Escuela de Economía UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca UNIDAD II: DERIVADA

Transcripción

1 UNIDAD II: DERIVADA Continuano con el estuio e la seguna unia lo iniciaremos con el estuio el cálculo iferencial que se ocupa e cómo varía una cantia en relación con otra (LA DERIVADA). En el teto guía se encuentra esarrollaa esta unia con gran amplitu, sírvase colocarse en el seguno capítulo y conjuntamente con la guía iremos aprenieno sobre el tema. La erivaa se la utiliza en casos one es necesario meir la rapiez con que se prouce el cambio e una magnitu o situación. La efinición tenemos en el teto base 1, la misma que viene aa por: f ( lim 0 f ( + h) h f ( Supuesto que eista ese límite. Estimao estuiante tenga presente las iversas formas e representar una erivaa que le presentamos a continuación: NOTACIÓN f ( f prima e SE LEE y ' [ f ( ] D [ y] Derivaa e y con respecto a y prima Derivaa e f( sub e y Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Calculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Elaborao: Aba Ana, (009): Guía Diáctica 1 Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Eit. Mc Graw-Hill, Pág.99 Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

2 Razón e Cambio y Peniente En lo que respecta a la erivaa con razón e cambio, es una aplicación e la erivaa que se ocupa e hallar la Razón (o ritmo) e cambio e una magnitu respecto a la otra, es ecir, la razón e cambio e una variable respecto e otra, que estén relacionaas por una función yf( erivable. Es una cuestión que aparece en una multitu e problemas prácticos, por ejemplo: Crecimiento e poblaciones Ritmo e proucción, Flujos e agua, Cantia e inero, etc. En este punto le recomieno que en primer lugar analice los ejercicios propuestos, en el capítulo os, relacionaos con la razón e cambio porcentual, para que se familiarice con la teoría y el proceso e variación e una variable respecto a otra. Este tema lo ilustraremos con algunos ejemplos. Ejemplo Razón e cambio el precio respecto a la cantia Sea p 100-q (en ólares) la función e emana el proucto e una fábrica. Encuentre la razón e cambio el precio p por unia con respecto a la cantia q. Qué tan rápio está cambiano el precio con respecto a q cuano q? Ernest F, Haeussler. (006): Matemáticas para Aministración, Economía y Ciencias Sociales y e la via, Colombia, Eit. Mc Graw-Hill, pag Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

3 La razón e cambio e p con respecto a q es p/q p 100 q p q q Cuano q, entonces p q () 10 Esto significa que cuano se emana uniaes, un incremento e una unia etra emanaa correspone a un ecremento e aproimaamente 10 ólares en el precio por unia que los consumiores están ispuestos a pagar. Analicemos un ejemplo e razón e cambio e la matricula. Ejemplo Razón e cambio e la matrícula Un sociólogo está estuiano varios programas que pueen ayuar en la eucación e niños e ea preescolar en cierta ciua. El sociólogo cree que años espués e iniciao un programa particular, f( miles e niños estarán matriculaos, one 10 f ( (1 ) 0 1. A qué razón cambiará la matrícula. a) Después e tres 9 años e iniciao el programa y b) espués e 9 años? La razón e cambio e f( es f (: 10 f ( (1 9 ) Ernest F, Haeussler. (006): Matemáticas para Aministración, Economía y Ciencias Sociales y e la via, Colombia, Eit. Mc Graw-Hill, pag Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

4 10 f ( ) (1 ) 9 a) Después e años la razón e cambio es: 10 10(6) f '() (1 ()) Por lo tanto, la matricula estará crecieno a razón e 0/ miles e niños por año b) Después e 9 años la razón e cambio es: f '(9) 10 10( 6) (1 (9)) Por lo tanto, la matricula estará ecrecieno a razón e 0/ miles e niños por año. Recta Tangente con Peniente Si f está efinia en un intervalo abierto que contiene a c y aemás eiste el límite entonces, la recta que pasa por (c, f(c)) con peniente m se llama RECTA TANGENTE a la grafica e f en el punto (c, f(c)). Para recorar: La peniente e la recta tangente a la gráfica e f en el punto (c,f(c)) se llama PENDIENTE A LA GRAFICA DE F EN C Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Si en la efinición escrita anteriormente, sustituimos D por h, y c por asumieno una recta que va ese un punto P(,f() a un punto Q(+h, f(+h)), tal como se ilustra en el teto base tenemos que la ecuación e la peniente, también la puiéramos escribir así: Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

5 m lim h 0 f ( + h) f ( h Ahora con los conocimientos aquirios a través e estos temas es el momento para esarrollar el siguiente ejercicio Ejemplo 4 Calcular la erivaa e la función aa y hallar la peniente e la recta tangente a la grafica para el valor especifico e la variable inepeniente, ao 4 f ( 1; Se puee usar la efinición epresaa e cualquier e las os maneras, que es eactamente lo mismo nosotros usaremos la primera. En el teto base en capitulo os, eiste un ejercicio resuelto con la seguna forma, puee analizarlo. f ( + D + D + ( D + ( D m lim 0 f ( + f ( 1 ( + ( + ( 1) ( + 1) m lim 0 ( ( ) + ( m lim 0 m lim ( + ( 0 Como queremos calcular m, en, tenemos m () 1 4 Ernest F, Haeussler. (006): Matemáticas para Aministración, Economía y Ciencias Sociales y e la via, Colombia, Eit. Mc Graw-Hill, pag Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

6 Le sugiero analizar el tema Técnicas De Derivación confrontarlo en su teto básico en el capitulo os, sección os. Para encontrar la erivaa hemos usao la efinición meiante límites, ahora vamos a aprener varias reglas e erivación que permiten calcular las erivaas e una manera más sencilla y rápia y sin el uso irecto e la efinición e límite. Estas reglas se enominan Teoremas., Técnicas o Propieaes e la Derivación. Para Memorizar: Tenemos las reglas e la constante, regla e la potencia, regla el múltiplo constante y la regla e la suma. Toas estas son funamentales para el estuio el cálculo, por lo que uste ebe DOMINARLAS. La manera más practica e familiarizarse con las mismas es primero leerlas, entenerlas y memorizarlas, para posteriormente realizar ejercicios; le sugiero primero los resueltos y luego los propuestos Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Reglas e Derivación Regla Función Derivaa Ejemplo Regla e la constante K 0 y y` 0 Regla e la Ientia 1 y y` 1 Regla e la potencia n n 1 n y y ' 4 Regla el factor kf ( kf '( y constante Regla e la suma f ( + g( f '( + g' ( y y ' 1 + y ' Regla el proucto f ( * g( f ( * g' ( + f '( * g( Más aelante lo Regla el cociente f ( g( g( * f '( f ( * g' ( sig( 0 g ( eplicaremos Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Calculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Elaborao: Aba Ana, (009): Guía Diáctica ejercicios estas reglas con Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

7 Continuemos resolvieno algunos ejercicios e aplicación a estas reglas Ejemplo Derivar la función y + y y ' ( ) + + ( ) + y ( 4 ) + ' ( Ejemplo 6 La emana e los consumiores e ciertos artículos es D ( p) 00 p uniaes por mes cuano el precio el mercao es p ólares por unia. a) Epresar el gasto total mensual e los consumiores el artículo como un función e p ibujar la gráfica. b) Utilice el cálculo para eterminar el precio el mercao para la cual el gasto e consumo es máimo. a) E(p) gasto total mensual (emana mensual)(precio por unia) E(p) (D(p))(p) E(p) (-00p )(p) E(p) -00p(p-60) E(p) -00p + 100p Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

8 b) El precio el mercao para el cual el gasto e consumo es mayor es el punto one la recta tangente es horizontal o: E (p) 400p Cuano p 0 entonces E(0) ólares Para Reforzar Como tarea realice la gráfica para que compruebe estos valores. La Regla el Proucto y la Regla el Cociente Estimao estuiante confróntese al teto base capitulo os sección tres, y lea eteniamente las reglas el proucto y cociente para que luego se las memorice. Le recomieno que no trate e aprenérselas como fórmula sino como un teorema teórico. Para Memorizar: La regla el proucto: La erivaa e un proucto e os funciones es igual a la primera función por la erivaa e la seguna más la seguna función por la erivaa e la primera. La regla el cociente: La erivaa el cociente e os funciones es igual al enominaor por la erivaa el numeraor menos el numeraor por la erivaa el enominaor, too ello iviio por el cuarao el enominaor. Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Luego e haber revisao toos estos contenios, es oportuno resolver algunos ejercicios e aplicación a estas reglas Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

