La longitud de la circunferencia de radio r es: L Lcircunferencia

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1 I.E.S. Rmón Girldo UNIDAD : NÚMEROS REALES. ALGUNOS IRRACIONALES El número pi: r L longitud de l circunferenci de rdio r es: L Lcircunferenci r d d J. H. Lmert dio en 76 l primer prue de l irrcionlidd de pi, siguiendo el cmino trzdo por Roger Cotes en 7 y L. Euler en 77: El número ríz de dos: Cuál es l longitud de l digonl del cudrdo? d d Demostrción de l irrcionlidd de : Supongmos que con y primos entre sí (es decir, l frcción es irreducile). Entonces: es reducile!! y que si es irreducile, entonces tiene que ser tmién irreducile. El descurimiento de que l ríz cudrd de es un número irrcionl se triuye generlmente l pitgórico Hipso de Metponto, quien fue demás el primero en dr un demostrción geométric de dich irrcionlidd: El número de oro: Cuál es l longitud de x pr que los rectángulos sen semejntes? Pr que los rectángulos sen semejntes se tiene que verificr: x x x x Los signos!! indicn que hy un contrdicción. Cuent l leyend que Hipso fue sesindo por los pitgóricos por desvelr l inconmensurilidd de lguns medids. Este sesinto tiene dos vertientes: un, en l que relmente lo sesinron tirándolo l mr, y otr, en l que lo dejron fuer de l comunidd pitgóric, y por tnto, pr ellos, est muerto. Cuál es l ciert? L verdd es que no se se, y que esto ocurrió en el S. V.C. y los dtos l respecto no son muy esclrecedores. ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

2 Bloque : Álger y números de donde x : (es l solución positiv de l ecución nterior) El primero en hcer un estudio forml sore el número áureo fue Euclides (c C.), quién lo definió de l siguiente mner: "Se dice que un líne rect está dividid entre el extremo y su proporcionl cundo l líne enter es l segmento myor como el myor es l menor." Además, tmién demostró que este número no puede ser descrito como l rzón de dos números enteros, es decir, es irrcionl: El número de oro en l nturlez y el rte:. NÚMEROS REALES En el lenguje de los conjuntos: y tmién. (El símolo indic unión ). ipri Deprtmento de Mtemátics

3 I.E.S. Rmón Girldo En el siguiente esquem oservmos los distintos tipos de números reles: NATURALES ENTEROSCERO NEGATIVOS RACIONALES REALES DECIMALES EXACTOS FRACCIONARIOS PUROS PERIÓDICOS MIXTOS IRRACIONALES (Decimles que no son ni exctos, ni periódicos) Recuerd que hy números que no son reles :,,,.... PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON REALES Se recogen quí tods ls propieddes que verificn l sum y el producto de números reles y como consecuenci de ells se definen l rest y l división. SUMA: c c () Asocitiv: () Conmuttiv: () Existenci de elemento neutro (el cero): 0 () Existenci de elemento opuesto (designdo por Consecuencis que se otienen: PRODUCTO (i) Rest: (ii) c c () Asocitiv: () Conmuttiv: () Existenci de elemento neutro (el uno): ): 0 () Existenci de elemento inverso (representdo por o ): () Distriutiv: c c siempre que 0. Hy más clses de números: los complejos, los cuternios (o cuterniones) de Hmilton (que se usn, por ejemplo, en gráficos por ordendor pr interpolr rotciones) o los octoniones de Cyley-Grves. ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

4 Bloque : Álger y números Consecuencis: (i) División: : (ii). LA RECTA REAL Se le puede signr un scis cd número rel, y recíprocmente, es decir, todo punto de l rect grdud le corresponde un número rel. De este modo, l rect rel está complet, no se le pueden ñdir más puntos ni más números, por ello se hl de l rect rel y de su propiedd de completitud.. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES Algericmente el orden se expres medinte el símolo : 0 Propieddes del orden: () y c c () c c c c si c0 () c c si c 0 Intervlos y semirrects: Un intervlo es un conjunto de números reles que puede ser representdo gráficmente por un segmento o por un semirrect en l rect rel. - Intervlo ierto de extremos y :, x : x - Intervlo cerrdo de extremos y :, x : x - Intervlos semiiertos, x : x, x : x - Semirrects, x : x, x : x, x : x, x : x - Rect rel, x : x ipri Deprtmento de Mtemátics

5 I.E.S. Rmón Girldo 6. VALOR ABSOLUTO Definición: si 0 si 0 Propieddes del vlor soluto: () () () (desiguldd tringulr) () kk k Distnci entre dos números reles: d, Como consecuenci de l definición, se tienen ls siguientes propieddes de l distnci: ) d, 0, ) d, 0 ) d, d,, (propiedd simétric) d c, d, d c, c,, (desiguldd tringulr) ) 7. RADICALES Definición: L ríz n ésim ( n ) de un número es otro número, tl que elevdo n es : n n L ríz n ésim es l operción invers de l potenci de exponente n. Los elementos de un rdicl son: Índice Propiedd: m n m n Coeficiente k n Rdicndo Definición: Se dice que dos rdicles son equivlentes cundo, l expresrlos en form de potenci con exponente frccionrio, sus ses son igules y ls frcciones de sus exponentes son equivlentes: n m p q n m p q m q y son equivlentes ( ) n p Otrs propieddes de ls ríces: n m nr mr () con r 0 ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

6 Bloque : Álger y números () con r 0 n m n : r m : r () n n n () n n n () m n m n (6) n m n m Definición: Dos rdicles son semejntes cundo tiene el mismo índice y el mismo rdicndo, esto es, cundo solo difieren en el coeficiente. Operciones con ríces: - Sum y rest (los rdicles tienen que ser semejntes): Se sc fctor común el rdicl y se sumn o se restn los coeficientes. - Multiplicciones y divisiones: Se pueden multiplicr y dividir ríces que tengn el mismo índice, multiplicndo o dividiendo los correspondientes rdicndos. Rcionlizción de denomindores: Es el proceso que se sigue pr eliminr ls ríces de ls expresiones frccionris. Estudiremos dos csos: ) En el denomindor solo hy un rdicl. En este cso, multiplicremos numerdor y denomindor por un rdicl conveniente, de form que l efectur l multiplicción del denomindor nos quede un número entero. (Recuerd que pr poder multiplicr los rdicles, éstos tienen que tener el mismo índice, y pr que se pued simplificr el rdicndo resultnte, su exponente tiene que ser igul l índice) ) En el denomindor hy un sum o un rest, y uno (o los dos) sumndos es un rdicl. En este cso, se multiplic numerdor y denomindor por l expresión conjugd (se otiene cmido el signo que hy entre los sumndos) del denomindor. (Recuerd que en el denomindor siempre qued sum por diferenci, y plicmos l correspondiente fórmul) 8. LOGARITMOS Con l reducción del trjo de vrios meses de cálculo unos pocos dís, el invento de los logritmos prece her duplicdo l vid de los strónomos. Pierre Simon Lplce El logritmo en se 0 y de un número N es el exponente l que hy que elevr l se pr que dé dicho número: x log N x N 6 ipri Deprtmento de Mtemátics

7 I.E.S. Rmón Girldo Los logritmos de se 0 se llmn decimles y se representn por log, y los logritmos de se e se llmn nturles o neperinos y se representn por ln o L. Propieddes: ) log y log 0 log MN log M log N ) ) log M log M log N siempre que N 0 N m ) log N mlog N m Trnsformción de logritmos: ln N ) log N (en l prte de l derech se puede usr el logritmo en l se que nos ln conveng) Otrs propieddes: 6) Los logritmos de un número en dos ses inverss y son opuestos. 7) Conocidos los logritmos en un se myor que se pueden hllr fácilmente en culquier otr se. 9. APROXIMACIÓN Y ESTIMACIÓN DEL ERROR COMETIDO AL TRABAJAR CON REALES 9.. Aproximción Redondeo: Consiste en prescindir de ls cifrs que siguen un determind, sumndo un unidd est últim si l primer elimind es o superior. 9.. Errores E : Error soluto Error soluto vlor excto vlor proximdo V V E excto prox. r Este error tiene l unidd de l mgnitud medid, nos indic l cot de error o incertidumre de nuestr medición (proximción) y por convenio se suele expresr con un sol cifr significtiv que dee ser del mismo rngo que l últim de l medid (proximción). Error reltivo E r : Actulmente est notción está en desuso y se utiliz l notción log pr representr el logritmo neperino. 7 ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

8 Bloque : Álger y números A veces no import tnto l incertidumre de un medid como su precisión. Por eso se introduce el Error soluto E Error reltivo Er Vlor excto V No tiene unidd y suele expresrse en tnto por ciento. De lgun form nos indic l precisión de l medid (proximción), y que cunto menor se el error reltivo más precis será l medid (proximción). Así, el error reltivo result especilmente relevnte porque nos relcion el error cometido con el vlor de lo medido. Un error de mm result mgnífico si se mide l longitud de un crreter de 00 km (represent un desvición de un prte por cd 00 millones), decudo si se mide un mes de m e inceptle si se mide un hormig de mm. En los tres csos el error soluto es el mismo, pero su cercní, reltiv l vlor excto son distints. excto Acotción de errores Al redonder un número hst un orden n cometemos un error soluto que cumple: E n 0 y que se denomin cot de error soluto. Si considermos un cot de error soluto,, siendo E, se cumple: Er Vprox. y se denomin cot de error reltivo. 9.. Operciones con redondeos Regl : El resultdo de un sum o rest de números redondedos (no exctos) h de ser redondedo l cifr que correspond l myor error soluto de los dtos. Regl : Si se multiplicn o dividen números redondedos, el producto o cociente se redonderá l menor número de cifrs significtivs que posen los fctores. 0. NOTACIÓN CIENTÍFICA Un número se dice que está escrito en notción científic cundo está ddo en l form 0 donde es un número deciml, con un únic cifr en l prte enter (distint de cero), y es un número entero. Ls regls pr operr con números escritos en notción científic se suponen conocids, y como pr operr se v utilizr l clculdor científic y/o gráfic, no merece l pen detenerse más en este punto. 8 ipri Deprtmento de Mtemátics

9 . EJERCICIOS I.E.S. Rmón Girldo. Orden, de menor myor los siguientes números reles, sin utilizr l clculdor:, 6,,,,,,9, 0,0. Clsific los siguientes números en nturles, enteros, rcionles, irrcionles y/o reles. 0,, 07,, 0, ,,,, 6,,. Si, 0 y. Si 0 y 0, qué relción de desiguldd existe entre y?, qué relción de desiguldd existe entre y?. Represent los siguientes intervlos, semirrects y rects, y expréslos medinte desigulddes: ), ), c), d),0 e), 0,7 f), g), h) i) 6. Indic qué intervlos o conjuntos numéricos están representdos, y represent los que fltn:,,,,, x/ x,,,,,,, x/ x 7. Escrie medinte intervlos, los vlores que puede tener x pr que se pued clculr l ríz cudrd en cd cso: ) x c) x e) x ) x d) x f) x 8. Hll:,,,, 7, 0, (Indicción: No te dejes llevr por l rutin). 9. Averigu pr qué vlores de x se cumplen ls siguientes relciones: ) x ) x c) x d) x e) x 9 ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

10 Bloque : Álger y números 0. Expres medinte desigulddes y conjuntos ls siguientes expresiones: ) x 7 ) x 8 c) x 6 d) x 9 e) x f) x g) x 7 h) x 6. Ddos los rdicles: 6, 6,, 8, 8, 7, 8,. Cuáles tienen 9 solución en? Cuáles no tienen solución en?. Clcul: ) 00 ) c) d) e) f) g) h). Indic ls igulddes que son verdders y ls que son flss. En ésts, indic dónde está el error: 6 ) 6 6 ) c) d) 6 9 e) f) 6 6. Escrie dos rdicles equivlentes cd uno de los siguientes: ) ) c) d) 7 e). Simplific los siguientes rdicles: ) ) c) d) e) Simplific los siguientes rdicles y reduce índice común: ,, 7. Escrie en form de potenci: ) ) c) d) e) 8. Escrie en form de ríz: ) 8 ) 9 c) d) 6 e) 6 9. Señl verddero o flso, justificndo l respuest: 0 ipri Deprtmento de Mtemátics

11 I.E.S. Rmón Girldo 0. Clcul: 6 ) 6 ) 6 0 c) d) 8 e) 7 8. Clcul y simplific: ) 6 : ) c) d) e). Clcul: ) 6 6 ) c) 8. Utiliz l descomposición fctoril y extre fctores: ) 6 ) 7 c) 96 d) Efectú: ) 7 ) 6 c) 8 8 d) 6. Expres como potenci de exponente frccionrio: ) ) x x x c) x x x 6. Extre fctores de los rdicles y reliz ls siguientes operciones: ) ) 7 8 c) d) e) Simplific ls siguientes expresiones: ) x 6x x 9x 6 x ) 8x 7x x 8x 88x c) 7 6 x x x x x x 7x 8. Efectú ls siguientes operciones, simplificndo todo lo posile los resultdos: ) ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

12 Bloque : Álger y números ) c) d) Rcionliz y simplific: ) ) 6 c) 7 0. Rcionliz y simplific ls siguientes expresiones frccionris: ) ) c) d) f) g) 6 h) i) e) j) 7. Rcionliz y efectú: ). Oper y simplific: ) Clcul: ) log 0 ) log 0,00 ) ) 9) log ) ln 6 ln e 6) log 8 7) log 8) log 0) ) log ) 6 ln ) e log ) ipri Deprtmento de Mtemátics log log ) log 8 8 log 6 6) 7) log 000 8) log ) log 0,0 0) ) 8 log 0 ) log 0 ) log0. Aplicndo l definición de logritmo resuelve los siguientes ejercicios: 7 log log 0 ) log 0,00 ) x 6 ) x ) x 9 ) log 6 x ) log 8 x 6) 0 0 x 7) log 6 0. x 8) log x 9) 0 0 log 0 log x

13 I.E.S. Rmón Girldo 0) log x ) log x ) log 7 x 8 ) log x 6 7 log x ) log 8 x. Si z y log,, log, y log c,, cuánto vldrá log z? c 6. Si semos que log, cuánto vldrá el logritmo deciml de? 7. Clcul en ls siguientes igulddes: ) log ) log 0,0 8. Clcul: ) log log log 8 log 6 ) log log 8 log c) ln ln e ln e ln e ln e 9. Hll el vlor de x en los siguientes csos: ) log 7 x ) log x 0 c) log8 x d) log 6 x e) log 9 7 x f) log8 x g) log x 0 h) log x i) log x 0, Averigu el vlor numérico de ls siguientes expresiones: 00 ) log ) log 6 ) log 0 log 0 ) log ) log 0 log00 6) 0 7) log x ) 0 log x x log 8) 0 9) log 6 log log 0 ) log 6 0 ) 0 0. Aplicndo el logritmo con l se que elijs, simplific l expresión: Z c. Siendo que log0 0,000 hll los logritmos decimles de: ) 0,00 ) c) 0, 6 ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

14 Bloque : Álger y números d) 0,00 6 e) 0,008 f) 0. Hll l se de los logritmos en ls siguientes igulddes: ) log ) log 7) log 0,00 ) log 9 ) log 6 8 8) log 0,06 ) log 6 6) log 0, 9) log 0. Hll el resultdo de ls siguientes expresiones: ) log 6 log log 6 ) log log 6 log 9 log 7 9 ) log log 8 log6 6 log 6 ) log log 0. log6 log Si el logritmo de A en se es x, expresr en función de x los siguientes logritmos: A ) log 7A ) log ) log 6 A 8 7 ) log ) log A A 6. Oper y expres en notción científic: ) 90 ) 0 6,670,0, ,70 c), 6,0 8,60 e),76 0 7,0 0,70 d), Hll: ) El error soluto y reltivo en que se incurre l proximr ) El error máximo que se comete l proximr 7 por,6. por,9. 8. Los tiempos de utilizción de un red de comunicciones se redonden por exceso curtos de hor. Aproxim de est form los siguientes tiempos: 9 min; 8 min; 8 min. 9. Al medir l longitud de un clle, otuvimos 00 m, con un error soluto menor que m. Al medir l ltur de un hitción, otuvimos,80 m, con un error soluto menor que cm. Qué medid se hizo con más precisión? 0. ) Complet l siguiente tl de proximciones de 6 : ipri Deprtmento de Mtemátics

15 I.E.S. Rmón Girldo Por defecto Por exceso, ) Clcul el error máximo y cot el error reltivo que se produce l tomr 6,9.. Complet l tl: 7 7 Error 7 Error Por defecto,7 Por exceso,66. Qué error soluto cometemos l proximr el resultdo de,96 + 0,7 + 0,8 por el número 0,9?. Si proximmos 0,69 por 0,, qué error soluto se comete? Y si lo proximmos por 0,? Cuál es l mejor proximción? Rzónlo.. Se puede escriir? Justific l respuest y di cuál es el orden de error cometido.. Ls ntigus civilizciones y conocín proximciones del número. Así, los ilonios tomn como vlor de, los egipcios,60 y Arquímedes estleció ls siguientes desigulddes: y En.600, Otho dio un de ls mejores proximciones trvés de l frcción que prece en el ejercicio nterior ( ). Clcul el error soluto que se comete con cd un de ls proximciones nteriores. 6. A prtir del S. XVII y con el ncimiento y desrrollo del Cálculo Infinitesiml es cundo se otienen numeross expresiones de en función de sums o productos infinitos. Alguns de ésts son: Clcul l proximción de en cd expresión, utilizndo los números que se dn en cd un y que son previos los puntos suspensivos. 7. A un person se le estim un esttur de 80 cm, siendo en relidd de 87 cm; uno de sus primos le signn un esttur de 0 cm, cundo es de 7 cm. ) Clcul el error soluto y reltivo de cd medid. ) Cuál de ls dos mediciones es más precis? Rzon l respuest. ipri Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I

16 Bloque : Álger y números 8. L expresión deciml del número e es: e, Un form de otenerlo de form proximd, es utilizndo frcciones continus. Su expresión deid Euler es: e... Clcul ls cutro primers proximciones l número e. 9. Si se quiere otener 7 con cutro cifrs excts, qué proximciones deemos tomr pr y 7? 60. Cuánts cifrs excts tendrá un proximción de comete no exced del %? pr que el error reltivo que se 6. Se quiere otener el resultdo de y con un precisión de milésims, es decir, con incertidumre menor que medi milésim. Cuánts cifrs excts se deen tomr en ls proximciones de y? 6. Se dese clculr l cpcidd de un depósito cilíndrico. Se tomn ls siguientes medids: diámetro del depósito: 9 cm, ltur: 80 cm. Clcul su cpcidd en litros y expres el resultdo indicndo su incertidumre. 6. Un hitción rectngulr mide,7 m por 7, m. Se hn relizdo ls medids con un cint métric que preci cm. Clcul su áre y exprésl correctmente. 6 ipri Deprtmento de Mtemátics