DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Alumno/a 4º ESO Nº TRIGONOMETRIA 1º PARTE
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- Inés Flores del Río
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1 DEPRTMENTO DE MTEMÁTIS lumno/ 4º ESO Nº TRIGONOMETRI 1º PRTE
2 84 Introuión Un rinto poligonl simpr lo pomos iviir n triángulos. omo por jmplo Lo pomos iviir n triángulos D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R
3 Entons n l stuio igurs smjnts; uno son muy omplis; pomos intntr tringulr ls igurs unino los vértis orrsponints l mism orm y lugo vr si los triángulos orrsponints son smjnts. Lo mismo su si qurmos lulr l ár un rinto muy omplio, lo mjor s tringulr s rinto, lulr l ár triángulo, n l qu s h iviio l rinto y l ár l rinto, srá l sum ls árs los triángulos más si tnmos un tringulo Figurs 1 y 2 Fíjt qu porímos onor sus los, ángulos, prímtro y ár si onoiérmos, sos lmntos n H H los triángulos los triángulos rtángulos, y.h, s l ltur l triángulo. Figur 1 Figur 2 H omo pus vr si onsguimos trminr in, los los ulquir triángulo rtángulo pomos utilizrlos, pr lulr los los otros triángulos qu no son rtángulos. 85
4 tivi omplt l tl. Los l Triángulo Los homólogos l O Triángulo O Proporión on ltrs Proporión on los tos onoios los los O O Rzón smjnz 86
5 Los l Triángulo O Los homólogos l Triángulo O Proporión on ltrs Proporión on los tos onoios los los O O Rzón smjnz álulos lo O álulos lo O 87
6 L y ompru on l sgun sn. ) Si mntnmos ijo l ángulo O y mimos l tmño los O O 0,693 Prmnn O O O triángulos y Los oints onstnts. ) Muv l punto Hst qu l lo 23,61 Fíjt qu los oints min O mi l punto y omplt l l siguint tl on los tos qu otngs O O O Proporión 0,714 Esto s lo mismo qu O O O mir l ángulo O O O O O 88
7 tivi Los qu tins qu onsirr on sus mis 0 Proporión O O O O mi l punto y y omplt l tl 89
8 Los qu tins qu onsirr on sus mis 0 Proporión O O O 2.2 O 90
9 Los qu tins qu onsirr on sus mis Proporión O O O mi l punto y y omplt l tl 91
10 Los qu tins qu onsirr on sus mis Proporión O O O 92
11 D lo ntrior pomos, vr qu uno tnmos un olión triángulos smjnts, hy irts proporions qu prmnn onstnts, inpnintmnt l tmño l triángulo. omo s omntó n l introuión, too lo pomos ruir triángulos rtángulos. Nos vmos ijr n ls proporions qu pomos otnr uno tnmos un olión triángulos rtángulos.smjnts URzons trigonométris 1 L tntmnt l introuión st págin. Rur qu os triángulos son smjnts si ) Tinn sus los proporionls o ) Sus ángulos son iguls En l siguint igur tnmos os triángulos rtángulos. F 41º 41º D E Rur qu l sum los ángulos intriors un triángulo son 180º o Ángulos Ángulos π r. Entons: DEF 41º D 90º 90º F 41º 180º 180º 41º 90º E 180º D F 180º 41º 90º 49º 49º 49º E 49º Fíjt ntons qu los triángulos l igur son smjnts, tinn los mismos ángulos. Por lo tnto tinn sus los proporionls. Rur qu: Los los homólogos son los omprnios ntr los mismos ángulos. omplt l tl 93
12 Los l Triángulo Los homólogos l Triángulo DEF Proporión on ltrs D st introuión pomos onluir qu: Dos triángulos rtángulos qu tngn un ángulo guo igul son smjnts. Un triángulo rtángulo tin os ttos y un hipotnus. Los ttos son los qu ormn l ángulo rto y l hipotnus l lo opusto l ángulo rto. Un triángulo rtángulo tin os ángulos guos, qu stán ormos por l hipotnus y un tto. Si tommos omo punto vist un ángulo guo, l triángulo rtángulo, l tto qu orm prt l ángulo lo llmmos tto ontiguo s ángulo y l otro tto opusto s ángulo Fíjt n l igur siguint. Hipotnus tto opusto lángulo tto ontiguo l ángulo Hipotnus tto ontiguo l ángulo tto opusto lángulo 94
13 En l siguint igur tins rprsntos os triángulos rtángulos, omo n l sn l tivi 3 y 4 E D tivi 3 Tringulo D tivi 4 Los oints Los oints 4.1 Ángulo 30º Tringulo D Los oints Los oints 95
14 4.1 Ángulo 42º Tringulo Los oints Los oints 96 Pus movr los puntos y D too lo qu quirs y vrs qu sos oints prmnn onstnts simpr qu no mis l ángulo. uno mis l ángulo otins otrs rzons qu prmnn onstnts inpnintmnt l tmño los triángulos tivi 5 omplt l tl. Dno l l lo los vlors inios. Ángulo tto tto 42º 13 42º 5 Hipotnus y D D Rzons trigonométris sn(42º) os(42º) tn(42º) sn(42º) os(42º) tn(42º)
15 97
16 Ángulo tto tto 42º 13,25 35º 9 35º 10,5 Hipotnus Rzons trigonométris sn(42º) os(42º) tn(42º) sn(35º) os(35º) tn(35º) sn(35º) os(35º) tn(35º) sn(35º) 35º 4 os(35º) tn(35º) omo pus vr los oints no min uno mis l tmño l tmño l triángulo. Solo min uno mis l ángulo 98
17 Vmos qu sto s irto n gnrl. DE Fíjt qu los triángulos y son smjnts Tl 1 E Sus los son proporionls D ( 1) ( 2) ( 3) Diniión l sno un ángulo Fíjt n l Tl 1 Proporions ( 2) ( 3) Oprions (*) lrión (*) E Fíjt qu y son los l triángulo D Es l tto qu st nrnt l ángulo y s l, lulmos l. El mismo oint lo lulmos n l DE hipotnus l triángulo oint triángulo, utilizno los los orrsponints y. lulmos. Fíjt qu n 99
18 (*) vmos qu sos oints son iguls, y omo hs visto n l sn solo min uno mis l ángulo. Entons pr ángulo guo l pomos soir l númro sno ángulo y lo notmos omo. st númro l llmmos sn ( ). Est oint s pu inir on rspto l ángulo tto opusto sn( ) Hipotnus Diniión l osno un ángulo Fíjt n l Tl 1 Proporions ( 1) ( 3) E D Oprions ** lrión (**) Fíjt qu y son los l triángulo s l tto ontiguo l ángulo y s l, lulmos l. El mismo oint lo lulmos n l DE hipotnus l triángulo oint triángulo, utilizno los los orrsponints y. lulmos. Fíjt qu n (**) vmos qu sos oints son iguls, y omo hs visto n l sn solo min uno mis l ángulo. Entons pr ángulo guo l pomos soir l númro. st númro l llmmos osno ángulo y lo notmos os ( ). Est oint s pu inir on rspto l ángulo omo tto ontiguo os ( ) Hipotnus 100
19 Diniión l tngnt un ángulo Fíjt n l Tl 1 Proporions ( 1) ( 2) Oprions *** lrión (***) E Fíjt qu y son los tto l triángulo s l tto ontiguo l ángulo y s l tto opusto l ángulo n triángulo, lulmos l oint lulmos n l triángulo. El mismo oint lo DE, utilizno los D los orrsponints y. lulmos. Fíjt qu n (***) vmos qu sos oints son iguls, y omo hs visto n l sn solo min uno mis l ángulo. Entons pr ángulo guo l pomos soir l númro. st númro l llmmos tngnt ángulo y lo notmos tn ( ). Est oint s pu inir on rspto l ángulo omo tto opusto tn( ) tto ontiguo 101
20 tivi omplt l tl. Ángulo 35º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 35º os 35º tn 35º álulos sn 35º os 35º tn 35º álulos 102
21 6.3 omplt l tl. Ángulo 45º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 45º os 45º tn 45º álulos sn 45º os 45º tn 45º álulos 103
22 6.3 omplt l tl. Ángulo 55º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 55º os 55º tn 55º álulos sn 55º os 55º tn 55º álulos onlusión tivi 6 104
23 tivi omplt l tl. Ángulo 32º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 32º os 32º tn 32º álulos sn 32º os 32º tn 32º álulos 105
24 7.2 omplt l tl. Ángulo 43º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 43º os 43º tn 43º álulos sn 43º os 43º tn 43º álulos 106
25 7.3 omplt l tl. Ángulo 56º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 56º os 56º tn 56º álulos sn 56º os 56º tn 56º álulos onlusión tivi 7 107
26 tivi omplt l tl. Ángulo 25º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 25º os 25º tn 25º álulos sn 25º os 25º tn 25º álulos 108
27 8.2 omplt l tl. Ángulo 37º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 37º os 37º tn 37º álulos sn 37º os 37º tn 37º álulos 109
28 8.3 omplt l tl. Ángulo 62º Figur Rzons n l triángulo Rzons n l triángulo DE E D sn 62º os 62º tn 62º álulos sn 62º os 62º tn 62º álulos onlusión tivi 8 110
29 lulo ls rzons trigonométris 45º, 30º y 60º Rzons 45º D En l uro lo 1 pintmos l igonl D 2 45º 1 45º Fíjt qu si lulmos l igonl. onomos los los l triángulo rtángulo y l ángulo l vérti ; 45º; ntons pomos lulr ls rzons 45º. Torm Pitágors sn 45º os 45º tn 45º
30 Rzons 60º 1 60º 1 1 En un triángulo quilátro, los ángulos son iguls y min 60º. Elgimos l tringulo quilátro lo 1. Trzmos l ltur s triángulo H. Y otnmos l triángulo H s l mit l lo, ntons. El lo H 1 H 2 H 60º 1 H El triángulo s rtángulo. plino l Torm Pitágors pomos lulr l lo H H + H, H H 2 2, (*) H sn 60º H H 3 2 H 60º 1 H 2 1 os 60º tn 60º H H H Rzons 30º Fíjt n l igur (*). El ángulo l vérti, lo pomos lulr, sino qu l sum los ángulos intriors un triángulo son 180º. Entons omo H 90º y 60º. H º 180º 90º 60º 180º 150º 30º 30º 112
31 Entons pomos lulr ls rzons trigonométris 30º. omplt l tl H 3 2 H 30º 1 H 2 1 sn 30º os ( 30º ) H H tn 30º Rsumn Rzons 45º Rzons 30º Rzons 60º sn( 45º ) os ( 45º ) tn( 45º ) sn( 30º ) os ( 30º ) tn( 30º ) sn( 60º ) os ( 60º ) tn( 60º ) 113
32 tivi 9 Diuj los triángulos on los ts qu otins l sn y lul ls rzons trigonométris Ángulo Triángulo on l longitu sus los Rzons trigonométris sn( 12º ) O 12º os ( 12º ) tn( 12º ) sn( 22º ) O 22º os ( 22º ) tn( 22º ) sn( 37º ) O 37º os ( 37º ) tn( 37º ) sn( 65º ) O 65º os ( 65º ) tn( 65º ) 114
33 sn( 72º ) O 72º os ( 72º ) tn( 72º ) onusión tivi 9 O O 1 O α os α sn α tivi 10 L rlión ntr l sn( α ) y l os ( α ) s: FÓRMUL FUNDMENTL 115
34 tivi 11 Ángulo Dtos Oprions O 39º O O os ( 39º ) O 66º O 78º O O os ( 66º ) O O os ( 78º ) tivi 12 Ángulo Dtos Oprions O 16º O sn( 16º ) O 64º O 80º O sn( 64º ) O os ( 80º ) 116
35 Rur qu ( 4,7) ( 6, 4) ( 6,3) D( 4, 8) L posiión un punto n l plno vin por un pr orno númros, qu s llmn oorns l punto. L primr oorn s mi sor l j siss; s llm sis l punto. L sgun oorn s mi sor l j orns; s llm orn l punto. tivi 13 O 1 α O sn α os α oorns l punto n unión l ángulo α (, ) O 117
36 tivi 14 omplt l tl R 1 0 γ 70 0 β 47 R 1 0 α 24 oorns n unión l ángulo (,sn) os α α ( ) 0 0 os 24,sn 24,sn, ( β β ) ( 0 ) ( 0 ) os os,sn (, ),sn ( γ γ ) ( 0 ) ( 0 ) os os,sn (, ) Rur qu. Si Un ángulo α mi 0 0 π 0 < α < 90 o 0r < α < r π 90 < α < 180 o r < α < πr < α < 270 o πr < α < 3π r < α < π o r < α < 2πr 2 Est n r 1 urnt º 2 urnt r 3 urnt º 4 urnt 118
37 tivi 15 r 1 urnt Ángulo O Rzons l ángulo O sn os tn sn os tn sn os tn oorns l punto ( ) (, ) os,sn ( ) (, ) os,sn ( ) (, ) os,sn o 2 urnt Ángulo O Rzons l ángulo O sn os tn sn os tn oorns l punto ( ) (, ) os,sn ( ) (, ) os,sn 119
38 sn os tn ( ) (, ) os,sn r 3 urnt Ángulo O Rzons l ángulo O sn os tn sn os tn sn os tn oorns l punto ( ) (, ) os,sn ( ) (, ) os,sn ( ) (, ) os,sn o 4 urnt Ángulo O Rzons l ángulo O sn os tn oorns l punto ( ) (, ) os,sn 120
39 sn os tn sn os tn ( ) (, ) os,sn ( ) (, ) os,sn Signos ls rzons trigonométris D l tivi ntrior pus uir qu pnino l urnt n l qu st l ángulo ls rzons trigonométris tinn istintos signos. Intnt trminr sos los signos on l sn. α st n Rzón trigonométri Signo r 1 urnt º 2 urnt r 3 urnt º 4 urnt sn( α ) os ( α ) tn( α ) sn( α ) os ( α ) tn( α ) sn( α ) os ( α ) tn( α ) sn( α ) os ( α ) tn( α ) 121
40 π o 90 r 2 Rsumn π o 90 r 2 π o 90 r π o 180 r π o r π o 180 r π o r π o 180 r π o r o 3π o 3π o 3π 270 r 270 r 270 r Signos sno Signos osno Signos tngnt 15.2 Fíjt n los puntos,, D.Dtrmin sus oorns, sos puntos, los ángulos α O, β O y θ DO, n gros y n rins. irunrni rio 1 θ β D O α oorns Puntos Ángulos Gros (, ) α Rins α (, ) D (, ) Gros β Rins β Gros θ Rins θ Rzons trigonométris sn os tn sn os tn sn os tn 122
41 Rzon sor l igur ntrior y l vlor ls rzons trigonométris 2π r Ángulos o 0 o 0r, o 360, 2π r Rzons trigonométris sn os tn sn os tn o 0, o 360 o 0r, tivi 16 Tnino n unt los signos ls rzons trigonométris y l órmul unmntl. omplt l siguint tl. Ángulo Rzón onoi álulos pr l álulos pr l sn 135 0,71 o os 240 0,5 o os 350 0,98 o
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