9 Ejemplo 7 Hallar la erivaa e la función aa f ( u) ( u )(1 u) f '( u) ( u )( ) + (u)(1 u) f '( u) u u 4u 6u + u + 10 Ejemplo 8 t + 1 Hallar la erivaa e la siguiente función utilizano las reglas aecuaas y 1 t (1 t y' )(t) ( t + 1)( t) (1 t ) (t)(1 t + t (1 t ) + 1) 4t (1 t ) Ejemplo 9 Hallar la ecuación e la recta tangente a la grafica e la función aa en el punto (,f() para el valor e 0 f ( ( + + 1)( 4 + ) 4 f '( ( + + 1)( 8 + ( 4 + )( 4 + ) Como m f ( f (0)6y f(0)-(ecuación punto peniente) entonces la ecuación e la recta tangente es: y ( ) 6( 0) y + 6 y 6 Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

10 Ejemplo 40 Hallar la erivaa e la siguiente función 4 g( g( (19 ( g '( 1 1 Ejemplo 40 Hallar la erivaa e la siguiente función + f ( 1 Aplicamos la regla el cociente ( 1)() ( + )() (10 ) (10 + ) f '( ( 1) ( 1) ( 1) 7 f '( ( 1) Señor estuiante al tratar e solucionar y analizar estos ejercicios, le permitirá encontrar la aplicabilia el Cálculo con ejemplos prácticos. La seguna erivaa Ahora que ya poseemos el conocimiento e cómo resolver la primera erivaa poemos resolver la seguna erivaa e una función que no es más que la erivaa e la primera erivaa. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

11 La seguna erivaa epresa la razón e cambio e la razón e cambio e una función. Para calcular la seguna erivaa se utiliza las mismas reglas que para la primera, simplemente cuano ya tenemos la primera erivaa la volvemos a erivar y obtenemos la seguna. La seguna erivaa se enota como sigue: f y ''( ; ; y' ' Para Recorar: Antes e encontrar la seguna erivaa simplifique al máimo la primera erivaa para que el cálculo e la seguna sea más sencillo. Le recomieno comenzar con funciones no muy complicaas y luego analice las funciones que se utilizan la regla e la caena. Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Con los conocimientos aquirios a través e su lectura comprensiva, es momento e analizar el siguiente ejemplo. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

12 Ejemplo 41 Halle la seguna erivaa e la función aa. Utilice la notación apropiaa y simplifique la respuesta ao. y ( 1 ) 4 En primer lugar calculamos la primera erivaa. Como la función que vamos a erivar es una potencia utilizamos la regla e la caena para erivar, e la siguiente manera: y' 4(1 ) ( 6 ) 4 (1 ) Ahora, para obtener la seguna erivaa vamos a erivar la primera, para lo cual aplicamos la regla el proucto y luego e la caena. y' 4 y' ' 4 () y' ' 48 [ (1 ) ] [ (1 ) + ()(1 ) ( 6 )] [ (1 ) + 9 (1 ] (1 ) [(1 ) 9 ] (1 ) [ 1 9 ] (1 ) [ 1 7 ] y '' 48 + y '' 48 + y '' 48 + Derivaas e Oren superior Como uste omina las reglas e erivación poemos avanzar con la erivación e oren superior. Cuano se calcula la erivaa e f( se obtienen f `(, si erivamos otra vez f`( se obtiene f ((seguna erivaa), si erivamos otra vez f ( se obtiene f ((tercera erivaa) y así sucesivamente. Regla e la Caena Estimao estuiante otro e los teoremas importantes entro el calculo iferencial, es el enominao regla e la caena teorema que nos ayua a erivar cualquier función. Analice en primer lugar la teoría corresponiente que se encuentra en el capitulo os sección tres y luego analice los ejemplos. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

13 Señor estuiante es momento oportuno e realizar algunas aplicaciones Ejemplo 4 En una cierta fabrica, si C ólares es el costo total e proucción e s uniaes, entonces 1 C s + s Aemás, si se proucen s uniaes urante t horas ese que se inició la proucción, entonces s t + 0t. Determinar la intensia e cambio el costo total con respecto a un tiempo e horas espués e iniciarse la proucción. Se requiere obtener C/t cuano t. De la regla e la caena, se tiene C t C s. s t Derivano separaamente: C s s t 1 s + 6 t + 0 Sustituyeno estas erivaas en la primera ecuación: C s 1 s + t ( 6 + 0) Cuano t entonces s (4) + 0() 11 Louis Leithol. (006): Cálculo para ciencias Aministrativas, Biológicas y Sociales, Colombia, Eit. Mc Graw-Hill, pag.14. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

