Ayudantia 8 - MAT1116

Transcripción

1 Ayudatia 8 - MAT de Septiembre del 2017 Defiició Puto Adherete: Sea X R, se dice que a es u puto adherete a X, si a = lím x co x X Defiició Clausura de u cojuto: Llamaremos clausura de u cojuto X R al cojuto: X = {a X/ a es puto adherete a X} Observació : Teemos que x X, ya que si teemos a X, etoces defiimos x = a para todo N, etoces a = lím x. Defiició Cojuto Cerrado: Decimos que F X es cerrado si, F = F. Ejemplo 1: (a, b) = [a, b] Por la observacio aterior teemos gratis que (a, b) (a, b) Ahora, veamos que a (a, b), para esto, cosideremos la sucesió x = a + 1, otemos que a < x para todo N y ademas a = lím x, luego a es u puto adherete a (a, b). Para ver que b es u puto adherete a (a, b) es aalogo. Y claramete o hay mas sucesioes e (a, b) que coverga a u puto fuera de [a, b], luego (a, b) = [a, b] Ejemplo 2: Sea X = { 1 / N} Veamos los putos de adherecia, por la observació teemos que X X, vamos a ver que otro puto es puto adherete. Para esto, cosideremos la sucesió x = 1, claramete x X para todo N Luego 0 = lím x es u puto adherete a X Y claramete o hay mas sucesioes e X que x y las costates, luego X = X {0} 1

2 Problema 1. a es adherete a X Toda vecidad de a cotiee algú puto de X. Solució : = : Teemos que a es adherete a X = a = lím x co x X para todo N, luego por defiició de limite teemos que para cualquier vecidad V de a, x V para suficietemete grade. Luego x V X, luego x V X. Luego teemos que para toda vecidad V de a hay putos de X. =: Teemos que todo etoro de a tiee putos de X. E particular el etoro (a 1, a+ 1 ) cotiee putos de X para todo N. Luego para cada N escogemos x (a 1, a + 1 ), luego otemos que esto implica que x a < 1, como lím 1 = 0 etoces lím x = a Observació : Si a X = existe ua vecidad de a tal que V X =. Problema 2. F R cerrado A = R F = F c es abierto. Solució : = : Teemos que F es cerrado, Queremos ver que A es abierto, pero siempre teemos que It(A) A, asi que vamos a demostrar la otra desigualdad. Sea a A = R F = a F = F, luego a o es adherete a F, etoces por la observació aterior se tiee que existe ua vecidad V de a tal que V F =. Como A = R F y V F =, etoces se tiee que V A. Recapitulado, tomamos a A y vimos que existe V vecidad de a tal que V A, osea a It(A). Por lo tato A It(A). Asi que A = It(A), osea A es abierto. =: Teemos que A es abierto, Queremos ver que F es cerrado, pero siempre teemos que F F, asi que vamos a ver la otra desigualdad. Sea a F, etoces por el problema 1 teemos que todo etoro de a tiee putos de F, osea, a It(A) = A, luego a F. Por lo tato, F F. Luego F = F, osea, F es cerrado. Problema 3. Si F 1 y F 2 so cerrados = F 1 F 2 es cerrado. Solució : Teemos que F 1 y F 2 so cerrados, luego por el problema 2, teemos que F c 1 y F c 2 so abiertos. Queremos demostrar que F 1 F 2 esto es aalogo a demostrar que (F 1 F 2 ) c es abierto. Pero teemos que: (F 1 F 2 ) c = F c 1 F c 2 Co F c 1 y F c 2 abiertos, pero sabemos que la itersecció de dos abiertos es abierto, etoces (F 1 F 2 ) c es abierto, luego (F 1 F 2 ) es cerrado. 2

3 Observació : De el problema aterior se deduce que las uioes fiitas de cerrados so cerrados. Notar que esto o es cierto para uioes ifiitas, ya que todo cojuto (abierto o o) puede escribirse como uioes ifiitas de cojutos de u elemeto, los cuales so cerrados. Problema 4. Sea F i, i N ua familia ifiita de cojutos cerrados = i=1 F i es u cojuto cerrado. Solució : teemos que F i so cerrados para todo i N, luego Fi c so abiertos para todo i N. Queremos demostrar que i=1 F i es cerrado,pero por el problema 3, basta co demostrar que ( i=1 F i) c es abierto, pero teemos que: ( F i ) c = i=1 Sabemos que Fi c, i N so abiertos y que la uio arbitraria de cojutos abiertos es abierto, etoces teemos que ( i=1 F i) c es abierto. Defiició Putos de Acumulació: Diremos que a R es u puto de acumulació de cojuto X R, si para todo ɛ > 0, se tiee que: i=1 F c i (a ɛ, a + ɛ) (X {a}) LLamaremos X = {a X / a es puto de acumulacio de X} Defiició Puto Aislado: Diremos que a R es u puto aislado de cojuto X R, si a o es puto de acumuluació de X, osea, existe ɛ > 0 tal que: X (a ɛ, a + ɛ) = Ejemplo : Si cosideramos el cojuto X = { 1 / N} podemos otar que tiee u puto de acumulació e 0, ya que para todo ɛ > 0 hay u puto e el cojuto X (ɛ, ɛ), esto es porque dado u ɛ > 0 siempre puedo ecotrar u N N tal que 1 N < ɛ, luego 1 N X (ɛ, ɛ). 3

4 Problema 5. Dado X R y a R, teemos que la siguietes afirmacioes so equivaletes: 1. a es puto de acumulació de X. 2. a es límite de ua sucesió de putos x X {a}. 3. Todo itervalo abierto cetrado e a cotiede ifiitos putos de X. Solució : (1. = 2.) Teemos que a es puto de acumulació de X, luego se tiee que (a ɛ, a + ɛ) (X {a}), e particular tomado ɛ = 1 para todo N, se tiee que : Para todo N, (a 1, a + 1 ) (X {a}), Luego para todo N, tomamos u elemeto x (a 1, a + 1 ) (X {a}), (x a). Como x (a 1, a + 1 ) (X {a}), etoces a 1 < x < a + 1, etoces x a < 1. Etoces teemos que lím x = a co x a. (2. = 3.) Teemos que a = lím x co x a, etoces cosideremos el cojuto C 0 = {x : > 0 } para cualquier 0 N, otemos que C 0 tiee ifiitos elemetos de X, ya que si tuviera fiitos, se tedria que algu elemeto x 1 se repetiria ifiitas veces, luego lím x x 1 a, lo que es u cotradicció. Osea, teemos que el cojuto C 0 = {x : > 0 } tiee ifiitos elemetos de X. Ademas otemos que si V es u itervalo abierto co cetro a, se tiee que C 0 V para algu 0 N por defiició de limite. Luego todo itervalo abierto V cetrado e a tiee ifiitos elemetos de X. (3. = 1.) Teemos que todo itervalo abierto cetrado e a, cotiee ifiitos putos de X. E particular para todo ɛ > 0 el itervalo (a ɛ, a + ɛ) tiee ifiitos elemetos de X. Luego (a ɛ, a + ɛ) X tiee ifiitos elemetos. Etoces (a ɛ, a + ɛ) X {a} sigue teiedo ifiitos elemetos. Luego a es puto de acumulació de X. Observació : Notar que el problema aterior os dice que los putos de acumulació so basicamete limites de sucesioes que o so costates. Ejemplo : Sea X = (a, b), etoces a y b so putos de acumulacio de X ya que a = lím a + 1, co a + 1 X y a + 1 a Pero o so los uicos, de hecho X = [a, b], la demostracio es basicamete lo mismo que hicimos co a, pero teiedo cuidado de que la sucesió que tomamos este detro de (a, b). 4

5 Problema 6. Todo cojuto ifiito y acotado de úmeros reales tiee al meos, u puto de acumulació. Solució : Teemos que X es ifiito y acotado, etoces tomemos u cojuto ifiito y eumeremoslo, sea {x 1, x 2,..., x,...}, ahora co estos elemetos que so todos distitos defiamos ua sucesió llamemosla (x ), claramete esta sucesió esta acotada, ya que X esta acotado. Luego por el Teorema de Bolzao.Weiertrass, sabemos que uestra sucesio (x ) posee ua subsucesió covergete, llamemosla (x φ() ) que cumple co: lím x φ() = a R Ahora cosideremos el cojuto {x φ(1), x φ(2),..., x φ(),...}, este cojuto tiee ifiitos elemetos distitos, y si para algu j N se tiee que x φ() = a le quitamos ese elemeto. Etoces {x φ(1), x φ(2),..., x φ(),...} es u cojuto ifiito, co x φ() a y tal que lím x φ() = a, luego por el problema 5, a es puto de acumulació de X. 5