MATEMÁTICAS 2. GIE. El cuerpo de los números complejos.

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1 MATEMÁTICAS. GIE. El cuerpo de los úmeros complejos.. Expresar los siguietes úmeros complejos e forma biómica: (a) ( + i) 3 (c) +3i 3 4i (e) i 5 + i 6 (g) + i + i + i 3 (b) i (d) (+i 3) 3 (f) π/ (h) π/4. Escribir e forma algebráica los complejos siguietes, dode ρ deota el módulo y θ u argumeto 3. Calcular las siguietes raíces: a) ρ =, θ = π b) ρ =, θ = π/4 c) ρ =, θ = π/3 d) ρ =, θ = π/ (a) 3 (c) 3 i (e) 6 8 (g) 4 (b) 8 (d) i (f) 3 + 4i (h) 3 + i 4. Calcular el módulo y el argumeto de los siguietes úmeros complejos: (a) 3 + 4i (b) +i i (c) i 7 + i 0 (f) + i + i 5. Calcular el módulo y el argumeto pricipal de los siguietes úmeros complejos: (a) i (c) 3i (e) (g) 4 (b) 3 (d) +i (f) 3 + i 3 (h) 3 + i 6. Represetar gráficamete los siguietes cojutos de úmeros complejos: (a) {z C : z = } (c) {z C : z } (e) {z C : z + z } (b) {z C : z z = i} (d) {z C : Imz < 0} (f) {z C : Rez < } 7. Represetar gráficamete el cojuto de los putos del plao z tales que se verifica: (a) Re(z) + Im(z) = zz (b) z, (z 0) (c) z 5i = 8 (d) z 5i = 8 (e) Im(z ) > (f) Re(z ) = (g) < z < 3 (h) z (i) z = z (j) Re ( z z ) = 0 8. Dados los úmeros complejos z = i y z = 4 + i. Hallar z + z, 3z z, z z, (z ), z z. 9. Si z = 6i y z = 8 i, hallar z z, z z, z z, z z. 0. Hallar las partes real e imagiaria del complejo z = i +i.. Determiar x e y, para que se cumpla la igualdad ( + i)(x + iy) = i.. Calcular ( + i), ( i), ( + i)( i). 3. Demostrar que z = Re(z) = Re(z ). 4. Ecotrar las cuatro raíces cuartas de z = 8( 3i) y de z = 8. z+ 5. Calcular ( + 3i) 30, 3 + i.

2 6. E qué vector se trasforma 3 + 3i al girarlo π/?. Qué águlo es ecesario girarlo para que el resultado sea 3i? 7. Demostrar la idetidad de Lagrage, para a, b, c, d R se verifica ( a + b ) ( c + d ) = (ac bd) + (ad + bc) Idicació: Cosiderar el úmero complejo z = (a + bi) (c + di) y hallar su módulo de dos modos diferetes. 8. Sea p(x) = a x + a x a x + a 0 u poliomio co coeficietes reales, esto es, a i R para 0 i. Se pide: a) Comprobar que para todo z C se cumple la igualdad p(z) = p(z). b) Usado el apartado aterior, probar que si z 0 es solució compleja de P (z) = 0, etoces su cojugado tambié es solució. c) Calcular todas las solucioes de x 4 x 3 + x x + = Resolver las ecuacioes (a) x + = 0 (b) x 3 + = 0 (c) x = 0 (d) (x + 4)(x ) = Estudiar la covergecia de las siguietes series complejas: (a) = (b) = (i)! (i) (c) ( ) +i = (d) = (e) ( +i) = cos +i si! (f) = cos(π)+i si(π) (g) cos( )+ i = (h) = i si 3. Dada la serie =0 z, comprobar que es absolutamete covergete si z < y que es divergete para z >. Estudiar su carácter para z {,, i, i}.. Supogamos que es ua relació de orde sobre C de maera que restrigida a R coicide co la usual, es decir, si x, y R, etoces x y si y sólo si x y. Supogamos que cumple las codicioes de compatibilidad: (P) z z si y sólo si z + w z + w para todo w C. (P) z z y 0 w implica z w z w. Comprobar que para dicha relació se cumple que i 0 y 0 i, co lo que C o está totalmete ordeado. 3. Comprobar que la relació defiida por z z Rez Rez e Imz Imz es de orde sobre C y verifica las hipótesis (P) y (P) del ejercicio aterior. 4. Dados z, w C comprobar las desigualdades: a) z w z w. b) z w + z + w = ( z + w ). c) zw z w = ( z )( w ).

3 MATEMÁTICAS. GIE. Fucioes de variable compleja.. Expresar los siguietes úmeros complejos e forma biómica: (a) se( + i) (b) e πi/ (c) e πi (d) 3 e πi/ (e) i + 3 e πi (f) e πi/4 e πi/4 (h) /e πi/4 (i) e +πi. Comprobar que so ciertas las igualdades: (a) si(iz) = i ez e z (b) cos(iz) = ez + e z 3. Obteer la parte real y la parte imagiaria de las fucioes: (a) f(z) = 3z iz, (b) f(z) = z + z, (c) f(z) = z3 + z +, (d) f(z) = z + z 4. Calcular la parte real y la parte imagiaria de las fucioes: (a) f (z) = z + i (b) f (z) = z 5. Siedo z, z dos úmeros complejos distitos y (z+z )i (z z ) R. Hallar la relació etre z y z. (Solució: z = z ). 6. Hallar los úmeros complejos z tales que su cuadrado es igual a su cojugado. (Solució: 0, 0, π/3, 4π/3 ). 7. Resolver la ecuació z = z, siedo N \ {}. (Solució: 0, kπ/ = 0,,,..., ). 8. Resolver las siguietes ecuacioes: a) e z + i = 0. (Solució: z = ( k ) πi, k Z). b) 4 cos z + 5 = 0. (Solució: z = (k + ) π ± i log, k Z). c) e z + = 0. (Solució: z = (k + ) πi, k Z). d) si z = 4. (Solució: z = ( π + kπ) i log ( 4 ± 5 ), k Z). 9. Dado el úmero complejo z, probar que ze z + ze z es u úmero real. 0. Hallar la parte real e imagiaria de las fucioes (a) f (z) = cosh (z i) (b) f (z) = ta z. Probar que para cada z = x + iy C se verifica las siguietes desigualdades: a) sih y si z cosh y. b) sih y cos z cosh y.. Sea D = B(0, ) = {z C/ z < }. Calcula y represeta gráficamete f(d) para las fucioes (a) f(z) = 3 + i + z (b) f(z) = ( + i)z (c) f(z) = /z

4 3. Estudia la cotiuidad e el disco B(0, ) = {z C/ z < } de las fucioes (a) f(z) = z (b) f(z) = z + / 4. Se cosidera la fució f(z) = + z z i Estudiar la cotiuidad de f(z) e el puto z = i. 4i siz i siz = i 5. Estudia la cotiuidad de la fució f(z) = (z 5 + )/(z + 4). 6. Halla los putos del círculo B(0, ) e los que es discotiua la fució f(z) = (z + ) (z 3) 7. Determia los putos sigulares de las siguietes fucioes: (a) f(z) = z + z(z + ) (b) f(z) = z 3 + i z 3z + (c) f(z) = z + (z + )(z + z + ) 8. Calcula, a partir de las codicioes de Cauchy-Riema, las derivadas de las fucioes (a) f(z) = e z (b) f(z) = sez (c) f(z) = cos z (d) f(z) = ize z 9. Estudia si las siguietes fucioes defiidas e C so derivables y e caso afirmativo calcular f (z) (a) f(z) = z Imz (b) f(z) = z Imz (c) f(x + iy) = e y e ix (d) f(z) = z z (e) f(z) = (z )e z (f) f(x + iy) = e y e ix (g) f(z) = (z + cos z)e z (h) f(z) = sez + i (i) f(x + iy) = xy + iy 0. Calcula los valores de los parámetros reales α, β y para que sea etera (derivable e todo C) la fució f(z) = Rez + α Imz + i(β Rez + Imz) Caracteriza la fució f(z) cuado sea etera.. Comprueba que la fució f(z) = (Rez) (Imz) o es derivable e z = 0 y, si embargo, verifica las ecuacioes de Cauchy-Riema e dicho puto. Razoa esta aparete cotradicció.. Sea f : C C que cumple que f(z) R z C. Demuestra que f(z) es derivable si y sólo si es costate. 3. Sea f : C C ua fució de variable compleja. Demuestra que la parte real Ref(z) y la parte imagiaria Imf(z) so simultáeamete derivables si y sólo si f(z) es costate. 4. Sea f : C C ua fució de forma que f(z) y f(z) so derivables. Demuestra que f(z) es costate.

5 5. Ua fució u : D R R se dice que es armóica e el cojuto abierto D si es de clase C (D) (existe sus derivadas parciales de orde dos y so fucioes cotiuas) y verifica la relació u x (x, y) + u (x, y) = 0 z D. y Dada ua fució derivable f : D C, comprueba que las fucioes parte real u(x, y) = Ref(x + iy) y parte imagiaria v(x, y) = Imf(x + iy) so armóicas e D. Nota: Supó, auque posteriormete veremos que esta suposició es superflua, que las fucioes parte real y parte imagiaria de f so de clase C (D). 6. Estudia si so armóicas las fucioes (a) f(x, y) = log(x + y ) (b) f(x, y) = e x cos y 7. Dada ua fució f : D C C, derivable e el abierto D, se defie la aplicació φ(z) = f(z). Comprueba que se verifica la igualdad φ x (z) + φ y (z) = 4 f (z) para cada z D. Nota: Supó, auque posteriormete veremos que esta suposició es superflua, que las fucioes parte real y parte imagiaria de f so de clase C (D). 8. Si D es u subcojuto abierto de R y u : D R es ua fució armóica, se llama armóica cojugada a toda fució v : D R que cumpla que que la ueva fució f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) es derivable e D. Prueba que las siguietes fucioes so armóicas y halla ua armóica cojugada (a) u(x, y) = x( y) (b) u(x, y) = x x 3 + 3xy (c) u(x, y) = y/(x + y ) 9. Determia ua fució derivable f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), sabiedo que su parte real es u(x, y) = x/(x + y ) y que f(π) = /π. 30. Recostruye la fució derivable f(z) a partir la codició f(i) = i y la parte real Ref(x + iy) = x y + x. 3. Prueba que si v (x, y) y v (x, y) so dos fucioes armóicas cojugadas de ua misma fució armóica u(x, y) e C, etoces v (x, y) y v (x, y) difiere e ua costate. 3. Sea u, v : R R tales que u(x, y) es armóica cojugada de v(x, y) y v(x, y) es armóica cojugada de u(x, y). Prueba que tato u(x, y) como v(x, y) so costates. 33. Expresa Re(e /z ) e térmios de x e y y prueba que esta fució es armóica e el cojuto R \ {0}. Nota: Se defie las fucioes hiperbólicas complejas sih z := (e z e z )/ y cosh z := (e z + e z )/. Las fucioes tagete y tagete hiperbólica se defie de la forma usual, esto es, ta z := si z/ cos z y tah z := sih z/ cosh z. Las restates fucioes trigoométricas e hiperbólicas complejas se defie de forma similar.

6 . Calcular la itegral, MATEMÁTICAS. GIE Itegració compleja. T Re z dz siedo T el triágulo de vértices 0, + i, recorrido e el setido de las agujas del reloj. Cuál sería el valor de la itegral si el triágulo se recorre e el setido cotrario?. Calcular la itegral, de la fució cojugació, f(z) = z, a lo largo de la siguiete curva. i 3. Calcular la itegral, z z dz, siedo el camio del ejercicio aterior. 4. Calcular el valor de la itegral z/z dz, siedo el camio idicado e la figura siguiete: i i 5. Dado el arco (t) = e i t, t [0, π], calcular la itegral (a) si z 0 > (b) si z 0 < 6. Dada la curva (t) = e i t, t [0, π], calcular la itegral, se e z dz z z z 0 dz:

7 7. Calcular el valor de la itegral, 8. Comprobar que la fució e /z (z ) dz, (t) = + ei t f(x) = { x / x 0 x / x < 0, t [0, π] es de clase C pero o existe la seguda derivada e cero. Dado A C u abierto coteiedo al cero, será posible etotrar ua fució F H(A) de forma que F (x) = f(x) para cada x A IR? Por qué? 9. Dado r >, calcular el valor de la itegral, ω ω 4 dω, (t) = + r ei t, t [0, π] 0. Calcular la itegral,. Calcular la itegral, (a) para (t) = β e i t, t [0, π] (0 < β < ). z e z (z i) 3 dz, (t) = i + ei t, t [0, π] e z z ( z) 3 dz (b) para (t) = + β e i t, t [0, π] (0 < β < ). (c) para (t) = β e i t, t [0, π] ( < β).. Sea la fució f(z) = se( z). Se pide calcular: (a) Los putos de C para los cuales f es derivable. (b) El valor de la itegral de f a lo largo de la siguiete curva, + i + i 3. Calcular la itegral, (a) para (t) = 3 i + e i t, t [0, π] (b) para (t) = i + e i t, t [0, π] (c) para (t) = 4 e i t, t [0, π] z + 9 dz

8 (d) para (t) = e i t, t [0, π] 4. Sea la circuferecia uidad recorrida e el setido cotrario al de las agujas del reloj. Calcular: e ω ω dω 5. Supogamos que σ es ua curva cerrada y difereciable a trozos. Dado z 0 C \ grafσ se llama ídice de σ respecto de z 0 al valor: I(σ, z 0 ) = dω πi ω z 0 Para el caso e que σ es ua circuferecia, comprobar que: (a) I(σ, z 0 ) = si z 0 está e la regió limitada por la gráfica de la curva. (b) I(σ, z 0 ) = 0, e otro caso. 6. Calcular el valor de la itegral σ z dz siedo la curva cuyo rago se represeta e la figura superior, orietada e el setido que idica las flechas. + i i 7. Calcular el valor de la itegral: ( ) cos dz z + i dode es la elipse cetrada e el orige de semiejes y, respectivamete, recorrida e el setido cotrario al de las agujas del reloj. 3

9 Eje imagiario Eje real Nota: Ua posible parametrizació de la elipse es la dada por para la parte de arriba y para la de abajo ( = ). : [, ] C t (t) = t + i t 4 : [, ] C t (t) = t i t 4 8. Dada la fució g(z) = cos z, existirá ua fució derivable e todo C, f(z), de forma que f (z) = g(z), para cada z C? Justificar la respuesta. 9. Calcular el valor de la itegral, z z dz siedo la curva de la figura siguiete, recorrida e el setido que idica las flechas. (t) = eit, t [0, π] i 4

10 MATEMÁTICAS. GIE Series de Taylor y Lauret.. Determia el radio de covergecia de las series de potecias: (a) (d) (g) z!! z cos(i) z = = = (b) z = = (c) = (z i) (e) z (f) (3 + ( ) ) (z + ) = = (h) ( + a ) z ( ), (a > 0) (i) = z. Calcula las series de potecias cetradas e 0 de las siguietes fucioes idicado su bola de covergecia. (a) f(z) = (b)f(z) = z 4 + z + (c) f(z) = z + (z+) (d) f(z) = L 0 (z + ) (e)f(z) = e z3 (f) f(z) = z (z+) (g) f(z) = cos(z ) (h)f(z) = z i (i) f(z) = z z + ( z) 3 3. Calcula el radio de covergecia de las siguietes series de potecias y estudia su carácter e la frotera del domiio de covergecia. (a) =0 z (b) =0 z (c) =0 z 4. Calcula el desarrollo e serie de potecias de las fucioes siguietes e el puto que se idica. Determia además el radio de covergecia de dicha serie. (a) se z, z 0 = i (b) e z, z 0 = i (c) z, z 0 = 0 z (d) z +, z z 0 = 0 (e) z +, z 0 = (f) L π (z), z 0 = z (g) + z, z 0 = 0 (h) se z, z z 0 = 0 5. Dada la fució f(z) = +z, calcula el valor de f (0) (). 6. Calcula la serie de Lauret de la fució f(z) = z alredor de y de Determia la serie de Lauret de la fució f(z) = z ( z), alrededor de los putos z 0 = 0, z 0 = y z 0 = i. 8. Calcula las series de Lauret cetradas e 0 de las siguietes fucioes idicado su aillo de covergecia. (a) f(z) = z+ (b)f(z) = ze /z4 (c) f(z) = z z(z+) (d) f(z) = cos(z ) (e)f(z) = z (f) f(z) = z z 3 z+ z 3 (z+) (g) f(z) = cos(/z ) (h)f(z) = z i (i) f(z) = z z 6 z( z) 3

11 9. Calcula la serie de Lauret de las siguietes fucioes alrededor de los putos que se idica: (a) z e /z, z 0 = 0 (b) e /( z), z 0 = (c) z se (/(z )), z 0 = (d) cos(/z), z 0 = 0 0. Sea fució f(z) = L π (z), puede escribirse dicha fució como ua serie de Lauret e u cierto aillo alrededor del puto z 0 = 0? Por qué?.. Calcula la serie de Lauret de f(z) = (+z ) alrededor del puto z 0 = i.. Calcula el desarrollo de Lauret alrededor de los polos de la fució: f(z) = z (z )(z i). 3. Ecotrar la trasformada Z de las siguietes sucesioes determiado su cojuto de covergecia. (a) y = +. (b) y = (0,, 0,, 0,,...). (c) y = 4. (d) y = (0,,,,..). (e) y =. (f) y = +. (g) y = /. (h) y = 3. (i) y = (0,, 0,, 0, 4,..., 0,,...). 4. Resolver las siguietes ecuacioes homogéeas: (a) y + + y + y = 0. (b) y + y + y = 0. (c) y + + λ y = 0 dode λ R. (d) y + y + + y = 0. (e) y + 4y + y = 0. (f) y + + y + + y = 0. (g) y + + y + 3y = 0. (h) y +3 y + + y + y = 0. (i) y +4 + y + y = Resolver las siguietes ecuacioes o homogéeas: (a) y + + y + y =. (b) y + y + y = ( ). (c) y + y + + y =. (d) y + + y =. (e) y + 4y + y =. (f) y + + y + + y = 3. (g) y + + 4y = ( ). (h) y + y + + 6y = 3 +. (i) y +3 y + + y + y =. 6. Resolver los siguietes problemas de codicioes iiciales: y + + y + + y = y + + y + y = 0 (a) y 0 = 0 (b) y 0 = y = y = (d) (g) y + y + + y = y 0 = 0 y = 0 y +3 y + + y + y = y 0 = y = 0 y = y + 4y + + y = (e) y 0 = y = 0 y + + y = + (h) y 0 = y = 7. Determiar cuáles de las ecuacioes ateriores so estables. y + 4y + y = 0 (c) y 0 = 0 y (0) = y + + y = (f) y 0 = 0 y = 0 y + y + y = (i) y 0 = y =

12 8. Obteer la solució de los siguietes circuitos digitales supoiedo codicioes iiciales ulas: S D y + D S D y S D D y + (, 0, 0,..) S D D y 3 9. Calcular el comportamieto asitótico (límite cuado tiede a ifiito) de la solució de los siguietes circuitos digitales: (,,,...) S D y + /

13 D S D y S D D + y / S D D y 3

14 MATEMÁTICAS. GIE El teorema de los residuos.. Determia y clasifica las sigularidades de las fucioes: (a) (d) z z 3 (b) z (z + 4) (e) z + e z (g) e z z z 4 + z 4 (c) (f) z 5 ( z). Calcula los residuos de las siguietes fucioes e sus sigularidades. (a) (d) z 3 z 5 (b) z (z + ) (c) se z (z + ) 3 (e) tg z (f) (g) e z+ z (h) se (z) se (/z) (i) (j) z se z z (k) z cos(/z) e z z (l) z ( z ) se z e z (z ) z + z 3. Calcula los residuos de las siguietes fucioes e sus sigularidades, idicado además de qué tipo so dichas sigularidades. (a) f(z) = se z (z + ) 3, (b) g(z) = e z se z z, (c) h(z) = z 4. Calcula los residuos de las siguietes fucioes e sus sigularidades, clasificado éstas previamete. (a) f(z) = z (z + ) 3 (z + i), (b) g(z) = e/(z i), (c) h(z) = z se z z(z ) 5. Utiliza el teorema de los residuos para calcular las itegrales siguietes: (a) e z z dz, (t) = 3 eit, t [0, π] (b) z e /z dz, (t) = 3 e it, t [0, π] z + (c) z z dz, (t) = 3 eit, t [0, π] z eit (d) dz, (t) = +, t [0, π] (z )(z ) 6. Sea (t) = + re it, t [0, π]. Calcular e fució del parámetro r el valor de las siguietes itegrales: z (a) z 3 + z + z dz. z (b) z 4 + z + dz.

15 (c) (d) e z z z 3 z + dz. z e /z dz. 7. Sea el cuadrado de vértices (R, R), ( R, R), ( R, R) y (R, R) recorrido e setido positivo. Determiar las itegrales siguietes e fució del parámetro R. z (a) z 3 + z + z dz. z (b) z 4 + z + dz. (c) e z z z 3 z + dz. (d) z e /z dz. 8. Calcula el valor de la itegral e /z iz + dz siedo la curva cuyo rago se represeta e la figura siguiete. (0--99) i i