La Ley de Inducción de Faraday

Transcripción

1 La Ley de Inducción de Faraday 1. La Ley de Faraday. Ley de Lenz Consideremos un circuito cerrado C, como el mostrado en Fig. 1, formado por un alambre conductor. Supongamos que existe un campo magnético B; el flujo magnético a través de la superficie S limitada por C será Φ = S B da Escogemos una dirección de recorrido para C, de modo que el sentido del vector da en la expresión de Φ estará dado por la regla del sacacorchos (el sentido en que avanza un sacacorchos al hacerlo girar en el sentido de recorrido dado a C). Suponemos que no existen baterías u otras fuentes de fuerza electromotriz conectadas al circuito. Figura 1: Los experimentos realizados por Faraday en 1831 llevaron a la conclusión de que si el flujo magnético a través de la superficie limitada por un circuito varía en el tiempo se induce en dicho circuito una corriente, denominada corriente inducida, y por tanto una fuerza electromotriz, denominada fuerza electromotriz o fem inducida. La ley de Faraday establece que la fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual a menos la derivada del flujo magnético con respecto al tiempo, E ind = dφ (1) donde E ind es la fuerza electromotriz inducida en el circuito y Φ es el flujo magnético a través de la superficie limitada por el circuito. 1

2 Si el circuito tiene una resistencia R, la corriente inducida estará dada por: I ind = E ind R En relación a la ley de Faraday es conveniente hacer las siguientes consideraciones: El cambio de flujo a través de la superficie limitada por C puede deberse: (i) a que el campo B varía en el tiempo, B = B(t), o (ii) a que el circuito se está moviendo de modo que, al moverse, los valores de B que encierra el circuito cambian y con ello el flujo Φ, y (iii) a una combinación de los dos efectos anteriores (B cambia en el tiempo y además el circuito se está moviendo). Los resultados experimentales demuestran que la relación (1) es válida cualquiera que sea la causa por la que varía Φ. La ley de Faraday (1) es válida tanto si el circuito se encuentra en el vacío como si se encuentra en presencia de materia. El signo negativo en (1) indica la dirección y sentido de la fem inducida (y por tanto de la corriente inducida): si E ind > 0, el sentido de la corriente inducida coincide con el sentido de recorrido dado al circuito C; si E ind < 0, el sentido de la corriente inducida es opuesto al sentido de recorrido dado a C. Considerar así el ejemplo de Fig. 2, en el que se tiene un circuito fijo (de forma y posición) de modo que el flujo Φ varía sólo porque cambia B. Figura 2: Se ha elegido para C el sentido de recorrido indicado en la figura (notar que con ese sentido de recorrido y con el campo B dado, el flujo Φ = S B da es positivo). En la figura (a) se supone que el flujo está aumentando, dφ/ > 0, de modo que usando (1), E ind < 0. Esto significa que el sentido de E ind, y por tanto el de la corriente inducida I ind, es opuesto al sentido de recorrido dado a C, como se muestra en la figura (a). En la figura (b), se ilustra qué es lo que ocurre cuando se supone que Φ disminuye: en este caso, E ind > 0, por lo que el sentido de E ind y el de la corriente inducida es el mismo que el sentido de recorrido de C. La ley de Lenz proporciona un método simple para determinar el sentido de la fuerza electromotriz inducida: la fem inducida (y, por tanto, la corriente inducida) tiene un 2

3 sentido que tiende a oponerse al cambio que la provoca. Así, si la corriente inducida se debe a un aumento del flujo, el sentido de la corriente inducida será tal que crea un campo magnético que disminuirá el flujo y, viceversa, si la corriente inducida se debe a una disminución del flujo magnético, el sentido de la corriente inducida será tal que creará un campo magnético que aumentará el flujo. Esto se ilustra en los ejemplos de Fig. 2: como se ve en la figura (a), en la que el flujo aumenta (dφ/ > 0), la corriente inducida I ind tiende a oponerse a este cambio, tratando de hacer disminuir el flujo Φ produciendo líneas de campo (las líneas a trazos indicadas en la figura) opuestas al sentido de B, es decir, hacia dentro del circuito. En el caso de la figura (b), en el que dφ/ < 0, la dirección de I ind es tal que produce líneas de B que tienden a aumentar el flujo, es decir, se opone al cambio de acuerdo a la ley de Lenz. 2. Medios estacionarios y Medios en Movimiento De acuerdo con la ley de Faraday, cuando el flujo magnético a través de un circuito varía en el tiempo se origina en dicho circuito una fem inducida y, por tanto, una corriente inducida. Para que exista dicha corriente inducida I ind, tienen que existir portadores de carga moviéndose en el circuito. Ahora bien, para que los portadores de carga q se muevan a lo largo del circuito dando lugar a la corriente inducida tiene que actuar sobre cada portador de carga q una fuerza F q que los haga moverse. Queremos determinar cuál es la naturaleza de la fuerza F q que da lugar a la fuerza electromotriz inducida (a la corriente inducida) en un circuito. Para ello, distinguiremos dos casos, que corresponden a las dos formas en que podemos variar el flujo a través del circuito C: (a) medios estacionarios (circuito estacionario), que corresponde al caso en que el circuito C es fijo (en forma y posición) y el cambio de flujo a través de C se debe a que el campo B varía en el tiempo, B = B(t); (b) medios en movimiento (circuito en movimiento), caso en el que se supone que B no varía en el tiempo y que el cambio de flujo a través de C se debe a que el circuito se está moviendo en el campo B. MEDIOS ESTACIONARIOS En este caso, la corriente inducida se debe a un campo eléctrico E que ejerce sobre los portadores de carga una fuerza eléctrica F q = qe que da lugar al movimiento de los portadores de carga y con ello a la corriente inducida. Dicho campo eléctrico E tiene su origen en el cambio del campo B en el tiempo: campos magnéticos variables en el tiempo dan lugar a un campo eléctrico E y este campo eléctrico es el que da lugar a la corriente inducida. Este punto es muy importante ya que nos dice que no solamente se puede crear un campo eléctrico mediante cargas eléctricas (como se vió en Electrostática) sino también mediante campos magnéticos variables en el tiempo. Dicho de otro modo, tenemos dos fuentes de campo eléctrico (es decir, dos maneras de crear un campo eléctrico): (a) la carga eléctrica (b) campos magnéticos variables en el tiempo 3

4 MEDIOS EN MOVIMIENTO Hemos visto que para un circuito estacionario, el origen de la fem inducida es un campo eléctrico debido a la variación de B en el tiempo. Consideramos ahora el caso contrario: el circuito se encuentra en movimiento y el campo B no cambia en el tiempo. Al moverse el circuito, los portadores de carga del conductor se mueven con él y experimentan de este modo una fuerza magnética F q = q (v B) Es esta fuerza magnética que se ejerce sobre cada portador de carga q al moverse con el circuito la que da origen a la corriente inducida. Por tanto, en el caso de un circuito en movimiento en un campo B constante en el tiempo, el origen de la fem inducida (la corriente inducida) es la fuerza magnética que se ejerce sobre los portadores de carga del circuito al moverse con el circuito. A la fuerza electromotriz inducida en un circuito en movimiento se le suele denominar fuerza electromotriz (o fem) de movimiento. CASO GENERAL Consideramos ahora el caso más general posible, en que el circuito se está moviendo y además el campo B varía en el tiempo, B = B(t). En este caso, sobre cada portador de carga q del circuito existe una fuerza eléctrica, que tiene su origen en el campo B variable en el tiempo, y una fuerza magnética, que aparece al moverse el portador de carga q con el circuito en el campo B, de modo que la fuerza total sobre cada portador de carga es: F q = q (E + v B) Por tanto, en el caso general en que el circuito está en movimiento y además el campo B varía en el tiempo, el origen de la fem inducida (la corriente inducida) es una fuerza F q sobre los portadores de carga, suma de una fuerza eléctrica debida a un campo eléctrico E que tiene su origen en el campo B variando en el tiempo más una fuerza magnética que se ejerce sobre los portadores de carga del circuito al moverse con el circuito. 3. Autoinductancia e Inductancia Mutua AUTOINDUCTANCIA Supongamos que se tiene un circuito C aislado, rígido y estacionario (es decir, que no cambia de forma y que se encuentra en reposo). Si por dicho circuito circula una corriente I, esta corriente dará lugar a un campo magnético y existirá por tanto un flujo magnético Φ a través de C. Este flujo magnético dependerá de la corriente I que circula por el circuito: Φ = Φ(I). La autoinductancia o coeficiente de autoinducción de un circuito constituye un coeficiente característico de dicho circuito que describe cómo es el flujo magnético que lo atraviesa debido a la corriente que circula por él. Se designa por L y tiene la expresión: 4

5 L = Φ I (2) En relación a la autoinductancia L de un circuito conviene hacer notar que: La autoinductancia L es una constante característica del circuito, que sólo depende de sus propiedades geométricas y del medio en que se encuentra el cirucito. Conocida la autoinductancia L de un circuito es inmediato determinar el flujo magnético a través del circuito debido a la corriente I que circula por él: L = Φ I = Φ = LI Evidentemente, si la corriente I en el circuito C varía en el tiempo, el flujo Φ que atraviesa el circuito también variará en el tiempo y se tendrá de este modo una fem inducida en el circuito, E ind = dφ = L di La unidad de L en el Sistema Internacional es el Henrio (H) y, de acuerdo a (2) y (3), se tiene que: (3) 1 H = 1 Wb A = 1 V s A INDUCTANCIA MUTUA Suponemos ahora que tenemos dos circuitos C 1 y C 2, rígidos y estacionarios, por los que circulan unas corrientes I 1 e I 2, respectivamente (ver Fig. 3). Evidentemente, la corriente I 2 en el circuito C 2 crea un campo magnético y da lugar de este modo a un flujo magnético Φ 12 a través del circuito C 1 (Φ 12 es el flujo en el circuito 1 debido a la corriente en el circuito 2). Este flujo Φ 12 dependerá naturalmente de la corriente I 2 que circula por el circuito 2: Φ 12 = Φ 12 (I 2 ). Figura 3: 5

6 La inductancia mutua o coeficiente de inducción mutua entre los circuitos 1 y 2 constituye un coeficiente característico de los dos circuitos que describe cómo es el flujo magnético que atraviesa el circuito 1 debido a la corriente en el circuito 2. Se designa por M 12 y tiene la expresión: M 12 = Φ 12 I 2 (4) (de forma similar, el coeficiente de inducción mutua M 21 se define como M 21 = Φ 21 /I 1, donde Φ 21 es el flujo que atraviesa el circuito 2 debido a la corriente en el circuito 1). Fijarse en que: La inductancia mutua M 12 (o M 21 ) es una constante característica de los circuitos que sólo depende de su geometría y del medio en que se encuentran. La unidad de la inductancia mutua M 12 (M 21 ) es la misma que la de la autoinductancia L antes definida. Por tanto, en el Sistema Internacional, la unidad de M 12 (M 21 ) es el Henrio (H). La inductancia mutua es simétrica: M 12 = M 21 Si conocemos la inductancia mutua M 12, es inmediato obtener el flujo Φ 12 circuito 1 debido a la corriente I 2 en el circuito 2: en el M 12 = Φ 12 I 2 = Φ 12 = M 12 I 2 De forma similar, si conocemos la inductancia mutua M 21, es inmediato obtener el flujo Φ 21 en el circuito 2 debido a la corriente I 1 en el circuito 1: M 21 = Φ 21 I 1 = Φ 21 = M 21 I 1 Supongamos ahora que tenemos el sistema formado por los circuitos 1 y 2 de Fig. 3, por los que circulan unas corrientes I 1 e I 2, respectivamente. Si queremos calcular el flujo total Φ 1 a través del circuito 1, éste será igual a la suma del flujo Φ 11 debido a la corriente I 1 en el propio circuito 1 (Φ 11 = L 1 I 1, donde L 1 es la autoinductancia del circuito 1) más el flujo Φ 12 debido a la corriente I 2 en el circuito 2 (Φ 12 = M 12 I 2 ): Φ 1 = L 1 I 1 + M 12 I 2 De igual modo, el flujo total Φ 2 en el circuito 2, será igual a la suma del flujo Φ 21 debido a la corriente I 1 en el circuito 1 (Φ 21 = M 21 I 1 ) más el flujo Φ 22 debido a la la corriente I 2 en el propio circuito 2 (Φ 22 = L 2 I 2, donde L 2 es la autoinductancia del circuito 2): Φ 2 = M 21 I 1 + L 2 I 2 6

7 Si ahora las corrientes I 1, I 2 en los circuitos 1 y 2 varían en el tiempo, los flujos Φ 1 y Φ 2 variarán y se tendrán unas fuerzas electromotrices inducidas en los circuitos 1 y 2: E ind,1 = dφ 1 di 1 = L 1 M di 2 12, E ind,2 = dφ 2 di 1 = M 21 L di 2 2 Se puede demostrar que si L 1 y L 2 son las autoinductancias de los circuitos 1 y 2, respectivamente, entonces: donde k es una constante, y k < 1. M 12 = k L 1 L 2, 4. Energía Magnética Supongamos que se tiene un circuito rígido y estacionario por el que circula una corriente I. Se define la energía magnética asociada a esta corriente como el trabajo realizado para establecer dicha corriente en el circuito, es decir, el trabajo que ha sido necesario realizar para pasar de un estado inicial, en el que la corriente en el circuito era cero, hasta un estado final en el que por el circuito circula la corriente I que actualmente tiene. Para entender en qué consiste este trabajo, notar que al ir aumentando la corriente en el circuito desde su valor inicial cero, el campo magnético debido a esta corriente va también aumentando y por tanto el flujo magnético a través del circuito. Como el flujo magnético que atraviesa el circuito varía en el tiempo, de acuerdo con la ley de Faraday, existirá en el circuito una fem inducida que según la ley de Lenz se opondrá a la causa que la provoca (es decir, al aumento de la corriente en el circuito). Por tanto, la fem inducida en el circuito se opone al aumento de la corriente. Para crear la corriente I en el circuito hay que realizar un trabajo contra la fem inducida en el circuito: la energía magnética consiste en el trabajo realizado contra la fem inducida en el circuito al ir aumentando la corriente desde su valor inicial cero hasta su valor final I. Se puede demostrar que la energía magnética U m asociada a un circuito, rígido y estacionario, por el que circula una corriente I, está dada por la expresión: U m = 1 2 LI2 (5) donde L es la autoinductancia del circuito, e I la corriente que circula por él. La energía magnética asociada a la corriente I que circula por un circuito se puede considerar almacenada en el campo magnético B creado por dicha corriente. 7

8 Definimos la densidad de energía magnética en un punto como la energía magnética almacenada en ese punto por unidad de volumen y está dada por: u m = B2 2µ donde B es el valor del campo magnético en dicho punto, y µ el valor de la permeabilidad magnética en dicho punto (µ = µ r µ 0 ). La unidad de u m en el sistema internacional es de julios/m 3. (6) 8