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2 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas INSTITUTO TECNOLÓGICO DE APIZACO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS ESTADÍSTICA ADMINISTRATIVA I (Lcecatura e admstracó) M. e C. JOSÉ LUIS HERNÁNDEZ GONZÁLEZ Estadístca Admstratva I pag. M. e C. José Lus Herádez Gozález

3 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas ESTADÍSTICA ADMINISTRATIVA I (Lcecatura e admstracó) OBJETIVO GENERAL DEL CURSO. Aalzará y aplcará coceptos y téccas de la probabldad y estadístca descrptva e ferecal e la solucó de problemas e áreas de su competeca. I Dstrbucoes de frecueca.. Coceptos de estadístca y su clasfcacó. Recoplacó de datos.3 Dstrbucó de frecueca.3. Hstogramas, polígoos de frecueca, ojvas.4 Meddas de tedeca cetral para u cojuto de datos y datos o agrupados.4. Meda, meda poderada.4. Medaa.4.3 Moda.4.4 Relacó etre meda, medaa y moda.5 Meddas de dspersó para u cojuto de datos y datos agrupados.5. Rago.5. Desvacó meda.5.3 Varaza.5.4 Desvacó estádar.6 Coefcete de varacó.7 Coefcete de asmetría de Pearso II Itroduccó a la probabldad y valor esperado. Itroduccó a la probabldad.. Defcó y epresó. Evetos mutuamete ecluyetes y o ecluyetes.3 Reglas de adcó.4 Evetos depedetes, depedetes, probabldad codcoal.5 Reglas de multplcacó.6 Dagrama de árbol.7 Combacoes y permutacoes.8 Aálss combatoro.9 Teorema de Bayes.0 Valor esperado o esperaza matemátca III Tpos de dstrbucoes varables aleatoras dscretas y cotuas 3. Bomal 3.. Propedades: meda, varaza y desvacó estádar 3.. Gráfca Estadístca Admstratva I pag. M. e C. José Lus Herádez Gozález

4 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas 3. Posso 3.. Propedades: meda, varaza y desvacó estádar 3.. Gráfca 3.3 Hpergeométrca 3.3. Propedades: meda, varaza y desvacó estádar 3.3. Gráfca 3.4 Normal 3.4. Propedades: meda, varaza y desvacó estádar 3.4. Gráfca 3.5 Apromacó de la ormal a la bomal 3.5. Propedades: meda, varaza y desvacó estádar 3.5. Gráfca IV Muestreo y estmacoes 4. Defcó de muestreo 4.. Tpos de muestreo aleatoro, sstematzado, estratfcado y coglomerados 4. Cocepto de dstrbucó de muestreo de la meda 4.. Dstrbucó muestral de la meda co σ coocda y descoocda 4.. Dstrbucó muestral de la µ-µ co σ coocda y descoocda 4..3 Dstrbucó muestral de la proporcó 4..4 Dstrbucó muestral p-p 4.3 Teorema del límte cetral 4.4 Tpos de estmacoes y característcas 4.5 Determacó del tamaño de la muestra de ua poblacó 4.6 Itervalos de cofaza para la meda, dstrbucó Normal y t 4.6. Determacó del tamaño de la muestra co grado de cofaza y estmacó µ 4.7 Itervalo de cofaza para la dfereca etre dos medas µ - µ co y σ σ coocdas, co el uso de la dstrbucó ormal y la t studet 4.8 Ua sola muestra: estmacó de la proporcó 4.9 Itervalo de cofaza para la dfereca de dos proporcoes V Cotrol estadístco de Proceso 5.. Itroduccó a la caldad total 5.. Cotrol estadístco 5.3. Tpos de varacó 5.4. Grafcas de cotrol 5.4..Gráfcas de cotrol para la meda del proceso: gráfca χ 5.4. Gráfcas de cotrol para la desvacó estádar del proceso: (S) Gráfcas de cotrol para el rago del proceso. Grafcas ( R ) Software estadístco Estadístca Admstratva I pag. 3 M. e C. José Lus Herádez Gozález

5 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas BIBLIOGRAFÍA (Temaro) ) Lev I. Rchard. Estadístca para admstradores Edtoral: Pretce-Hall. ) Medehall. Estadístca para admstradores. Edtoral: Grupo Edtoral Iberoamercaa. 3) Stephe P. Sha O. Estadístca para ecoomstas y admstracó de empresas. Edtoral: Harreu. H. 4) Kazmer. Estadístca para admstracó ecoomía y cecas socales. Edtoral: McGraw Hll 5) Spegel. Murray V. Estadístca. Edtoral: McGraw Hll 6) Wllam Medehall, D. Wackerly, L. Scheaffer. Estadístca matemátca e aplcacoes. Grupo Edtoral Iberoamercaa. Observacoes: 7) Keeth D. Hopks B.R. Hopks, V. Class. Estadístca básca para las cecas socales y del comportameto. Edtoral: Pretce-Hall. 8) Walphole. Probabldad y estadístca. Edtoral: McGrawHll. 9) Joh E. Freud A. Smo. Estadístca elemetal. Edtoral: Pretce-Hall. 0) George Caavos. Probabldad y estadístca, aplcacoes y métodos. Edtoral: McGrawHll () () Programas: Mathcad y SSPS. Estadístca Admstratva I pag. 4 M. e C. José Lus Herádez Gozález

6 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas BIBLIOGRAFÍA (Aputes) Estadístca I Napoleó Labastda López I.P.N. Lmusa Estadístca Iferecal y Ecoometría José Felpe Padlla Díaz I.P.N. Probabldad y Estadístca Walpole y Mer Mc Graw Hll Probabldad y Estadístca Problemas de Probabldad Hugo E. Borras García Rafael Irarte B. Facultad de Igeería UNAM LINKS Programa R (software lbre) Wplot y Wstat (software lbre) IMPORTANTE Etregar aputes completos al falzar el curso. (co aotacoes de la clase e las copas y fechas, 4 revsoes durate el semestre) Las tareas o trabajos de vestgacó se debe etregar como mapas coceptuales. (e hojas blacas, ombre, fecha y úmero de lsta, egrapado) Elaborar proyecto co algú software de la lsta. Etregar reporte de lecturas seleccoadas. Etregar 0 problemas resueltos por cada tema. Estadístca Admstratva I pag. 5 M. e C. José Lus Herádez Gozález

7 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas UNIDAD I RECOPILACIÓN DE LA INFORMACIÓN CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA Y SU CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA. Es la ceca que estuda los medos para dervar formacó válda a partr de u cojuto de datos. Es decr, estuda los mecasmos para la obtecó de datos así como su mapulacó y aálss. El estudo de la estadístca se ha cocretado prmordalmete e el aálss de datos y su aplcacó e la toma de decsoes, lo que ha permtdo dvdr a la estadístca e: Estadístca descrptva Ifereca estadístca (estadístca ductva o estadístca aalítca). ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Es el proceso que se relacoa co los métodos y/o téccas para la recoplacó, orgazacó y aálss de u cojuto de datos cuattatvos, co el objeto de descrbr e forma apropada las dversas característcas de dcho cojuto. INFERENCIA ESTADÍSTICA. Es la técca o metodología medate la cual es posble realzar la estmacó de las característcas de ua poblacó o realzar la toma de decsoes basados e resultados muestrales. DEFINICIONES POBLACIÓN. Es la totaldad de elemetos de u grupo dado que posee ua característca delmtada para el alcace de ua vestgacó. MUESTRA. Se deoma muestra a ua porcó de datos represetatvos de ua poblacó. PASOS PARA EFECTUAR UN ESTUDIO ESTADÍSTICO El uso de los métodos estadístcos es muy varado y se aplca geeralmete a dsttos campos como so los egocos, ecoomía, educacó, medca, geería, etc. Para lo cual el proceso para realzar u estudo estadístco está costtudo de las sguetes etapas:. Formulacó del problema. Para realzar el estudo de u problema es ecesaro delmtarlo y formularlo adecuadamete, defédolo de maera clara y precsa.. Dseño del epermeto. Esta etapa se basa prmordalmete e obteer u mámo de formacó empleado u mímo de costo y tempo. Estadístca Admstratva I pag. 6 M. e C. José Lus Herádez Gozález

8 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas 3. Recoplacó de datos. Los datos provee de observacoes reales o de documetos que se usa de maera cotdaa, es la parte que cosume mayor tempo la cual la podemos obteer de: a. Bacos de datos b. Etrevstas o cuestoaros c. Observacó drecta o medcoes epermetales 4. Orgazacó y descrpcó. Cosste e desglosar los datos e alguas propedades secllas, se cluye el problema de elaborar modelos matemátcos apropados de los datos. 5. Ifereca estadístca. Cosste e obteer coclusoes acerca de la poblacó muestreada que do lugar a los datos recoplados, es el prcpal objetvo de las vestgacoes estadístcas. 6. Iterpretacó y decsó. Cosste e la fase fal del estudo la cual determará s ua solucó es adecuada o o, depededo de los resultados obtedos. OBTENCIÓN DE DATOS Detro de u proceso de vestgacó ua de las actvdades que se realza es la recoplacó de datos, la cual es el acopo de formacó y se cluye desde elaborar fchas bblográfcas hasta la aplcacó de cuestoaros co el empleo de téccas de muestreo. Este ua gra varedad de téccas para realzar la vestgacó, que se deberá seleccoar de acuerdo a las ecesdades del problema, así como a dferetes factores como so el tempo, costo, tpo de actvdades a realzar, recursos humaos, etc. Las téccas de recoplacó de datos las podemos realzar co: Ivestgacó documetal Ivestgacó de campo LA INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL. Cosste e el estudo de documetos escrtos sobre u objeto determado, es decr so todos aquellos documetos regstrados e dferetes dspostvos físcos a los que podemos teer acceso e forma drecta o drecta para su cosulta y se puede clasfcar e:.- Documetal bblográfca 4.- Documetal audográfca.- Documetal hemerográfca 5.- Documetal vdeográfca 3.- Documetal escrta 6.- Documetal coográfca LA INVESTIGACIÓN DE CAMPO. Cosste e obteer formacó drecta medate dferetes actvdades por cotacto drecto co el hecho que se quere vestgar así como las persoas relacoadas y se puede realzar: a) Por observacó drecta b) Por terrogacó LA OBSERVACION. Es el procedmeto empírco básco, el cual cosste e realzar la percepcó tecoada de ua actvdad determada medate la epermetacó la cual cosste Estadístca Admstratva I pag. 7 M. e C. José Lus Herádez Gozález

9 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas e la obtecó de datos cuattatvos por medo de la medcó del feómeo que se este observado. Para realzar la observacó se utlza dversos strumetos aulares los cuales so:.- La fcha de campo 3.- La etrevsta.- Estudo de Actvdades 4.- La ecuesta realzadas co aterordad, bografías, etc. LA ENTREVISTA. Es ua de las téccas más comues y es cosderada como la relacó drecta etre el vestgador y el objeto de estudo a través de dvduos o grupos co el f de obteer testmoos reales. a) Etrevstas formales b) Etrevstas formales LA ENCUESTA. Cosste e recoplar formacó sobre ua parte e la poblacó, e dode la formacó recoplada puede emplearse para u aálss cuattatvo co el f de detfcar las magtudes del problema. a) U cuestoaro b) Ua cedula de etrevsta EL CUESTIONARIO. Es u efcaz aular e la observacó cetífca que cotee aspectos del feómeo esecales, las cuales so pregutas formuladas por escrto y o es ecesara la preseca del vestgador. - Cuestoaros por correo - Cuestoaro admstrado por el etrevstado - Cuestoaro admstrado por el etrevstador LA CEDULA. Tee carácter de aómo, dode el ecuestador es que llea la cedula de etrevsta, además de que es posble aclara la formacó sobre las pregutas y es utlzada cuado ua persoa tee u bajo vel cultural. Ivestgacó Documetal Campo Bblográfca Hemerográfca Escrta Audográfca Vdeográfca Icoográfca Dspostvo magétco Observacó drecta Por terrogacó Fcha de campo Actvdades aterores Etrevsta Ecuesta Formal Iformal Cuestoaro Cédula de etrevsta Estadístca Admstratva I pag. 8 M. e C. José Lus Herádez Gozález

10 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Orgazacó, presetacó y medcó de la formacó ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Meddas descrptvas. Es posble realzar ua terpretacó o aálss de los datos medate dferetes meddas descrptvas que os permte etraer y resumr las prcpales característcas de los datos. Las meddas descrptvas puede calcular a partr de ua muestra o de ua poblacó, además es ecesaro realzar ua tabla de frecuecas cuado los datos so demasados para poder grafcarlos e terpretarlos. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Dstrbucó de Frecueca: Es ua represetacó tabular e la cual se dspoe datos dvddos e grupos ordeados umércamete y que se deoma clases o categorías. Al costrur ua tabla de dstrbucó de frecuecas, debemos de: ) Se seleccoa el úmero adecuado de clases para la tabla. ) Se seleccoa u tervalo de clase o achura apropada. 3) Establecer los límtes de clase para evtar traslapes. La seleccó del úmero de clases depede de la catdad de datos s embargo, se propoe de etre 5 y 5. CÁLCULO DE NÚMEROS DE CLASES Para calcular el úmero de clases de ua tabla de frecuecas podemos usar las sguetes epresoes ó fórmulas: a) Raíz cuadrada b) Regla de Sturges c) Regla de Stockes k k log k l( ) l() + Estadístca Admstratva I pag. 9 M. e C. José Lus Herádez Gozález

11 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Cosdere los sguetes datos aleatoros: a) Raíz cuadrada k b) Regla de Sturges k log (35) l( ) c) Regla de Stockes k l() Rago 0 9 I recorrdo k S redodeamos a I 4 tedremos k 5 y s redodeamos a I 3, tedremos k 6, por smplcdad se toma e este ejemplo I 4 y k 5. Frecuecas Frecuecas frecuecas Marca de Clase Frecuecas Frecuecas acumuladas relatvas acumuladas clase relatvas l ls f f F a f r f a r 0.5 a meos de /35 5/ a meos de /35 / a meos de /35 9/ a meos de /35 7/ a meos de /35 35/ k Número de clases ls Límte Superor l Límte Iferor I Acho de clase Estadístca Admstratva I pag. 0 M. e C. José Lus Herádez Gozález

12 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas HISTOGRAMAS Hstograma de Frecuecas: Está formado por u cojuto de barras rectagulares, levatadas sobre el eje de las abscsas (), cuyas áreas so proporcoales a las frecuecas, la altura de cada barra represeta a la frecueca. frecuecas marca de clase Polígoos de frecueca: Es u dagrama de líea que usa los msmos ejes y escala del hstograma, formado u polígoo. 0 frecuecas marca de clase 0 frecuecas marca de clase Estadístca Admstratva I pag. M. e C. José Lus Herádez Gozález

13 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Dagramas acumulatvos (ojvas): E ocasoes se desea mostrar la dstrbucó de datos, e forma acumulada. Las frecuecas acumuladas se puede formar sobre ua base meor que ó mayor que y se obtee sumado e orde ascedete o descedete las frecuecas. frecuecas acumuladas límtes frecuecas acumuladas límtes Efecto de la catdad de datos e u hstograma. Estadístca Admstratva I pag. M. e C. José Lus Herádez Gozález

14 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE POSICIÓN La mayoría de los datos se muestra la tedeca de agruparse alrededor de u puto cetral y es posble elegr u valor promedo que descrba al cojuto. Las más usuales so: la Meda Artmétca, la Medaa, Moda y el Rago Medo. Meda artmétca muestra + + K + poblacó µ N N Medaa + M d poscó Nota: Es mportate ordear los datos de mayor a meor o de meor a mayor. Moda (Mo) Es aquel valor co mayor frecueca. Rago medo R m mayor + meor Meda geométrca Mg Π K Estadístca Admstratva I pag. 3 M. e C. José Lus Herádez Gozález

15 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Estadístca Admstratva I pag. 4 M. e C. José Lus Herádez Gozález utlzado logartmos log log log 0 log 0 M g K Meda armóca (M-) M K Meda cuadrátca (Mc) M c K Meda artmétca poderada w w w w w w w K K Cuartles (Q) poscó Q 4 + Decles (D) poscó D 0 + Percetles (P) poscó P

16 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas MEDIDAS DE DISPERSIÓN Es ua propedad que descrbe a u cojuto de datos e relacó al grado de varacó o dsemacó de los msmos las meddas mas usuales so el rago, la desvacó meda, la varaza y la desvacó Estádar. Rago (recorrdo, ampltud, osclacó) R mayor meor Desvacó meda (D. M.) D. M. + + K + Varaza muestra s ( ) ( ) + ( ) + K+ ( ) poblacó N ( µ ) σ N Desvacó estádar muestra s s ( ) poblacó σ σ N ( µ ) N Coefcete de varacó Coefcete de asmetría cv 3( M ca s s d ) σ cv µ 3( µ M ca σ d ) Estadístca Admstratva I pag. 5 M. e C. José Lus Herádez Gozález

17 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Ejemplo: Cosdere el sguete cojuto de calfcacoes obtedas de ua muestra de 8 alumos del grupo. 80, 78, 60, 33, 80, 90, 80, M d 4. 5 poscó Md poscó Mo 80 R m (8)() Q poscó R MEDIDAS DE DISPERSIÓN s ( ) + ( ) 8 + K + ( ) s cv ca 3( ) Estadístca Admstratva I pag. 6 M. e C. José Lus Herádez Gozález

18 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas DATOS AGRUPADOS Cuado el cojuto de datos es muy grade lo podemos orgazar e ua tabla de frecuecas y después calcular sus meddas como datos agrupados. Meda Medaa Moda Cuartles Decles Percetles Varaza f f M d M o Q fa a l + I f l + I + fa l + 4 f fa D l 0 + f fa P l 00 + f σ k ( µ ) k f a a a I I I f Número de datos l Límte feror f Frecueca Valor Medo o marca de clase Dfereca etre la mayor frecueca y la frecueca ateror Dfereca etre la mayor frecueca y la frecueca que le sgue I Acho de la clase ó tervalo fa a Frecueca acumulada ateror Ejemplo: Calcular e la tabla de frecuecas ateror la meda artmétca, medaa, moda, desvacó estádar y comparar como datos o agrupados. Estadístca Admstratva I pag. 7 M. e C. José Lus Herádez Gozález

19 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Meda l ls f f a f (-µ) f 0.5 a meos de a meos de a meos de a meos de a meos de µ Medaa 35 Buscar e las frecuecas acumuladas el valor de 7. 5 e las frecuecas acumuladas, como o aparece tómese el regló co la frecueca mayor a 7.5 que correspode a la clase de 8.5 a meos de.5. susttur l ls f f a 0.5 a meos de a meos de a meos de a meos de a meos de l 8.5 fa a f 7 I 4 M d Moda Tomar la mayor frecueca, cosderar el valor de 8 e la clase de.5 a meos de 6.8. l.5 0 I 4 M o Estadístca Admstratva I pag. 8 M. e C. José Lus Herádez Gozález

20 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Varaza σ Desvacó estádar σ Comparatva de la meda artmétca y la desvacó estádar µ.34 (o agrupados).30 (agrupados) σ 5.79 (o agrupados) 5.47 (agrupados) Asmetría. Es ua medda del grado de dstorsó respecto a la smetría que preseta ua dstrbucó de frecuecas. Cuado ua dstrbucó es perfectamete smétrca los valores de la meda, la medaa y de moda so guales. Smétrca Asmetría postva (a la derecha) Asmetría egatva (a la zquerda) Curtóss. Mde el grado de aputameto de la dstrbucó. La curva ormal se toma como refereca para medr la curtóss. S ua curva es meos aputada que la ormal se dce que es platcúrtca y ua curva más aputalada que la ormal se llama leptocúrtca. El termo mesocúrtca es utlzado para descrbr a la curva ormal. Mesocúrtca Leptocúrtca Platcúrtca Estadístca Admstratva I pag. 9 M. e C. José Lus Herádez Gozález

21 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas UNIDAD II INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS El térmo cojuto juega u papel fudametal e el desarrollo de las matemátcas moderas; Además de proporcoar las bases para compreder co mayor clardad alguos aspectos de la teoría de la probabldad. Su orge se debe al matemátco alemá George Cator (845 98). Podemos defr de maera tutva a u cojuto, como ua coleccó o lstado de objetos co característcas be defdas que lo hace perteecer a u grupo determado. Para que esta u cojuto debe basarse e lo sguete: La coleccó de elemetos debe estar be defda. Ngú elemeto del cojuto se debe cotar más de ua vez, geeralmete, estos elemetos debe ser dferetes, s uo de ellos se repte se cotará sólo ua vez. El orde e que se eumera los elemetos que carece de mportaca. NOTACIÓN A los cojutos se les represeta co letras mayúsculas A, B, C,... y a los elemetos co letras músculas a, b, c,..., por ejemplo, el cojuto A cuyos elemetos so los úmeros e el lazameto de u dado. A {,, 3, 4, 5, 6 } E base a la catdad de elemetos que tega u cojuto, estos se puede clasfcar e cojutos ftos e ftos. FINITOS: Tee u úmero coocdo de elemetos, es decr, se ecuetra determados por su logtud o catdad. El cojuto de días de la semaa INFINITOS: So aquellos e los cuales o podemos determar su logtud. El cojuto de los úmeros reales Este dos formas comues de epresar u cojuto y la seleccó de ua forma partcular de epresó depede de la coveeca y de certas crcustacas sedo: Estadístca Admstratva I pag. 0 M. e C. José Lus Herádez Gozález

22 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas EXTENSIÓN: Cuado se descrbe a cada uo de los elemetos. A {a, e,, o, u} COMPRENSIÓN: Cuado se euca las propedades que debe teer sus elemetos. A { es ua vocal} Para descrbr s u elemeto perteece o o a u cojuto, se utlza el símbolo de perteeca o es elemeto de, co el símbolo, e caso cotraro. A {,, 3} A; 5 A TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que o tee elemetos y se smbolza por o { }. A { + 0 R} El cojuto A, es u cojuto vacío por que o hay gú úmero real que satsfaga a + 0 CONJUNTO UNIVERSAL: Es el cojuto de todos los elemetos cosderados e ua poblacó o uverso, e u problema e especal. No es úco, depede de la stuacó, deotado por U o Ω. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS Cosderado el cojuto A y el cojuto B, s ambos tee los msmos elemetos, es decr, s cada elemeto que perteece a A també perteece a B y s cada elemeto que perteece a B perteece també a A. A B SUBCONJUNTO S todo elemeto de u cojuto A es també elemeto de u cojuto B, etoces se dce que A es u subcojuto de B. Represetado por el símbolo. A B o B A SUBCONJUNTOS PROPIOS Se dce que es u subcojuto propo de A sí todos los elemetos de u cojuto B se ecuetra cludos e él A, deotado por. A B o B A Estadístca Admstratva I pag. M. e C. José Lus Herádez Gozález

23 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas CONJUNTO POTENCIA La famla de todos los subcojutos de u cojuto se llama cojuto poteca. S u cojuto es fto co elemetos, etoces el cojuto poteca tedrá subcojutos. A {, } El total de subcojutos es: 4 {,}, {}, {}, { } CONJUNTOS DISJUNTOS So aquellos que o tee elemetos e comú, es decr, cuado o este elemetos que perteezca a ambos. F {,, 3, 4, 5, 6} G {a, b, c, d, e, f} PARTICIÓN Cuado u cojuto es dvddo e subcojutos mutuamete ecluyetes y ehaustvos, se le deoma partcó. OPERACIONES DE CONJUNTOS Uó. Iterseccó. Dfereca. Complemeto. Producto cartesao. UNIÓN DE CONJUNTOS. Sea A y B dos subcojutos cualesquera del cojuto uversal. La uó de A y B, epresada por A B, es el cojuto de todos los elemetos que perteece a A o perteece a B. A B { A o B} INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Sea A y B dos cojutos cualesquera del cojuto uversal. La terseccó de A y B, epresada por A B, es el cojuto de todos los elemetos que perteece a A y a B smultáeamete, es decr: A B { A y B} Estadístca Admstratva I pag. M. e C. José Lus Herádez Gozález

24 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sea A y B dos cojutos cualesquera del cojuto uversal. La dfereca o complemeto relatvo de B co respecto a A, es el cojuto de los elemetos que perteece a A, pero o perteece a B. Nota: A - B B - A A - B { A, B} COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO. Sea A u subcojuto cualesquera del cojuto uversal. El complemeto de A es el cojuto de elemetos que perteecedo al uverso y o perteece al cojuto A, deotado por A o A c. Nota: A U - A A { U, A} PRODUCTO CARTESIANO. Sea A y B dos cojutos, el cojuto producto o producto cartesao epresado por A B está formado por las parejas ordeadas (a, b) dode a A y b B. A B {(a, b) a A y b B} LEYES DE CONJUNTOS DE IDEMPOTENCIA A A A A A A ASOCIATIVA (A B) C A (B C ) (A B) C A (B C) DE INVOLUCIÓN (A ) A DE COMPLEMENTO A A U A A U U CONMUTATIVA A B B A A B B A D MORGAN (A B) A B (A B) A B DISTRIBUTIVA A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) DE IDENTIDAD A U U A A A U A A PRINCIPIO DE CONTEO (A B) (A) + (B) A B (A B) (A) + (B) - (A B) A B Estadístca Admstratva I pag. 3 M. e C. José Lus Herádez Gozález

25 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas DIAGRAMAS DE VENN U dagrama de Ve es ua represetacó pctórca de cojutos e el plao. El cojuto uversal U se represeta por u rectágulo, cualquer otro cojuto se represeta co u círculo. Ua operacó se represeta medate el sombreado de los elemetos del cojuto. S A B A B EVENTOS EXPERIMENTO ESTADÍSTICO: Es el proceso medate el cual se geera u cojuto de datos y puede ser determístco o aleatoro. ESPACIO MUESTRAL: So todos los posbles resultados que se obtee de u epermeto deotado por S o Ω. S {,, 3, 4, 5, 6} EVENTO SIMPLE: So los evetos costtudos por u sólo elemeto. A {4} EVENTO COMPUESTO: Es cualquer eveto que se puede descompoer e dos o más evetos smples. B {, 4, 6} EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Llamados també dsjutos, o puede ocurrr smultáeamete, es decr, la ocurreca de ellos ecluye la ocurreca de los otros. A B EVENTOS INDEPENDIENTES: Cuado la ocurreca o o ocurreca de u eveto o afecte la ocurreca de otro eveto. EVENTOS DEPENDIENTES: S los evetos A y B está relacoados de tal modo que la ocurreca de B depede de la ocurreca de A, etoces A y B so depedetes. Estadístca Admstratva I pag. 4 M. e C. José Lus Herádez Gozález

26 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas TÉCNICAS DE CONTEO Para determar el espaco muestral o el tamaño del espaco muestral, es ecesaro desarrollar alguas téccas de eumeracó las cuales so: El Dagrama de Árbol Aálss Combatoro. DIAGRAMAS DE ÁRBOL Los dagramas de árbol so ordeacoes empleadas para eumerar todas las posbldades lógcas de ua secueca de evetos, dode cada eveto puede ocurrr e u úmero fto. Proporcoa u método sstemátco de eumeracó objetva de los resultados. Raíz Ramas A cotuacó, se preseta u Dagrama de Árbol, referete a las respuestas que se puede dar a tres pregutas de Verdadero o Falso. Teemos dos opcoes posbles para cada preguta, V o F el árbol preseta dos ramas e cada preguta. ) La teoría de cojutos fue desarrollada por G. Cator. a) V b) F ) G. Cator es de orge fracés. a ) V b) F 3) La teoría de cojutos srve para smplfcar la Estadístca. ) V F a) V b) F 3) V V F F V F Estadístca Admstratva I pag. 5 M. e C. José Lus Herádez Gozález V F V F V F

27 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Las dferetes formas e que se puede cotestar so ocho y forma el espaco muestral. S {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF} Se tee e u estate 3 lbros uo de Álgebra, otro de Cotabldad y otro de Bología. De cuátas formas dsttas se puede ordear los lbros? A B C C B A C A B B C C A B A {ACB, ABC, BCA, BAC, CAB, CBA} Álgebra Cotabldad Bología Cotabldad Bología Álgebra Bología Cotabldad Álgebra Álgebra Bología Cotabldad Bología Álgebra Cotabldad Cotabldad Álgebra Bología ANÁLISIS COMBINATORIO Los dagramas de árbol muestra objetvamete el úmero de resultados posbles e que se puede dspoer de la ordeacó de u cojuto de elemetos, pero esta eumeracó es lmtada, pues a medda que aumeta el úmero de objetos dcha ordeacó se complca, por lo que hay que utlzar otro procedmeto más secllo para determar el úmero total de resultados. Co este f, os Estadístca Admstratva I pag. 6 M. e C. José Lus Herádez Gozález

28 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas apoyaremos e los coceptos permutacoes y combacoes, los cuales tee como base el prcpo fudametal del coteo. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO S u eveto A puede ocurrr de maeras, y ua vez que este ha ocurrdo, otro eveto B puede ocurrr de maeras dferetes, etoces el úmero total de formas dferetes e que ambos evetos puede ocurrr e el orde dcado, es gual a. De cuátas maeras puede repartrse 3 premos a u cojuto de 0 persoas, supoedo que cada persoa o puede obteer más de u premo? Aplcado el prcpo fudametal del coteo, teemos 0 persoas que puede recbr el prmer premo. Ua vez que éste ha sdo etregado, resta 9 persoas para recbr el segudo, y posterormete quedará 8 persoas para el tercer premo. De ahí que el úmero de maeras dsttas de repartr los tres premos Cuátas placas de automóvl se puede hacer utlzado dos letras segudas de tres cfras? No se admte repetcoes El símbolo! se lee factoral y es el producto resultate de todos los eteros postvos de a ; es decr, sea u úmero etero postvo, el producto (-) (-)...3 se llama factoral de.! ( - ) ( - )...3 5! Por defcó 0! PERMUTACIONES Ua permutacó de u cojuto de elemetos, es u ordeameto específco de todos o alguos elemetos del cojuto, faclta el recueto de las ordeacoes dferetes que puede hacerse co los elemetos del cojuto. Nota: E ua permutacó el orde e que se dspoe los elemetos del cojuto es mportate. PERMUTACIONES DE ELEMENTOS Por el prcpo fudametal del coteo podemos eucar que el úmero de permutacoes de objetos dsttos tomados de e, es: P! Estadístca Admstratva I pag. 7 M. e C. José Lus Herádez Gozález

29 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Se quere coocer el cojuto de todas las dsposcoes posbles de tres persoas colocadas e hlera para tomar ua fotografía. 3P 3 3! 6 Cco persoas desea ombrar u Comté Drectvo compuesto de u presdete, u vcepresdete, u secretaro, u tesorero y u vocal. Cuátas maeras hay de costtur el comté? 5P 5 5! 0 Hay ses baderas de dsttos colores. Cuátas señales dferetes se puede evar usado las ses baderas al msmo tempo? 6P 6 6! 70 PERMUTACIONES DE ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS. Podemos calcular el úmero de permutacoes P r, de elemetos, tomados e grupos o subcojutos de r elemetos. P r! ( r)! S de u estate tomamos de 3 lbros Cuátas permutacoes puede realzarse? 3! 3 P 3! (3 )! 6 Cuátas teras puede formarse co las 6 letras del alfabeto, s cada letra sólo puede utlzarse ua sola vez? 6! 6! 6 P (6 3)! 3! Estadístca Admstratva I pag. 8 M. e C. José Lus Herádez Gozález

30 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Cco persoas etra a ua sala e la que hay 8 sllas. De cuátas maeras dferetes puede ocupar las sllas? 8! 8! 8 P (8 5)! 3! PERMUTACIONES DONDE NO TODOS LOS ELEMENTOS SON DIFERENTES. S los elemetos de u cojuto o so todos dferetes etre sí, es decr, alguos de los elemetos so détcos, la fórmula de las permutacoes preseta u uevo aspecto. El úmero de permutacoes que se puede formar e el caso de elemetos, cuado hay elemetos détcos, elemetos de otro tpo détcos, etcétera, es: P,,..., k!!!... k! Cuátas palabras dferetes de cuatro letras puede formarse co las letras LULU? 4!!! 4 4 P, 4 6 S {LLUU, LULU, UULL, ULUL, LUUL, ULLU} Cuátas palabras de oce letras puede formarse co la palabra Msssspp?.! P 4, 4,, 4! 4!!! Cuátos mesajes puede evarse co dez baderas utlzádolas todas, s so cuatro egras, tres verdes y tres rojas? 0 0 P 4, 3, ! 3!3! PERMUTACIONES CIRCULARES Cuado los elemetos se ecuetra dspuestos e forma crcular teemos: Pc ( )! De cuátas maeras podemos ordear 5 llaves e u llavero? 5 Pc (5 )! 4! 4 Estadístca Admstratva I pag. 9 M. e C. José Lus Herádez Gozález

31 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas COMBINACIONES Ya sabemos que e ua permutacó el orde de los elemetos es mportate, pero cuado el orde de colocacó carece de mportaca, a la dsposcó de dchos elemetos se le deoma combacó. Por lo tato, ua combacó es u subcojuto o ua dsposcó de todos los elemetos de u cojuto, s teer e cueta el orde de ellos. El úmero de combacoes o subcojutos o ordeados, cada uo formado por r elemetos, que puede obteerse de u cojuto de elemeto es:! ( r)! r! C r o r! ( r)! r! S de u estate tomamos de 3 lbros, Cuátas combacoes puede realzarse? 3! 3! (3 )!!!! 3 C 6 3 Por lo tato, el resultado se reduce a 3 posbles formas ya que e ua combacó el orde de los elemetos o es mportate. Se tee cco obreros para u trabajo especal que requere de tres de ellos. De cuátas maeras dferetes se puede seleccoar u equpo de tres? 5! (5 3)!3! 5! 0!3! 5 C 3 De u club de 0 socos, se va a seleccoar 3 para formar la mesa drectva. De cuátas formas puede costturse? 0! 0! (0 3)!3! 7!3! C Estadístca Admstratva I pag. 30 M. e C. José Lus Herádez Gozález

32 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Es coveete observar que: C r C r Así: 00 C C C FÓRMULA DEL BINOMIO r r ( a + b) a b r 0 r AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD. DEFINICIONES DE LA PROBABILIDAD. La palabra probabldad se utlza para cuatfcar uestra creeca de que ocurra u acotecmeto determado. Este tres formas de estmar probabldades: el efoque clásco, el cual se aplca cuado todos los resultados posbles que se cosdera gualmete probables; el de frecuecas relatvas o probabldad empírca, se refere a la estmacó co base e u gra úmero de epermetos repetdos e las msmas codcoes. El efoque subjetvo basado e stuacoes especales, e las cuales o es posble repetr el epermeto y sólo usa u grado de cofaza persoal. PROBABILIDAD CLÁSICA O DE LAPLACE (fes del sglo XVI). Bajo este cocepto defremos la probabldad de obteer u determado resultado A, e u epermeto aleatoro como la relacó por cocete, etre el úmero de casos favorables a su ocurreca, y el úmero de casos posbles. S represetamos la probabldad de ocurreca del eveto A, por P(A), se tedrá: P ( A) Casos favorables al eveto Casos posbles A Esta es la defcó clásca o apror (ates de), es de aplcacó fácl, pues o se ecesta de gú epermeto para su cálculo, so úcamete el coocmeto de las codcoes e que se realza el epermeto. Se supoe que todos los resultados posbles so coocdos, y que todos tee la msma probabldad de ocurrr. S ua ura cotee 0 esferas blacas, 5 azules y 5 rojas, la probabldad de etraer al azar ua esfera blaca, es: 0 P ( B) 30 3 Estadístca Admstratva I pag. 3 M. e C. José Lus Herádez Gozález

33 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Esta probabldad se basa e razoametos abstractos y o depede de la epereca, lo cual permte estmar probabldades s realzar ua gra catdad de epermetos. PROBABILIDAD FRECUENTISTA O DE VON MISES (frecuecas relatvas 957) La probabldad epermetal de que ocurra u eveto es la frecueca relatva observada co que ocurre ese eveto. S u epermeto se realza veces, bajo las msmas codcoes y s ocurre (A) resultados favorables al eveto A, el valor estmado de la probabldad de que ocurra A como resultado de la epermetacó, puede determarse de la maera sguete: P( A) ( A) Dode (A) es el úmero de veces que se observó realmete el eveto A, y es el úmero de veces que se efectuó el epermeto. La probabldad estmada, obteda e esta forma, se deoma probabldad epermetal. A medda que aumeta el úmero de esayos o epermetos, la probabldad estmada de que ocurra u eveto, que se obtee a través de la frecueca relatva, se va acercado al valor apror. Por medo del efoque de frecuecas relatvas, la probabldad se determa sobre la base de la proporcó de veces que ocurre u resultado favorable, e u úmero de observacoes o epermetos. No hay supuesto prevo de guales probabldades. De 70 alumos que se scrbero al curso de probabldad y estadístca e el semestre ateror. 5 o lo termaro, 0 obtuvero ua calfcacó de NA y el resto lo aprobaro, Cuál es la probabldad de que u alumo acredte la matera? 35 P ( A) 70 PROBABILIDAD SUBJETIVA (969) La probabldad estmada medate los efoques cláscos y epermetal, so completamete objetvos, ya que se determa co base e hechos reales. E cambo, e alguos casos se preseta stuacoes e las cuales o es posble realzar epermetos repettvos y los resultados tampoco so gualmete probables. E estas codcoes, la probabldad de ocurreca de u eveto debe evaluarse e forma subjetva. Tales aprecacoes suele ser de crtero persoal, y por lo tato, dos persoas puede cuatfcar e forma dferete, la probabldad subjetva del msmo eveto. Podemos etoces cosderar la probabldad subjetva como la evaluacó persoal de la ocurreca de u eveto certo, que se hace co base e crteros o eperecas sobre casos semejates. AXIOMAS DE PROBABILIDAD Los aomas de la formulacó modera de la teoría de la probabldad costtuye ua base para deducr a partr de ellas u amplo úmero de resultados. Estadístca Admstratva I pag. 3 M. e C. José Lus Herádez Gozález

34 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas La letra P se utlza para desgar la probabldad de u eveto, sedo P(A) la probabldad de ocurreca de u eveto A e u epermeto. AXIOMA S A es u eveto de S, etoces la probabldad del eveto A es: 0 P ( A) Como o podemos obteer meos de cero étos más de étos e epermetos, la probabldad de cualquer eveto A, se represeta medate u valor que puede varar de 0 a. AXIOMA S dos evetos so mutuamete ecluyetes, la probabldad de obteer A o B es gual a la probabldad de obteer A más la probabldad de obteer B. P(A B) P(A) + P(B) Eclurse mutuamete quere decr que A y B o puede ocurrr smultáeamete e el msmo epermeto. Así, la probabldad de obteer águla o sol e la msma trada de ua moeda será P(A B) P(A) + P(B) P(A B) / + /. E geeral podemos decr que la suma de las probabldades de todos los posbles evetos mutuamete ecluyetes es gual a : P(A ) + P(A ) + P(A 3 ) P(A ) AXIOMA 3 S A es u eveto cualquera de u epermeto aleatoro y A es el complemeto de A, etoces: P(A ) - P(A) Es decr, la probabldad de que el eveto A o ocurra, es gual a meos la probabldad de que ocurra. TEOREMAS DE LA SUMA DE PROBABILIDADES Supoedo que P(A) y P(B) represeta las probabldades para los dos evetos A y B, etoces P(A B) sgfca la probabldad de que ocurra A o B. S represetamos los evetos A y B e u Dagrama de Ve co A B Estadístca Admstratva I pag. 33 M. e C. José Lus Herádez Gozález

35 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas S A B A B Etoces A y B so cojutos dsjutos o mutuamete ecluyetes, o sea que o puede ocurrr e forma smultáea P(A B) P(A) + P(B) E cambo, s ambos evetos tee putos muestrales e comú A B S A B A B P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabldad codcoal se smbolza P(B/A), que se lee probabldad de B, dado A, o la probabldad de que ocurra B, codcoado a que haya ocurrdo A. Se dce que dos o más evetos so depedetes etre sí cuado la probabldad de que ocurra uo o es fluda por la ocurreca de otro. S A y B represeta dos evetos y s la ocurreca de A o afecta a la ocurreca de B, y la ocurreca de B o afecta a la ocurreca de A, etoces se dce que A y B so Idepedetes. E este caso, la probabldad de que ocurra A y B es gual al producto de sus respectvas probabldades, y se epresa así: P(A B) P(A) P(B) E ua caja hay 5 esferas blacas, 4 rojas y 3 egras. Se etrae ua esfera, se observa su color y se regresa a la caja. Bajo estas codcoes, Cuál es la probabldad de que al etraer 3 esferas, éstas sea de color rojo? P ( R R R3) 78 7 Estadístca Admstratva I pag. 34 M. e C. José Lus Herádez Gozález

36 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas S dos evetos A y B o so depedetes, es decr, s A y B so depedetes, la probabldad compuesta de A y B o es gual al producto de sus probabldades respectvas. Por lo cual, podemos decr, que para evetos depedetes: Es decr: o P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B / A) P(B A) P(B) P(A / B) E ua caja hay 5 esferas blacas, 4 rojas y 3 egras. S se etrae al azar 3 esferas e forma cosecutva, s reemplazo, Cuál es la probabldad de que las 3 sea de color rojo? Sea R el eveto etraer ua esfera roja. P(R R R 3 ) P(R ) P(R / R ) P(R 3 / R R ) De la epresó P(A B) P(A)P(B/A) despejamos P(B/A) y se obtee la probabldad codcoal de "B dado A". P( A B) P( B / A) P( A) E forma aáloga, la probabldad codcoal de "A dado B", es : P( A / B) P( B A) P( B) Ua caja cotee 00 focos, 50 azules y 50 rojos; de los cuales, 0 so defectuosos: 6 azules y 4 rojos. Cuál es la probabldad de que u foco elegdo al azar, sea defectuoso (eveto D)? 0 P ( D) S seleccoamos u foco al azar y se observa que éste es azul (eveto A), Cuál es la probabldad de que el foco sea defectuoso, dado que es azul? Escrbremos P(D/A), para represetar la probabldad del eveto D, dado A. Etoces, puesto que hay 50 focos azules y de éstos, 6 so defectuosos 6 P ( D / A) Estadístca Admstratva I pag. 35 M. e C. José Lus Herádez Gozález

37 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas TEOREMA DE BAYES El procedmeto que se utlza para ecotrar probabldades posterores, a partr de probabldades prevas, se llama regla Bayesaa. Las probabldades apror o prevas se cooce ates de obteer formacó algua del epermeto e cuestó. Las probabldades aposteror se determa después de coocer los resultados del epermeto. El teorema de Bayes cosste e u método para ecotrar la probabldad de ua causa específca cuado se observa u efecto partcular. Esto es, s el eveto B ha ocurrdo, Cuál es la probabldad de que fue geerado por el eveto A (que es ua causa posble ) o por el A (otra causa posble)? S supoemos que los evetos A, A, A 3,..., A, forma ua partcó de u espaco muestral S; esto es, que los evetos A so mutuamete ecluyetes y su uó es S. Ahora, sea B otro eveto, etoces : A B A A A 3 A 4 B S B (A A A 3... A ) B Dode A B so evetos mutuamete ecluyetes. E cosecueca: P(B) P(A B) + P(A B) + P(A 3 B) P(A B) Luego por la regla de multplcacó: P(B) P(A ) P(B/A ) + P(A ) P(B/A ) + P(A 3 ) P(B/A 3 )... P(A ) P(B/A ) S A, A, A 3,..., A es ua partcó de S, y B es cualquer eveto. Etoces para cualquer, P( A / B) P( A )P( B/ A ) + P( A P( A ) P( B/ A ) ) P( B/ A ) P( A ) P( B / A ) Es decr: P( A / B) P( A) P( B/ A ) P( A )P( B/ A ) Estadístca Admstratva I pag. 36 M. e C. José Lus Herádez Gozález

38 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas La epresó ateror puede terpretarse de la maera sguete: S u eveto puede ocurrr e más de ua forma, etoces la probabldad de que ocurra e ua forma partcular será gual a la razó de la probabldad de que se presete la forma respecto a la probabldad de que ocurra. Se tee dos cajas. La caja I cotee 3 esferas rojas y azules, e tato que la caja II cotee esferas rojas y 8 azules. Se arroja ua moeda. S se obtee águla se saca ua esfera de la caja I; s se obtee sol se saca ua esfera de la caja II. R dca el eveto sacar ua esfera roja metras que I y II dca los evetos escoger caja I y caja II, respectvamete. Ua esfera roja puede resultar al escoger cualquera de las cajas. a) Hallar la probabldad de sacar ua esfera roja. P ( R) P( I) P( R / I) + P( II) P( R / II) 3 P ( R) b) Hallar la probabldad de que se escogera la caja I, dado que la esfera es R, (es decr que el resultado de arrojar la moeda sea águla). La persoa que arrojó la moeda o da a coocer s resultó águla o sol (de tal maera que la caja de la cual se sacó la esfera se descooce) pero dca que se etrajo ua esfera roja. Buscamos la probabldad de que se escoja la caja I y se sabe que se sacó ua esfera roja. Empleado el teorema de Bayes, esta probabldad está dada por: P( I / R) P( I) P( R / I) P( I) P( R / I) + P( II) P( R / II) 3 5 P ( I / R) E u Isttuto Superor, el 5 por ceto de los hombres y el 0 por ceto de las mujeres estuda Bología. Las mujeres costtuye el 60 por ceto del estudatado. S se seleccoa e forma aleatora u estudate y resulta que está cursado Bología, determar la probabldad de que sea mujer. P(H) 0.40; P(M) 0.60; P(B/H) 0.5; P(B/M) 0.0 (0.6)(0.) P ( M / B) (9.4)(0.5) + (0.6)(0.) Estadístca Admstratva I pag. 37 M. e C. José Lus Herádez Gozález

39 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Factoral!(-)(-) (3)()() Permutacoes de elemetos P Permutacoes de elemetos e dferetes grupos de r elemetos. P r!! ( r)! Permutacoes dode o todos los elemetos so dferetes. P,,..., k!!!... k! FORMULARIO Casos favorables al eveto A P ( A) Casos posbles P( A) Aomas ( A) 0 P ( A) P(A ) + P(A ) + P(A 3 ) P(A ) P(A ) - P(A) Teoremas de la suma de probabldades. Sí A B Sí A B P(A B) P(A) + P(B) Permutacoes crculares Combacoes Pc C r ( )!! ( r)! r! Fórmula bomal r r ( a + b) a b r 0 r Probabldad de u eveto P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) Probabldad codcoal P(A B) P(A) P(B) (Idepedetes) P(A B) P(A) P(B / A) P( A B) P( B / A) P( A) P(B A) P(B) P(A / B) P( B A) P( A / B) P( B) Teorema de Bayes P( A / B) P( A )P( B/ A ) + P( A P( A ) P( B/ A ) ) P( B/ A ) P( A ) P( B / A ) Estadístca Admstratva I pag. 38 M. e C. José Lus Herádez Gozález

40 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas UNIDAD III Dstrbucó de probabldad de varables aleatoras dscretas ESPACIO MUESTRAL. El el cojuto de todos los resultados posbles de u epermeto estadístco deotado por S o Ω VARIABLE. Se deoma varable a la etdad que puede tomar u valor cualesquera durate la duracó de u proceso dado. S la varable toma u solo valor durate el proceso se llama costate. VARIABLE ALEATORIA: Es ua fucó que asoca u úmero real a cada elemeto del espaco muestral. Es decr so aquellas que puede dferr de ua respuesta a otra. Ua varable aleatora se puede clasfcar e: Varable aleatora dscreta. Varable aleatora cotua. Varable aleatora dscreta. Ua varable dscreta proporcoa datos que so llamados datos cuattatvos dscretos y so respuestas umércas que resulta de u proceso de coteo. La catdad de alumos regulares e u grupo escolar. El úmero de águlas e cco lazametos de ua moeda. Número de crcutos e ua computadora. El úmero de vehículos veddos e u día, e u lote de autos Varable aleatora cotua. Es aquella que se ecuetra detro de u tervalo compreddo etre dos valores cualesquera; ésta puede asumr fto úmero de valores y éstos se puede medr. La estatura de u alumo de u grupo escolar. El peso e gramos de ua moeda. La edad de u hjo de famla. Las dmesoes de u vehículo. DISTRIBUCIONES Dstrbucó de probabldad. Es ua dstrbucó teórca de frecuecas que descrbe cómo se espera que varíe los resultados de u epermeto. Este dferetes tpos de modelos que permte descrbr el comportameto de feómeos estadístcos que permte hacer ferecas y tomar decsoes e codcoes de certdumbre. Se puede clasfcar e: P() Estadístca Admstratva I pag. 39 M. e C. José Lus Herádez Gozález Dscretas

41 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Dstrbucoes dscretas. So aquellas dode las varables asume u úmero lmtado de valores, por ejemplo el úmero de años de estudo. Dscretas Bomal Hpergeométrca Multomal Posso Dstrbucoes cotuas. So aquellas dode las varables e estudo puede asumr cualquer valor detro de determados límtes; por ejemplo, la estatura de u estudate. Uforme Cotuas Epoecal Normal Ua dstrbucó de frecuecas es u lstado de las frecuecas observadas de todos los resultados de u epermeto que, e realdad se ha presetado cuado se lleva a cabo u epermeto; e cambo, ua dstrbucó de probabldad es u lstado de las probabldades de todos los resultados posbles que podría presetarse s se efectuara el epermeto. Las probabldades que se asoca a cada uo de los valores que toma la varable aleatora costtuye lo que se cooce como DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD, la cual puede ser represetada Estadístca Admstratva I pag. 40 M. e C. José Lus Herádez Gozález

42 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas medate ua fucó matemátca, ua gráfca o ua tabla de valores. La dfereca cosste e que la fucó matemátca se trasforma e ua fucó probablístca. S E 0 E... E X 0... P(X) p( 0 ) p( )... p( ) Dados los evetos E, E,..., E S, se dce que es ua varable aleatora, s a cada valor de que asume cada E, se le asoca su probabldad de ocurreca y cumple co las sguetes codcoes: a) La probabldad para todo valor que asuma la varable aleatora, será mayor o gual a cero pero meor que uo. 0 P( ) b) La suma de todas las probabldades asocadas a todos los valores que toma la varable, es gual a la udad. P( ) P ( ) d Ecuetre la dstrbucó de probabldad de lazar dos moedas y la varable aleatora úmero de águlas. S {Lazar dos moedas} X Número de águlas E 0 Cae 0 águlas P(E 0 ) 4 E Cae águlas P(E ) E Cae águlas P(E ) 4 P(X) 4 0 Estadístca Admstratva I pag. 4 M. e C. José Lus Herádez Gozález X

43 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas Este certas característcas que dfereca a las dstrbucoes de probabldad, llamadas mometos de la dstrbucó que so: la meda artmétca o esperaza matemátca y la desvacó estádar. FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS La dstrbucó de probabldad para ua varable aleatora dscreta puede ser:.- Ua relacó teórca de resultados y probabldades que se puede obteer de u modelo matemátco y que represeta algú feómeo de terés..- Ua relacó empírca de resultados y sus frecuecas relatvas observadas. 3.- Ua relacó subjetva de resultados relacoados co sus probabldades subjetvas o artfcales que represeta el grado de covccó del ecargado e tomar decsoes sobre la probabldad de posbles resultados. Sabemos que ua varable aleatora dscreta o dscotua es aquella e la que este ua dstaca be defda etre dos de los valores cosecutvos que asume; y dchos valores so umerables. Este varos modelos matemátcos que represeta dversos feómeos dscretos de la vda real. Las más útles so:.- La dstrbucó uforme dscreta..- La dstrbucó de probabldad Bomal o de Beroull..- La dstrbucó de probabldad Hpergeométrca. 3.- La dstrbucó de probabldad de Posso. UNIFORME DISCRETA S la varable aleatora X asume valores de X, X,..., X k co guales probabldades, etoces la dstrbucó uforme es: f (, k) k P() k µ k k Estadístca Admstratva I pag. 4 M. e C. José Lus Herádez Gozález

44 Isttuto Tecológco de Apzaco Departameto de Cecas Báscas ( µ ) σ k La dstrbucó de probabldad del lazameto de u dado es: k S {,, 3, 4, 5, 6} P (,,..., 6) 6 µ σ ( 3.5) + ( 3.5) 6 + K + (6 3.6).9 LA DISTRIBUCION BINOMIAL Esta dstrbucó fue elaborada por Jacobo Beroull y es aplcable a u gra úmero de problemas de carácter ecoómco y e umerosas aplcacoes como: - Juegos de azar. - Cotrol de caldad de u producto. - E educacó. - E las fazas. La dstrbucó bomal posee las sguetes propedades esecales:.- El espaco muestral cotee esayos détcos..- Las observacoes posbles se puede obteer medate dos dferetes métodos de muestreo. Se puede cosderar que cada observacó se ha seleccoado de ua poblacó fta s reposcó o de ua poblacó fta co reposcó. 3.- Cada observacó se puede clasfcar e ua de dos categorías coocdas como éto E o fracaso E', las cuales so mutuamete ecluyetes es decr E E' Las probabldades de éto p y de fracaso q - p e u esayo se matee costates, durate los esayos. 5.- El resultado de cualquer observacó es depedete del resultado de cualquer otra observacó. La probabldad de que el eveto E ocurra veces y el eveto E' ocurra ( - ) veces e esayos depedetes está dado por la fórmula bomal: - P(,, p) p q Estadístca Admstratva I pag. 43 M. e C. José Lus Herádez Gozález