En el espacio-tiempo, las moléculas pueden acumular energía cinéticas de tres maneras

Transcripción

1 Rotacón En el espaco-tempo, las moléculas pueden acumular energía cnétcas de tres maneras Por ejemplo, cuando agregamos calor a un gas monoatómco a volumen constante, toda la energía agregada aumenta la energía cnétca molecular traslaconal T aumenta Pero s hacemos la msma cosa a un gas datómco o polatómco se aumentará tambén su energía de rotacón y vbracón El Prncpo de equpartcón de energía dce que a cada componente de velocdad lneal o angular tene en promedo una energía cnétca asocada por molécula de 1 kt El número de velocdades necesaro para descrbr por completo el movmento de una molécula es gual al grado de lbertad en el espaco-tempo Para un gas monoatómco = 3 = ( v, v, v x y z) kt = kt Pero para una molécula batómca tene tambén ejes de rotacón entre s (aquí no consderamos rotacón en torno de eje x que es smétrco) 3+ = 5 grados de lbertad en total Energía cnétca total por moléculas kt = kt Ktot = nna kt = n( NAk) T = nrt Que pasa ahora para un cuerpo hecho de muchas moléculas en rotacón? Para la energía el msmo se aplca se debe agregar la energía de rotacón 1

2 Mecánca del movmento de rotacón Consderamos un cuerpo macroscópco formado por un gran número de partículas con masa m, m,... 1 A la dferenca de un gas, un cuerpo rígdo (sóldo) tene una forma (geometría) y tamaño perfectamente defndos e nmutables la dstanca entre las moléculas es fja La descrpcón cnétca y la dnámca del movmento de rotacón de un cuerpo rígdo son smlares al del movmento lneal Cnemátca Consderamos un cuerpo rígdo que gra sobre un eje fjo (eje de rotacón) Par descrbr el desplazamento del punto P en rotacón alrededor del eje z defnmos una coordenada angular θ (1) s θ = r 360 Con undad [ θ ] = radan 1 rad = = 57.3 π o 180 = π rad o 90 = rad π Como tene dos sentdo posble de rotacón defnmos θ > 0 rotacón anthoraro La trayectora s= rθ es el arco crcular correspondente al desplazamento (tene undad de r ) [ ]

3 La velocdad y aceleracón angular son determnados a partr de las dferencales del desplazamento: Velocdad angular meda θ θ1 θ () ωmed = = t t t 1 Velocdad angular nstantánea Aceleracón angular meda ω ω1 ω (4) αmed = = t t t 1 Aceleracón angular nstantánea (3) θ dθ ω = lm = t 0 t dt (5) ω dω α = lm = t 0 t dt Con undad [ ] rad ω = s Otra undad: rev rpm = donde mn rev π rad rad 1 = 1 10 rpm mn 60 s s ddθ d θ Donde α = = dt dt dt rad Con undad [ α ] = s En un cuerpo rígdo, en cualquer nstante todas las partes tenen la msma velocdad angular Para α > 0, la velocdad angular aumenta y dsmnuya para α < 0 La velocdad y aceleracón angular son vectores: ω y α El sentdo de rotacón por convencón regla de la mano derecha: s los dedos de la mano derecha se curvan en la dreccón de la rotacón, el pulgar ndca la dreccón del vector 3

4 Aceleracón angular constante α = constante La velocdad nstantánea camba de manera lneal (6) ω = ω0 + αt ω0 + ω θ θ0 Por defncón tenemos que ωmed = = t 1 θ = θ0 + ω0 + ω (7) ( ) Substtumos ω ω0 αt 1 = + en θ = θ0 + ( ω0 + ω) t = 0 + [ 0 + ] t 1 θ θ ω αtt (8) 1 θ = θ0 + ω0t+ αt Combnando ω = ω0 + αt con 1 θ = θ0 + ω0t+ αt (9) ω = ω + α( θ θ ) Msma forma que para el movmento lneal 0 0 4

5 La relacón entre la cnemátca lneal y angular Dervando en funcón del tempo la relacón para el arco crcular s ds dθ = r la rapdez es proporconal a la velocdad angular dt dt (10) v= rω = rθ Tene dos componentes a la aceleracón La aceleracón tangencal La aceleracón centrípeta dv dω (11) a = atan = = r = rα dt dt (1) v r a = a = = rad ω r La resultante de las componentes centrípeta y tangencal es la aceleracón lneal 5

6 Dnámca De manera cuanttatva la accón de una fuerza para causar o alterar el movmento de rotacón de un cuerpo es medda por el momento de torsón τ τ depende de la magntud de la fuerza y de la dstanca perpendcular l entre el punto de aplcacón de la fuerza sobre la línea de accón y el eje de rotacón l = brazo de palanca El momento de torsón amplfca la accón de las fuerzas por el brazo de palanca Momento de torsón (13) τ = Fl El momento de torsón > 0 en el sentdo anthoraro y tene undad: [ ] τ = N m CUIDADO: la undad del momento de torsón es la msma que el trabajo o energía pero el momento es un vector no un escalar 6