14 Por lo tanto cuano t, tenemos C s 1 (11) + ( 6() + 0) (8)(6) 96 En consecuencia, horas espués e iniciarse la proucción el costo total se incrementa a razón e $96 ólares por hora. Es momento oportuno e ampliar los conocimientos es por ello le sugiero referirse al teto básico y realizar una lectura compresiva e: Análisis marginal y aproimaciones por incrementos: Análisis Marginal. El cálculo se ha convertio en un instrumento importante para resolver algunos problemas que surgen en la Economía. Si para escribir una cierta cantia económica se usa una función f, entonces, se emplea el ajetivo marginal para hacer referencia a la erivaa f. En el teto base está claramente esarrollao el marco teórico el análisis marginal y tiene algunos problemas resueltos, le ruego que los analice en forma etenia. Le recuero que toos estos conceptos los ha estuiao en la asignatura e Teoría Económica. Las erivaas C, A', R' y P' se llaman función e costo marginal, función e costo meio marginal, función e ingreso marginal y función e utilia marginal, respectivamente. El número C'( es el costo marginal asociao a la proucción e uniaes. Si se interpreta la erivaa como la tasa e variación o e cambio, se ice entonces que el costo varía con respecto a la cantia e uniaes proucias a razón e C'( uniaes monetarias por unia e proucción. Pueen hacerse afirmaciones semejantes para A'(, R'( y P'(. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

15 Si C es la función e costo y n es un entero positivo, entonces, por la efinición e erivaa, tenemos: C( n + h) C( n) C( n + h) C( n) C' ( n) lim h 0 h h (si h es pequeño) Cuano la cantia e n uniaes proucias es grane, los economistas suelen tomar h 1 en la fórmula anterior y estimar el costo marginal por: C (n) C(n + l) -C(n) En este conteto, el COSTO MARGINAL ASOCIADO A LA PRODUCCIÓN DE N UNIDADES ES (APROXIMADAMENTE) IGUAL AL COSTO DE PRODUCIR UNA UNIDAD MAS. Algunas empresas consieran que el costo C( e proucir uniaes e un bien e consumo está ao por una fórmula como esta: C( a + b + + k. En one: La constante a representa un costo fijo por conceptos como alquiler, electricia y calefacción, que son inepenientes el número e uniaes proucias. Si el costo e proucir una unia fuera by no hubieran otros factores implícitos, entonces el seguno término b en la fórmula representaría el costo e proucción e uniaes. Cuano es muy grane, entonces los términos y k pueen afectan significativamente los costos e proucción. Derivaciones e funciones en forma implícita. Para Recorar: Una función esta escrita en forma implícita, cuano su variable epeniente (y) no está espejaa Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

16 La Derivación Implícita es una técnica muy sencilla basaa en la regla e la caena que permite calcular la erivaa sin necesia e resolver la ecuación eplícitamente para o para y. En el teto guía en el capitulo os e la sección seis en los ejercicios resueltos se etalla la manera como resolver este tipo e ejercicios. Para Memorizar: a) Si queremos obtener /, erivamos término a término con respecto a, consierano a y como una función e. b) En cambio, si queremos obtener /, erivamos término a término con respecto a y, consierano a como una función e y Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Para comprener mejor sobre el cálculo e erivaciones e funciones en forma implícita realizaremos algunos ejercicios Ejemplo 4 Hallar si y y + 0 ( y) ( y ) + () 0 Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

17 ( y) ( ) + y + y ( y) 4 ( + y (y) + y ( ( y) 4 + y(1) y) + y 0 ( y) 4 + y(1) y) + y 0 (1) 0 Destruyeno los corchetes y agrupano los términos que contienen / en un miembro y los inepenientes en el otro, tenemos que: ( y) y + 4 y 4 y + y y Ejemplo 44 Hallar si y y + 0 ( y) ( y ) + () 0 ( y) ( ) + y + y ( ( y y y 4 ( y y ) + y ( 0 ( ( y + y) 4 y) y + y 4 y Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

