ANÁLISIS MATEMÁTICO I - EXAMEN FINAL - 16 de julio de 2015 APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:...REVISÓ:...

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1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I - EXAMEN FINAL - 6 de julio de 5 APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:...REVISÓ:... Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para ser teidas e cueta. No puede utilizar calculadoras programables i tabla de derivadas e itegrales. Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a. Sea a ua serie de úmeros reales positivos. Si se verifica que cos 5 e a, etoces a es covergete. 5 b. Si ua fució f : R R verifica que lim f ( ) y lim f ( ), etoces eiste al meos R / f ( ) ) Se desea cercar ua porció rectagular de tierra de 94 m y dividirla e tres partes iguales mediate dos cercas paralelas a uo de los lados. Qué dimesioes del rectágulo eterior requerirá la meor logitud de las tres cercas? ) Sea f : R R dos veces derivable tal que el poliomio de Taylor de orde e 4 es T ( ) 5( 4). Calcule el poliomio de Taylor de orde e potecias de asociado a la fució G( ) t. f ( t) dt. 4 4) Halle el área de la regió plaa ecerrada etre la curva de ecuació las rectas, 6 e y 6 f ( ) y d 5) Aalice y calcule siedo a = a 5 6

2 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL de Julio 5 APELLIDO y NOMBRE:... LEGAJO:... CORRIGIÓ:... REVISÓ:... Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete. Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto ) Idicar si las siguietes afirmacioes so V o F, justificado la respuesta. a) La fució g ( ), co f ( ) R es cotiua e el orige. f ( ) b) Si ua serie umérica de térmios positivos S N lím a a es tal que la sucesió de sumas parciales de la misma satisface: S N, etoces 4 ) a) Hallar el valor aproimado de 8, mediate ua aproimació lieal. Ilustrar gráficamete lo hallado. Idicar qué mide eactamete la aproimació hallada respecto de la fució utilizada para realizar el cálculo. b) Evaluar el resto de orde para idicar co cuátas cifras eactas se obtuvo el resultado. ) Dada f ( ) e a) Hallar asítotas, etremos e ifleioes y graficar. b) Hallar el área compredida etre la curva y el eje X para 4) Dada F : R R defiida por 5 f ( t) F( ) e dt, co f cotiua y tal que f ( ) Desarrollar F por Taylor alrededor de hasta el orde. 5) Dada la serie de potecias a) Mostrar que coverge e el etremo iferior de su itervalo de covergecia. b) Estimar, e ese puto, el error que se comete al aproimar la suma de la serie co la suma de los primeros térmios.

3 UTN FRBA FINAL ANÁLISIS MATEMÁTICO I --5 Apellido y ombres del alumo:... Corrigió:.. Revisó:... La codició para aprobar este eame es teer bie resuelto el 5 % del mismo. IMPORTANTE: usted debe presetar e las hojas que etrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. ) Aalizar si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justificar las respuestas a) El gráfico de la fució tiee u etremo absoluto. Justificar la b) Si respuesta, clasificar el etremo y graficar la fució. ) Calcular el área limitada por: Graficar el área ) Sea Hallar el triágulo de área máima co vértice V(, - ), lado opuesto paralelo al eje, e el primer cuadrate y co vértices sobre la parábola Justificar que es máimo absoluto. Graficar. 4) Sea la serie a) Aalizar la Covergecia b) Si la serie es CV, cuátos térmios de la serie so ecesarios para aproimar su suma co u error 5) Dadas f : R R / f ( ) y g : R R / g( ), demostrar que tiee recta tagete e comú y ecuetre su ecuació y la de la recta ormal e el puto cosiderado.

4 ANÁLISIS MATEMÁTICO I Eame Fial - //5 APELLIDO y NOMBRE:... Corrigió:.. Revisó:.. Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para ser teidas e cueta. NO puede utilizar tablas i calculadoras programables Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto a) Se deja caer ua pelota desde ua altura de cm. Cada vez que golpea el piso rebota a 5 de su altura aterior. Determie la distacia total recorrida por la pelota hasta que se detiee. b) Sea f, cotiua e y a, que satisface la ecuació: Determie la fució f. 6 8 ( ) ( ) f t dt a t f t dt 8 9 ) Pruebe que, etre todos los rectágulos de diagoal d coocida, el de mayor área es el cuadrado. ) Determie, si es posible, el área limitada por la gráfica de recta ormal al gráfico de f e. f ( ), su asítota vertical y la 4 si 4) Dada la fució h ( ) b si Determie el valor de b para que h sea cotiua e todo su domiio. Aalice la derivabilidad de h e para el valor de b hallado. 4 5) La serie... 4 coverge a la fució f ) l ( e u itervalo que debe determiar. A partir de este resultado obtega el desarrollo e serie de Maclauri de y su itervalo de covergecia, idicado la propiedad utilizada. g ( )

5 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL //5 APELLIDO Y NOMBRE:... N LEGAJO:... Corrigió: Codició míima de aprobació: 5% del eame correctamete resuelto. Todas sus respuestas debe estar justificadas para ser teidas e cueta..- Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: f etoces f a) Si : / f ( ) l b) La itegral d coverge..- Sea f:rr, la fució defiida mediate la epresió: () 9 f ( ) e si si a) Pruebe que es cotiua y derivable e. b) Halle, si eiste, los máimos y míimos relativos de f..- Calcule el área de la regió plaa limitada por la gráfica de la fució defiida por, la recta tagete e el puto dode h admite u etremo y la recta tagete de pediete 6. Represete gráficamete. 4.- Determie las ifiitas primitivas de cotega al puto (, L) siedo l f : (, ) / f ( ) y calcule la que se 5 L lim. cos Halle el itervalo de covergecia de la serie 5 la serie e los etremos del itervalo hallado. ( ) y aalice el comportamieto de

6 ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL Febrero 6 APELLIDO y NOMBRE:... LEGAJO:... CORRIGIÓ:... REVISÓ:... Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete. Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto ) a) Defia e R ua fució que tega ua discotiuidad co salto ifiito y dos discotiuidades evitables. Justificar la elecció de la fució aalizado los putos de discotiuidad de la misma. b) Halle todos los valores que puede tomar el parámetro a para que f sea cotiua e : f : Df R / f ( ) ( a) a a e si si ) Dada f ( ) a) Hallar asítotas, etremos, ifleioes y graficar b) Evaluar el área subtedida por la curva y todo el eje. ) Calcular el valor medio (A) de f()= sobre [,] y verificar que, e este itervalo, el área de la regió por ecima de y=a y por debajo de y=f() es igual al área por debajo de y=a y por ecima de y=f(). 4) Sea f() defiida por e f (l u) du a) Hallar f(). b) Hallar u poliomio de grado que aproime a f e el etoro de a= 5) a) Hallar t R + para que ( t ) ( ) 8 tega u itervalo de covergecia de radio. b) Ecotrar dicho itervalo

7 ANÁLISIS MATEMÁTICO I - EXAMEN FINAL - de marzo de 6 APELLIDO Y NOMBRE:... CORRIGIÓ:...REVISÓ:... Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio 4 Ejercicio 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas adecuadamete para ser teidas e cueta. No puede utilizar calculadoras programables i tabla de derivadas e itegrales. Codició míima de aprobació (4 putos): 5% del eame correctamete resuelto ) Aalice si las afirmacioes siguietes so verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: ya sea mostrado u cotraejemplo o proporcioado u argumeto basado e las herramietas teóricas que cooce, segú correspoda. a Si f es derivable e el itervalo [; 4] y f() = y f() = 5, etoces eiste u valor k[; ] e el que la recta tagete a f es y= (-k) + f(k). b Si f es cotiua e el itervalo [; ] y el área de la regió compredida etre y=f(), y=, = y = es igual a etoces ) Dada la fució Halle etremos, si eiste, y determie itervalos de crecimieto y decrecimieto. ) Sabiedo que (a ) es ua sucesió covergete y que: determie si la serie es covergete y el valor al que coverge la sucesió (a ). 4) Dada la fució f ( ).l, halle el poliomio de Taylor de grado alrededor de = y estime el error que se obtedría si se lo emplea para aproimar f(/). 5) Halle, si es posible: