funciones primitivas se le llama integral indefinida y se representa por dx = F(x) + C F'(x) = f(x) ( ) '( ) '( ) '( ) f x f x dx C f'( x)

Transcripción

1 INTEGRALES INDEFINIDAS Un función F() se dice que es primiiv de or función f() cundo F'() = f() Por ejemplo F() = es primiiv de f() = Or primiiv de f() = podrí ser F() = + 5, o en generl, F() = + C, donde C es un consne. Por lo no un función f() iene infinis primiivs. Al conjuno de ods ls funciones primiivs se le llm inegrl indefinid y se represen por f( ) d TABLA DE INTEGRALES n n n n f( ) d C pr n f f d C n ( ) '( ) n d Ln C f'( ) d Lnf C f ( ) ( ) f'( ) log e d log C e d f C log log ( ) f( ) f( ) d = F() + C F'() = f() f ( ) f ( ) Ln d C f'( ) Ln d C f ( ) f ( ) e d e C e f'( ) d e C d C f'( ) f d f ( ) ( ) C n f'( ) d C d n f C n n ( ) n n n n f( ) sen d cos C sen f( ) f'( ) d cos f( ) C cos d sen C cos f( ) f'( ) d sen f( ) C '( ) g g ( ) cos d C f cos f( ) d f C '( ) co co ( ) sen d g C f d gf C sen f( ) sen sen ( ) sec '( ) sec ( ) cos d C f cos f( ) f d f C cos cos ( ) cos '( ) cos ( ) sen d ec C f f d ecf C sen f( ) 7

2 d C f'( ) rcsen f( ) d C f'( ) rccos f( ) d C f'( ) rcg f( ) d rc g C f'( ) co f( ) d rcsen f( ) C d rccos f( ) C d rcg f( ) C d rc co gf( ) C f rc C rc f C '( ) sec f f sec ( ) ( ) ( ) f'( ) rccos ec C rccos ecf( ) C f( ) f( ) 6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA ª f( ) g( ) d = f( ) d + g( ) d cos d = d + cosd Demosrción : Por l definición = + sen f( ) d = F() + C f( ) d' F( ) C' F'() = f() Por oro ldo, queremos demosrr que f( ) g( ) d = f( ) d + g( ) d es decir, que si derivmos el segundo miemro nos iene que slir f( ) g( ), por lo no: ( f( ) d + g( ) d )' = ( f( ) d )' + ( g( ) d ª k f( ) d k f( ) d 5 d 5 d = 5 Ln Demosrción : )' = F'() + G'() = f() + g() c.q.d. 4 sen 4 sen 4 sen ( cos ) d d d

3 Queremos demosrr que ( k f( ) d )' = k f( ) ( k f( ) d )' = k ( f( ) d )' = k F'() = k f() c.q.d. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Se f( ) d donde su vez = g() Si recordmos que l diferencil dy = y' d dy() = y'() d enonces si = g() d = dg() = g'() d por lo que : f( ) d = f( g( )) g'( ) d Se pueden presenr los siguienes csos : º Tipo irrcionl : se resuelve por un cmio de vrile que hg desprecer ods ls ríces. d Hcemos l susiución - = = + d = d d = = rcg + C d d rcg = d d susiución = 6 d = 6 5 d 6 = d 5 6 = d = 6 6 d d = 6 d d =6 Ln( ) =deshciendo el cmio = = Ln( ) + C º Tipo eponencil o logrímic: susiución f() = ó logf() = 75

4 e d susiución e = = Ln d = e d e d e d d rcg rcg e rcsen d = sen cos d = sen sen d = d rcsen METODO DE POR PARTES Pueso que dy = y' d ls propieddes de l diferencil deen ser ls misms que ls de ls derivds, por ejemplo : d( u+v) = (u+v)' d = ( u' +v' ) d = u' d + v' d = du +dv d(u v) = (u v)' d = (u'v+v'u) d = u'v d + v'u d = vdu + udv Si nos quedmos con es úlim propiedd : d(u v) = v du + u dv u dv = d(u v) - v du u dv d( u v) v du Pueso que df( ) f'( ) d f( ) (slvo un consne que se pone l finl ) enonces : u e d dv u = du = d dv = e d dv v e d e e d = e - e d = e - e + C 4 Csos que se suelen resolver u dv u v v du n n n sen d e d ln d e sen d n rcg d rcgd Lnd ec MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES P( ) I = Q( ) Pueden ocurrir res csos : º grdo numerdor > grdo denomindor 76

5 º grdo numerdor = grdo denomindor º grdo numerdor < grdo denomindor Los res csos se reducen l º y que si recordmos ls propieddes del cociene : P() Q() R() C() P() = Q() C() + R() P ( ) Q( ) R( ) C( ) Q( ) P( ) Q( ) R( ) C( ) Q( ) donde l inegrl de C() es inmedi y R() es un polinomio de menor grdo que Q() y por lo no esmos en el ercer cso = 4 4Ln( ) + C Pr resolver el er cso deemos de fcorizr el denomindor y puede ocurrir : º Que el denomindor eng ríces reles simples : P( ) P( ) A B A ( ) B ( ) Q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si igulmos P() = A ( ) B ( ) se clcul A y B comprndo coeficienes o dándole vlores l Al finl endremos : P( ) = Q( ) A B ( ) ( ) ALn( ) BLn( ) C 7 9 d 7 9 = 7 9 ( )( )( ) = A B C = = A ( )( ) B ( )( ) C ( )( ) ( )( )( ) A( ) B( ) C( ) = ( )( )( ) ( A B C) ( A B) ( A B C) ( )( )( ) Comprndo el principio con el finl oenemos : A + B + C = - A + B = 7 77

