1. Funciones y gráficas

Transcripción

1 1. Funciones y gráicas Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de unción. Los orígenes de la noción de unción y de su inluencia signiicativa en la evolución de la ciencia datan del siglo XVII. Aparece explícitamente con Descartes, posteriormente con Leibniz en 1692 y Bernoulli en Las unciones permiten describir el mundo real en términos matemáticos, como por ejemplo, las variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardíaco, el crecimiento poblacional, etc. R. Descartes Muchas unciones tienen importancia particular debido al comportamiento que describen. Por ejemplo, las unciones trigonométricas describen comportamientos cíclicos y repetitivos, las unciones exponenciales, logarítmicas y logísticas describen el crecimiento y el decaimiento. Las unciones polinomiales pueden aproximar éstas y otras unciones. En esta sección se revisarán algunos ejemplos básicos que permitirán pensar en las unciones matemáticas como modelos, y las notaciones que se utilizan de manera habitual. Se enatizará en las distintas ormas de representar una unción (deinidas por una órmula, por una tabla de valores o, por una gráica), y se implementarán unciones en una planilla de cálculo, que permitirá explorar propiedades, calcular y obtener su gráica Funciones En general, los valores de una variable dependen de los valores de otra variable (u otras variables). Por ejemplo: a) El área de un círculo depende del radio del mismo. b) La cantidad en la que crecerán sus ahorros en un año dependen de la tasa de interés orecida por el banco. c) La temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar. d) La distancia recorrida por un objeto al caer libremente depende del tiempo que transcurre en cada instante. Consideraciones como las señaladas anteriormente, nos conducen al concepto matemático de unción, que es uno de los más importantes y undamentales en la matemática. 1

2 Deinición de unción Una unción es una correspondencia o una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto llamado dominio, uno y y sólo un elemento de un segundo conjunto llamado codominio. Nociones básicas y notaciones Sea una unción de A en B, denotada: : A B.. 1. Para cada valor de x en A, hace corresponder un único elemento y en B, denominado la imagen de x a través de, denotado y = (. 2. La notación y = ( nos dice que y es una unción de x. La variable x es la variable independiente, y el valor y se llama variable dependiente, y es el nombre de la unción (es la regla). Leonard Euler ( ) dio una deinición precisa de unción e introdujo en 1734 el símbolo ( para designar la imagen de x por una unción. L.Euler 3. El conjunto de todas las imágenes de los elementos de A a través de se denomina Recorrido de, y se denota Rec(). 4. Igualdad de unciones. Sean y g dos unciones deinidas de A en B. Se tiene que: = g ( = g( para todo x A Nota: las unciones y g son distintas, si y sólo si, existe x A tal que ( g(. 5. Composición de unciones. Sean : A B y g : C D. La unción compuesta g o está deinida siempre y cuando Re c( ) C, y se deine: ( g o )( = g( ( ), para todo x A 1.2. Funciones reales Una unción real es una unción : A IR donde A IR. 2

3 Representación de unciones En general una unción real puede ser presentada de distintas maneras: Verbal, con una descripción en palabras. Numérica, con una tabla de valores. Visual, con una gráica. Algebraica, con una órmula explícita Lo importante es comprender, interpretar y utilizar las unciones, independientemente de la orma como se presente la inormación. Nota. En general, para describir una unción, se usan las letras x e y para representar cada una de las dos magnitudes relacionadas. Sin embargo, también se usan letras relacionadas con el nombre de las magnitudes involucradas en el problema. Por ejemplo, p y q para los precios y las cantidades, respectivamente. Ejemplo 1. Un gerente de una empresa ha llegado a la conclusión de que las utilidades de ésta dependen undamentalmente del salario del conserje, según la relación: 2 100s 5s u( s) = 1+ s donde s es el salario anual del conserje en unidades de cien mil pesos, y u(s) es la utilidad, en la misma unidad monetaria. Esta unción relaciona el salario del conserje y las ganancias de la empresa. En este el salario del conserje (s) se toma como una variable independiente, mientras que los beneicios de la empresa son la variable dependiente. Ejemplo 2. La tabla siguiente muestra el gasto (aproximado) en investigación en agricultura entre realizado por el sector público. Año t 6 (1976) (1996) Gasto E(t) (billones de dólares) $ donde E(t) es el gasto en el año t. De la tabla se puede extraer la inormación, que en el año 1980 el gasto ue aproximadamente E(10)=3.0 billones de dólares. También se puede determinar que E(12)-E(10) = 0.1. Qué indica éste valor?. Ejemplo 3 En las montañas de los Andes, en Perú, el número de especies de murciélagos decrece a medida que aumenta la altura sobre el nivel del mar. Los zoólogos inorman que el número de especies, N, de murciélagos, a una altura dada es una unción de la altura, h, en pies, de modo que N=(h). 3

4 Por ejemplo, el enunciado (500)=100 signiica que si h=500 entonces N=100. Esto nos dice que a una altura de 500 pies sobre el nivel del mar hay 100 especies de murciélagos. Ejemplo 4 Sea y=( la unción real deinida por ( = x(5. Aplicando la órmula, se puede calcular por ejemplo la imagen de 2, denotada (2); se puede determinar una preimagen de un número real, si es que existe, etc. Notar que esta unción puede ser considerada como una unción compuesta entre las unciones y = g( = x( x 5) e y = h( = x. Observaciones. Sea una unción real deinida mediante la órmula o ecuación y = (. Como ya se observó anteriormente, la variable x es la variable independiente, y la variable y es la variable dependiente. Así, una unción real, es una unción de variable y valor real. El dominio de una unción es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El recorrido una unción es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Regla del máximo dominio: cuando no se presenta el dominio de explícitamente, se considera como su dominio, el máximo subconjunto de IR, donde la órmula puede evaluarse. Este conjunto es llamado el dominio de deinición de, o simplemente, el dominio de. Por ejemplo, el dominio de la unción ( = x(5 es el intervalo [0, 5], y el dominio de la unción x 3 g ( = es el conjunto IR { 4}. x + 4 En aplicaciones determinadas, el dominio de una unción está restringido por las condiciones de un problema. Por ejemplo, la órmula que deine el área A de una 2 circunerencia en unción de su radio r, es: A=A(r)= π r. Notar que r 0. Es usual llamar dominio práctico al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente para que el problema especíico tenga sentido. Algebra de unciones reales Dos unciones reales y g pueden combinarse para ormar nuevas unciones: suma, dierencia, producto y cuociente: 4

5 Suma: ( + g)( = ( + g( Dom( + g) = Dom( ) I Dom( g) Dierencia: ( g)( = ( g( Dom( g) = Dom( ) I Dom( g) Producto: ( g )( = ( g( Dom( g) = Dom( ) I Dom( g) Cuociente: g ( = ( g( Dom g = ( Dom( ) I Dom( g) ) { x / g( 0} 1.3. Gráica de una unción Las gráicas permiten obtener un representación visual de una unción. Éstas entregan inormación que puede no ser tan evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas. Para representar gráicamente una unción y = (, es común utilizar un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, en las cuales, la variable independiente x se representa en el eje horizontal, y la variable dependiente y en el eje vertical. La gráica de y = ( es el conjunto: gra ( ) = {( x, ( ) / x Dom( )}. Técnicas básicas para esbozar la gráica de una unción A continuación se describen algunos pasos a seguir para obtener un esbozo de la gráica de y=(, por medio de la representación de puntos: 1) Determinar los puntos de intersección de y=( con cada eje coordenado. 2) Construir una tabla de valores de. Escoger un grupo representativo de valores de x en el dominio de, y construir una tabla de valores (x,(). 3) Representar los puntos (x,() considerados en la tabla, en el sistema de coordenadas. 4) Unir los puntos representados por medio de una curva suave. Nota. Muchas curvas dierentes pasan a través de los puntos considerados en la tabla de valores. Para obtener una mejor aproximación a la curva que represente a la unción dada, graicar nuevos puntos. 5

6 1.4. Propiedades de las unciones Funciones inyectivas Una unción es inyectiva, si y sólo si, para todo a, b en el dominio de, si (a)=(b) entonces a=b. Funciones invertibles Una unción y = ( inyectiva admite una unción inversa, que se denota el dominio de esta unción es el recorrido de. La inversa de se deine: 1 ( = y ( y) = x 1, donde Nota. La gráica de la unción inversa es una curva simétrica de la gráica de respecto de la recta y=x. Por ejemplo, en la igura se muestran las gráicas de y de su inversa: Gráicas de y=(, y de y= -1 ( Otras propiedades, de las unciones reales Funciones pares e impares Una unción es una unción par cuando cumple ( = (, para todo x Dom( ). Nota. es par si y sólo si, la gráica de es simétrica respecto del eje Y. Una unción es impar si cumple ( = (, para todo x Dom( ). Nota. es impar si y sólo si, la gráica de es simétrica respecto del origen. 6

7 Función par Función impar Funciones crecientes y unciones decrecientes Una unción es creciente en un intervalo I cuando, para todo a, b I : a < b ( a) < ( b) es decir, cuando su gráica sube de izquierda a derecha. Una unción es decreciente en un intervalo I cuando, para todo a, b I : a < b ( a) > ( b) es decir, cuando su gráica baja de izquierda a derecha. Función creciente Función decreciente Nota. Sea y=( una unción real. 1) Si (>0 para todos los valores de x en un intervalo I, entonces la unción es creciente sobre I. 2) Si (<0 para todos los valores de x en un intervalo I, entonces la unción es decreciente sobre I. 7

8 Funciones periódicas Una unción real es periódica cuando existe un número real t 0 tal que para todo x Dom( ) se tiene: a) x + t Dom( ) b) ( x + t) = ( El menor número real positivo t, cuando existe, se denomina el período de, y en este caso se dice que es una unción periódica con período t. Por ejemplo, la unción : IR IR deinida por ( = x [ x] (= x menos la parte entera de es una unción periódica de período 1, cuya gráica es: Función periódica ( = x [ x] Funciones acotadas Una unción es acotada superiormente cuando existe un número real m tal que ( m para todo x Dom( ) Una unción es acotada ineriormente cuando existe un número real m tal que ( m para todo x Dom( ) Una unción es acotada cuando existe un número real positivo M tal que ( M para todo x Dom( ) 8