Transcripción

1 1 de 7 Manizales, 08 de Octubre de La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la epresión: T t t t con t ( ) = a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máima que alcanza la pieza. b) Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante?.- Halle la ecuación de la recta tangente a la curva de infleión. 3 y = 4 + en su punto y = 3.- Dada la curva: 1 (a) Dominio y asíntotas. se pide: (b) Simetrías y cortes con los ejes. (c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. (d) Máimos y mínimos, si los hay. (e) Una representación aproimada de la misma. 4.- Dada la curva y = 1 + se pide: (a) Dominio de definición y corte a los ejes. (b) Simetrías. (c) Asíntotas. (d) Posibles etremos de la función que define a la curva.

2 de 7 Manizales, 08 de Octubre de 010 (e) Con los anteriores datos, obtener una representación aproimada de la curva. 5.- Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo. 6.- La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, C( ) ,6 en una ciudad viene dada por la función tiempo transcurrido desde 1 de enero de 1990 contado en años. = +, donde es el a) Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono? b) Cuál es la concentración máima de ozono que se alcanza en esa ciudad? 7.- Sabemos que la función f ( ) a b = + tiene un máimo en el punto (3,8). a) Halla los valores de a y b. b) Para dichos valores, calcula la ecuación de la recta tangente a f() en el punto de abscisa 0. 3 f ( ) = + a + b + c. Determínese a, b y c de modo que f() tenga 8.- Sea un etremo relativo en = 0, la recta tangente a la gráfica de f() en = 1 sea paralela a la recta y-4=0, y el área comprendida por la gráfica de f(), el eje OX y las rectas = 0, = 1, sea igual a Calcular la base y la altura del triangulo isósceles de perímetro 8 y área máima Dada la función f ( ) 1 =, se pide:

3 3 de 7 Manizales, 08 de Octubre de 010 a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P( a, f ( a )), donde 0<a<1. b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivamente. c) Determinar el valor de a (0,1) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P( a, f ( a )) es el doble de la distancia entre el punto B y el punto P( a, f ( a )) 3 P( ) A B = + + se sabe que su recta tangente en el 11.- Del polinomio punto = 1 es paralela a la recta y = 7-3 y también se sabe que tiene un punto etremo en = -1. Con estos datos hallar A y B y razonar si con dichos valores P() tiene algún otro etremo además del correspondiente al punto = Sea la función: ( 1)( ) f ( ) = a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en = -3. b) Calcula sus asíntotas, máimos, mínimos y puntos de infleión. c) Represéntala gráficamente Sea f ( ) = e a, con a un parámetro real. a) Calcular los valores del parámetro a para que f() tenga un máimo o un mínimo en = 3. Para esos valores del parámetro decir si = 3 es máimo o mínimo. b) Para a = - escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad de f() Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios respectivamente de y 3 euros por centímetro cuadrado. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser de un metro?

4 4 de 7 Manizales, 08 de Octubre de Descomponer el número 81 en dos sumandos de forma que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máimo Determinar el punto de infleión de abscisa positiva de la curva de ecuación 1 y = Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máima superficie interior posible. a) Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) Qué superficie máima interior tiene la portería? 18.- Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m 3 de volumen, que tenga superficie mínima Se considera la función 3 f ( ) = Se pide: a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica f() en el punto de abscisa = 3 b) Eiste alguna otra recta tangente a la gráfica f() que sea paralela a la que hemos hallado. Razona la respuesta y, en caso afirmativo, halla la ecuación. 0.- Consideramos la función 6 f ( ) = 1 + a + donde a es un parámetro.

5 5 de 7 Manizales, 08 de Octubre de 010 a) Calcula el valor del parámetro a sabiendo que f() tiene un etremo relativo en el punto de abscisa = 3. b) Se trata de un mínimo o un máimo? Razona la respuesta. 1.- La función de coste total de producción de unidades de un determinado 3 producto es C( ) a) Se define la función de coste medio por unidad como Q( ) =, cuántas unidades 0 son necesarias producir para que sea mínimo el coste medio por unidad? b) Qué relación eiste entre Q( 0) y C '( 0)?.- La función el punto (0,4). Halla: 3 a b c a) La función. b) El mínimo. c) El punto de infleión. + + pasa por el punto (-1,0) y tiene un máimo en f ( ) = + e 3.- Demuestra que la función corta al eje OX en el intervalo (- 1,1) y tiene un máimo relativo en ese mismo intervalo. 4.- Halla las derivadas de las siguientes funciones y simplifica el resultado: y = ln y = ln sen 5.- Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I( ) = +, mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G( ) = donde representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar:

6 a) La función que define el beneficio anual en euros. 6 de 7 Manizales, 08 de Octubre de 010 b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máimo. Justificar que es máimo. c) El beneficio máimo. 6.- La parte superior de una pared de metros de base tiene una forma , donde mide la longitud parabólica determinada por la epresión en metros desde la parte izquierda de la pared. Calcular la superficie de dicha pared utilizando una integral. 7.- Encontrar razonadamente el punto de la curva 1 y = 1 + en el que la tangente a la curva tiene pendiente máima y calcular el valor de esta pendiente. 8.- En un plano el trazado de una carretera discurre según la ecuación y =, siendo un río el eje OX. En el terreno entre el río y la carretera hay 4 un pinar. Si epresamos las distancias en kilómetros, cuánto vale el pinar si la hectárea se paga a 60 euros? 9.- Sea la función Determinar: f ( ) = + 1 a) Dominio de definición. b) Asíntotas si eisten. c) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, así como sus máimos y mínimos. d) Área encerrada por: f(), la recta = 5 y la función g( ) 1 = 30.- La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el triple del tercero suman 10. Hallar: Los números que verifican estas condiciones y cuyo producto es máimo.

7 f a 3 ( ) = de 7 Manizales, 08 de Octubre de Sea la función a) Calcula el valor de a para que f tenga un etremo relativo (máimo o mínimo) cuando =. b) Para ese valor de a, calcula todos los etremos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los puntos de infleión de f. Dibuja la gráfica de la función. c) Es posible encontrar algún valor a tal que creciente en todo su dominio? Justifica tu respuesta. 3 f ( ) = + a + 5 sea 3.- En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función: f ( ) = Siendo el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. Determinar: a) El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. b) El número máimo de personas afectadas. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad. Justificar las respuestas Determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro.