HIPÉRBOLA. Ecuación de la hipérbola

Transcripción

1 Mtemátic 014 HIPÉRBOLA Definición: Se llm hipérol l conjunto de puntos del plno que cumplen con l condición de que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. pf p f ' = constnte L rect que contiene los focos se llm eje rel o focl. Ecución de l hipérol Centrd en el origen Con trslción Eje myor coincidente con el eje Eje myor prlelo l eje Págin 1

2 Mtemátic 014 L ecución cnónic correspondiente, en cd cso, es: y ( k) (y h) = 1 = 1 Centro c (0, 0) Centro c (k, h) Vértices v (, 0) v ' (, 0) Vértices v (k +, h) v ' (k, h) v 1 (0, ) v 1 ' (0, ) v 1 (k, h + ) v 1 ' (k, h ) Focos f (c, 0) f ' ( c, 0) Focos f (k + c, h) f ' (k c, h) Longitud del eje rel o focl v v' = Ecución de l rect que contiene l eje Longitud del eje rel o focl v v' = Ecución de l rect que contiene l rel o focl y = 0 eje rel o focl y = h Longitud del eje imginrio v 1 v' 1 = Longitud del eje imginrio Ecución de l rect que contiene l eje v 1 v 1 ' = Ecución de l rect que contiene l imginrio = 0 eje imginrio = k Ecuciones de ls síntots Ecuciones de ls síntots y = ; y = y = ( k) + h y = ( k) + h Ls síntots de l hipérol son ls rects que unen los vértices opuestos del rectángulo cuyo centro está en el centro de l hipérol y sus ldos tienen longitud y. Distnci focl f f ' = c Distnci focl f f ' = c Dominio Dom R = (, ] [, ) Dominio Dom R = (, k ] [k +, ) Codominio Cod R = (, ) Codominio Cod R = (, ) Relción entre, y c Consideremos el triángulo rectángulo o v p, llmndo l hipotenus c y los ctetos y. Págin

3 Mtemátic 014 L relción pitgóric entre ellos es: c = + Ecentricidd Denotmos l ecentricidd con ε y definimos como ε = c / y como c > ε > 1 Ejemplo: Dd l epresión 9 36 y 34 = 0 ) Cómo se denomin l gráfic? ) Determine sus elementos. c) Represente. ) Como A C y de diferentes signos se trt de un hipérol. ) 9 36 y = 34 dividiendo en 34 otenemos l ecución cnónic y 36 9 Centro c (0, 0) = 1 = 36 = 6 Vértices v (6, 0) v ' ( 6, 0) = 9 = 3 v 1 (0, 3) v 1 ' (0, 3) c = + c = c = 45 c = 45 Focos f ( 45, 0) f ' ( 45, 0) Ecentricidd ε = c / ε = 45 / 5 > 1 Longitud del eje rel o focl v v' = 1 Págin 3

4 Mtemátic 014 Longitud del eje imginrio v 1 v 1 ' = 6 Ecución de l rect que contiene l eje rel o focl y = 0 Ecución de l rect que contiene l eje imginrio = 0 Ecuciones de ls síntots y = 3 6 y = 1 e y = 3 6 y = 1 c) Ecución de l hipérol Centrd en el origen Eje rel coincidente con el eje y Con trslción Eje rel prlelo l eje y Págin 4

5 Mtemátic 014 L ecución cnónic correspondiente, en cd cso, es: y ( k) (y h) = 1 = 1 Centro c (0, 0) Centro c (k, h) Vértices v (0, ) v' (0, ) Vértices v (k, h + ) v' (k, h ) v 1 (, 0) v 1 ' (, 0) v 1 (k +, h) v 1 ' (k, h) Focos f (0, c) f ' (0, c) Focos f (k, h + c) f ' (k, h c) Longitud del eje rel v v' = Longitud del eje rel v v' = Ecución de l rect que contiene l eje Ecución de l rect que contiene l rel o focl = 0 eje rel o focl = k Longitud del eje imginrio v 1 v' 1 = Longitud del eje imginrio Ecución de l rect que contiene l eje v 1 v 1 ' = Ecución de l rect que contiene l imginrio y = 0 eje imginrio y = h Distnci focl f f ' = c Distnci focl f f ' = c Ecuciones de ls síntots Ecuciones de ls síntots y = ; y = y = ( k) + h y = ( k) + h Dominio Dom R = (, ) Dominio Dom R = (, ) Codominio Codominio Cod R = (, ] [, ) Cod R = (, h ] [h +, ) En l gráfic de un hipérol puede ocurrir que > (en l generlidd de los csos que vimos), que < ó que =. Págin 5

6 Mtemátic 014 Hipérols conjugds Dos hipérols son conjugds si el eje rel de un de ells es el conjugdo de l otr. Ls ecuciones de dos hipérols conjugds con centro en (0, 0) y sus gráfics, son: y y = 1 (1) = 1 () Págin 6

7 Mtemátic 014 () (1) Ls ecuciones de dos hipérols conjugds con centro en (k, h) y sus gráfics, son: ( k) (y h) = 1 (y h) ( k) (1) = 1 () () (1) Ejemplos: y y L hipérol de ecución = 1 es conjugd con l de ecución = Págin 7

8 Mtemátic 014 ( 3) (y + ) L hipérol de ecución = es conjugd con l de ecución (y + ) 16 ( 3) 4 = 1 Hipérol equiláter rectngulr Es quell que tiene los semiejes rel e imginrio de igul longitud. Sus síntots son perpendiculres. Si el centro está en (0, 0), su ecución serí Si el eje rel es el eje y = 1 Si el eje rel es el eje y y = y = Si el centro está en (k, h), su ecución serí ( k) (y h) = (1) (y h) ( k) = () Págin 8

9 Mtemátic 014 Ecución generl de l hipérol A prtir de l ecución cnónic de l hipérol: ( k) (y h) = 1 Desrrollndo los cudrdos, comodndo términos e igulndo cero, otenemos l ecución generl de l hipérol: A + C y + D + E y + F = 0 Condiciones de los coeficientes de l ecución generl de º grdo pr que su gráfic represente un hipérol (Sólo nlizremos los coeficientes A, B y C) L ecución generl de º grdo en ls vriles e y es: A + B y + C y + D + E y + F = 0 y l ecución generl de l elipse: A + C y + D + E y + F = 0. Comprndo los coeficientes de los términos correspondientes, deducimos que: A 0 C 0, demás A C en vlor y signo. Y el coeficiente B = 0. Ejemplo: Encuentre l ecución de l hipérol que stisfce ls siguientes condiciones: f (, 7), f ' (, 3) y ε = 5/3. Conociendo ls coordends de los focos semos que c = 10 c = 5. Págin 9

10 Mtemátic 014 Ls coordends del centro serán: c (, ), punto medio entre los focos. Además conocemos el vlor de l ecentricidd ε = 5/3, como c = 5 y ε = c/ entonces reemplzndo e igulndo, podemos otener el vlor de : 5/ = 5/3 = 3. Pr poder escriir l ecución cnónic de l hipérol necesitmos ser ls coordends del centro, los vlores de y y demás de l posición que tendrá l curv. Siendo los vlores de y c, podemos otener el vlor de, usndo l relción pitgóric: c = + = c = 5 9 = 16. Los focos están en el eje myor de l curv que contiene los vértices v y v ', y en este cso es prlelo l eje y. El término positivo es el que contiene l vrile y (y ) ( + ) = Ejemplo: ) Escri l ecución de l hipérol, cuy gráfic es: ) Escri ls ecuciones de sus síntots (y + ) ( 3) ) Del gráfico: c (3, ) = 4 = = ) y = ( 3) y = 8 ; y = ( 3) y = + 4 Págin 10