Mecánica del Sólido Rígido

Transcripción

1 ecánic del Sólido ígido Centro de mss m m... m r cm mi r i i mi x i x = r cm= i mi r i y = i mi y i O z = i mi z i = i mi Centro de mss Centro de mss Si un sistem tiene elementos de simetrí y l ms está distribuid con l mism simetrí el cdm se encuentr sobre los elementos de simetrí. Si un sistem se puede descomponer en subsistems S, S,..., Sn de mss,,...,n los centros de mss del cul son r, r,..., rn el centro de mss del sistem se obtiene por r = i i r i i i Ejemplo: Centro de mss (005-06) Si un sistem se puede descomponer en subsistems S, S,..., Sn de mss,,...,n los centros de mss del cul son r, r,..., rn el centro de mss del sistem se obtiene por x = y = ( )σ 0,5 +( )σ,5 +( ) σ,5 =,5 ( )σ+( )σ+( )σ i r i r = i i i Ejemplo: Obtener el centro de grvedd de l figur homogéne compuest respecto l referencil presentdo. SOL: xcm= /9 =,. ycm= 4/9 = 0,44. ( )σ +( )σ +( )σ 0,5 9,5 9 = = 7 4 ( )σ+( ) σ+( )σ

2 (005-06) Obtener el centro de grvedd de l figur homogéne compuest respecto l referencil presentdo. SOL: xcm= /9 =,. ycm= 4/9 = 0,44. Cuestión (009-0) Determinr y expresr en el sistem de referenci indicdo el centro geométrico del áre pln representd. SOL: xcm=,7. ycm= 0,55. b Bricentro del triángulo h (x, y ) x = b y = h (x, y ) xg= x + x + x y G= y + y + y (x, y ) Cuestión (009-0) Segund ley de Newton pr l rotción Determinr y expresr en el sistem de referenci indicdo el centro geométrico del áre pln representd. SOL: xcm=,7. ycm= 0,55. El pr o momento de un fuerz es el producto de l mgnitud de l fuerz y el brzo del momento, que es l distnci perpendiculr entre el eje y l líne de cción de l fuerz: τ=f d F = 50 N τ = 7.5 Nm x = y = d = 0 cm 4 π x =0 y = τ = 0 Nm 4 Segund ley de Newton pr l rotción El pr o momento de un fuerz es el producto de l mgnitud de l fuerz y el brzo del momento, que es l distnci perpendiculr entre el eje y l líne de cción de l fuerz: F = 50 N τ=0 Segund ley de Newton pr l rotción El pr o momento de l fuerz extern totl es igul l momento de inerci multiplicdo por l celerción ngulr. τ ext =F ext d=α I E τ=f d F = 50 N Signo: regl de l mno derech: T T τ= T τ=+ T Cilindro / disco : Esfer sólid: I E= I E= 5

3 Un ms m con movimiento de trslción estir de un cuerd que su Un ms m con movimiento de trslción estir de un cuerd que su vez estir de un pole de ms m y rdio que rot lrededor de su vez estir de un pole de ms m y rdio que rot lrededor de su eje. Clcul l celerción de cíd y l tensión de l cuerd en su cíd. eje. Clcul l celerción de cíd y l tensión de l cuerd en su cíd. SOL: cm=g/, T=mg/. SOL: cm=g/, T=mg/. g+ T =m F cm m g T =m cm T =I cm = m Si considermos que l celerción linel del borde de l pole es igul l celerción ngulr de l pole por su rdio se obtiene: cm = cm = mg = g m m/ T = mg : pole Un máquin de Atwood está formd por un pole de 5 cm de rdio y 00 g de ms, de l cul cuelgn mss igules de 500 g cd un. Clculr l celerción linel que dquiere el sistem cundo se coloc un sobrecrg de 50 g de ms. Cuál es el error que se comete l desprecir l rotción de l pole? SOL: 0,46 m/s²; 9,4%. Energí cinétic oddur sin deslizmiento Un objeto rued cundo se desplz sin deslizr debido su rotción sobre un eje. Cundo un objeto rued los movimientos de trslción y rotción están relciondos (se cumplen ls condiciones de roddur). L ª condición de roddur estblece que si l bol gir un ángulo el punto de contcto entre l bol y el plno se mueve un distnci s = f y dich distnci es igul l que recorre el en un tiempo t. E c= m v + I E Ls condiciones de roddur sin deslizmiento son: s cm= t=0 v t v cm = ds d = = cm = d s d = = v W BA=Δ E c Energí cinétic de trslción + Energí cinétic de rotción