7 El vector momento de torsón (14) τ = r F Drgdo a lo largo del eje de rotacón y con sentdo dado por la regla de la mano derecha Magntud del vector momento de torsón: (15) τ = r F = Frsenφ Donde φ es el ángulo entre el vector de aplcacón de la fuerza y la fuerza Maneras equvalentes de calcular el momento de torsón: 1. Determnar el braco de palanca l = rsenφ y usar la relacón: τ = Fl = Fr senφ. Determnar el ángulo φ entre el vector de aplcacón de la fuerza r y el vector de fuerza F y usar la relacón para la magntud del producto vectoral: τ = Frsenφ 3. Expresar F en térmnos de sus componentes radal Frad = Fcosφ y tangencal F = Fsenφ Solamente la componente tangencal ntroduce un momento de torsón: τ = rfsenφ 7

8 Consderamos una llave de trueca herramenta que permte aplcar un momento de torsón S l = 0.1m y aplcamos una fuerza por abajo (peso) de F = 900N el braco de palanca l = rsen71 = rcos19 = 0.10m 0.95= 0.095m el momento de torsón τ = 900N 0.095m= 86N m Para aumentar el momento de torsón que produce la llave, aumentamos el braco de palanca a l = 0.80m El braco de palanca l = rsen71 = rcos19 = 0.80m 0.95= 0.76m el momento de torsón τ = 900N 0.76m= 680N m Una aumentacón por un factor 8 extremamente potente 8

9 Momento de torsón y aceleracón angular La segunda ley de Newton descrbe la accón de la fuerza como F = ma, el msmo prncpo se aplca al movmento de rotacón Consderamos un cuerpo rígdo hecho de partículas de masa m 1 que torna alrededor del eje y La fuerza neta sobre la partícula m 1 puede ser separada en 3 componentes: F Fuerza neta = F F 1, rad 1, tan 1, y Solamente la fuerza tangencal mplca una aceleracón angular (16) F1, tan = ma 1 1, tan Con la relacón entre la aceleracón angular y tangencal es: a 1, tan = rα 1 Substtuyendo F1, tan = mrα 11 y multplcando por r 1 : (17) F r = mrα 1, tan 1 11 Aquí mr 11 = I1 = el momento de nerca de la partícula alrededor del eje y e F1, tanr 1 es la magntud del momento de torsón τ 1 el momento de torsón para la masa m 1: (18) τ = mr α = Iα

10 Sumando los momentos de torsón para todas las partículas: τ + τ + τ +... = Iα + Iα + I α +... = mr α + mr α + mrα El momento de torsón total del sstema α τ = mr (19) τ = Iα Donde I es el momento de nerca del cuerpo en relacón al eje de rotacón NOTA - Porque todos los momentos nternos suman a cero, la suma de los momentos ncluya solamente la torsón de las fuerza externas equvalente a segunda ley F = Ma Comparando con la energía cnétca lneal vemos que la parte nercal toma en cuenta la dstrbucón de las masas en torno del eje de rotacón - el momento de nerca (0) Con undad [ ] I = kg m I = mr 10

11 Más grande el momento de nerca y más dfícl hacer un cuerpo grar, o más dfícl detener lo s esta grando El momento de nerca no es únco, pero depende del eje de rotacón De echo ha una nfndad de momento de nerca, como a una nfndad de eje de rotacón 11

12 Teorema de los ejes paralelos Para un cuerpo rígdo de masa M, hay una relacón smple entre el momento de nerca I cm alrededor de un eje que pasa por el centro de masa, y el momento de nerca I p alrededor de un eje paralelo a el a una dstanca d - Teorema de los ejes paralelos (1) I = I + Md p cm Un cuerpo rígdo tene menor momento de nerca alrededor de un eje que pasa por el centro de masa Demostracón: dos ejes paralelos a eje z - uno pasa por el centro de masa (al orgen) el otro por el punto P en ( ab, ) la dstanca entre los dos ejes: S m = un elemento de masa con coordenadas ( x, y, z ) = ( + ) I m x y cm d = a + b La expresón para el momento de nerca en torno de P es I p : ( ) ( ) I m x a y b p = + Expandendo los cuadrados: ( ) ( ) I = m x + y a mx b my + a + b m p, el momento de nerca I cm : I = I ax by + dm = I 0 0+ dm = I + dm p cm cm cm cm cm 1

13 Energía cnétca Consderamos un cuerpo rígdo formado por un gran número de partículas con masa m1, m,... a dstancas perpendcular r 1, r,... del eje de rotacón Para la -ésma partícula de masa m y dstanca r su su rapdez es v = rω Por defncón, su energía cnétca: 1 1 K = mv = mr ω La energía cnétca total: 1 1 K = K = mr ω = ω mr La energía cnétca total de rotacón () K 1 = Iω Cuanto mayor el momento de nerca, mayor la energía cnétca de un cuerpo rígdo que gra con una velocdad angular dada Trabajo y potenca Una fuerza constante F tan rueda pvotante actúa en el borde de un La rueda gra de un ángulo dθ alrededor de un eje fjo durante un tempo dt El trabajo dw efectuado por F tan mentras un punto de la borde se mueve sobre la dstanca ds es: dw = F ds tan Con ds = Rdθ dw = FtanRdθ Pero FtanR= τ (3) dw = τdθ 13

14 El trabajo total hecho por el momento (4) W = θ θ1 τ d θ S el momento es constante y el cambo de ángulo es fnto θ = θ θ1 W = τ θ θ = τ θ (5) ( ) 1 El trabajo es gual al producto del momento de torsón por el desplazamento angular Undad: como [ θ ] = radanes por tanto [ W ] = Joules (explca porque [ τ ] = N m Como esperado, el trabajo del momento de torsón produce una varacón de energía cnétca Para demostrar esto, debemos transformar la ntegral sobre dθ por un ntegral sobre dω ) Como τ = Iα dω dθ τdθ = Iαdθ = I dθ = Idω = Iωdω dt dt Integrando el trabajo (6) 1 1 θ ω W = τdθ = Iωdω Iω Iω1 K θ = = 1 ω1 El trabajo del momento de torsón es gual a la varacón de energía cnemátca Por la potenca asocada al trabajo, dvdmos el trabajo por dt : dw dt = τ d θ dt La potenca relaconada por el momento de torsón (7) P = τω 14

15 El momento angular El análogo al momento lneal p es el momento angular L Su relacón con p es exactamente la msma que entre el momento de torsón: τ = r F Por una partícula de masa constante m, con velocdad v, el momento lneal p = mv y vector de poscón r relatvo al orgen de marco nercal El momento angular (8) L = r p = r mv L depende del orgen escogdo La undad del momento angular: m L = kg s La dreccón de L es determnada por la regla de la mano derecha La magntud: (9) L = L = mvr senφ = mvl Donde l es la dstanca perpendcular desde la línea de v al orgen el brazo de palanca para el momento angular 15

16 S una fuerza neta F actúa sobre una partícula, su velocdad y momento lneal camban, y tambén puede cambar el momento angular La razón al que camba el momento angular de un cuerpo es gual al momento de torsón de la fuerza neta sobre el Para demostrar esto dervamos L= r mv al respeto al tempo: dl dr dv = mv + r m = v mv+ r ma dt dt dt Pero v mv = 0 porque son dos vectores paralelos: (30) dl = r ma = r F =τ dt v mv = mv sen0= 0 La varacón del momento angular es gual al momento de torsón Esta relacón se aplca para calcular el momento angular de un cuerpo rígdo que gra sobre el eje z con velocdad angular ω Consderamos rodaja fna donde cada partícula se mueve en círculo centrado en el orgen En cada nstante v r Una partícula de masa v = rω φ = 90 m tene rapdez (31) L = mrωr = mr ω El momento angular total se obtene sumando todas las partículas: (3) L = L = mr ω = Iω 16

17 Cuando un cuerpo gra alrededor de un eje de smetría, L se queda sobre el eje de smetría y L= Iω La velocdad ω tambén esta en el eje de rotacón Para el eje de smetría el momento angular: (33) L= Iω La suma de momentos de torsón sólo ncluye las fuerzas externas (34) τ = ext dl dt S el sstema de partículas es un cuerpo rígdo que gra alrededor de un eje de smetría L= Iω e I = cte. S el eje tene una dreccón fja en el espaco L y ω solo camban de magntud dl dω = I = Iα τ = Iα dt dt dl S I cte, τ = ext es valda pero no dt τ = Iα 17

18 S el eje de rotacón no es el eje de smetría, L no es paralelo al eje Al grar el vector momento angular descrbe un cono en torno del eje de rotacón = presesón Dado que L camba de dreccón debe haber un momento de torsón aunque ω = cte Hay frccón y perdda de energía En un coche s no se alnea (balanzas) las ruedas se produce efecto de presesón y perdda de energía mportante Prncpo de la conservacón del momento angular S el momento de torsón externo neto que actúa sobre un sstema es 0, el momento angular es una constante Esto es una consecuenca drecta de τ = ext S τ ext = 0 dl = 0 y L= cte dt dl dt La ley de conservacón del momento angular es una ley unversal válda a todas las escalas Porque L= Iω = cte, s cambamos I, la velocdad ω cambara de manera que: (35) I1ω1 = Iω 18

19 Las fuerzas nternas pueden cambar los momentos angulares de las partículas, pero el momento angular total no camba Consderamos dos cuerpos A y B nteractuando entre s dlb dl Los momentos de torsón de las fuerzas nternas τ AB = y τ BA = dt dt Por la tercera ley de Newton: FAB = FBA y por tanto τ AB = τ BA El momento total: L= LA + LB dl dla dlb (36) = + = τba + τ AB = 0 dt dt dt A Ejemplo mesta gratora Con los brazos abertos y con mancuernas de 5.0kg en cada mano, empezamos a grar a una 1rev velocdad angular de ω = s Los momentos de nerca, sn las mancuernas, son I = con manos en el abdomen 0a.kg m I = con brazos estrados y 0e 3.0kg m Las mancuernas gran a una dstanca 1.0m del eje prncpal con los brazos abertos y 0.m con los brazos cerrados 19

20 El momento de nerca total: I = I0 + Im A comenzar: ( )( ) I 1 = 3.0kg m + 5.0kg 1.0m = 13kg m Al fnal: ( )( ) I =.kg m + 5.0kg 0.m =.6kg m 1rev La velocdad angular al ncal: ω 1 = s I rev rev La velocdad angular al fnal: ω = ω1 = 0.5 =.5 I.6 s s Calculamos la energía cnemátca al ncal y fnal. K K 1 1 rad = Iω = ( 13kg m ) 3.14 = 64J s rad = I ω = (.6kg m ) 15.7 = 36J s De donde salo la energía adconal? 0

21 Groscopos y precesón Cuando el eje camba de dreccón nuevos fenómenos pueden ocurrr Consderamos un groscopo apoyado al extremo - s el volante gra, un movmento posble es un movmento unforme del eje en el plano horzontal: movmento de precesón Un ejemplo es la Terra: su eje descrbe un cono completo a la velocdad de 1rev 6000anos 1

22 Al orgen de este fenómeno es la naturaleza vectoral de ω, L y τ e del echo que τ = S el volante del groscopo no gra, L = 0 (37) dl=τ dt dl dt El momento de torsón es τ = r w, donde w es el peso La dreccón de dl es y, la dreccón de τ Con el tempo, la magntud del momento angular aumenta, el volante pvota por abajo hasta caer en la mesa Pero s el volante esta grando: L 0 y dl al eje de dreccón de τ = r w. Por tanto, L solamente camba de dreccón no de magntud

23 ANALOGIA El equvalente lneal del movmento de precesón es el movmento de rotacón Consderamos una pelota atada a un cordón. S la pelota es en reposo p = 0 trando sobre el cordón smplemente hala la pelota haca nosotros dp = Fdt Pero s la pelota esta en movmento p 0 la fuerza ejercda por el cordón camba la dreccón de la cantdad de movmento perpendcularamente a su dreccón dp p En un tempo dt, el momento angular camba de L a L+ dl El eje del volante del groscopo gró de un ángulo dφ = dl L La razón dφ dt es la velocdad angular de precesón (38) dφ dl L τ wr Ω= = = = dt dt L Iω 1 Como Ω, dscos que gran rápdamente tenen una precesón lenta ω S la frccón hace que el volante frene en su movmento de precesón, ω aumentara La precesón de la Terra es lenta porque su nerca es enorme e el momento de torsón causado por el Sol y la Luna es muy pequeño 3

24 La fgura muestra una vsta por arrba de un groscopo - aplcando la regla de la mano derecha podemos deducr la dreccón de ω y L haca la zquerda Como w esta dentro de la págna, la regla de la mano derecha da τ = r w haca arrba la pagna dl=τ dt esta en la msma dreccón De modo que la precesón esta en el sentdo horaro S la velocdad angular de precesón es: 1rev π rad rad Ω= = = s 4s s m 9.8 (.0 10 m) wr mgr gr s rad rev ω = = = = = 77 = 649 IΩ mr R Ω rad s mn ( m ) 1.57 Ω s Como ω Ω, tenemos un ejemplo de precesón lenta 4

25 Movmento de nutacón Al precesar un groscopo, su centro de masa descrbe un círculo de rado r en un plano horzontal La componente vertcal de la aceleracón es 0 η = w, proporconado por el pívot Pero, el movmento crcular del centro de masa requere una fuerza F drgda haca el centro, F = MΩ r, tambén proporconada por el pívot Una suposcón clave es que L esta asocado a la rotacón del volante y es puramente horzontal - pero tambén habría una componente vertcal asocada a la precesón Al gnorar esto hemos supuesto Ω pequeño S la presesón no es lenta, aparecen efectos adconales ncludo bamboleo vertcal o nutacón del eje del volante 5