CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 1
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- Encarnación Serrano Sánchez
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1 Manul José Frnándz CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. - EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA Dmostrar aplicando l principio d inducción las rlacions siguints: a a n n n... n n N b n n! 6 n 4.. Para n obtnmos cirto 6 Supongamos por ipótsis d inducción qu s cirta la igualdad para n y dbmos dmostrarla para n :... n n n n n 6 n n... n n n 6 n [ ] n nn 6 n 6 n n 7n 6 6 n n n 6 b Para n 4 obtnmos 4 6 4! 4 cirto Supongamos por ipótsis d inducción qu s cirta la dsigualdad para n y dbmos n dmostrarla para n : n! n n.. n! < n. n! n! Hallar los númros rals qu vriican: a b < c d > 4 4 > a ó ó s dcir son los ] [ 4
2 Manul José Frnándz b < < < < < < s dcir son los c > 4 > y 4 > ó < y 4 < > > y > ó < y < > ó < 4 > > y > 4 ó < y < 4 > 4 ó < El numrador y l dnominador son por tanto positivos > 4 ó < < < < ; 4 < < < 4 El numrador y l dnominador son por tanto ngativos < < son los 4 d si / ó si / 4 4 si ó 4 si Si / > 4 > 4 < < Si / > 4 > 4 5 > 5 > < Si > 4 > 4 > son los 7 4 s vriica ó son los ] [ 4
3 Manul José Frnándz Hallar l dominio d las uncions siguints: a 5 b g c d m log 5 9 sn 5 a 5 Dom R { } g { R / } b Dom { R / } y ó y ó Dom g ] [ c Dom R d Dom m R / 5 > R / > { R / > } { R / > } 4 Estudiar si las siguints uncions son pars impars o ninguna d las dos cosas: a sn b g 4 cos c 6 sn cos tg cos d m a 6 5 y ninguna d las dos cosas b 5 sn g g 4 cos impar c 6 tg cos impar 44
4 Manul José Frnándz sn cos d m m par 5 S considran las uncions g log a Hallar o g o o g o g o o g y sus dominios b Es inyctiva n R? En caso ngativo rstringir a partir d su graica a un dominio dond sí lo sa y allar la unción invrsa calculando su dominio. c alguna d las uncions g y s acotada n su dominio? Calcular si istn l suprmo ínimo mínimo y máimo d cada una d stas uncions n l intrvalo ]. 4 a o R g log o g glog < o g g log no ist g o o g o < g g o R b ; por tanto no s inyctiva n R A partir d la gráica s obsrva qu s strictamnt dcrcint n.5] y strictamnt crcint n [.5. Así pus s inyctiva n cada uno d stos intrvalos. Considrmos : [.5 [.5 [.5 ; [ ] t t sindo t 4 ; t ± La invrsa s única; n st caso ; 4 ; Dom [.5 ; Im [.5 c no s acotada n R ya qu no s acotada supriormnt al sr Im [.5. g no s acotada n R ya qu no s acotada supriormnt al sr Im g. no s acotada supriormnt ni inriormnt n ya qu Im. 45
5 Manul José Frnándz Si ] [.5] Im sup Si ] ma ; ] ] g [ Im g in.5 min ] ] sup g ] ma g ] no ist ; in g min g ] ] ; por tanto no tin sntido calcular l suprmo ínimo... ya qu l conjunto imagn s l vacio. no stá dinida n ] 6 Calcular mplando cuando s puda ininitésimos quivalnts los siguints límits: sn a a si a b log si a sn cos π c si d cos sn si tg 4 8 si / a sn a a a a a a a a a b log c π / 4 sn cos tg sn cos cos π / 4 sn π / 4 cos cos / logl log cos sn / sn d cos l ; l / 8 8 ; / ; no ist l límit n l cro. 7 Obtnr las asíntotas d las siguints uncions 46
6 Manul José Frnándz a b g log c / d l. utilizando cuando corrsponda ininitésimos quivalnts y jrarquía d ininitos. a Dom R {} Vrticals : ; No ay Horizontals: ; y orizontal a los dos lados Oblicuas: No tin por tnr una asíntota orizontal a los dos lados. b Dom g { R / > } Vrticals: g g Horizontals: log log log log g asíntota vrtical por la izquirda. asíntota vrtical por la drca. g log No tin asíntotas orizontals Oblicuas: y a b a g log g a ya qu si No tin asíntotas oblicuas log << c Dom R {} Vrticals: 8 ; asíntota vrtical por la izquirda y por la dca. 47
7 Manul José Frnándz Horizontals: ; No tin asíntotas orizontals Oblicuas: y a b a a b y 4 asíntota oblicua por los dos lados d Dom l R {} Vrticals: l.. ; l.. indtrminación l / / t ya qu si t t t t >> t asíntota vrtical por la drca Horizontals: / /.. ;.. ; No tin asíntotas orizontals. Oblicuas: y a b a l / l a b ya qu si / [ l ]. [ l ] y asíntota oblicua por los dos lados. 8 Justiicar qu las siguints uncions son continuas n su dominio y dinirlas cuando sa posibl n l rsto d puntos para qu san continuas n toda la rcta ral. 48
8 Manul José Frnándz a b / 6 g c / 4 d l sn cos m a Dom R {} ; s continua n su dominio por sr dirncia y cocint d continuas. si Si dinimos s continua n R b Dom g R { 4} g s continua n su dominio por sr racional cocint d uncions polinómicas. 4 4 g Si dinimos g 4 8 g s continua n R c Dom R {} s continua n su dominio por sr suma rsta cocint y composición d continuas. / ; / prsnta una discontinuidad sncial d salto inito n l punto ; por tanto no s posibl dinir n dico punto para qu sa continua n R. d Dom l R {} l s continua n su dominio por sr suma producto cocint y composición d continuas. sn por sr producto d una unción con límit por otra acotada. Dom m R { } Si dinimos l l s continua n R. m s continua n su dominio por sr dirncia producto y cocint d uncions continuas. cos / cos cos ; 49
9 Manul José Frnándz m prsnta una discontinuidad sncial n l punto ; por tanto no s posibl dinir m n dico punto para qu sa continua n R. Si dinimos m sría continua n R {}. 9 Dmostrar qu la cuación cos k k > tin al mnos una solución n l intrvalo π /. Tnmos qu dmostrar qu la cuación k cos k > tin al mnos una raíz π /. Sa k cos k > n l intrvalo s continua R ; n particular lo s n [ π / ] ; < Aplicando l torma d Bolzano s dmustra l rsultado. ; π / k > π. Dcir d las siguints uncions cuáls stán acotadas supriormnt inriormnt y las qu tinn máimo y mínimo sin utilizar drivadas. a n [ ] b g n [ ] c 4 n todo R a no stá acotada supriormnt ni inriormnt n [ ] y. En conscuncia no ist ya qu ma [ ] y no ist min. [ ] b g s continua n l intrvalo crrado[ ] ; por tanto s acotada supriormnt inriormnt y alcanza l máimo y l mínimo n dico intrvalo. n [ ] c 4 4 stá acotada supriormnt inriormnt n R ya qu s continua n todo punto y l límit n l ininito s un númro ral. Admás como la unción no toma valors ngativos y l límit n l ininito s cro rsulta qu l conjunto imagn s un a a a y mínimo. intrvalo d la orma [ ] [ ]. Por tanto tin máimo 5
10 Manul José Frnándz Estudiar la continuidad y drivabilidad n los puntos y d la unción: sn Hallar la unción drivada d n los puntos dond ista. s continua n ; sn ; sn s continua n ; ; s continua n y n ; por tanto s continua n todos los rals. s drivabl n R sn ; no s drivabl n s drivabl n R s drivabl n y cos > Hallar la unción drivada d las siguints uncions: a b tg g log tg 5
11 5 Manul José Frnándz c < j d l log a s drivabl n R R y Por tanto no ist < > b log log tg tg g ; tg tg tg tg tg g tg tg tg g c j j j j j j Por tanto no ist j < > j d log log.log log l l l. log ; l 4..log log
12 Manul José Frnándz cos Sa arctg sn a Comprobar qu la unción drivada s una constant. b Hallar la cuación d la rcta tangnt a n l punto d abscisa. a sn sn sn cos sn sn sn sn cos cos cos cos sn sn sn b y ; y π 4 sn 4 Hallar la drivada d la unción invrsa d. Comprobar qu s obtin lo mismo utilizando l rsultado corrspondint a la drivada d la unción invrsa. Si [ ] : [ ] [ ] si [ ] s strictamnt crcint por tanto inyctiva y. La invrsa s vr jrcicio 5b: 4 [ ] Utilizando l rsultado corrspondint a la drivada d la unción invrsa rsulta: Dmostrar qu la cuación tin actamnt una raíz positiva y ncontrar un intrvalo con trmos ntros conscutivos qu la contnga. Sa con ; 5
13 Manul José Frnándz Así pus la cuación tin a lo sumo una raíz positiva como conscuncia dl torma d Roll. s continua n [ ] <.5 >. Por tanto aplicando Bolzano podmos airmar qu n l intrvalo la cuación tin al mnos una raíz ral. D todo lo antrior s dduc qu la cuación tin actamnt una raíz positiva y. s ncuntra n 6 a Sa Eist c tal qu c? Justiicar si la rspusta antrior stá n contradicción con l torma dl valor mdio. a b b b Dmostrar qu < log < b a a si < a < b a < Por tanto la rspusta s no. no s continua n [ ] ni drivabl n ; así pus la rspusta no stá n contradicción con l torma dl valor mdio ya qu la unción no vriica las ipótsis d dico torma n [ ]. [ a b] ; s continua n [ a b] drivabl n a b b Sa log Por l torma dl valor mdio c a b tal qu b log log b log a a c b a b a ó quivalntmnt y b a c s dcir b a log b b a. a c < c < b < a < c b b a a > log > c b a b b b b a b < log < c a a a a nóts qu b a > 54
14 Manul José Frnándz 7 Calcular usando la rgla d L Hopital los siguints límits: a tg sn ; b logcos a logcos b a tg tg tg sn cos sn tg tg cos b log log cos a cos b asn a cos a bsn b cos b atg a btg b a b tg a a tg b b 8 Dada la unción log a Aproimar dica unción por una parábola n un ntorno dl cro. b Acotar l rror qu s comt al considrar l valor dl polinomio antrior para calcular log.. a!!... n n! n n c n! n c ó c T R n n T!! log ; Por tanto: log b log. log c c R.. T..! 6 c.. 55
15 Manul José Frnándz c. c > c > < c < Por tanto: R. <. < Utilizar un dsarrollo d Mac-Laurin adcuado para calcular sn con un rror mnor qu. sn ; cos sn ; cos sn ; cos n Rsulta : n cos n n n n sn!! n! n n T n... 5 n...! 5! n! n c n! n n R n n sn c n n! c ó c sn! 5 5! n... n! n n sn c n n! c ó c n n sn c sn... c! 5! n! n! n sn c sn c < < n n! n! n! Si n n 5 y por tanto sn! 5! 6 sn con un rror mnor qu 56
16 Manul José Frnándz Dmostrar qu s un punto crítico d la unción cos si s máimo mínimo punto d inlión o ninguna d stas trs cosas. y studiar sn s dcir s un punto crítico cos sn 4 4 cos Como la primra drivada qu no s anula n s d ordn par y dica drivada s positiva aplicando l critrio d la drivada nésima rsulta qu s un mínimo rlativo. Hallar los trmos absolutos y rlativos d la unción 9 5 si. [ ] Sabmos qu una unción continua n un intrvalo crrado alcanza l máimo y l mínimo absoluto n algún punto dl intrvalo. Los puntos críticos son n st caso los trmos dl intrvalo junto con los puntos intriors dond la drivada s anul o no ista. s drivabl n todo punto por sr un polinomio ; ; 9 ; 4 Por tanto : ma [ ] 4 ; min [ ] 5 Comprobmos qu s un máimo rlativo y 9 un mínimo rlativo. 8 < y > Dtrminar las dimnsions dl rctángulo d ára máima inscrito n una circunrncia d radio R. San y la bas y la altura dl rctángulo. Por l torma d Pitágoras s vriica la siguint rlación: A y R s dcir y 4R y por tanto: 4R s l ára dl rctángulo inscrito n la circunrncia d radio R. 57
17 Manul José Frnándz 4R A 4R 4R 4R R R S pud comprobar qu R < punto. Las dimnsions son A s dcir la unción A alcanza un máimo n dico R y 4R R R y sría un cuadrado. Sa /. a Dtrminar l dominio asíntotas crciminto y dcrciminto trmos rlativos concavidad puntos d inlión y acr un sbozo d la graica d. b Es acotada inriormnt o supriormnt n su dominio? Es acotada inriormnt n?. Calcular si istn l ínimo d n y l suprmo d n. a Dom Asíntotas vrticals: / / / / t / / t t /. / /. indtrminación Asíntotas orizontals: Por tanto s una asíntota vrtical por la drca. ya qu si t t >> t / /. ;. No tin asíntotas orizontals. Asíntotas oblicuas : y a b a / / a ; b [ a] / y asíntota oblicua por los dos lados. Crciminto y dcrciminto: / / / / 58
18 Manul José Frnándz Si >. Si < s strictamnt dcrcint n. Si > s strictamnt crcint n. s strictamnt crcint n Etrmos rlativos: Aplicando l critrio d la drivada primra rsulta qu tin un mínimo rlativo n dcir s un mínimo rlativo. Concavidad: / / /. Dom Si Si <. > s cóncava acia arriba n. s cóncava acia abajo n Puntos d inlión: No ay pusto qu Dom 59
19 Manul José Frnándz b no s acotada ni supriormnt ni inriormnt n su dominio ya qu y Obsérvs qu Im [. s acotada inriormnt n ya qu si [ in s acotada supriormnt n ya qu si sup 4 S considra la unción qu tin un único punto d inlión aproimadamnt n.9.. a Dtrminar l dominio continuidad asíntotas monotonía concavidad y acr un sbozo d la graica d. b Es acotada supriormnt n su dominio? Es acotada supriormnt n? Es acotada supriormnt inriormnt n.5? Razonar las rspustas. a Dom Continuidad: Es continua n todo su dominio por sr dirncia y cocint d uncions continuas. Asíntotas vrticals: ; s una asíntota vrtical por la izquirda y por la drca. Asíntotas orizontals: ; y s una asíntota orizontal para Asíntotas oblicuas : y a b a Solamnt podría tnrla para 6
20 Manul José Frnándz a No tin asíntotas oblicuas. Crciminto y dcrciminto: > Dom s strictamnt crcint n su dominio. No tin trmos rlativos Concavidad:. 9 Si.9 < s cóncava acia abajo n.9 Si.9 > s cóncava acia arriba n.9.. b no s acotada supriormnt n su dominio ya qu. Nóts qu Im s acotada supriormnt n ya qu si s acotada supriormnt inriormnt n.5 ya qu si.5.5 6
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