Existencia y unicidad de solución de una ecuación diferencial parcial no lineal estacionaria del tipo elíptico

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1 Agrondustral Scence Agrond Sc 5 (05) Escuela de Ingenería Agrondustral Unversdad Naconal de Trujllo Exstenca uncdad de solucón de una ecuacón dferencal parcal no lneal estaconara del tpo elíptco Exstence and unqueness of soluton of a dfferental partal not lnear statonar equaton of the ellptcal tpe Herón Juan Morales Marchena a ; Mlton Melcades Cortez Gutérrez b a. Departamento Académco de Matemátca, Unversdad Naconal Del Santa, Av. Unverstara s/n, Nuevo Chmbote, Perú. b. Departamento Académco de Matemátca, Unversdad Naconal de Trujllo, Av. Juan Pablo II s/n, Cudad Unverstara, Trujllo, Perú. *Autor para correspondenca: (H. Morales). RESUMEN Recbdo 0 novembre 05; Aceptado Dcembre 05. En la presente nvestgacón, se demostró la uncdad de solucón de la ecuacón dferencal parcal no lneal estaconara del tpo elíptco de la forma: En el espaco g H ( ). f en. x x x H 0 ( ), para una regón plana convexa, f L ( ) Palabras clave: Operador dferencal, desgualdad de Poncaré, norma estrctamente convexa, dstrbucones espaco de funcones de prueba espacos de Sobolev. ABSTRACT In the present nvestgaton, there was demonstrated the unqueness of soluton of the dfferental partal not lnear statonar equaton of the ellptcal tpe of the form: In the space x x x H 0 ( ) for a flat convex regon, f L ( ) f n. g H ( ). Kewords: Dfferental operator, Poncaré's Inequalt, strctl convex Norm, Dstrbutons and Space of functons of Test and Sobolev's Spaces.. Introduccón Las ecuacones dferencales parcales consttuen una potente herramenta para descrbr procesos o sstemas que se dan en la naturaleza. En el mundo de la ngenería son múltples los ejemplos. Desde el estudo del movmento armónco smple en muelles hasta las ecuacones no lneales de la mecánca de fludos, por ctar algunos. Uno de los casos partculares en el vasto conjunto de ecuacones dferencales parcales no lneales lo consttuen las 6

2 H. Morales M. Cortez / Agrond Sc 5 (05) ecuacones dferencales parcales lneales de º orden: u u u u u utt ( A B C D E ) Fu f ( x, ) x x x Las cuales son ecuacones dferencales parcales las que modelan en su maoría los problemas en ngenería. En la solucón de este tpo de ecuacones dferencales parcales se consderan las condcones ncales, así como tambén las condcones de contorno. En estos problemas se plantean las sguentes cuestones: (a) exstenca de solucón; (b) uncdad de la solucón; (c) establdad de la solucón. La maoría de las lees de la físca están gobernadas por ecuacones dferencales parcales: las ecuacones de Maxwell, la le de enframento de Newton, las lees de Kleper, la ecuacón de Naver Stokes, la ecuacón del momentum de Newton, la ecuacón de Schrodnger de la mecánca cuántca, la ecuacón del telégrafo, la ecuacón hperbólca en la teoría de control, etc. Una de las aplcacones del modelo en el sector agropecuaro se do en el análss térmco de una pala panelera, para observar el comportamento de flujo de calor haca los jugos de la caña de azúcar, el cual se desarrolló en etapas: El flujo de gases calentes, la superfce de la pala, los jugos de la caña de azúcar. La conduccón de calor dentro de la lámna que forma la pala el jugo. Donde se obtuvo el modelo del comportamento del calor su dstrbucón bajo las condcones de operacón (Parra, 996). Los problemas que nvolucran ecuacones dferencales parcales no lneales han vendo sendo desarrollados desde dferentes perspectvas, según la Base de Datos del Mnstero de Educacón Cenca de España, la Unversdad de Sevlla como por ejemplo en el caso de los problemas no lneales de la mecánca de fludos ncompresbles, exste un modelo del tpo elíptco estaconaro modelado netamente con herramentas matemátcas basados expermentalmente como son los números de Renolds, presón de fludos, velocdad, etc. Tal como se apreca en Gómez (997), Clment (995), segudamente se han encontrado problemas que relaconan a los fludos no Newtonanos como se cta en Robles (995), por otro lado los modelos a han sdo tratados desde el punto de vsta numérco tal es el caso en Echevarría (995), se observa una matemátca fnta, note que tambén exsten modelos relaconados con la dnámca de poblacones con dfusón lneal no lneal estudados (Suarez, 998) recentemente tambén han sdo tratados los problemas de control, vea Doubova (999), así como tambén exsten otros modelos que conllevan a las ecuacones dferencales parcales estocástcas tal como la ecuacón de ITO entre los que tambén tratan (Garrdo, 00) en este trabajo de tess se va estudar un modelo que nvolucra la dnámca de fludos basado en un modelo del tpo elíptco para posterormente tratar sobre las exstenca uncdad de solucón. Por otro lado, las dervadas parcales que aparecen no sempre exsten desde el punto de vsta clásco es por eso que tambén se requere el uso de la teoría de las dstrbucones para poder generalzar a una dervada generalzada en la que la solucón del modelo a tratar será en los espacos funconales como son los Espacos de Sobolev, etc.. Enuncado del problema Exste es únca la solucón de una ecuacón dferencal parcal no lneal estaconara del tpo elíptco de la forma: f x x x en (*) Donde: es una regón plana convexa. f L ( ) (de preferenca ' f ( H 0 ( )) ). / g ; g H ( ).? 3. Hpótess Se consdera g H ( ). f L ( ) 6

3 H. Morales M. Cortez / Agrond Sc 5 (05) El operador dferencal admte una base en el espaco H 0 ( ). 4. Referencas teórcas Espaco de funcones de prueba: Ð( ) Defncón. Sea un subconjunto aberto de n, una funcón. Se llama soporte de u se denota por spp( u ) al subconjunto defndo por: spp( u) x / u( x) 0. Defncón. Sea un subconjunto aberto de n, una funcón, es llamada funcón de prueba, s cumple las sguentes condcones:. uc ( ), u es nfntamente dferencable, con dervadas parcales contnuas de todos los órdenes sobre.. spp( u) K, K compacto. Ejemplo. Dada la funcón: x wx ( ) e, x 0, x Dstrbucones Defncón. Una funconal lneal T: Ð( ) K es llamada dstrbucón s T es contnua. Esto es:. T funconal. Es decr. Para cada funcón u Ð( ), se le asoca un escalar que desgnaremos por Tu,.. T lneal, es decr: T, u v T, u T, v.. T contnuo. Es decr: Para toda sucesón u n convergente en Ð( ), sus mágenes Tu n forman una sucesón convergente en K, obtenendo: lm T u T lm u o lm T, u T,lm u n n n n n n n n Por otro lado, se defne la suma de dstrbucones el producto por un escalar de la sguente forma: T T, u T, u T, u T, u T, u Con lo que el conjunto de dstrbucones tene estructura de espaco vectoral sobre ' K se desgna por Ð (espaco dual de Ð ).., u es nfntamente dferencable, con dervadas parcales contnuas de todos los órdenes.. spp( w) K [,], K compacto. Ð( ) : Es llamado Espaco de Funcones de Prueba con soporte compacto. Convergenca Defncón. Una sucesón ( u ) n n Ð( ) converge haca " u " en Ð( ) s:. spp( un) K, K compacto,.. D un D u, las dervadas convergen unformemente. Dervada de una Dstrbucón Defncón. Sea T: Ð( ) K una dstrbucón, llamamos dervada de T respecto a x se denota por T, a una dstrbucón talque verfca: u T, u T, u T. dx, x u Ð( ) Espacos de Sobolev Defncón. Dado un subconjunto aberto acotado, llamamos espaco de Sobolev se denota por H ( ), al conjunto de funcones u de L ( ), cuas dervadas parcales de prmer orden, tambén pertenecen a L ( ), junto a las operacones de funcones de adcón multplcacón escalar. 63

4 H. Morales M. Cortez / Agrond Sc 5 (05) Es decr: u H ( ) u L ( ) : L ( );,,..., n x Nota. Las dervadas parcales en H ( ), no se entenden en el sentdo clásco, sno en el de las dstrbucones. Defncón. Dado un subconjunto aberto acotado, llamamos espaco de Sobolev de orden se denota por m H ( ), al conjunto de funcones u de L ( ), cuas dervadas parcales en el sentdo de las dstrbucones de orden menor o gual a m tambén pertenecen a L ( ). m H u L ( ) : D u L,, m H ( ) es un espaco con producto nterno, con el producto nterno: c). Demostracón a). u, v, w H ( );, K H ( ) es un espaco normado, con la norma: n u / u [ u( x) dx dx] x 5. Resultados u( x) dx 0 v n u x dx ux ( ) 0, entonces u 0,... n x b). 0 u u f x x x () u/ g Equvalente a: Au f u/ g. () Demostracón de la Uncdad Consderemos dos solucones dferentes u, v V Au f ; u / g Esto es: Av f ; v / g Donde Au u u x x x 64

5 H. Morales M. Cortez / Agrond Sc 5 (05) Reemplazando conjunto E, como propuesta ncal de las solucones de Au f. El cerradura del conjunto E de las solucones junto a la condcón de norma estrctamente convexa permtó demostrar que el conjunto E se reduce a un punto, es decr la solucón de la ecuacón dferencal en el sentdo de las dstrbucones es únca. u W V W Por otro lado: Av f, v u Au f, v u Av Au, v u,4,4 ( ) ( ). Av Au, v u 0, por ser monótona. Av f, v u 0, v V Construamos: v V, S u V / Av f, v u 0, Au f v subespaco cerrado de V. E vv S v E es cerrado convexo, además E u V / Au f, conjunto de las solucones de (). Suponga que la norma en V, es estrctamente convexa sobre la esfera untara de V, Au Av u v como u satsface () E u V / u S, Au f, S Convenentemente. Se deduce que E se reduce a un conjunto untaro. 6. Dscusón La monotonía del operador A: V V ',.e Au Av, u v o, u v V, u v, fue necesara para la construccón del 7. Conclusón La solucón de la ecuacón dferencal parcal no lneal estaconara del tpo elíptco: en, es únca. Referencas Clment, B Solucones débles renormalzadas de algunas Ecuacones en Dervadas Parcales no Lneales con Orgen en Mecánca de Fludos. Tess Doctoral. Departamento de Ecuacones Dferencales Análss Numérco, Unversdad de Sevlla, Doubova A Análss control de algunas EDP no lneales con orgen en Mecánca. Tess Doctoral. Departamento de Ecuacones Dferencales Análss Numérco, Unversdad de Sevlla, Echevarría, R Algunas aplcacones del Método de Elementos Fntos a Problemas en Dervadas Parcales No Lneales. Tess Doctoral. Departamento de Ecuacones Dferencales Análss Numérco, Unversdad de Sevlla, Garrdo, J. 00. Algunos resultados de Exstenca, Uncdad establdad para EDP Funconales Estocástcas no Lneales. Tess Doctoral. Departamento de Ecuacones Dferencales Análss Numérco, Unversdad de Sevlla, Gómez, M Estudo Matemátco de algunos problemas no Lneales de la Mecánca de Fludos Incompresbles. Tess Doctoral. Departamento de Ecuacones Dferencales Análss Numérco, Unversdad de Sevlla, Parra, J Análss térmco de una pala panelera. Ingeno Lbre 5: Robles, R Contrbucón al estudo teórco de algunas ecuacones en dervadas parcales no lneales relaconadas con fludos no newtonanos. Tess Doctoral. Departamento de Ecuacones Dferencales Análss Numérco, Unversdad de Sevlla, Suarez, A Propedades de las solucones de sstemas estaconaros de la dnámca de poblacones con dfusón lneal no lneal. Tess Doctoral. Departamento de Ecuacones Dferencales Análss Numérco, Unversdad de Sevlla, 65

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