EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO

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1 EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II CURSO Ejrcicio 1º. (,5 puntos) Sabindo qu calcula los valors d a y b. SOLUC: b = a = 1/ a b 1 cos lim sn( ) s finito y val uno, Ejrcicio º.- Condra la función f : [1, ) R dfinida por: f ( ) a) ( puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (,5 puntos) Estudia la poción rlativa d la gráfica d f rspcto a sus asíntotas. SOLUC: a) AV: No hay AH: No hay AO: 1 y (a la drcha) b) La gráfica d f stá por dbajo d la AO Ejrcicio 3º.- Condra la función rals a f ( ) dond a y b son númros ( b )( 1) a) (1 punto) Si s sab qu la función f tin una asíntota n =, y qu f() =. Halla los valors d a y d b. b) (1,5 puntos) Estudia y calcula l rsto d las asíntotas d f. SOLUC: a) a = 4 b = b) AV: = = 1/ AH: y = AO: No hay Ejrcicio 4º.- Sa la función continua f : R k f ( ) 1 R dfinida por: a) (1,5 puntos) Calcula l valor d k. b) (1,5 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 1. SOLUC: a) k = 1 b) AV: y = + -3 Ejrcicio 5º.- (,5 puntos) Sa la función f :( 1, ) R dfinida por: ( Ln ) f ( ) ( 1) Estudia la istncia d asíntota horizontal para la gráfica d f. En caso d qu ista, hállala. SOLUC: Tin asíntota horizontal por la drcha y val y = (l j d abscisas)

2 Ejrcicio 6º.- Condra las funcions f y g dadas por: 3 f ( ) g ( ) 4 3 a ( b ) ndo a y b númros rals. a) (1,5 puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (1 punto) Si s sab qu la rcta d cuación y = 4 s una asíntota oblicua d la función g, halla los valors d a y b. SOLUC: a) AV: = - AH: No hay AO: y b) a = b = - 1 Ejrcicio 7º.- (,5 puntos) