DIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)

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1 UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) ÍNDICE Página: 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES 4 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS CIRCUNFERENCIAS FOCALES CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL 7 4. DIÁMETROS CONJUGADOS 7 5. SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD PROPUESTA DE EJERCICIOS Francisco Irles Mas.

2 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS. Una vez conocido el origen tridimensional de las cónicas vamos a estudiarlas con más profundidad pues son de muy amplia utilización en todos los ámbitos técnicos. Basaremos su estudio desde el concepto de lugar geométrico, ya enunciado en el teorema de Dandelin en la unidad anterior. ELIPSE: Curva cerrada y plana con dos ejes de simetría perpendiculares entre sí que se cortan en su punto medio O y que se denomina centro de la elipse. Eje real: es el eje mayor de la elipse y se denomina por AA'. Su longitud es 2a y contiene a los focos F y F'. Eje imaginario: es el eje menor de la elipse. Se denomina por BB' y su longitud es 2b. Figura 1: Elementos característicos de la elipse. Distancia focal: distancia que separa los focos F y F'. Su longitud es 2c. Radios vectores: son los segmentos FP y F P que unen cada punto de la elipse con los focos. La suma de los radios vectores en cada punto de la elipse es 2a. Circunferencia principal: es la circunferencia de diámetro 2a y que tiene su centro en el punto O. Circunferencias focales: son dos circunferencias de centros F y F' respectivamente y radio 2a. PARÁBOLA: Curva abierta, plana y de una sola rama, con un eje de simetría que contiene al foco y es perpendicular a la directriz d. Vértice: Es el punto V de intersección de la curva con el eje. Es equidistante del foco y de la directriz. Figura 2: Elementos característicos de la parábola. 2 Francisco Irles Mas.

3 Parámetro: longitud de la cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz. Radios vectores: r y r definidos para todo punto P como segmento FP y el que se define sobre la recta que pasa por P y es perpendicular a la directriz. Ambos son iguales entre sí. Circunferencia principal: en el caso de la parábola, la circunferencia principal se transforma en una recta perpendicular al eje y que pasa por el vértice. Es la tangente a la curva en el vértice. Circunferencia focal: en la parábola, la circunferencia focal coincide con la directriz, es una circunferencia de radio infinito. Para comprender intuitivamente estos dos últimos conceptos, podemos considerar la parábola como una elipse que tiene uno de sus focos en el infinito. De ahí que las dos circunferencias mencionadas tengan radio infinito y por tanto se hayan convertido en sendas rectas. Las propiedades de la tangente en el vértice y de la directriz serán las mismas que las de la circunferencia principal y focal respectivamente. HIPÉRBOLA: Curva abierta y plana de dos ramas con dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. Eje real: denominado por AA' de longitud 2a, que corresponde a la distancia que separa los vértices de cada una de las ramas de la curva. Eje imaginario: también se denomina eje no transverso. Es perpendicular al eje real en su punto medio. Se denomina por BB' y su longitud es 2b. Distancia focal: es la distancia que separa los dos focos F y F', y se denomina por 2c. La semi-distancia focal y los dos semiejes están en la relación a 2 + b 2 = c 2. Radios vectores: son los segmentos r y r' que unen cada punto de la curva con los focos. Figura 3: Elementos característicos de la hipérbola. Circunferencia principal: es la de centro O y diámetro 2a. Circunferencias focales: las de centros F y F' y radio 2a. 3 Francisco Irles Mas.

4 Asíntotas: son las tangentes a la hipérbola en el infinito y son las rectas que contienen el segmento c. La hipérbola es equilátera cuando las asíntotas forman 45º con los ejes. 2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES. ELIPSE: Definidos los ejes de la elipse AA' y BB', podemos localizar los focos trazando desde B o B' un arco de circunferencia de radio "a", que cortará al eje mayor en los focos F y F', puesto que los extremos del eje menor pertenecen a uno de los ejes de simetría tendrán sus radios vectores iguales entre sí. Para hallar distintos puntos de la curva, marcamos sobre el eje mayor una serie de puntos arbitrarios 1,2,3... El punto P1 se obtiene mediante la intersección de dos arcos de circunferencia; el primero de ellos tiene su centro en F y su radio es 1A. El segundo tiene su centro en F' y su radio es 1A'. Con el mismo trazado podemos obtener el punto P'1 simétrico de P1 con respecto al eje mayor. Los demás puntos de la curva se obtienen de igual forma, sustituyendo 1 por 2, 3... En todos ellos se cumple la condición que define a la elipse como lugar geométrico; la suma de radios vectores en cada punto es AA'. PARÁBOLA: Una vez definida la directriz y el foco, localizamos sobre el eje el punto medio entre ambos, que será el vértice de la curva. Figura 4: Trazado de la elipse. A partir del vértice V, marcamos una serie de puntos arbitrarios 1, 2, 3... El punto P1 de la curva estará sobre una paralela a la directriz pasando por el punto 1, y a una distancia de F igual a D1. En el mismo trazado se puede localizar el punto P'1 simétrico de P1. Figura 5: Trazado de la parábola. 4 Francisco Irles Mas.

