UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Mecánica de Fluidos I Examen Una placa plana de anchura L y longitud innita, oscila perpendicularmente a si misma en presencia de otra paralela, de modo que la distancia entre ambas es h t conocida, con h H L y t 1/ω, siendo ω una frecuencia de oscilación conocida. Ambas placas están separadas por un líquido de densidad ρ y viscosidad µ constantes. La presión en los bordes de la placa es p a y los efectos de las fuerzas másicas son despreciables. Las ecuaciones que permiten determinar el movimiento del líquido entre las placas son Se pide: u x + v ρ u t + ρ u u x + v u ρ v t + ρ = 0, 0 x L; 0 y h, u v x + v v = p 2 x + µ u = p + µ x u 2 2 v x v 2,. 1.- Orden de magnitud del tiempo característico t c. 2.- Orden de magnitud de la velocidad característica transversal v c. 3.- Orden de magnitud de la velocidad característica longitudinal u c. 4.- Orden de magnitud del término convectivo en la ecuación de cantidad de movimiento longitudinal según x. 5.- Orden de magnitud del término no estacionario en la misma ecuación del apartado anterior. 6.- Orden de magnitud del término viscoso en la ecuación de cantidad de movimiento según x. 7.- Orden de magnitud del término no estacionario en la ecuación de cantidad de movimiento transversal según y. 8.- Orden de magnitud del término convectivo en la ecuación del apartado anterior. 9.- Orden de magnitud del término viscoso en la ecuación de cantidad de movimiento según y. En los apartados que siguen a continuación, supongan que ρωh 2 /µ 1, y simpliquen las ecuaciones de cantidad de movimiento de acuerdo con ello Orden de magnitud de los incrementos longitudinales de presión, L p.

2 11.- Orden de magnitud de los incrementos transversales de presión, H p 12.- De acuerdo con los resultados de los apartados 10 y 11 anteriores ¾a qué se reduce la ecuación de cantidad de movimiento transversal en primera aproximación? Utilizando la ecuación de cantidad de movimiento según x, ya simplicada, se puede determinar la velocidad longitudinal u. Escriban las condiciones de contorno que hay que imponer para determinar dicha velocidad Utilizando la ecuación de cantidad de movimiento del apartado 13, determinen la velocidad longitudinal u y, h, p/ x, µ Con la ecuación de la continuidad se puede determinar la velocidad transversal v. Escriban las condiciones de contorno que hay que imponer para determinar dicha velocidad A través de la ecuación de la continuidad, determinen la velocidad transversal v y, h, 2 p/ x 2, µ A través de la ecuación del apartado anterior, obtengan la ecuación que permite determinar la distribución de presiones Condiciones de contorno que hay que imponer a la ecuación que permite determinar la distribución de presiones Obtengan la distribución de presiones p p a = F x, L, h, dh/dt, µ Fuerza vertical F ejercida por el líquido sobre la placa superior tengan en cuenta que es una fuerza por unidad de longitud, ya que la geometría es bidimensional.

3 SOLUCIÓN 1.- De la expresión de h se tiene t c 1/ω. 2.- v c dh/dt = ωh df/d ωt ωh. 3.- De la ecuación de la continuidad se tiene u c v c L H ωl 4.- De acuerdo con la relación anterior los dos sumandos del término convectivo son del mismo orden y tales que ρ u u x + v u ρu2 c L ρω2 L 5.- ρ u/ t ρu c /t c ρω 2 L, del mismo orden que el término convectivo. 6.- En el término viscoso, el primer sumando es despreciable frente al segundo, de modo que 2 u µ x u 2 µ 2 u 2 µu c H 2 µωl H 2 La relación entre los términos convectivos y no estacionario con respecto a los viscosos es ρω 2 L µωl/h 2 ρωh2 µ ρ v t ρv c/t c ρω 2 H 8.- ρ u v x + v v ρvc 2 /H ρω 2 H. Como anteriormente los términos convectivos y no estacionario son del mismo orden. 9.- µ 2 v + 2 v µ 2 v µv x c /H 2 µω/h. La relación entre los términos convectivos y no estacionario con respecto a los viscosos es ρω 2 H µω/h ρωh2 µ 1. De acuerdo con esto, las ecuaciones de cantidad de movimiento se reducen a 0 = p x + µ 2 u 2, y 0 = p + µ 2 v De la ecuación de cantidad de movimiento según x se obtiene L p µu c L/H 2 µωl 2 /H De la ecuación de cantidad de movimiento transversal se tiene H p µv c /H µω El cociente entre ambos incrementos de presión es H p L p µω µωl 2 /H 2 H 2 1. L

