Operaciones con fracciones

Transcripción

1 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Opercioes co frccioes Mtemátics I - º de Bchillerto Operció Sum c d + c + d d Rest (difereci) c d c d d Ejemplo OJO! Oserv cómo e este ejemplo el deomidor comú o es el producto de los deomidores sio el MCM de y. De est mer ls opercioes será mucho más secills OJO! El resultdo siempre hy que simplificrlo. Pr ello se divide el umerdor y el deomidor etre el MCD de mos. E este cso hemos dividido etre y que MCD(, ). Producto (multiplicció) c c 8 8 d d Cociete (divisió) c d d / d :, o ie d c c c / d c Oservció: l frcció d/c se llm ivers de c/d (l multiplicrls el resultdo es ). Pues ie, pr dividir dos frccioes, se multiplic l primer por l ivers de l segud. Poteci (de epoete etero positivo o cero) ( veces) ; Poteci (de epoete etero egtivo) ; ; ; Oservció: pr efectur u poteci de epoete egtivo se cmi l se por su frcció ivers (e este cso / por /) y el epoete egtivo se cmi positivo. Así pues, el resultdo es l poteci de se l frcció ivers elevd l epoete pero egtivo. :, o lo que es lo mismo, / 7 etremos / medios OBSERVA! El resultdo oteido (8/) es l frcció ivers del resultdo oteido e el ejemplo terior (/8), que er l mism poteci, pero de epoete positivo. Es importte recordr que l jerrquí etre ls opercioes es l siguiete: primero, corchetes y prétesis; segudo, productos (icluids ls potecis) y divisioes, de izquierd derech; tercero: sums y rests, de izquierd derech. Así o cometeremos errores l hor de efectur opercioes más etess. Por ejemplo: : : : Números reles Pági

2 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos El cojuto de los u meros reles Cojutos uméricos El cojuto de los úmeros turles:,,,,,, Mtemátics I - º de Bchillerto El cojuto de los úmeros eteros:,,,,,,,,, p El cojuto de los úmeros rcioles: (frccioes) : p, q co q q Propiedd: todo úmero rciol es etero, deciml ecto o deciml periódico (puro o mito). Importte: dees recordr de cursos teriores cómo se epres u deciml ecto, periódico puro o periódico mito e form de frcció. Por ejemplo: 9 8, ;, El cojuto de los úmeros irrcioles: I. Está formdo por todos quellos úmeros reles que o so rcioles. Tiee ifiits cifrs decimles, pero o form período. Represetció de los úmeros reles: (etero);, (deciml ecto); 8,..., (deciml periódico puro); 9 9,8...,8 (deciml periódico mito),789789,,9 I Itervlo ierto: (, ) : Itervlo cerrdo:, : Itervlos semiiertos Semirrects Itervlos y semirrects Números que está compredidos etre y. (, :, ) : (, ) : (, : (, ) :, ) : Números que está compredidos etre y, icluidos estos. Números myores que y meores o igules que. Números myores o igules que o meores que. Números meores que. Números meores o igules que (se icluye l propio ). + Números myores que. + Números myores o igules que (se icluye el propio ). Números reles Pági

3 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Mtemátics I - º de Bchillerto Propieddes de ls potecis. Igulddes otles Producto de potecis de l mism se es igul l se elevd l sum de los epoetes: m m + Propieddes de ls potecis ( ) ( ) ( ) y z yz y yz z y z Cociete de potecis de l mism se es igul l se elevd l difereci de los epoetes: m m Poteci de u producto es igul l producto de ls potecis: ( ) Poteci de u cociete es igul l cociete de ls potecis: ( ) ( ) yzp y z p 8 y z p ( ) ( ) ( ) 7 7 ( ) ( y) 7 y y 8 y Poteci de u poteci es igul l se elevd l producto de los epoetes: ( ) m m Cudrdo de u sum es igul l cudrdo del primero más dos veces el primero por el segudo, más el cudrdo del segudo: ( ) OJO! No cofudir l iguldd terior co est otr, que es erróe: ( ) + + Cudrdo de u difereci es igul l cudrdo del primero meos dos veces el primero por el segudo, más el cudrdo del segudo: ( ) + OJO! No cofudir l iguldd terior co est otr, que es erróe: ( ) 8 z ( ) ( z ) z 7 Igulddes otles ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + Sum por difereci es igul difereci de cudrdos: + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) + y y y y Recuerd! Cudo el sigo de l se de u poteci es egtivo, etoces: Si el epoete es pr, el resultdo es positivo. Si el epoete es impr, el resultdo es egtivo. Números reles Pági

