INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS. (Integral impropia de 1ª especie).

Transcripción

1 Integrles Impropis INTEGRALES IMPROPIAS L integrl f ()d se die impropi si ourre l menos un de ls hipótesis siguientes: º, o mos son infinitos. 2º L funión f() no está otd en el intervlo [,]. Ejemplos: d 2 2 ; d d 2 INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS. Los distintos tipos son: ) f ()d (Integrl impropi de ª espeie).,) f ()d, ) f ()d ) Se R, f() funión otd e integrle en el intervlo [,] pr todo. Definimos f ()d = lím f ()d. k k Si éste límite eiste, y es igul un nº finito L, se die que l integrl f ()d = L, es onvergente. Ejemplo: d 2 Si tl límite es infinito l integrl es divergente. Ejemplo: d Cundo no eiste límite se die que no eiste vlor de l integrl o ést es divergente por osilión. Ejemplo: send ) De l mism form, f() es otd e integrle en el intervlo [, ] siendo R. Se define: f ()d = lím f ()d. k k En los sos en que, éste límite (se finito, se infinito o no eist), l integrl será (onvergente, divergente o divergente por osilión). Ejemplo: d = 3 U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí

2 Integrles Impropis ) Se define f ()d = f ()d + f ()d. L integrl del primer miemro de die onvergente, si eisten y son finits ms integrles del segundo miemro. Ejemplo: e d Se die divergente si l menos un de ells es no onvergente. INTEGRALES DE FUNCIONES NO ACOTADAS. (Integrl impropi de segund espeie). ) Se f() un funión definid en un intervlo (,], integrle en todo intervlo [,] on < y no otd en el límite inferior del intervlo de integrión, lím f () =±. ε, I es onvergente, divergente u osilnte si el límite es +ε I = f()d = lím f()d + finito, infinito o no eiste, respetivmente. Ejemplo: d ) Análogmente se define l integrl en intervlo de l form [,). Se f() no otd en el límite superior del intervlo de integrión lím f () =±; I = f()d = lím f()d ε ε, I es onvergente, divergente u osilnte si el límite es finito, infinito o no eiste, respetivmente. ) Si l funión está definid en (,) y lím f () =±; lím f () =±, siendo integrle en todo + intervlo ontenido en (,) diremos que l integrl I = f()d es onvergente undo lo sen simultánemente ls integrles de f en los intervlos (,] y [,). d) f() no est otd en un punto (,). f ()d = f ()d + f ()d = lim ε ε + ε2 ε f ()d + lim 2 f ()d U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 2

3 Integrles Impropis en so de ser mos límites finitos l integrl del primer miemro es onvergente, en otro so l integrl es divergente. Ejemplo: 3 d ( ) 2 d INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS DE FUNCIONES NO ACOTADAS. (Integrl impropi de terer espeie). Se trt de un integrl on intervlo no otdo, y funión no otd en un número finito de puntos. Desomponemos l integrl en sum de ls integrles de los tipos nteriores. Es onvergente si tods ls integrles de los sumndos son onvergentes. Si un l menos es divergente l integrl dd es divergente. CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS Integrles en intervlos no otdos (ª espeie). Criterio de omprión: Sen f() y g() tles que f() g(), f()d i) Si g()d onverge, entones f()d onverge ii) Si f()d diverge, entones g()d diverge 2. Criterio de omprión en el límite: Sen f() y g() tles que f(), g(), y f() lím g() = A i) Si A R, A entones f()d y g()d onvergen o divergen simultánemente. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 3

4 Integrles Impropis ii) Si A= y g()d onverge, entones f()d onverge iii) Si A= y g()d diverge, entones f()d diverge 3. Corolrio: f() Se f() tl que f(), y lím p / = A i) Si A R, A y p>, entones ii) Si A R, A y p, entones f()d onverge. f()d diverge. iii) Si A= y p>, entones f()d onverge. iiii) Si A = y p, entones Puesto que semos que f()d diverge. > d onverge si p = p diverge si p NOTA: Criterios nálogos son válidos pr CONVERGENCIA DE INTEGRALES IMPROPIAS Integrles de funiones no otds (2ª espeie). Criterio de omprión: Sen f() y g() tles que f() g(), (, ] f()d on f() no otd en = i) Si g()d onverge, entones f()d onverge ii) Si f()d diverge, entones g()d diverge 2. Criterio de omprión en el límite: (, ] Sen f() y g() tles que f(), g(), y f() lím = A g() + U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 4

5 Integrles Impropis i) Si A R, A entones simultánemente. f()d y g()d onvergen o divergen ii) Si A= y g()d onverge, entones f()d onverge iii) Si A= y g()d diverge, entones f()d diverge 3. Corolrio: f() y lím+ p /( ) Se f() tl que f(), (,] = A i) Si A R, A y p<, entones ii) Si A R, A y p, entones f()d onverge. f()d diverge. iii) Si A= y p<, entones f()d onverge. iiii) Si A = y p, entones Puesto que semos que d ( ) p f()d diverge. onverge si p< = diverge si p NOTA: Criterios nálogos son válidos undo f() no está otd en =. U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 5

6 Integrles Impropis INTEGRALES EULERIANAS ) Funión gmm de Euler Se p R, p>. Se p (p) e d Γ = l funión gmm de Euler. Est integrl es onvergente y reie el nomre de integrl eulerin de ª espeie. Propieddes:.- Γ (p) = (p ) Γ(p ) 2.- Γ (p) = (p )! si p N Γ = π 2 π Γ(p) Γ( p) = sen ( π p), si <p<. 2) Funión et de Euler Se p,q R, p,q>. Se p q (p,q) ( ) d l funión et de Euler. β = Est integrl es onvergente y reie el nomre de integrl eulerin de 2ª espeie. Propieddes:.- β (p,q) =β (q,p) 2.- π (p,q) 2 2 2p 2q sen os d β = (p) (q) (p q) Γ Γ 3.- β (p,q) = Γ + U. D. de Mtemátis. ETSI en Topogrfí, Geodesi y Crtogrfí 6