9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

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1 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y ; y ; y y, por último, y. 9.2 Las coordnadas d los vértics d un triángulo son (, ), (6, ) y (4, 5). Halla las coordnadas d los vctors, y. Las coordnadas dl vctor son (6, ) (5, ), las dl vctor son (4, 5 ) (3, 4) y las dl vctor son (4 6, 5 ) ( 2, 4). 9.3 S sab qu las coordnadas d son (2, 3). trmina las coordnadas dl xtrmo (x, y) si l orign s (3, 2). S cumpl qu (x 3, y 2) (2, 3), d modo qu x 5 y. Las coordnadas d son (5, ). 9.4 Rprsnta los vctors (5, 6) y (3, ) y calcula la suma si (2, ). + (5, 6) (3, ) (5 3, 6 ) (8, 7) 9.5 Las coordnadas d los vértics d un triángulo son (, ), (5, 3) y (3, 4). a) Rprsnta l triángulo. b) Traslada l triángulo sgún l vctor guía u (8, ). 9.6 Mdiant una traslación l punto (, 3) s transforma n (6, 8). uál s l vctor guía? u (, 3) (x, y) (6, 8) (x, y) (5, 5) El vctor guía s u (5, 5). 64

2 9.7 Halla las coordnadas dl punto P (x, y) si su trasladado sgún l vctor u (6, 5) tin por coordnadas (, ). P u (x, y) (6, 5) (, ) (x, y) (4, 5) El punto buscado s P(4, 5). 9.8 El círculo d cntro (3, 2) y radio 2 s traslada sgún l vctor u (4, 2). ibuja l círculo trasladado. u 9.9 S aplica al punto P una traslación d vctor u (2, 3) y, a continuación, otra d vctor v (3, 5) y s llga al punto Q(, 2). a) uál s l vctor d la traslación sucsiva? b) uáls son las coordnadas dl punto P? a) u v (2, 3) (3, 5) (5, 8) w b) P w (x, y) (5, 8) (, 2) (x, y) (5, 4) 9. El producto d dos traslacions tin por vctor guía w (7, ). Si una d llas tin como vctor guía u (2, 3), cuál s l vctor guía d la otra traslación? u v (2, 3) (x, y) (7, ) w v (x, y) v (5, 7) 9. El triángulo tin por coordnadas d los vértics (3, 5), (5, 7) y (5, 2). alcula las coordnadas dl triángulo obtnido mdiant las traslacions sucsivas d los vctors guías u (6, 2) y v (7, 2). alculamos l vctor guía qu s rsultado dl producto d las traslacions d u y v. u v (6, 2) (7, 2) (3, ) w w (3, 5) (3, ) (6, 5) w (5, 7) (3, ) (8, 7) w (5, 2) (3, ) (8, 2) Las coordnadas dl triángulo trasladado son (6, 5), (8, 7) y (8, 2). 9.2 ibuja n unos js d coordnadas una circunfrncia d cntro (, ) y radio 3 unidads. Traslada sucsivamnt la circunfrncia sgún los vctors u (3, ), v ( 3, ), w (, 3) y z (, 3). z w u v 9.3 En una rotonda convrgn cuatro calls prpndiculars. Qué ángulos d giro pudn ralizar los cochs qu ntran n la rotonda y saln por las calls posibls, sin comtr infraccions? Pudn girar 9, 8, 27 ó

3 9.4 ibuja unos js d coordnadas n un papl cuadriculado y sñala l punto P (4, 3). uáls son las coordnadas dl punto P qu s obtin al girar 8 l punto P tomando como cntro d giro l orign d coordnadas? P 8 P P ( 4, 3) 9.5 ibuja unos js d coordnadas n un papl cuadriculado y sñala l punto P (5, 4). uáls son las coordnadas dl punto P qu s obtin al girar 9 l punto P tomando como cntro d giro l orign d coordnadas? P P 9 P ( 4, 5) 9.6 ibuja un octógono rgular. uáls son los giros posibls qu transforman l octógono n sí mismo? Son los giros d cntro y amplitud 45, 9, 35, 8, 225, 27, 35 y ibuja un triángulo quilátro. on cntro gira l triángulo un ángulo d 6. Si rpits st procso con los triángulos qu vas obtnindo, qué figura rsulta cuando vulvs a la dada? La figura qu rsulta al volvr a la dada s un hxágono. 66

4 9.8 ibuja un cuadrado. on cntro gira l cuadrado un ángulo d 9. Si rpits st procso con los cuadrados qu vas obtnindo, qué figura rsulta cuando vulvs a la original? La figura qu rsulta al volvr a la dada s un cuadrado d lado l dobl qu l inicial una figura s l aplica un giro d cntro y amplitud 2 y, a continuación, un nuvo giro dl mismo cntro y ángulo. Qué valor positivo db tnr para qu la figura vulva a su primra posición? b tnr una amplitud d 6, porqu así l producto d los dos giros sría d 36, qu compltaría la circunfrncia volvindo a la posición original. ibuja un triángulo quilátro. on cntro gira l triángulo un ángulo d 8. spués aplica al triángulo obtnido un giro d cntro y amplitud os puntos y son simétricos rspcto d un j. ibuja l j ibuja un rctángulo. onstruy con rgla y compás l j d simtría qu transforma y n y, rspctivamnt ibuja un hxágono rgular. onstruy con rgla y compás un j d simtría d sus vértics. 67

5 9.24 ibuja un pntágono rgular. onstruy con rgla y compás sus js d simtría ibuja dos puntos cualsquira y, y ncuntra su cntro d simtría ibuja un triángulo, y su simétrico rspcto d un punto P. Tinn l mismo sntido d giro sgún l ordn d los vértics? P Sí tinn l mismo sntido d giro ompruba si los vértics son simétricos rspcto dl punto dond s cortan sus diagonals: a) En un cuadrado. b) En un pntágono. c) En un hxágono. a) Sí b) No c) Sí 9.28 Halla las coordnadas dl punto simétrico a P ( 3, 5) rspcto dl j, dl j y dl orign. Punto simétrico rspcto dl j : P ( 3, 5) Punto simétrico rspcto dl j : P (3, 5) Punto simétrico rspcto dl orign: P (3, 5) ado l cuadrilátro d vértics (2, 4), ( 3, 5), ( 3, ), (3, 2), halla las coordnadas d su simétrico rspcto dl j, dl j y dl orign. Simétrico rspcto dl j : (2, 4), ( 3, 5), ( 3, ), (3, 2) Simétrico rspcto dl j : ( 2, 4), (3, 5), (3, ), ( 3, 2) Simétrico rspcto dl orign: ( 2, 4), (3, 5), (3, ), ( 3, 2) trmina las coordnadas d la figura simétrica d sta figura rspcto dl j, dl j y dl orign. Nombramos los vértics: (, 2), (2, 4), (6, 3), (2, ). Simtría rspcto dl j : (, 2), (2, 4), (6, 3), (2, ) Simtría rspcto dl j : (, 2), ( 2, 4), ( 6, 3), ( 2, ) Simtría rspcto dl orign: (, 2), ( 2, 4), ( 6, 3), ( 2, ) 68

6 9.3 En un triángulo isóscls, cuál d las trs alturas s j d simtría? Razona la rspusta. La altura qu part dl vértic opusto al dsigual, porqu todo punto dl triángulo tin un simétrico rspcto d sta altura n l triángulo Traza, si los tin, los js y l cntro d simtría d un romboid. No tin js d simtría. El cntro d simtría s l punto d cort d las dos diagonals Traza, si los tin, los js y l cntro d simtría d un hptágono uáls son los js d simtría d los triángulos quilátros? d los triángulos rctángulos? En un triángulo quilátro, los js d simtría son las mdianas, qu coincidn con las alturas y dividn l sgmnto opusto al vértic n dos parts iguals. Todos los puntos dl triángulo tinn su simétrico rspcto a la mdiana n l triángulo. No tin js d simtría a no sr qu sa isóscls, s dcir, qu tnga los dos cattos iguals, y ntoncs l j d simtría sría la altura qu part dl ángulo rcto. RESLUIÓN E PRLEMS 9.35 ibuja un mosaico formado por triángulos quilátros y hxágonos rgulars. Rspusta abirta, por jmplo: 9.36 ibuja un mosaico formado por cuadrados y octógonos rgulars. Rspusta abirta, por jmplo: 69

7 EJERIIS PR ENTRENRSE Vctors n l plano 9.37 Las coordnadas d los vértics d un triángulo son (, 4), (2, 3) y ( 2, 7). alcula las coordnadas d los vctors, y. (2, 3 4) (2, 7) ( 2, 7 4) ( 2, 3) ( 2 2, 7 ( 3)) ( 4, ) 9.38 onsidra l vctor (3, 5). Sabindo qu las coordnadas dl punto son (, 5), calcula las coordnadas dl punto. (3, 5) (x, y 5) (x, y) (4, ) 9.39 ados los vctors u (, 2), v (2, 4) y w (, 5), raliza stas opracions. a) 2u u u b) u (w w ) c) u v w d) u (v w ) a) 2u 2(, 2) (2 ( ), 2 2) ( 2, 4) ( ( ), 2 2) (, 2) (, 2) u u b) u (w w ) (, 2) ((, 5) (, 5)) (, 2) (, ) (, 8) c) u v w (, 2) (2, 4) (, 5) ( 2, 2 4 5) (, ) d) u (v w ) (, 2) ((2, 4) (, 5)) (, 2) (2, ) ( 3, 3) 9.4 alcula la suma numérica y gométrica d los vctors dl dibujo. u v (5, 4) (8, 2) (3, 6) u u + v v Traslacions 9.4 Halla numérica y gométricamnt l trasladado dl punto P ( 2, 4) sgún l vctor guía u (3, 2). P u P El punto trasladado s P (, 2). P P u ( 2, 4) (3, 2) (, 2) 9.42 En una traslación d vctor guía u ( 3, 2), l punto P s ha transformado n l punto P (6, 3). Halla las coordnadas d P. P (6, 3) P u (x, y) ( 3, 2) P (9, ). El punto d partida s P(9, ). 7

8 9.43 uál s l vctor guía n una traslación qu transforma l punto (2, 4) n l punto (7, 7)? (7, 7) u (2, 4) (x, y) u (5, ) 9.44 En una traslación d vctor guía u ( 4, 3), halla las coordnadas d los transformados d los vértics dl triángulo, sindo (, 2), (, 3) y (2, 4). (, 2) ( 4, 3) ( 4, ) (, 3) ( 4, 3) ( 3, 6) (2, 4) ( 4, 3) ( 2, 7) Las coordnadas dl triángulo trasladado son ( 4, ), ( 3, 6), ( 2, 7) ibuja la figura trasladada d la dada, sgún l vctor guía v. v v 9.46 Un círculo d cntro (2, 2) y radio 5 s traslada sgún l vctor guía u (3, 4). a) uál s l nuvo cntro y l nuvo radio? b) ibuja l círculo trasladado. a) El nuvo cntro s (2, 2) (3, 4) (5, 2), y l radio sigu sindo 5. Todos los puntos d la circunfrncia starán trasladados sgún l vctor guía. b) onsidra l punto P (2, 5). plícal sucsivamnt las traslacions d vctors guía u (, 5) y v (3, 2). a) uál s l punto trasladado? b) uál s l vctor guía rsultant? a) P u v (2, 5) (, 5) (3, 2) (2, 5 5) (3, 2) ( 3, 2) (4, 8) b) w u v (, 5) (3, 2) (2, 3) 7

9 Giros 9.48 onsidra l triángulo d la figura. Raliza un giro d cntro l orign d coordnadas y amplitud ibuja l transformado dl sgmnto mdiant un giro d cntro y amplitud: a) 3 b) 3 a) b) 9.5 ibuja l homólogo dl cuadrado d vértics (3, ), (6, ), (6, 4) y (3, 4) n un giro d cntro l orign d coordnadas y amplitud

10 9.5 ibuja un triángulo d vértics ( 3, 4), (, ) y (6, ) y aplícal un giro d cntro l orign y amplitud 9. uáls son las coordnadas d los vértics dl nuvo triángulo? 2 Las coordnadas dl nuvo triángulo son: (4, 3), (, ) y (, 6) Los puntos (4, 3) y ( 3, 4) son homólogos n un giro d cntro l orign d coordnadas. uál s la amplitud dl giro? Es un giro d Encuntra l cntro y la amplitud dl giro qu transforma la figura roja n su homóloga azul. 9 Simtrías 9.54 ibuja la figura simétrica d la dada: a) Rspcto al j. b) Rspcto al punto. a) b) 73

11 9.55 onstruy l punto simétrico dl punto (5, 2) rspcto a: a) El j. b) El j. a) (x, y ) (x, y) (5, 2) b) (x, y ) ( x, y) ( 5, 2) onstruy l punto simétrico dl punto (, 4) rspcto al orign d coordnadas. (x, y ) ( x, y) (, 4) ados los puntos y dl dibujo, construy: a) Su j d simtría. b) Su cntro d simtría alcula las coordnadas dl simétrico dl triángulo d vértics (, ), (3, 2) y (, 4). a) Rspcto al j. b) Rspcto al j. a) (, ), (3, 2), (, 4) b) (, ), ( 3, 2), (, 4) 9.59 Sñala un j d simtría n un: a) Pntágono rgular. b) Triángulo rctángulo isóscls. a) b) 74

12 9.6 alcula las coordnadas d los puntos simétricos d los xtrmos dl sgmnto, dond ( 3, 2) y (2, ): a) Rspcto al j. c) Rspcto al orign d coordnadas. b) Rspcto al j. d) ibuja los apartados antriors. a) ( 3, 2), (2, ) b) (3, 2), ( 2, ) c) (3, 2), ( 2, ) d) 9.6 trmina los js d simtría, si los tinn, d las siguints ltras. G K N Solo y tinn j d simtría Encuntra los cntros d simtría, si los tinn, d las siguints ltras. H S T Z Solo H, S y Z tinn cntro d simtría. H S Z UESTINES PR LRRSE uántos vctors dtrminan dos puntos? Qué rlación xist ntr dichos vctors? trminan dos vctors con sntidos opustos. Una traslación llva l orign d coordnadas al punto P (5, 3). uál s su vctor guía? Su vctor guía s u (5, 3). 75

13 9.65 En qué rcta s transforma una rcta paralla al vctor guía d una traslación? En sí misma Una traslación d vctor guía u ( 2, 5) transforma un punto P n otro P. uál s l vctor guía qu transforma l punto P n l punto P? El vctor guía s u (2, 5) En un cuadrado tomamos l punto d cort d sus diagonals como cntro d giro. En qué figura s transforma l cuadrado si aplicamos un giro d amplitud 9? d 8? d 27? En todos los casos n l mismo cuadrado, lo qu pasa s qu los puntos van rotando En qué figura s transforma un círculo al qu s l aplica un giro d cntro l cntro dl círculo y d amplitud un ángulo cualquira? En todos los casos n l mismo círculo, lo qu pasa s qu los puntos van rotando Juan y ndrés s ncuntran dspués d mucho timpo sin vrs: ómo t va la vida? prgunta Juan. Muy difrnt! l contsta ndrés Mi vida ha dado un giro d trscintos ssnta grados. Qué rror matmático ncuntras n la contstación d ndrés? Si s da un giro d 36, s complta la circunfrncia y s vulv al punto d partida, s dcir, qu no s produc ningún cambio. 9.7 En qué s transforma por una simtría axial una rcta prpndicular al j d simtría? En sí misma. 9.7 Qué puntos prmancn invariants (no s muvn) por una simtría axial? por una cntral? En simtría axial, los puntos qu prmancn invariants son los dl j, y n simtría cntral solo prmanc invariant l cntro Un punto prmanc invariant por una traslación d vctor guía u (a, b). uánto valn a y b? a, b 9.73 uántos js d simtría tin un polígono rgular? Tantos como lados tin l polígono En un triángulo rctángulo ncontramos un j d simtría. Qué tipo d triángulo s? uál s l j d simtría? Es un triángulo isóscls, l j d simtría s la altura qu va sobr la hipotnusa. PRLEMS PR PLIR 9.75 Qué giro fctúa la aguja pquña d un rloj dsd las doc a las doc y vinticinco? La aguja pquña gira cada hora , y cada minuto, 3 6,5. Entoncs, n 25 minutos girará 25 min,5 /min 2,5. 76

14 9.76 Invstiga si las siguints sñals d tráfico posn simtría axial o cntral y, n su caso, indica un j o un cntro d simtría. STP La sñal d STP no s simétrica por las ltras ibuja un triángulo y aplícal una simtría cntral d cntro l punto un triángulo d vértics (, ), (, 3) y ( 4, 5) s l aplica una traslación d vctor guía u (, 2). Halla las coordnadas d los puntos homólogos d los vértics y dibuja l triángulo rsultant. u (2, 2) u (2, ) u ( 3, 3) 9.79 Sabmos qu una figura, d la qu solo tnmos un trozo, s simétrica rspcto a los js y. omplta su dibujo. 2 77

15 9.8 plícal al rctángulo dl dibujo una traslación d vctor guía u (4, ). Escrib las coordnadas d los vértics,,, y sus corrspondints homólogos. u 9.8 (, 3), (5, 2) (, ), (4, 2) ( 8, ), ( 4, ) ( 7, 5), ( 3, 4) un triángulo d vértics ( 3, 2), (, 2) y (, 5) s l aplica una simtría d cntro (, ). Halla las coordnadas d los puntos simétricos d los vértics y dibuja l triángulo rsultant. (3, ), (, ), (, 3) 9.82 ado l punto P (4, 4), calcula su simétrico al aplicarl: a) Una simtría d j. b) Una simtría d j. c) Una simtría d cntro l orign d coordnadas. d) scrib la figura qu s obtin al unir los cuatro puntos. a) P (4, 4) b) P ( 4, 4) c) P ( 4, 4) d) Un cuadrado d lado 8 unidads Halla, n cada caso, l moviminto qu transforma la figura roja n su homóloga. a) c) b) d) onsidramos l orign como la squina infrior izquirda. a) Giro d 9. ntro dl giro: (6, ) c) Traslación. Vctor guía u (5, 4) b) Simtría rspcto a un j. Ej x 4,5 d) Simtría rspcto a un j. Ej y 3 78

16 9.84 ado un sgmnto, considramos su punto mdio M. S vrifica qu los vctors M y M son iguals. on stos datos, busca las coordnadas dl punto mdio dl sgmnto d xtrmos (, 2) y (5, 6). Si M(x, y), M (x, y 2) M (5 x, 6 y) x 5 x x 2, y 4 y 2 6 y Lugo M(2, 4) 9.85 S va a hacr una gasolinra n la carrtra gnral d tal modo qu sté a la misma distancia d Villablanca qu d Villavrd. En qué punto d la carrtra db hacrs? Trazamos l j d simtría d sos dos puntos, qu srá la mdiatriz, y corta la carrtra n un punto. omo dos puntos quidistan d todos los puntos d su mdiatriz, l punto dond l j d simtría corta la carrtra quidista d los dos publos, s ahí dond db construirs la gasolinra alcula las coordnadas dl transformado d un cuadrado d vértics (2, 2), (4, 2), (4, 4) y (2, 4) al aplicarl un giro d cntro ( 2, ) y ángulo Qué camino db sguir la bola para qu rbotando n la banda oscura golp la bola? Salvo tiros con fcto, la bola sigu la trayctoria natural n la qu l ángulo d incidncia s igual al ángulo d rflxión (ly d Snl), y para qu s cumpla sto, la bola sigu la trayctoria más corta. Para llo trazamos l simétrico con rspcto a la banda oscura d uno d los puntos y lo unimos al otro. El punto d cort con la banda oscura s dond rbota la bola. REFUERZ Traslacions 9.88 Qué traslación transforma la figura n la figura? La d vctor guía u (9, ) 79

17 9.89 un punto P (2, 6) s l aplica una traslación d vctor guía u y s obtin su transformado, P (3, 5). su vz, a P s l aplica otra traslación d vctor guía v s obtin P (, 2). vrigua cuál s l vctor guía qu traslada P a P. P P v (P u ) v P (u v ) P w w P P ( 2, 8) Giros 9.9 una figura s l aplica un giro d cntro y amplitud d 2 y, a continuación, un nuvo giro con l mismo cntro y amplitud 23. Explica cuál s l giro rsultant. Sría un giro d omo cada 36 volvmos al punto d orign, l rsultado al final s un giro d l cuadrilátro d vértics ( 2, ), (2, 2), (3, 4) y (, 4) s l aplica un giro d cntro y amplitud 9. ibuja la figura rsultant y halla las coordnadas d los puntos homólogos a los dados. ( 2, ), ( 3, 5), ( 5, 6), ( 5, 3) 9.92 Halla las coordnadas dl transformado dl punto (, 4) por un giro d cntro l orign d coordnadas y amplitud 9. (4, ) Simtrías 9.93 Halla las coordnadas dl punto simétrico al punto (4, 2) por una simtría d cntro (, ). yúdat d un dibujo para obtnr la rspusta. ( 6, ) 9.94 onstruy la figura simétrica al cuadrado, rspcto dl j. 8

18 9.95 onstruy la figura simétrica al rctángulo, rspcto dl punto. MPLIIÓN 9.96 un triángulo d vértics (, ), (5, ) y (4, 3) s l ha aplicado un giro d cntro (9, 3), d forma qu l punto s ha transformado n (3, ). Encuntra l ángulo d giro y los transformados d los puntos y. Haz un dibujo para obtnr la rspusta. Es un ángulo d 9. los transformados son (2, 6) y (9, 2) scrib l camino más corto para ir dl punto al punto, si prviamnt s db pasar primro por la rcta r y lugo por la rcta s. r s r s 8

19 9.98 Qué moviminto s obtin si s aplican conscutivamnt dos simtrías cntrals d distinto cntro a una figura? Utiliza un dibujo para rsolvr l problma. S obtin una traslación d vctor guía l cuadrado d la figura s l aplica un giro d cntro y amplitud 9. Encuntra dos simtrías axials qu, aplicadas sucsivamnt al cuadrado, dan l mismo rsultado qu l giro. s s 2 9. En l triángulo s aplica una simtría cntral d cntro M, punto mdio d. alcula las coordnadas d los simétricos d los vértics dl triángulo dado,. Qué figura forman? M 2 (5, 2),,. Forman un parallogramo. 82

20 PR INTERPRETR RESLVER 9. Movimintos dl cuadrado El cuadrado d vértics tin por cntro l punto. La rcta r pasa por y por los puntos mdios d los lados y. r a) ibuja l cuadrado dspués d habrl aplicado l moviminto G dtrminado por l giro d cntro y amplitud 9. b) ibuja l cuadrado dspués d habrl aplicado una simtría, S, d j r. c) ibuja l cuadrado dspués d habrl aplicado l moviminto G 3, ntndindo como G 3 l moviminto qu rsulta d aplicar trs vcs conscutivas G. d) ibuja l cuadrado dspués d habrl aplicado los movimintos GS y SG 3, ntndindo por GS l moviminto qu rsulta d aplicar primro G y lugo S. ) Escrib l moviminto qu corrspond a la siguint figura d dos formas difrnts. r Solo puds utilizar G y S tantas vcs como quiras d forma conscutiva y n l ordn qu considrs adcuado. f) rs qu la aplicación d stos movimintos s simpr conmutativa? Pon algún jmplo qu justifiqu tu rspusta. a) c) b) d) r r r GS SG ) G 2 S y SG 2 f) No s simpr conmutativa. Por jmplo, GS SG. 83

21 UTEVLUIÓN 9. onsidra los vctors u ( 5, 4) y v (4, 2). a) alcula: u v b) Halla: u (v v ) c) alcula gométricamnt: u v a) u v ( 5, 4) (4, 2) ( 9, 2) b) u (v v ) ( 5, 4) ((4, 2) (4, 2)) ( 3, ) c) v u u + v 9.2 onsidra l triángulo d vértics (, 3), (3, 2) y ( 5, ). Halla las coordnadas d los vctors, y. (3, 2) (, 3) (3, 5); ( 5, ) (3, 2) ( 8, ); (, 3) ( 5, ) (5, 4) 9.3 trmina, numérica y gométricamnt, l trasladado dl sgmnto d xtrmos P ( 2, 3) y Q(5, 4), sgún l vctor guía u (2, 3). Numéricamnt: P P u ( 2, 3) (2, 3) (, ) Q Q u (5, 4) (2, 3) (7, ) Q P u Q P 9.4 plica gométricamnt una traslación d vctor guía u a la figura dl dibujo. u u u E F E F 84

22 9.5 alcula las coordnadas dl punto homólogo d P(4, 4) al aplicarl un giro d cntro l orign d coordnadas y amplitud: a) 9 c) 9 b) 45 d) 8 a) c) P P P 9 9 P ( 4, 4) P (4, 4) P b) P d) P P 8 45 P (; 5,66) P ( 4, 4) P 9.6 ado l sgmnto d xtrmos (, 2) y (3, 6), halla las coordnadas d su simétrico rspcto a: a) El j. b) El j. c) El orign d coordnadas. a) (, 2), (3, 6) b) (, 2), ( 3, 6) c) (, 2), ( 3, 6) 9.7 ibuja la figura simétrica d la dada rspcto a: a) El j. b) El punto. a) b) 9.8 Mait stá n l punto dando un paso con su prra y va a iniciar la vulta a su casa, punto, pro ants quir pasar por l río para qu su prra puda bbr. uál s l camino más corto qu pud lgir Mait? Mait Río asa 85