4 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Rdicles Mtemátics I - º de Bchillerto es el rdicl, Form epoecil: es el rdicdo y es el ídice de l ríz ; m m Si Si,, eiste culquier que se. sólo eiste pr vlores impres de., y que ( ) Igulddes otles Rdicles equivletes: p p Est propiedd sirve pr simplificr rdicles y reducir rdicles ídice comú. Poteci de u rdicl: ( ) p p Poteci de u ríz es igul ríz de u poteci. Ríz de u ríz: m m Ríz de u ríz es igul l ríz de ídice el producto de los ídices Reducir ídice comú 8 ; ( ) 9 9 y : Ríz de u producto: Ríz de u producto es igul l producto de ls ríces. Ríz de u cociete: Sum de rdicles: dos epresioes co rdicles se dice semejtes si l ríz que prece e ms tiee el mismo ídice y el mismo rdicdo (por ejemplo, y so rdicles semejtes). Solmete se puede sumr (o restr) epresioes co rdicles que se semejtes. 9 (oserv cómo e este ejemplo l propiedd se h utilizdo dos veces). 9 () 9 ( ) ( ) Rciolizció de deomidores Co u ríz cudrd e el deomidor: se multiplic rri y jo (umerdor y deomidor) por l mism ríz. Co u ríz -ésim e el deomidor: se multiplic rri y jo por otr ríz -ésim tl que se complete el rdicdo co u poteci -ésim. Co u sum o difereci de ríces cudrds e el deomidor: se multiplic rri y jo por l epresió cojugd del deomidor. 7 7 (oserv cómo se h utilizdo e este ejemplo vris de ls propieddes teriores pr simplificr) ( + ) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( ) Números reles Pági

5 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Vlor soluto Mtemátics I - º de Bchillerto si si El vlor soluto de u úmero rel es l distci de ese úmero l úmero, orige de l rect rel. Propieddes del vlor soluto L distci de u úmero l orige es siempre cero (cudo ese úmero es cero) o positiv. Defiició,,, (,), 7 ( 7) 7, y que 7 egtivo. Iterpretció geométric del vlor soluto 8 L distci de l, orige de l rect rel, es y que ( ) Oservcioes y ejemplos Esto es cosecueci de l propi defiició: Si, etoces. Si, etoces (y que ). es Decir que l distci de u úmero l orige es cero es equivlete decir que ese úmero es el propio. L distci de u úmero l orige es siempre myor o igul que ese úmero. L distci de u úmero l orige es igul que l distci del opuesto de ese úmero l orige. ; L distci del producto (o cociete) de dos úmeros l orige es igul que el producto (o cociete) de ls distcis de esos dos úmeros l orige. Al úmero, que es igul que segú est propiedd, se le llm distci etre y. Est propiedd es evidete e sí mism. Lo que viee decir es que el úico úmero rel cuyo vlor soluto es cero es el propio úmero. (si el úmero es positivo se d l iguldd). (si el úmero es egtivo se d l desiguldd estrict)., y que y. ( ), y que , y que. Est propiedd es fácil de demostrr. Por l propiedd teemos que: ( ) 7 ; o ; o 8 Desiguldd trigulr: 9 So muy útiles pr resolver cierts iecucioes:. + + o + 8 o ( 7) ( ) Números reles Pági

6 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Notcio cietí fic Mtemátics I - º de Bchillerto U úmero está epresdo e otció cietífic si se escrie como el producto de u úmero myor o igul que y meor estrictmete que, y u poteci de. Si u úmero está epresdo e otció cietífic l epoete etero l que está elevdo l poteci de se le llm orde de mgitud. Defiició,,, 978, 9, 78 Sum y rest e otció cietífic Pr sumr y restr úmeros epresdos e otció cietífic es ecesrio que todos esté epresdos co el mismo orde de mgitud. Es hitul escriirlos e el myor de los órdees de mgitud que prezc e dichs sums o rests. Pr multiplicr y dividir úmeros epresdos e otció cietífic se oper co ls potecis de por u ldo (plicdo ls propieddes de ls potecis), y el resto de l epresió por el otro.,,, (,,) 8,,8 + + (,8),8 + Producto y divisió e otció cietífic Cifrs sigifictivs Recie el omre de cifr sigifictiv todo dígito (eceptudo el cero cudo se utiliz pr situr el puto deciml) cuyo vlor se cooce co seguridd. El úmero, tiee cutro cifrs sigifictivs. El úmero, tiee tres cifrs sigifictivs; los tres primeros ceros o so cifrs sigifictivs y que simplemete sitú el puto deciml. E otció cietífic este último úmero se escrie, (, ) ( ) (, ) ( ), (, ) :( ) (,: ) ( : ),, Por ejemplo, epresemos el resultdo de l operció ( 7, ) 9, e otció cietífic co tres cifrs sigifictivs: ( ) ( ) ( ) 8 7, 7, 7, ,,, 8 7,8 7, 7, 9, 9 8 Uso de l clculdor cietífic L tecl EXP o ie l tecl, yud epresr úmeros e otció cietífic. Además, l clculdor posee u modo de ctució (MODE SCI) específico pr est otció. El modo SCI hce que l clculdor trje siempre e otció cietífic y, demás, co l ctidd de cifrs sigifictivs que previmete le hymos idicdo. Depediedo de l clculdor que tegs se ccederá l modo SCI de u form o de otr. Aprede hcerlo co l tuy. U vez lo seps, itroduce el úmero de cifrs sigifictivs, por ejemplo. E este cso si relizs l operció: ( 789) (, ), u vez que pulses el igul el resultdo será Como puedes oservr, este resultdo tiee cifrs sigifictivs:,.,. Números reles Pági

7 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Aproimcioes y errores Mtemátics I - º de Bchillerto Se dice que de u úmero rel tommos u proimció de orde cudo se trt de u úmero rciol co cifrs decimles. Por defecto o trucmieto: se elimi ls cifrs decimles prtir del orde cosiderdo. Por eceso: se elimi ls cifrs decimles hst el orde cosiderdo y se ñde u cifr. Redodeo: se elimi tods ls cifrs decimles prtir del orde idicdo y, si l cifr siguiete l orde cosiderdo es myor o igul que, se ñde u uidd l últim cifr. El error soluto ( E ) de u medid proimd es el vlor soluto de l difereci etre el vlor rel ( y el vlor proimdo ( V ): E Vr V El vlor rel o ecto es, e l myorí de los csos, descoocido. Por tto, tmié se descooce el error soluto. Lo importte es poder cotrlo, diciedo que el error soluto es meor que U cot del error soluto se otiee prtir de l últim cifr sigifictiv utilizd, tomdo l mitd de ést. El error reltivo ( E r soluto y el vlor rel: ) es el cociete etre el vlor E r E V El error reltivo es tto meor cuts más cifrs sigifictivs se us. r Orde de proimció,7 Métodos de proimció (proimció de orde ).,77 (proimció de orde ). Aproimr,88 hst el orde (milésims). O lo que es lo mismo, proimr,88 co cutro cifrs sigifictivs. Por defecto trucmieto:,. Por eceso:,. Redodeo:,. Error soluto. Cot del error soluto V r ) El error soluto que se comete l redoder,88 ls milésims es: E Vr V, 88,, Si u pisci tiee u cpcidd de 79 m, l últim cifr sigifictiv (el 9 ) desig uiddes de. El error soluto es pues meor que medio metro cúico (cot del error soluto): Error reltivo. Cot del error reltivo E, m Vemos u pr de ejemplos sdos e los dos ejemplos teriores. El error reltivo que se comete l redoder,88 ls milésims es: E r m E,, 897 V, 88 r Al tomr como cpcidd de l pisci 79 m, el error reltivo que se comete es meor que:, Er, 7 79 Números reles Pági 7

8 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Logritmos Mtemátics I - º de Bchillerto, se llm logritmo e se Si y epoete l que hy que elevr l se log Defiició de l pr oteer log 8 porque U oservció de iterés Los úmeros que so potecis ects de l se tiee logritmos eteros (ejemplos teriores). Si o es sí el logritmo es u úmero deciml. Propieddes de los logritmos Números distitos tiee logritmos distitos. O se: c log log c Además: Si y c, etoces log log c. Si y c, etoces log log c. El logritmo de e se de es igul : log El logritmo de es, se quie se l se: log 7 8 El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos: log c log + log c ( ) El logritmo de u cociete es igul l difereci de los logritmos: log log log c c El logritmo de u poteci es igul l epoete por el logritmo de l se: log log El logritmo de u ríz es igul l logritmo del rdicdo dividido por el ídice: log log Cmio de se. El logritmo e se de u úmero se puede oteer prtir de logritmos e otr se: logk log log k 8 log8 porque. log 8 porque. 8 log porque. 8 es u úmero deciml situdo etre y y Oservcioes y ejemplos De lo terior se deduce que el logritmo de se myor que es creciete ( úmeros myores logritmos myores), y que el logritmo de se u úmero compredido etre y es decreciete ( úmeros myores logritmos meores). Est propiedd es evidete y que.. Est propiedd tmié es clr pues. Si log r, y log s, 7, clculr r s log y r log. s log r s log log ( r s) ( ) log r+ log s log, +, 7, r log log + log r log s s / + log r.log s + log r log s +, (, 7) +, +, 8, Números reles Pági 8

9 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg mteriles de mtemátics Uidd. Números reles. Logritmos Logritmos decimles Los logritmos e se se llm logritmos decimles y, e lugr de desigrse medite simplemete co log. Es decir: log log Mtemátics I - º de Bchillerto log se desig L tecl log de l clculdor sirve pr clculr logritmos decimles. Por l propiedd 8 terior, se puede oteer, co l yud de l clculdor, el logritmo de u úmero e culquier se. Por ejemplo: El úmero e log log, 97 log El úmero e es muy especil e mtemátics. Se defie como el úmero l que tiede l fució f ( ) cudo tiede +. De est fució podemos hllr sucesivmete Por ejemplo: f ( ) +, 799, f ( ) Es posile demostrr (uque esto requiere de mtemátics superiores), que cudo tiede u úmero irrciol l que llmremos úmero e. Simólicmete: Logritmos eperios f ( ) f ( ) + e, , f ( ),, f ( ) + f,, ( ) +, Se llm sí los logritmos cuy se es el úmero e, y se desig medite l revitur logritmo eperio de u úmero es: l log e, etoces l, +. De este modo el Su omre proviee de Joh Npier, u mtemático escocés, recoocido por ser el primero e defiir los logritmos. L tecl l de l clculdor sirve pr clculr logritmos eperios. Estos logritmos, demás de su iterés histórico, so eormemete importtes e mtemátics superiores. Ejemplos. Solmete utilizdo l defiició de logritmo podemos clculr log + log log 9 log. Oserv: / log + log log 9 log log + log log log log + ( ) log log log. Utilizdo l defiició de logritmo tmié podemos resolver ecucioes dode l icógit es l se del logritmo. Por ejemplo log.. Podemos epresr como u solo logritmo cierts epresioes, por ejemplo log + log c log d. Bst plicr ls propieddes l ivers: log log c log d log log c log d log ( c ) log d log c + +. d. Co l clculdor y utilizdo el cmio de se se puede hllr logritmos de se culquier úmero. log 98 l7 log7 98,7 ; log/ 7,97 log 7 l / ( ) Números reles Pági 9