4 : roddur sin deslizmiento Consideremos un cilindro que rued sin deslizr por un plno inclindo. Clcul l celerción del cilindro y l fuerz de rozmiento. SOL: cm=(g sen q)/. F=(mgsen q)/. : roddur sin deslizmiento Consideremos un cilindro que rued sin deslizr por un plno inclindo. Clcul l celerción del cilindro y l fuerz de rozmiento. SOL: cm=(g sen q)/. F=(mgsen q)/. ) Ec. Fund. Dinámic de Trslción: + =m N P+ F cm P x y F N ) Ec. Fund. Dinámic de otción: F = I cm = m ) Condición de roddur: cm = q cm = : roddur sin deslizmiento Consideremos un cilindro que rued sin deslizr por un plno inclindo. Clcul l celerción del cilindro y l fuerz de rozmiento. SOL: cm=(g sen q)/. F=(mgsen q)/. L celerción ngulr del cilindro es: cm g sen = = P F q N m g sen F =m cm N m g cos =0 g sen q = g sen q + I cm / m : roddur sin deslizmiento Consideremos un cilindro que rued sin deslizr por un plno inclindo. Clcul l celerción del cilindro y l fuerz de rozmiento. L fuerz de rozmiento por roddur es un fuerz estátic instntáne plicd en el punto de contcto entre el cilindro y l superficie por l que rued. Dich fuerz prece y desprece cd instnte en cd punto del cilindro en contcto (l fuerz estátic no desrroll ningún trbjo). L fuerz de rozmiento por roddur vle: F =m g sen m cm= m g sen L fuerz de rozmiento es necesri pr que el cilindro ruede. Cundo un cuerpo desliz sin rodr l fuerz de rozmiento es cinétic, pero cundo l velocidd disminuye y se produce l roddur (v = ) l fuerz de rozmiento cmbi de nturlez. Un nillo, un cilindro y un esfer ruedn sin deslizr por un plno inclindo. Prtiendo de l mism posición inicil, en qué orden llegrán l prte inferior del plno inclindo? Un nillo, un cilindro y un esfer ruedn sin deslizr por un plno inclindo. Prtiendo de l mism posición inicil, en qué orden llegrán l prte inferior del plno inclindo? Si el plno tiene un ltur h, con qué velocidd llegn cd uno de ellos l finl del plno inclindo? SOL: esfer, cilindro y nillo. v nillo = gh. v cilindro = 4 gh/. v esfer = 0 gh/7. Si el plno tiene un ltur h, con qué velocidd llegn cd uno de ellos l finl del plno inclindo? SOL: esfer, cilindro y nillo. v nillo = gh. v cilindro = 4 gh/. v esfer = 0 gh/7. I = I= I= 5

5 (00-04) Un disco homogéneo de ms y rdio, se lnz encim de un suelo horizontl rugoso con 0 un velocidd inicil v0 tmbién horizontl pero sin velocidd ngulr. Suponiendo que el coeficiente de rozmiento l deslizmiento μ es constnte, el disco comienz vnzr deslizndo hst que psdo un tiempo T empiez rodr sin deslizr (velocidd en el punto de contcto disco-suelo es nul). Determinr: ) Instnte T indicdo. b) Los vlores que tendrán en dicho instnte l velocidd del centro del disco y l velocidd ngulr. c) edinte considerciones energétics determinr l distnci que hbrá recorrido hst ese instnte. SOL: ) T=v0/mg. b) v=v0/, =v0/. c) d=v0/6mg. v omento ngulr Se define el momento ngulr totl de un sistem de prtículs respecto un punto del espcio O, como el vector que viene ddo por l sum de los momentos ngulres de cd prtícul respecto del punto O: Un cilindro sólido homogéneo de rdio r=0 cm y ms m= kg tiene un velocidd ngulr =0 rd/s cundo ce sobre un superficie pln horizontl. El coeficiente de rozmiento entre l superficie y el cilindro es de 0,. Trs el contcto con el suelo, el cilindro girrá deslizndo durnte un tiempo t, psndo después rodr sin deslizr. Se pide: ) Cuál es el vlor de t? b) Cuál es l velocidd del centro de mss en dicho instnte t? SOL: ) t=.0 s. b) v= m/s. Conservción del momento ngulr Si sobre un sistem de prtículs no ctú ningun fuerz extern o ctú un serie de fuerzs externs cuyo momento resultnte respecto un punto es nulo entonces el momento ngulr respecto dicho punto se conserv. LO = l O,i = r i p i d LO ext =τo =0 i L vrición del momento ngulr itotl del sistem respecto un punto O es igul l pr o momento de ls fuerzs externs que ctú sobre el sistem respecto l punto O. L O=cte d LO ext =τo Un stronut sufre un ccidente en el espcio exterior y qued colgdo de un cuerd de ms desprecible de longitud d conectd un eje. Si inicilmente el stronut qued girndo lrededor del eje con un velocidd ngulr 0, con qué velocidd girrá si l trtr de lcnzr el eje estirndo de l cuerd se reduce l distnci d/? Un stronut sufre un ccidente en el espcio exterior y qued colgdo de un cuerd de ms desprecible de longitud d conectd un eje. Si inicilmente el stronut qued girndo lrededor del eje con un velocidd ngulr 0, con qué velocidd girrá si l trtr de lcnzr el eje estirndo de l cuerd se reduce l distnci d/? SOL: =40. SOL: =40. Como el stronut es un sistem isldo se debe conservr su momento ngulr totl respecto l eje de giro d O v L O =m ( r v ) =cte L O =m 0 d =cte L ' O =m0 ( d / ) = LO =4 0

6 Un señor está montdo en un tburete girtorio y tiene un pes en cd mno. Si extiende ls mnos y se le d un impulso gir despcio pero si se le ocurre pegr ls mnos l cuerpo gir muy depris. Por qué? Un señor está montdo en un tburete girtorio y tiene un pes en cd mno. Si extiende ls mnos y se le d un impulso gir despcio pero si se le ocurre pegr ls mnos l cuerpo gir muy depris. Por qué? L E = I hi I pi i =cte I pi =m p L ' E = I hf I pf f = LE I pf 0 I hf I hi f= En un prque hy instld un pltform en form de disco que puede rodr sin rozmiento respecto un eje perpendiculr l plno y que ps por su centro. L pltform tiene un ms de 50 kg y un rdio de 00 cm. Un niño (de 0 kg) que cb de llegr jugr l ve prd y libre y empiez correr (tngencilmente un rdio) pr subir en ell. Cundo slt encim llev un velocidd linel de m/s. Cuál será l velocidd ngulr que tom el conjunto un vez el niño se encuentr encim? Qué ps si el niño decidiese ir desde el extremo de l pltform un distnci de m respecto l centro? SOL: ) 0,9 rd/s; b) 0,4 rd/s. Dos discos de momentos de inerci distintos girn lrededor de un eje común con velociddes ngulres distints como se indic en l figur. Clculr l velocidd ngulr finl con l que girrán mbos juntos. Si sobre el sistem finl ctú un fuerz tngencilmente l disco de myor rdio que tiene frenr el sistem clculr l celerción ngulr del sistem. Dos discos de momentos de inerci distintos girn lrededor de un eje común con velociddes ngulres distints como se indic en l figur. Clculr l velocidd ngulr finl con l que girrán mbos juntos. Si sobre el sistem finl ctú un fuerz tngencilmente l disco de myor rdio que tiene frenr el sistem clculr l celerción ngulr del sistem. E u E Dos discos de momentos de inerci distintos girn lrededor de un eje común con velociddes ngulres distints como se indic en l figur. Clculr l velocidd ngulr finl con l que girrán mbos juntos. Si sobre el sistem finl ctú un fuerz tngencilmente l disco de myor rdio que tiene frenr el sistem clculr l celerción ngulr del sistem. L fuerz ejerce un momento respecto l eje Antes de que ctúe l fuerz el sistem de los dos discos es un sistem isldo L E =I I =cte L ' E = I I =cte I I = I I I hi m p f i I hf F =( I + I ) α F = F I I

7 Un vrill de longitud l y ms puede girr libremente lrededor del punto de suspensión O, como se indic en l figur. Sobre l brr se lnz un prtícul de ms m=/6 con un velocidd v0, quedndo dherid l brr un distnci s del punto de suspensión (ver figur). Determinr: ) Distnci del centro de mss l punto O después del choque. b) Velocidd del centro de mss del sistem brr+prtícul después del choque. SOL: ) (l+s)/7, b) (sv0)/(l+s)(s+l)/7 Un vrill de longitud l y ms puede girr libremente lrededor del punto de suspensión O, como se indic en l figur. Sobre l brr se lnz un prtícul de ms m=/6 con un velocidd v0, quedndo dherid l brr un distnci s del punto de suspensión (ver figur). Determinr: ) Distnci del centro de mss l punto O después del choque. b) Velocidd del centro de mss del sistem brr+prtícul después del choque. SOL: ) (l+s)/7, b) (sv0)/(l+s) O s v 0 y cm = /6 s+ l / s+ l = 7/ 6 7 L + L = I (Almerí 005) Un buen dí soledo, Pedro y An se divierten en el prque de trcciones. ontdos en l nori, Pedro se le plnten muchs cuestiones de Físic, como ls siguientes. El rdio de l nori es = 0 m, y el motor que l ccion tiene un potenci P = kw. Se desprecin todos los rozmientos. ) Cuál es l ms móvil de l nori, suponiendo que tod ell se encuentr en l periferi, si trd 0 s en dquirir un velocidd ngulr de 0, rd /s? b) Cundo Pedro ps por l posición más lt, se le ce un moned del bolsillo. Cuánto trdrá en llegr l suelo? A qué distnci ce, medid desde l verticl del punto más lto? c) Qué velocidd ngulr deberí tener l nori pr que An se sintier ingrávid, y en qué posición le ocurrirí esto? d) Describe el movimiento de An visto desde l cbin de Pedro, dimetrlmente opuest l suy. Cuáles son su velocidd y celerción en función del tiempo? Cómo es el movimiento de Pedro respecto An? e) En un momento en que el motor est desconectdo y l nori girndo un velocidd de 0, rd/s, Pedro sube l nori en mrch dndo un pequeño slto lterl desde el ndén. Si pes 50 kg, cuál es l vrición de velocidd ngulr de l nori debid l slto? Dos objetos cuerpos cuelgn de dos mss unids dos rueds cpces de girr respecto l mismo eje del modo en el que se indic en l figur. El momento de inerci totl de ls dos rueds es de 40 kg m. Los rdios so =, m y =0.4 m. () Si m=4 kg, clcúlese el vlor de m pr que el sistem esté en equilibrio. (b) Si se colocn con suvidd kg sobre l prte superior de m, clculr l celerción de cd cuerpo, l celerción ngulr de l rued y l tensión de ls cuerds. SOL: () 7 kg. (b) =,68 m/s², =0,546 m/s², T=9,8 N, T=744,9 N. s s v 0 + 0=( l + s ) 6 6 = SOL: O s v 0 v 0 l+ s (00) SOL: Un muñeco sltrín se puede proximr medinte un muelle de longitud l0 = 5,0 cm de ms desprecible, unido un disco de ms m = 40 g, y el conjunto está ensrtdo en un lrgo eje verticl fijo l suelo. El juguete se dej cer desde un ltur h0 = 5 cm (ver figur, rrib). Después de tocr el suelo, el muelle se comprime hst un longitud l =,0 cm (bjo). Se desprecin todos los rozmientos.. Describir el movimiento del disco, medinte: ) Un explicción culittiv nlizndo el blnce energético. b) Un representción gráfic de su ltur h en función del tiempo t. c) Ls ecuciones del movimiento, indicndo el significdo de los términos incluidos en ells.. Clculr: ) L constnte elástic del muelle. b) L máxim energí potencil lmcend en el muelle. c) El periodo del movimiento. En el esquem de l figur, el bloque que cuelg tiene un ms de m=0,8 kg, mientrs que el bloque de ms = kg present un coeficiente de rozmiento con el plno de μ=0,. L pole tiene un ms mp=0,5 kg y un rdio de r=0, m. ) Cuál es el sentido del movimiento y que celerción dquiere el sistem? b) Determínese el error que se producirí en el cálculo de l celerción el desprecir l ms de l pole. c) Qué ocurrirí si el coeficiente de rozmiento es 0,5? SOL: Hci l izquierd, =0,086 m/s². b) 9%. c) No se moverí.

8 Un volnte inercil llev rrolldo su eje horizontl, un hilo idel del que cuelg un ms m=4 kg que desciende un ltur h=5 m, con movimiento uniformemente celerdo, en un tiempo t= s, dndo en ese tiempo un número de vuelts N=50/π. Sobre el eje ctú un pr resistente debido l rozmiento, O = 0,5 Nm. Se pide clculr: ) l energí cinétic de trslción dquirid por l ms m; b) el trbjo de rozmiento en el eje; c) l energí cinétic de rotción del volnte. SOL: ) 50 J. b) 50 J. c) 96 J Un pole de rdio exterior 0 cm, ms kg, y rdio de giro 8 cm, llev rrolldo un hilo en su grgnt. El extremo libre se sujet un punto fijo, mnteniendo l pole siempre con su propio eje horizontl y sin sujetr, clculr: ) l celerción con que descenderá el eje; b) l tensión del hilo. SOL: 5,50 m/s; 8,60 N. Dos poles de rdios =,5 cm y =5 cm, y mss m=0,8 kg y m=,6 kg se sueldn solidris, de modo que mbs girn l mismo tiempo sobre su eje, tl y como indic l figur. ) Clcul el momento de inerci del conjunto. b) Un ms m=,5 kg, sujet de un hilo rrolldo sobre l primer pole se suelt sin velocidd inicil un ltur h= m del suelo. Clcul l velocidd con l que lleg l suelo. c) Si l ms se sujet de un hilo rrolldo sobre l segund pole, l mism ltur que en el cso nterior, llegrá l suelo con l mism o con diferente velocidd? Justific l respuest. SOL: ),6 0 ³ kg m². b),40 m/s. c) llegrá con velocidd myor: 4,95 m/s