l dx k.dx l J k.j l dx k.dx l donde usamos la defncón de la matrz Jacobana J j x x j Defnendo el Tensor Métrco g kl J k J l tenemos ds 2 j dx dx j g kl dx k dx l Vemos entonces que el dferencal de arco tene esencalmente la msma forma en coordenadas Cartesanas y Curvlíneas, sólo que en Cartesanas aparece la delta de Kronecker y en Curvlíneas el tensor métrco g kl. El tensor métrco, o métrca, debe su nombre justamente a que es el que defne cómo medr longtudes, y es fácl ver que es smétrco: g kl g lk, y que debe ser defndo postvo (de modo que ds 0 s y sólo s dr 0).

8 Tambén es covarante respecto de ambos índces, como ndca el hecho de que éstos son subíndces. S bén podemos calcularlo a partr de su defncón en térmnos de la matrz Jacobana, en la práctca es más rápdo expresar los dx Cartesanos en térmnos de los Curvlíneos, y sumar drectamente sus cuadrados. El tensor métrco, una vez construdo, tambén nos permte calcular el producto escalar de dos vectores cualesquera. Notemos prmero que ds 2 dx k e k dx l e l e k e l dx k dx l de donde e k e l g kl entonces a b a e b j e j g j a b j Podemos tomar esta expresón del producto nterno como completamente general, s defnmos que la métrca Cartesana es g j j Muchas veces resultará que las úncas componentes no nulas de la métrca serán las dagonales. Esos sstemas de coordenadas curvlíneas se llaman Coordenadas Ortogonales, ya que g j 0 s j e e j 0 s j En el caso de las coordenadas polares, tendremos ds 2 dx 2 dy 2 cos d sn d 2 sn d cos d 2 ds 2 d 2 d 2 de donde resulta que son ortogonales, con g j

9 Luego, s en polares a a.e a.e y b b.e b.e, entonces a b a.b 2.a.b Pero s se prefere poner a a e a e y b b e b e, entonces como s la base fuera Cartesana. a b a. b a. b Formas, espaco dual y gradente Recordemos que nuestros vectores pertenecen a un espaco vectoral V, que muchas veces asmlamos a R n. Una forma lneal es una aplcacón : V R donde R smbolza el cuerpo escalar, que puede no ser los reales, y que es lneal: a b a b R a,b V,, R Habtualmente aprovechamos la lnealdad para omtr los paréntess: a a. El conjunto de todas las formas lneales sobre V es tambén un espaco vectoral, de la msma dmensón y con el msmo cuerpo escalar, que denotamos por V y conocemos como el dual de V. La lnealdad hace que a a a R a V,, V,, R n S e 1 es una base de V, las formas j que verfquen j.e j forman una base de V, conocda como la base dual o cobase de e n 1. Igual que todo vector de V puede ponerse como combnacón lneal de elementos de la base, toda forma o covector de V puede ponerse como combnacón lneal de elementos de la cobase:

10 j. j Notemos que a j. j a.e j a j.e j a j a De todo lo anteror es fácl ver que las componentes j de una forma son covarantes, y que la cobase e j n j1 es contravarante. Ahora, la dferencal total de una funcón escalar f es otra cantdad que esperamos sea nvarante ante cambos de coordenadas, df f x dx df dx j dx j y como los dx son contravarantes vemos que los f deben ser covarantes, como x podemos confrmar drectamente usando la regla de la cadena: f df x dx j x j x Recordando que dr dx e V y que df R, vemos que f f x V forma que conocemos como el gradente de f, y que df f dr R Transformacón de V a V*y de V* a V con el tensor métrco Ya que el tensor métrco es real y smétrco, y defndo postvo, se sgue que vsto como matrz n n es dagonalzable y todos sus autovalores son postvos. En partcular g detg j 0 y por lo tanto podemos defnr g j g jk k. Como ds debe ser nvarante ante cambos de coordenadas, de ds 2 g j dx dx j y dado

11 que dx son las componentes de un vector contravarante, deducmos que g j es un tensor dos veces covarante. Defncón: Se llama tensor n veces covarante a cualquer aplcacón multlneal de la forma T : V n... veces V R. Ejemplo: El producto escalar usual en R m defne un tensor dos veces covarante. Tambén que g j es un tensor dos veces contravarante, y que g es un pseudoescalar de peso 2: g J 2 g. Consderemos dos vectores a a e y b b e de V, y escrbamos su producto nterno como a b g j b j a g j b j a Por otro lado consderemos una forma j j de V y aplquémosla a a a a. Comparando ambas expresones y recordando que ambos objetos son escalares (y por tanto nvarantes ante cambos de coordenadas), vemos que g j b j son contravarantes y se comportan exactamente como las componentes de una forma. Defnmos entonces b g j b j como las componentes del covector b V correspondente al vector b b e V. Análogamente, s conocemos b V podemos construr b b e V defnendo b g j b j. Vemos entonces que el tensor métrco permte construr un mapa entre V y V, y que por sus propedades este mapa será uno a uno, sobre e nvertble. En la jerga se dce que usamos la métrca para subr y bajar índces.