5 Los demás puntos de la curva se obtendrán de igual forma, sustituyendo el punto 1 por 2, 3... En todos ellos se cumple la condición de parábola como lugar geométrico, dado que la distancia de cada punto al foco es la misma que a la directriz. HIPÉRBOLA: Como en los dos casos anteriores marcamos los puntos auxiliares 1,2,3... para poder hallar los distintos puntos de la hipérbola como intersección de dos arcos; el primero de ellos será el de centro F' y radios A'1, A'2, A'3... El segundo arco será el de centro F y radios A1, A2, A3... La otra rama de la hipérbola se realizará de igual forma, tomando los puntos auxiliares 1', 2', 3'... 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS. Figura 6: Trazado de la hipérbola. La tangente en un punto de la elipse es la bisectriz del ángulo que forma un radio vector y la prolongación del otro. Para la hipérbola y la parábola, la tangente es la bisectriz del ángulo que forman los dos radios vectores. Figura 7: Tangente: Bisectriz de radios vectores. 5 Francisco Irles Mas.

6 3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES. En la elipse llamamos así a la circunferencia de centro uno de los focos y de radio igual al eje mayor de la elipse, es el lugar geométrico de los simétricos del otro foco con respecto a la tangente. Existen dos, una para cada foco. Esto mismo ocurre con la hipérbola, tomando siempre radio 2a y centro los focos. Para la parábola la circunferencia focal se confunde con la directriz ya que 2a vale infinito. Figura 8: Circunferencias focales 3.2 CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. ELIPSE: La recta FF 1 es perpendicular a la tangente, podemos decir que los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a la tangente están situados sobre una circunferencia de centro O y radio OA. A esta circunferencia se le denomina circunferencia principal y se puede definir como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes. Figura 9: Circunferencia principal. 6 Francisco Irles Mas.

7 PARÁBOLA: En este caso la tangente en el vértice de la parábola es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes. La tangente en el vértice de la parábola goza de las mismas propiedades que la circunferencia principal en la elipse y en la hipérbola. HIPÉRBOLA: En este caso el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de una hipérbola es una circunferencia de centro O y radio OA, llamada circunferencia principal. Figura 10: Circunferencia principal, en la parábola y en la hipérbola. 4. DIÁMETROS CONJUGADOS. Los diámetros conjugados son las rectas que pasan por el centro de una cónica y están dispuestos de tal forma que cualquier cuerda paralela a uno de ellos queda dividida en dos partes iguales por el otro. Figura 11: Diámetros conjugados en una elipse y una hipérbola. Son de gran aplicación dando construcciones específicas, además en cualquier proyección cilíndrica ortogonal de una elipse nos encontramos que 7 Francisco Irles Mas.

8 las proyecciones de los ejes principales son ejes conjugados de la elipse proyección. Esto ocurre en el caso de las proyecciones diédricas. 5. SOLUCIÓN A EJERCICIOS UNIDAD 7 A O1 T2 O2 15 R30 T1 Figura de ejercicio / Dadas dos rectas paralelas a una distancia de 40 mm. y un punto A sobre una de ellas, obtén el enlace de las mismas mediante una curva en S que arranque de A y que sus dos arcos tengan un radio de 15 mm. 2/ Obtén el dibujo de la figura resolviendo los problemas de tangencias que se te presenten. R R R100 Figura de ejercicio 2: ENUNCIADO. O2 O1 6. PROPUESTA DE EJERCICIOS R100 Figura de ejercicio 2: SOLUCIÓN. dos focales. R36 1/ Dibuja una elipse conocidos los ejes principales: eje mayor 80 mm, el menor 50 mm. Determina y nombra sus: vértices (AA BB ), focos (FF ), la circunferencia principal y las 8 Francisco Irles Mas.

9 2/ Dibuja una parábola sabiendo que la distancia que media de su vértice a su foco es de 20 mm. Obtén su directriz. Traza sus dos tangentes que forman 45º con su eje de simetría, obteniendo los dos puntos de tangencia. 9 Francisco Irles Mas.