Problemas de Cálculo Matemático E.U.A.T. CURSO Primer cuatrimestre

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1 1 Problemas de Cálculo Matemático EUAT CURSO Primer cuatrimestre Problemas del Tema 5 Teoremas relativos a funciones derivables y aplicaciones 1 La función f(x) = 1 3 x se anula para x 1 = 1 y para x = 1 Sin embargo, f (x) 0 para 1 x 1 Explicar la aparente contradicción con el teorema de Rolle Estudiar en qué casos es aplicable el teorema de Rolle, calculando, en caso afirmativo, los valores de c que verifican la tesis: (a) f(x) = x 3 1x + 5 en [ 3, 3] (b) f(x) = sen x en [π/3, 7π/3] (c) f(x) = x 4x x + en [0, 4] 3 Probar que la ecuación x 8 + 5x 3 = 0 no puede tener más de dos soluciones reales 4 Demostrar que la ecuación e x = x + 1 tiene exactamente una raiz real 5 Demostrar que la ecuación 3x x 8 = 0 sólo tiene una raíz real 6 Hallar en la curva y = x 3 un punto, en el cual la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos A( 1, 1) y B(, 8) 7 Estudiar en qué casos es aplicable el Teorema del Valor Medio a las siguientes funciones, calculando en los casos posibles el valor de c que verifica la tesis: (a) f(x) = log x en [1, e] (b) f(x) = x en [, 6] 8 Apoyándose en el teorema del Valor Medio, determinar una cota del error cometido al tomar 100 como Aplicando el Teorema del Valor Medio, calcular un valor aproximado de (3 001) 4 10 En qué punto de la curva y = ln x la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos M(1, 0) y N(e, 1)? 11 Hallar el valor de x 0 que cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio, siendo f(x) = 3x + 4x 3 en el intervalo [1, 3]

2 1 Hallar el valor de x 0 que cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio, siendo f(x) = x 3 en el intervalo [0, 6] 13 Hallar el valor de x 0 que cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio, siendo f(x) = ln x en el intervalo [1, e] 14 Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x) = x y g(x) = x 3 en el intervalo [1, ] y hallar c 15 Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x) = ln x y g(x) = 1 x [1, 3] y hallar c en el intervalo 16 Aplicar el Teorema de Cauchy a las funciones f(x) = x y g(x) = x 1 3 en el intervalo [, 4] y hallar c 17 Calcular los siguientes límites, utilizando en el momento oportuno la regla de L Hôpital: ( e x + e x x 1 a) lim b) lim x 0 sen x x x 0 x 1 ) e x 1 c) lim x 1 x tan x x 1 d) lim x 1 x 0 ( x 3 ) e x e sin x 1 e) lim f) lim x 0 x sin x x 0 x cot x ( ) tan x 3 ( π ) 1 g) lim h) lim x 0 x x + arctan x x i) lim (tan x) sin(x) cot 5x j) lim (1 sin(3x)) x π x 0 ( ) ( ) x x k) lim x + π arctan x a 1 x + b 1 x l) lim x ( x m) lim x 1 x 1 1 ) ( ( n) lim tan x cot x + π )) log x x π Dada la función f(x) = x + 1 se pide: (a) El polinomio de Taylor de cuarto grado de f en x = 0 (b) Calcular un valor aproximado de 10 utilizando un polinomio de segundo grado y dar una estimación del error cometido 19 Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 en un entorno del punto x = 1 de la función f(x) = x + 1 x(x + 1) 0 Hállese el desarrollo de Taylor del polinomio p (x) = 1 + x + x 3 x 4 en potencias de x + 1

3 3 1 De un polinomio p (x), que es de cuarto grado, se sabe que p () = 1, p () =, p () = 3, p () = 4, p 4) () = 1 Calcular p ( 1) Calcular cos 1 con un error menor que Expresar el polinomio x 3 3x x + 4 en potencias de (x 1) 4 Obtener el polinomio de Mac-Laurin de orden n para la función f(x) = ex + e x 5 Desarrollar en potencias de (x ) el polinomio x 4 5x 3 + 5x + x + 6 Aplicar la fórmula de Taylor a la función y = x en un entorno de x = 1 hasta el cuarto término 7 Explicar la procedencia de las igualdades aproximadas, válidas para pequeños valores de x : (a) ln(cos x) x x4 1 (b) arcsin x x + x3 6 (c) tan x x + x 3 + x5 15 (d) arctan x x x3 3 8 Aplicando la fórmula de Taylor, calcular los límites de las siguientes expresiones: (a) lim x 0 x sin x e x 1 x x ln (1 + x) sin x (b) lim x 0 1 e x 9 Estudiar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones: a)f(x) = arctan c)f(x) = 1 + x x d)f(x) = e x3 6x+ e)f(x) = e x sin x f)f(x) = 3x + (x ) 3 g)f(x) = x b)f(x) = x3 1+x e x 10 4x 3 9x + 6x 30 Hallar los máximos y mínimos de la función h)f(x) = x log x f(x) = (x 1) x log x 31 hallar los extremos de las siguientes funciones:

4 4 (a) y = sin(3x) 3 sin x (b) y = x 4 x + (c) y = x (a x) (d) y = x ln x (e) y = x 1+x 3 hallar los extremos de las siguientes funciones en los intervalos dados: (a) y = 3x 4 + 6x 1, en [, ] (b) y = x3 3 x + 3x + 1, en [ 1, 5] (c) y = x 1, en [0, 4] x+1 (d) y = sin(x) x, en [ π, π] 33 Estudiar la concavidad y la convexidad de la función f(x) = 3x 4 4x Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad de las funciones: (a) y = x3 +x+1 x +3 (b) y = e x (c) y = x3 x +1 5x (d) y = x 4 + 3x 6 (e) y = 1 (x+) 3 (f) y = x3 3 x (g) y = x 1+x (h) y = x ln(x + 1) 35 La función f (x) = ax + b ln x tiene un punto de inflexión en (1, ) Determinar a, b y los demás puntos de inflexión 36 Hallar los puntos de inflexión de las siguientes funciones: (a) y = x 3 (b) y = (x ) 3 (x + 1) (c) y = x + 1 x (d) y = x ln x (e) y = e x sin x (f) y = x 1 x +1

5 5 (g) y = x x +1 (h) y = x + tan x 37 Estudio y representación gráfica de las siguientes funciones: a)f(x) = x3 3x + 4 b)f(x) = x 1 x x c)f(x) = x d)f(x) = x3 log x x + 4 (x 1) e)f(x) = f)f(x) = x arctan x x + 1 g)f(x) = e 1 x + 1 x x h)f(x) = log 1 x 38 Un tronco de árbol que mide 0 m de altura tiene la forma de un cono truncado Los diámetros de sus bases miden m y 1 m respectivamente Se debe cortar un viga de sección trasversal cuadrada, cuyo eje coincida con el del tronco y cuyo volumen sea el mayor posible Qué dimensiones ha de tener la viga? 39 Un depósito de chapa está formado por un cilindro de radio R y altura H, cerrado en sus dos extremos por medio de semiesferas La superficie total es constante e igual a π m Hallar R y H para que el volumen sea máximo 40 Una hoja rectangular, de perímetro igual a 36 cm, se enrolla formando un cilindro Determinar las dimensiones de la hoja para que el volumen del cilindro sea máximo 41 Una empresa fabrica un artículo que vende a 400 euros la unidad El coste total para colocar en el mercado x unidades de dicho artículo viene dado por la función c(x) = 0, 0x 160x Cuántos artículos será preciso vender para obtener un beneficio máximo? 4 Un espejo plano de dimensiones 80 y 90 cm, se rompe por una esquina según una recta De los dos trozos que quedan, el menor tiene la forma de un triángulo rectángulo de catetos 10 y 1 cm, correspondientes, respectivamente, a las dimensiones menor y mayor del espejo Hallar el área máxima del espejo rectangular que se puede obtener con el trozo mayor 43 Dada la elipse x 8 + y = 1, trazar una tangente de modo que el área del triángulo 8 engendrado por dicha tangente y los ejes de coordenadas sea la menor posible Por qué punto de la elipse debe pasar dicha recta? 44 La base menor de un trapecio rectángulo mide 10 cm y el lado oblicuo 0 cm Hallar el ángulo que debe formar dicho lado con la base mayor para que el área del trapecio resulte máxima 45 En una esfera de radio R inscribir un cono de volumen máximo

6 6 46 Una hoja de papel, de forma rectangular, debe contener 18 cm de texto impreso Los márgenes superior e inferior han de ser ambos de cm; los laterales de 1 cm Calcular las dimensiones de la hoja de tal manera que el área de la misma sea mínima 47 En un cono de revolución de altura h y radio R (h > R) se inscribe un cilindro de revolución coaxial con el cono Determinar el radio de la base del cilindro con la condición de que sea máxima su área total 48 La resistencia a la flexión de una viga de sección rectangular, es directamente proporcional a la base b y al cuadrado de la altura h de dicho rectángulo Hallar la viga de sección rectangular con máxima resistencia que puede sacarse de un tronco de árbol con diámetro d 49 Se quiere construir un canal abierto de capacidad máxima La base y los lados del canal deber ser de 10 cm de ancho; además los costados han de estar igualmente inclinados respecto a la base Cuál debe ser la anchura del canal por arriba? 50 Las distancias de dos pueblos A y B a un río que pasa en línea recta al mismo lado de ambos, son de 10 km y 15 km La proyección del segmento AB sobre el río es de 0 km Se quiere construir un depósito en la orilla del río para el aprovisionamiento de agua de ambos pueblos En qué punto debe instalarse el depósito para que la longitud de los tubos de conducción, en línea recta, sea la menor posible? 51 Cortar un sector de una hoja circular de radio R El segmento circular correspondiente debe ser tal que al enrollarlo se obtenga un embudo de capacidad máxima 5 La función f(x) = ax + 1 tiene un extremo relativo para x = 1 Demuéstrese que se a + x cumple a = 1/ y averigüese si tal extremo es un máximo o un mínimo 53 Se consideran dos conos iguales de radio R y altura h unidos por sus bases Hállense las dimensiones del cilindro de superficie total máxima entre los que se pueden inscribir en la figura formada por ambos conos, y compruébese que si es R h, entonces no hay solución