4 Como los incrementos transversales de presión son pequeños comparados con los longitudinales, la ecuación de cantidad de movimiento transversal se sustituye por decir que la presión apenas varía con y Las condiciones de contorno para la velocidad son: u = 0 en y = 0 e y = h Como p no depende de y en primera aproximación, la ecuación de cantidad de movimiento según x puede integrarse con respecto a y para dar u = 1 p 2µ x y2 + C 1 y + C 2, donde las constantes C 1 y C 2 se obtienen de imponer las condiciones de contorno del apartado anterior u = 0 en y = 0 e y = h, lo que proporciona u = 1 p y y h. 2µ x 15.- Las condiciones de contorno que debe cumplir la velocidad transversal son v = 0 en y = 0, junto con v = dh/dt en y = h. Sin embargo la ecuación de la continuidad sólo necesita una condición. Al hacer que se cumpla la segunda de las condiciones, se obtiene una ecuación para determinar la presión, como se ve a continuación De la ecuación de la continuidad se tiene lo que proporciona v = u x = 1 2µ v = 1 2 p y 3 2µ x 2 donde se ha impuesto la condición v = 0 en y = 0. 2 p y y h, x2 3 y2 h Dado que en y = h debe ser v = dh/dt, sustituyendo esta condición en la ecuación anterior se tiene dh dt = h3 2 p 12µ x Las condiciones de contorno de la ecuación anterior son: p = p a en x = 0 y en x = L Integrando la ecuación con las condiciones anteriores, se obtiene, p p a = 6µ dh h 3 x x L. dt 20.- La fuerza vertical por unidad de longitud perpendicular al plano de la gura es F = ˆ L 0 p p a dx = µl3 h 3 dh dt.

5 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Mecánica de Fluidos I Examen Dos placas semi-innitas situadas en el mismo plano, están a una distancia l una de otra, formando una ranura bidimensional. Por la parte inferior de la placa y aguas arriba de la ranura, circula una corriente supersónica de un gas ideal γ = 1,4 con número de Mach M = 2, presión y temperatura. Por la parte superior de la placa, y también aguas arriba de la ranura, se tiene el mismo gas en reposo a la presión p a < y temperatura. Como consecuencia de la depresión existente en la ranura, parte del ujo que circula por la parte inferior de la placa, se incorpora a la parte superior de la misma. En el punto A véase gura se forma una expansión cuya última característica forma un ángulo de 10º con la horizontal, y una línea de discontinuidad tangencial que separa al gas en reposo del que pasa de la parte inferior a la superior. Aguas abajo del punto B la corriente está adherida a la placa, formándose una expansión a un lado de la placa y una onda de choque al otro lado. Se pide: 1.- Número de Mach M R en la ranura. 2.- Relación de presiones p a / para que la última característica de la expansión de vértice en A, forme los 10º con la horizontal AB citados anteriormente. 3.- Dirección α R de la corriente en la ranura, medida desde la línea AB de las placas. 4.- Gasto másico adimensional g R g / l, por unidad de envergadura de las placas, que se incorpora a la parte superior de las mismas. 5.- Número de Mach M BS de la corriente horizontal a la placa, inmediatamente aguas abajo del punto B y en la parte superior de la placa. 6.- Relación de presiones p BS / en la misma región del apartado Relación de temperaturas T BS / en la misma región del apartado Número de Mach M BI de la corriente horizontal a la placa, inmediatamente aguas abajo del punto B y en la parte inferior de la placa. 9.- Relación de presiones p BI / en la misma región del apartado Relación de temperaturas T BI / en la misma región del apartado 8.

6 SOLUCIÓN Como el Mach incidente es 2, el ángulo entre la primera característica y la corriente incidente es de 30º. Esto es α = arcsen 1/M = arcsen1/2 = 30º. De acuerdo con esto, el ángulo que forma la primera característica con la vertical a la placa es de 60º. Como la última característica forma 10º con la línea de la placa, el ángulo del abanico de la expansión θ = = 20º. Con las tablas de expansión de Prandtl Meyer se tiene M α º θ º δ º θ = δ = 13, De modo que el Mach en la ranura es M R = 2,53 y el ángulo de inclinación de la corriente con respecto a la dirección de las placas es α R = 39,71 26,38 = 13,33º. Esta corriente, en el entorno del punto B tiene girar, por la parte superior, un ángulo adicional en forma de expansión de 13.33º. Por lo tanto, en la tabla anterior tendríamos un valor nal de δ = 39, ,33 = 53,04º, lo que corresponde a un número de Mach M BS = 3,18. Dado que a través de las expansiones se conservan las magnitudes de remanso, de las relaciones se tiene: T = 1 + γ 1 1 M 2 T 0 2 T 0 y p = 1 + γ 1 M 2 p 0 2 = 0,5556; T R T 0 = 0,4386; T BS T 0 = 0,3309, = 0,1278; p R = 0,0559; p BS = 0,0208, p 0 p 0 p 0 y de acuerdo con estos valores se obtiene T R = 0,7894; T BS = 0,5956, p R = p a = 0,4374; p BS = 0,1628, ya que las presiones p R y p a coinciden, por conservarse la presión a través de la supercie de discontinuidad tangencial que parte de A. El gasto másico g por unidad de envergadura de la placa, está dado por ρ R v R a R g = ρ R v R lsenα R = ρ 0 a 0 lsenα R = ρ 0 a 0 lsenα R M R ρ 0 a R a 0 y dado que ρ 0 a 0 = p 0 γrg T 0 = p 0 γ = R g T 0 Rg T 0 p p 0 T γ Rg 1 + γ 1 MR 2 2 γ γ 1, γ+1 2γ 1 = 0,0492ρ0 a 0 l, = 6,9010, T 0 Rg

7 se tiene l p g = 6,9010 0,0492 l = 0,3396. Rg Rg Con la solución obtenida hasta aquí se da la respuesta a las preguntas: 1.- Número de Mach en la ranura M R = 2, Presión p a de la parte superior de la placa p a / = 0, La dirección α R de la corriente en la ranura es igual al ángulo que se deecta la corriente en la primera expansión, α R = 13,33º. 4.- Gasto másico adimensional g R g / l == 0, Número de Mach M BS = 3, Relación de presiones p BS / = 0, Relación de temperaturas T BS / = 0,5956. La corriente que continúa por la parte inferior de la placa, debe girar un ángulo α R para mantenerse paralela a la misma. Se forma una onda de choque oblicua con Mach incidente M 1 = M R = 2,53 y una deexión de la corriente δ = α R = 13,33º. De las tablas de ondas de choque oblicuas se obtiene: β = 34,82º y M 2 = M BI = 1,97. El número de Mach normal incidente a la onda es M 1n = M R senα R = 1,44: Con este valor de M 1n, de las tablas de ondas de choque normales se obtiene: p 2 /p 1 = p BI /p a = 2,268 y T 2 /T 1 = T BI /T R = 1,284. Con estos valores se obtiene p BI T BI = p BI p a = T BI T R Las respuestas al resto de las preguntas son: 8.- Número de Mach M BI = 1, Relación de presiones p BI / = 0, Relación de temperaturas T BI / = 1,014. p a = 2,268 0,4374 = 0,9920, T R = 1,284 0,7894 = 1,014.