18 Cambiamos e signo a la erivaa /, solamente para epresarla igual que a la erivaa /, para poer sacar la siguiente conclusión al comparar estas os erivaas. 1 Es ecir que encontrano la una erivaa poemos usar esta relación para encontrar la otra. Ejemplo 4 6 Hallar si y 7 y 9 + 4y Aplicamos el operaor erivaa en ambos miembros e la iguala (y y 7 7 y ) y (9 + 4y) 9 + 4y Utilizano las reglas e la erivaa anteriormente escrita (proucto, potencia y regla e la caena) 7 7 y y y y y + y () y y + y y Escribimos en el lao izquiero toos los términos que contengan a la erivaa y el lao erecho los que no lo contengan: 6 Castro L.(009) Derivaas e funciones Implícitas [en línea].disponible en: [consulta ]. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

19 6 7 y y 4 9 y Factorizano es ecir sacano factor común 6 7 ( y y 4) 9 y Despejano tenemos 9 y 6 ( y y 4) 7 En economía se utiliza la erivaa implícita tanto en la práctica como en la teoría. La principal aplicación es para resolver problemas e TASAS RELACIONADAS O RAPIDEZ DE VARIACION RELACIONADAS, como se las enomina a las erivaas /t y /t, ya que están vinculaas o relacionaas efectivamente por meio e una ecuación. Tal ecuación puee usarse para evaluar una e la erivaa cuano se conoce la otra; esto tiene muchas aplicaciones prácticas. Para Recorar: A continuación se an algunas recomenaciones que le pueen servir e guía para resolver problemas e variación relacionaas, como una manera e complemento al proceimiento que se tiene en el teto base. 1. Leer cuiaosamente el problema varias veces y pensar en los atos y en las cantiaes que se esea calcular.. Hacer un croquis o esquema apropiao y ar nombre a las variables y a las cantiaes esconocias.. Escribir los hechos conocios epresano las rapieces e variación aas (atos) y las esconocias (incógnitas) como erivaas e las variables. 4. Encontrar una ecuación general que relacione las variables. Derivar con respecto a t ambos laos e la ecuación el punto 4 para obtener una relación general entre las razones e cambio respecto al tiempo. 6. Sustituir los valores y las erivaas conocias y espejar la rapiez e cambio esconocia. Fuente: Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

20 Un error que se comete frecuentemente es usar los valores específicos e las erivaas y las variables emasiao pronto en la resolución. Recuérese siempre obtener una formula general que correlacione las rapieces e variación para too tiempo t. Los valores específicos e las variables eben sustituirse solamente en los últimos pasos e la resolución. Vamos a resolver algunos ejercicios e aplicaciones en la economía Ejemplo 46 7 La proucción e cierta planta es Q y 0.0y uniaes por ía, one es el número e horas-trabajaor calificao utilizao y y es el número e horas trabajaor no calificao utilizao. Actualmente, se emplean 60 horastrabajaor calificao y 00 horas-trabajaor no calificao caa ía. Utilice el cálculo para estimar el cambio que ebe hacerse en el número e horas e trabajo no calificao para compensar un incremento e 1 hora en el trabajo calificao, e manera que la proucción se mantenga en su nivel actual El nivel actual e proucción es el valor e Q cuano 60 y y00. Es ecir Q 0.06(60) (60)(00) + 0.0(00) 7 Hoffmann, D., Braley, L. y Rosen H. (006): Cálculo para Aministración, Economía y Ciencias Sociales, Colombia, Eit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#6) Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

21 Q uniaes Si la proucción se ebe mantener en este nivel, la relación entre trabajo calificao y trabajo no calificao y está ao por la ecuación y + 0.0y Que efine y implícitamente como una función e. El objetivo es calcular el cambio en y que correspona a un incremento e 1 unia en, cuano y y estén relacionaas por esta ecuación. El cambio provocao en y por un incremento e 1 unia en se puee aproimar meiante la erivaa implícita.. Para eterminar esta erivaa, se utiliza la erivación () y ( + 0.0() y () y 0.14y () ( y) 0.14 y y ( y) Ahora se asigna esta erivaa cuano 60 y y (00) + 0.1(60) ( 0.14(60) 0.1(00)) 60 y y , ( 8,4 4) 0,9 Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (

22 Es ecir para mantener el nivel actual e proucción, el trabajo no calificao se eberá isminuir en aproimaamente 0.9 horas para compensar el incremento e 1 hora e trabajo calificao. Esta obra ha sio licenciaa con Creative Commons Ecuaor.0 e Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (