Ma34a Probabilidades y Procesos Estocásticos 21 de Noviembre, Resumen No. 3

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1 Ma34a Probabilidades y Procesos Estocásticos 21 de Noviembre, 2004 Resumen No. 3 Prof. Cátedra: M. Kiwi Prof. Auxiliares: M. Soto, R. Cortez 1 Variables Aleatorias 1.1 Variables Aleatorias Absolutamente Continuas En lo que sigue sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y X una variable aleatoria sobre el espacio medible (Ω, F) Definición 1 [Variable Aleatoria Absolutamente Continua] Se dice que X es una variable aleatoria absolutamente continua si existe una función f X : R R tal que para todo C R para el cual {X C} F se tiene que P ({X C}) = f X (x)dx. A la función f X se le denomina función densidad de la variable aleatoria X. C Proposición 1 Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, se tiene que F X (t) = f X (x)dx = 1 y P ({X = t}) = 0 para todo t R. t f X (x)dx y si f X es continua en t, entonces f X (t) = d dt F X(t). Proposición 2 Si X es variable aleatoria y h : R R es tal que {x R h(x) f X (x)} es numerable, entonces h también es función densidad de X, i.e., para todo t R, F X (t) = t f X (x)dx = t h(x)dx. En particular, la función densidad de una variable aleatoria no es única. Proposición 3 Sea X una variable aleatoria absolutamente continua. Sean D, R R tales que R \ f 1 X ({0}) D y g : D R tal que Y = g(x) es variable aleatoria (en particular esto ocurre cuando g es continua). Sigue que F Y (t) = P ({ X g 1 ((, t]) }). 1

2 Resumen No. 3: 21 de Noviembre, Si además g es biyectiva y diferenciable, entonces Y es absolutamente continua y f f Y (t) = X (g 1 (t)) d dt g 1 (t) si t R, 0 en caso contrario. Modelos absolutamente continuos: A continuación se da la fórmula de la función densidad f X y los parámetros de varias distribuciones importantes de variables aleatorias X absolutamente continuas. Uniforme: X es una uniforme de parámetros a, b R, a < b, denotado X Uniforme(a, b), si { 1 si x [a, b], f X (x) = b a 0 en caso contrario. Exponencial: X es una exponencial de parámetro λ R, λ > 0, denotado X Exponencial(λ), si { λe λx si x 0, f X (x) = 0 en caso contrario. Normal: X es una normal de parámetros µ, σ 2 R, σ > 0, denotado X Normal(µ, σ 2 ), si f X (x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2, si x R. Gama: X es una gama de parámetros λ, p R, λ, p > 0, denotado X Gama(p, λ), si 1 f X (x) = Γ(p) λ(λx)p 1 e λx, si x > 0, 0 en caso contrario, donde Γ(p) = 0 x p 1 e x dx. Chi-cuadrado: X es una chi-cuadrado con n N \ {0} grados de libertad, i.e., X χ 2 n, si 1 f X (x) = 2 n/2 Γ(n/2) xn/2 1 e x/2, si x > 0, 0 en caso contrario, donde Γ(p) = 0 x p 1 e x dx. Cauchy: X es una Cauchy de parámetro µ, σ R, σ > 0, denotado X Cauchy(µ, σ), si f X (x) = 1 πσ ( σ (x µ) 2), si x R. 2

3 Resumen No. 3: 21 de Noviembre, Beta: X es una beta de parámetros a, b R, a, b > 0, denotado X Beta(a, b), si Γ(a + b) f X (x) = Γ(a)Γ(b) xa 1 (1 x) b 1 si x [0, 1], 0 en caso contrario, donde Γ(p) = 0 x p 1 e x dx. Proposición 4 Si X Normal(µ, σ 2 ) y Φ denota la función distribución de una Normal(0, 1), entonces 1. Φ( t) = 1 Φ(t) cualquiera sea t R, 2. si a, b R, a 0, entonces ax + b Normal(aµ + b, a 2 σ 2 ), en particular (X µ)/σ Normal(0, 1). 2 Distribución Conjunta de Variables Aleatorias En lo que sigue sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y X 1,..., X n variables aleatorias sobre el espacio medible (Ω, F). Denotaremos por X al vector aleatorio (X 1,..., X n ), por X i a su i ésima coordenada X i, y por X ( i) al vector aleatorio (X 1,..., X i 1, X i+1,..., X n ). Definición 2 [Función Distribución Conjunta] A F X : R n R se le llama función distribución conjunta de X 1,..., X n si para todo t 1,..., t n R, F X (t 1,..., t n ) = P ({X 1 t 1,..., X n t n }). Proposición 5 Para todo i {1,..., n} y t i R, F Xi (t i ) = lim... t 1 lim t i 1 lim... lim F t i+1 t X (t 1,..., t n ). n Definición 3 [Funciones Distribución Marginales] A las funciones distribución F X1,..., F Xn también se les denomina funciones distribución marginales de F X. Proposición 6 Se tiene que: 1. F X es no decreciente en cada una de sus coordenadas, 2. lim t 1... lim t n F X (t 1,..., t n ) = 1, y para todo t 1,..., t i 1, t i+1,..., t n R lim t X (t 1,..., t n ) i = 0 lim t X (t 1,..., t n ) i = F X ( i)(t 1,..., t i 1, t i+1,..., t n ).

4 Resumen No. 3: 21 de Noviembre, Definición 4 [Variables Aleatorias Conjuntamente Discretas] Se dice que X 1,..., X n son variables aleatorias conjuntamente { discretas ({ si toman }) a } lo más una cantidad( numerable ) de valores distintos, i.e., si S X = a R n P X = a > 0 es numerable y P X S X = 1. Al conjunto S ({ X se le denomina }) soporte del vector aleatorio X y a la función p X : R [0, 1] tal que p X ( a) = P X = a se le denomina función densidad de probabilidad conjunta de X 1,..., X n. Proposición 7 Sean X 1,..., X n variables aleatorias conjuntamente discretas, se tiene que 1. p X ( a) = 1 y si a S X entonces p X ( a) = 0. a S X 2. F X ( t) = p X ( a), para todo t R n. a S X :a 1 t 1,...,a n t n 3. p Xi (t i ) = p X ( a), para todo t R n. a S X : a i= t i Definición 5 [Funciones Densidad de Probabilidad Marginales] A las funciones densidad de probabilidad p X1,..., p Xn también se les denomina funciones densidad de probabilidad marginales de p X. Definición 6 [Variables Aleatorias Conjuntamente Continuas] Se dice que X 1,..., X n son variables aleatorias conjuntamente { } continuas si existe una función f X : R n R tal que para todo C R n para el cual X C F se tiene que ({ }) P X C = f X (x 1,..., x n )dx 1 dx n. C A la función f X se le denomina función densidad conjunta de X 1,..., X n. Proposición 8 Sean X 1,..., X n variables aleatorias conjuntamente continuas, se tiene que 1. f X (x 1,..., x n )dx 1 dx n = 1. R n t1 tn 2. F X (t 1,..., t n ) = f X (x 1,..., x n )dx 1 dx n para todo t R n, y si f X es continua en a R n n, entonces f X ( a) = F X (t 1,..., t n ) t 1... t n t= a. 3. f Xi (x i ) = + + f X (x 1,..., x n )dx 1 dx i 1 dx i+1 dx n para todo x i R. Definición 7 [Funciones Densidad Marginales] A las funciones densidad de probabilidad f X1,..., f Xn también se les denomina funciones densidad marginales de f X.

5 Resumen No. 3: 21 de Noviembre, Definición 8 [Variables Aleatorias Independientes] Se dice que X 1,..., X n son variables aleatorias independientes si para todo A 1,..., A n R tal que {X 1 A 1 },..., {X n A n } F, ( n ) P {X i A i } = P ({X i A i }). Una colección infinita de variables aleatorias se dice independiente si cualquier subcolección finita de ellas es independiente. Lema 1 X 1,..., X n son independientes sí y sólo si F X (t 1,..., t n ) = F Xi (t i ). Corolario 1 X 1,..., X n son variables aleatorias independientes sí y sólo si p X ( a) = f X ( t) = p Xi (a i ) para todo a S X en el caso que X 1,..., X n sean conjuntamente discretas. f Xi (t i ) para todo t R n en el caso que X 1,..., X n sean conjuntamente continuas. Lema 2 Sea I N. Si {X i } i I es una colección de variables aleatorias independientes y para todo i I la función g i : D i R R es tal que P ({X i D i }) = 1 e Y i = g i (X i ) es variable aleatoria, entonces {Y i } i I es una colección de variables aleatorias independientes. Lema 3 [Suma de Variables Aleatorias Independientes] Si X 1 e X 2 son variables aleatorias independientes, entonces p X1+X 2 (c) = p X1 (a)p X2 (c a) = p X1 (c b)p X2 (b) en el caso que X 1 y X 2 sean a S X1 b S X2 conjuntamente discretas, f X1+X 2 (t) = f X1 (x)f X2 (t x)dx = f X1 (t x)f X2 (x)dx en el caso que X 1 y X 2 sean conjuntamente continuas. R R Lema 4 Si X 1,..., X n son variables aleatorias independientes tales que X i Normal(µ i, σi 2 ), entonces X i Normal( µ i, σi 2 ), y si además X 1,..., X n son idénticamente distribuidas n n n de acuerdo a una Normal(µ, σ 2 ), entonces 1 n n X i Normal(µ, σ2 n ). Lema 5 [Método del Jacobiano] Sean X 1,..., X n variables aleatorias conjuntamente continuas. Sean D, R R n tales que P ({X D}) = 1 y g = (g 1,..., g n ) : D R tal que para todo i {1,..., n} se tiene que Y i = g i (X 1,..., X n ) es variable aleatoria (en particular esto último ocurre cuando g i es continua). Si además

6 Resumen No. 3: 21 de Noviembre, g es biyección, i.e., para todo (y 1,..., y n ) R, el sistema de ecuaciones y i = g i (x 1,..., x n ), i {1,..., n}, tiene solución única x i = h i (y 1,..., y n ). 2. las funciones g 1,..., g n son tales que todas sus derivadas parciales son continuas y que el Jacobiano de g es no nulo para todo (x 1,..., x n ) D, i.e., (x 1,..., x n ) D = J(x 1,..., x n ) def = Det g 1 g 1 x 1 x n..... g n g n x 1 x n Entonces, se tiene que Y 1,..., Y n son variables aleatorias conjuntamente continuas y (x 1,...,x n) 0. f Y ( y) = = { f X ( g 1 ( y)) J( g 1 ( y)) 1, si y R, 0, en caso contrario. { f X ( h( y)) J( h( y)) 1, si y R, 0, en caso contrario.