Profesor Francisco R. Villatoro 8 de Marzo de 1999

Transcripción

1 Octv relción de problems Técnics Numérics Profesor Frncisco R. Villtoro 8 de Mrzo de 1999 Ejercicios de los tems de derivción e integrción numérics. 1. Un regl de integrción gussin o de Guss se define como n w(x) f(x) dx = w j f(x j ), donde los w j son pesos positivos y l ecución nterior debe stisfcerse pr todos los monomios de grdo n. Clcule w j y x j pr w(x) 1 y (1) n=1, y (2) n=2. Compre los x j que h obtenido con los ceros de los polinomios de Legendre. j=1 2. Considere el método de integrción de Guss n w(x) f(x) dx = w j f(x j ), con n = 1 y n = 2, y w(x) = j=1 1 1 x 2. Deduzc w j y x j. Cuál es l relción entre x j y ls ríces de los polinomios de Chebyshev? 3. Determine el error cometido cundo f(x) dx p n (x) dx, pr n = 0, 1 y donde p n es un polinomio interpolnte de f(x). 4. Determine el error de integrción del método del punto medio utilizndo su definición (sin plicr directmente los resultdos vistos en teorí). 5. En l regl de integrción de Simpson se tiene f(x) dx b ( f() + 4 f( + b ) 6 2 ) + f(b). Supong que l plicr dich regl se cometen errores de redondeo ɛ 1, ɛ 2 y ɛ 3 l evlur f(), f(( + b)/2) y f(b), respectivmente. Estudie como fectn estos errores de redondeo l error de integrción de l fórmul de Simpson. 1

2 6. L ecución de Lguerre es x d2 y dy + (1 x) dx2 dx + n y = 0. Pong dich ecución en form de operdor utodjunto (Sturm-Liouville). Desrrolle el método de integrción de Guss-Lguerre, es decir, el método de Guss bsdo en polinomios ortogonles de Lguerre. 7. L ecución de Hermite es d 2 y dx 2 x dy 2 dx + 2 n y = 0. Pong dich ecución en form de operdor utodjunto. Cómo evlurí l integrl f(x) dx, utilizndo ls utofunciones de l ecución de Hermite? 8. Demuestre que si n (x x i ), x i b, no mntiene su signo constnte en el intervlo [, b], entonces n (x x i ) = 0. A prtir de este resultdo, demuestre en detlle que el error de integrción numéric de Newton-Cotes es E(f) = f(x) dx p n (x) dx = f (n+k) (η) (n + k)! n+k (x x i ) dx, donde p n es el polinomio interpoldor de Newton pr los nodos {x i }, i = 0, 1,... n, y se cumple que ( n+k ) signo (x x i ) constnte, x [, b], n+j signo (x x i ) constnte, 0 j < k, x [, b]. 2

3 9. Determine el polinomio de grdo 2 que minimice (sin π x p(x)) 2 dx, sobre todos los polinomios de grdo 2. Dicho polinomio se conoce como proximción mínimo cudrátic de Legendre. Clcule l derivd de sin π x utilizndo dicho polinomio. 10. Determine el polinomio de grdo 2 que minimiz (rc cos x p(x)) 2 1 x 2 sobre todos los polinomios de grdo 2. En qué intervlo está definido el rcocoseno?. Clcule el error de proximción. 11. Se f(x) C 1 [, b] y p(x) un proximción f(x) tl que Define q(x) = f() + f (x) p(x) ɛ. x dx, p(t) dt, x b. Si p(x) es un polinomio, qué es q(x)? Cuál es el error f(x) q(x)?. Not: g = máx x b g(x), g C[, b]. 12. Dd l siguiente tbl de vlores x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f(x) 0, , , , ,43750, y trbjndo con ritmétic de cinco cifrs decimles, clcule: ) L derivd primer de f(x) en el punto x = 0,3, pr distintos vlores de h (espcido entre puntos). Un vez clculdos estos vlores, determine f (0,3) por extrpolción de Richrdson. 3

4 b) L derivd segund de f(x) en el punto x = 0,3, pr distintos vlores de h. Un vez clculdos estos vlores, determine f (0,3) por extrpolción de Richrdson. c) El polinomio de interpolción de f(x). Un vez clculdo este polinomio determine prtir de él los vlores f (0,3) y f (0,3). d) El vlor de 0,5 0,1 f(x) dx, medinte l fórmul de Simpson compuest. e) El punto x F tl que f(x F ) = 0 con 0,3 x F 0,4. f ) El punto x T tl que xt 0,1 f(x) dx = 0, Utilizndo un fórmul Gussin de cutro puntos clcule ) b) 14. Dd l siguiente tbl I 1 = I 1 = x e x2 dx, x 4 e x2 dx. x 0 1/4 1/2 3/4 1 f(x) ) Deduzc si hy inconsistencis o errores en ell. Justifique sus resultdos b) Sin más informción que l dd en l tbl, estime l pendiente de f en el punto x = 1/2, y justifique sus resultdos, exctitud, etc. 4

5 c) Sin más informción que l dd en l tbl, estime f dx, y justifique sus resultdos, exctitud, etc. 0 d) Supong hor que f es nlític. Estime ls derivds primer, segund, tercer, curt y quint de f (con respecto x) en el punto x = 1/2. Justifique sus respuests y los métodos utilizdos pr obtenerls, demás clcule los errores que cre hber cometido. e) Sin más informción que l dd en l tbl, supong que quiere proximr l función f que no conoce por mínimos cudrdos. Es decir, quiere buscr unos polinomios ortogonles p j (x) tles que 1) 2) 3) N p j (x i ) p k (x i ) = 0, 0 j k M, i=1 donde N es el número de puntos ddo en l tbl cuys coordends son x i, y j y k son los grdos de dichos polinomios. Estos polinomios proximn l función f por mínimos cudrdos, es decir, N (f(x i ) p(x i )) 2, i=1 es mínimo, donde p(x) viene ddo por M p(x) = j p j (x). j=0 Cuáles son los vlores de j? Clcule los cutro primeros polinomios ortogonles teniendo en cuent que se pueden escribir como p k (x) = x k + b k x k + + b 1 x + b 0, puesto que ls constntes del monomio de myor grdo se pueden incluir en los j. 5

6 f ) Determine si hy lgun relción entre 14e1, 14e2 y 14e3 y l teorí de Sturm-Liouville. Asímismo, determine si hy lgun relción entre los coeficientes de j y l teorí de Sturm-Liouville. Justifique completmente sus resultdos. g) En generl, p j (x i ) 0 pr los vlores de x i ddos en l tbl, por lo que los polinomios del prtdo 14e no son polinomios de Newton. Qué representn pues estos polinomios? Qué exctitud tienen? Justifique sus respuests. 15. Sen x 0, x 1,..., x n distintos puntos reles que se quieren interpolr medinte l expresión n P n (x) = c j e j x, tl que j=0 P n (x i ) = y i, i = 0, 1,..., n, donde ls coordends y i son conocids. ) Es el interpolnte único? Demuestre su respuest. b) Cómo utilizrí dicho interpolnte pr determinr ls derivds de l función interpold? c) Cómo utilizrí dicho interpolnte pr determinr l integrl definid entre x 0 y x n de l función interpold? 6