6 A + B -C = 9 A + B + C = - A + B = 7 A + B - C = 9 A B C Con lo que qued : d = d d = Ln(+) + Ln(-) -4Ln(+) + C 4 d º Que el denomindor eng ríces reles múliples : P( ) P( ) A B C D Q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ( ) B ( )( ) C ( )( ) D ( ) ( ) ( ) Igulndo el principio con el finl : P() = A ( ) B ( )( ) C ( )( ) D ( ) Clculmos los coeficienes A, B, C y D. Resolvemos l siguiene inegrl : P( ) A B C D = Q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ALn BLn C ) ( D ) ( ) ( ) ALn( ) BLn( ) C D ( ) ( ) ( )( ) A B C = ( )( ) A( ) B C ( )( ) = ( ) A B ( A B C ) ( A B C ) ( )( ) ( )( ) = = + = ( A B) ( A B C) ( A B C) A =, B=- y C=- Ln(-) - Ln(+) - º Que el denomindor eng ríces reles complejs sencills : Si l inenr resolver un ecución de º grdo nos sle un ríz negiv se dice que no iene solución rel, pero sí complej. El denomindor complejo deemos de ponerlo de l form (-) + y resolver l inegrl de l siguiene form : P( ) A B = Q( ) prir de quí nos sldrá como solución un Ln y un rcg. ( - ) + + C 78

7 4 4 no iene ríces reles por lo que igulmos 4 = (-) + 4 = = -, = 4 = A B en ese cso se ve direcmene que A = y B = = = = = Ln( ) Es úlim inegrl se resuelve como un rcg : = = = = = rcg Luego l solución finl es Ln( ) rcg + C Ejemplo resumen : A B C D E donde endrímos que ( )( ) ( ) ( ) clculr A, B, C, D, E y después resolver cd un de ls inegrles. 6.5 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS º Tipo rigonoméric : ) Impr en seno : susiución cos = = rc cos d = sen 4cos d = = rcg cos C 4 d = d = ) Impr en coseno : susiución sen = = rcsen d = sen cos d d sen d +C d d rcg = 79

8 c) Pr en seno y coseno : susiución g = = rcg d = Por si lo necesimos conviene recordr que cos = g sen = cos g = d y mién que sen g d cos d d = - rcg = g -rcg(g) + C = g - +C d d d = d) Ninguno de los neriores : susiución g ( Ese ño no l veremos ) 4º Tipo invers rigonoméric: por ejemplo pr el rcsen l susiución es rcsen = = sen d = cos d INTEGRAL DEFINIDA CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA Se un función coninu definid en [,].Supongmos que dividimos ese inervlo en n suinervlos : [, ], [, ], [, ]..., [ n-, n- ], [ n-,] Podrímos clculr l sum de ods ls áres de los recángulos superiones e inferiores y oendrímos : S sup (f) = M ( - 0 )+ M ( - )+ M ( - )+... M n ( n - n- ) siendo M, M, ec los máimos de f en cd uno de los inervlos. S inf (f) = m ( - 0 )+ m ( - )+ m ( - )+... m n ( n - n- ) siendo m, m, ec los mínimos de f en cd uno de los inervlos. Lógicmene S inf < Áre de f() < S sup 80

9 Cundo n iende infinio es decir, cundo umen el número de suinervlos enonces : lim S n inf lim S n sup Áre de f () f ()d Inegr l definid Si l función esá por dejo del eje l mpliud de los inervlos sigue siendo + pero ls M i y ls m i son - por lo que l sum drá un cnidd negiv y por no el áre será negiv. En ese cso se dee omr el vlor soluo. Si un curv cruz el eje endrá un pre posiiv y or negiv. Si queremos clculr el áre ol deemos de clculr los punos de core con el eje X y clculr el áre de l pre de rri y l de jo. El áre ol será l sum de ods ls áres en vlor soluo. Propieddes de l inegrl definid: (inerpreción geoméric muy sencill) c ª f ()d f ()d f ()d ª f ()d 0 ª f ()d f ()d c Teorem de l medi Si f() es coninu enonces lcnz un vlor máimo M y uno mínimo m en [,] luego: m(-) f ()d M(-) m f ()d M Como l función es coninu om odos los vlores comprendidos enre el máimo y el mínimo, luego dee de eisir un f(c)= f ()d comprendido enre m y M 8

10 f ()d f (c) ( ) Teorem fundmenl del cálculo inegrl (relción enre inegrl definid e indefinid ) Definimos l siguiene función : S() = f ()d y por lo no S(+) = f ()d S = S(+)-S()= f ()d - f ()d = f ()d f (c) S s f (c) lim lim f (c) S'()=f() pues c iende cundo 0 0 incremeno de iende cero. Por lo no S() es un primiiv de f(). Regl de Brrow Se S() y F() dos primiivs de f() que se diferencin logicmene en un consne. S() = f ()d =F()+C Si = enonces S() = 0 = F() +C luego F() = -C por lo no : S() = f ()d =F() + C = F() -F() f ()d =F()-F() Si clculmos od el áre encerrd en el inervlo [,] : f ()d =F()-F() 8