POLINOMIOS ORTOGONALES Apuntes y Ejercicios RESUMEN DE CONTENIDOS POLINOMIOS ORTOGONALES. Se define, en primer lugar, el operador proyección mediante

Transcripción

1 Uversdd de Stgo de Chle Fcultd de Cecs Deprtmeto de Mtemátcs y Cecs de l Computcó Aputes y Ejerccos RESUMEN DE CONTENIDOS. Recordr: Proceso de ortogolzcó de Grm-Schmdt: Se defe, e prmer lugr, el operdor proyeccó medte Dode los corchetes gulres represet el producto teror. Es evdete que es u vector ortogol. Etoces, ddos los vectores, el lgortmo de Grm Schmdt costruye los vectores ortoormles de l Sguete form: A prtr de ls propeddes de l proyeccó y del producto esclr, es secllo pror que l sucesó de vectores es ortogol. Ejemplo: Cosder el sguete cojuto de vectores e R (co el covecol producto tero)

2 Ahor, plcmos Grm Schmdt, pr oteer u cojuto de vectores ortogoles: Verfcmos que los vectores u y u so de hecho ortogoles: Etoces podemos ormlzr los vectores dvdedo por su orm como hemos mostrdo terormete:. Polomos ortogoles Se f, gc[, ] y se w(), w()> cotu e el tervlo [, ]. Defmos el producto tero de f y g e [, ] co respecto l fucó de peso w(), como: f, g : w( ) f ( ) g( ) d Ls fucoes f y g so llmds ortogoles s f, g. Se {P ()} u sucesó de polomos reles, dode P () es u polomo de grdo. El cojuto {P ()} form u sstem ortogol de polomos co l fucó de peso w() s p, p cudo m. m El sguete teorem estlece l estec de u secuec de polomos mutumete ortogoles co respecto u fucó de peso w(). Teorem Este polomos p j j,,, tles que p, p. Estos polomos so defdos de mer úc por l recursó de Grm-Schmdt: p ( ) p ( ) p ( ) ( ) p ( ) p ( ) pr e dode: p, p p, p p, p p, p pr pr

3 Notemos que los coefcetes so todos postvos, y por lo tto podemos tomr l ríz cudrd postv de cd uo de ellos. Además, se suele defr ) w( d. Ahor, defedo el cojuto: p( ) / grdo p j corolro. Corolro p, p p, p, teemos el sguete j Teorem () Se,, ls ríces del polomo ortogol p (), y se A, A,, A l solucó del sstem de ecucoes (o sgulr): p, p s p ( ) A s,,, (**) etoces A,,,, y w( ) p( ) d Ap ( ) (*) vle p, p. Los úmeros postvos A so llmdos pesos. () S los úmeros, A,,, so tles que (*) vle p, p, etoces, los so ríces de p y los pesos A stsfce (**). (3) No es posle ecotrr úmeros, A,,, tles que (*) vlg. p, p 3. Fmls de Polomos ortogoles usules I. Polomos de Legedre E el tervlo y co. Se defe de form recursv por: ( ) ( ) Así, l cudrtur de Guss Legedre es:

4 II. Polomos de Cheyshev E el tervlo y co Se defe de form recursv por:. Así, l cudrtur de Guss Cheyshev es: III. Polomos de Lguerre (Ortoorml) E el tervlo y co. Se defe de form recursv por: ( ) ( ) Así, l cudrtur de Guss Lguerre es: IV. Polomos de Hermte E el tervlo y co. Se defe de form recursv por: Así, l cudrtur de Guss Hermte es:

5 EJERCICIOS PROPUESTOS.- Oteer los polomos F (), F () y F () ortogoles e [,] co respecto l fucó de peso w()=l( - ) y el producto tero, : l( ) ( ) ( ) f g f g d (dc.: usr l recursó de Grm_Schmdt). ) Deducr u fórmul de cudrtur guss de dos sumdos, del tpo l( ) Clculr ) f ( ) d A f ( ) A f ( ), co y ríces de F (). ( ) l( ) d usdo l fórmul oted terormete. B.- Cosdere l fórmul de cudrtur f ( ) d Af () f (.5) f () 3 L( ) ) Aprome el vlor de l tegrl d usdo l cudrtur propuest ) Compre co el vlor otedo l usr u Smpso trple s el vlor máqu es Se {T()} l sucesó de polomos de Tcheyshev. ) Muestre que los polomos de Tcheyshev stsfce T ()=, T ()= y T + ()=T ()-T - (). m ) Muestre que T ( ) ( ) Tm d m m (dc.: usr el cmo de vrle u=rccos()) c) Demuestre que T ()T j ()=½{T +j ()+T -j ()} pr culesquer eteros postvos y j co >j. d) Usdo T ()=cos(rccos()) oteer T ()..- Utlzdo el proceso recursvo de Grm-Schmdt, clculr los prmeros tres polomos mócos ortogoles co respecto l producto esclr f, g : e f ( ) g( ) d. (Polomos de Lguerre). 5.- Demuestre que este c, tl que Es ect e?. Use l fórmul pr promr 6.- Dd l tegrl e d f ( ) d f ( c) f ( c) es ect e 3,.5 l( ) d ) Use u cudrtur de guss-legedre co dos sumdos pr promrl. ) Use l se ortogol, 9, co w( ), co, pr promr uevmete l tegrl.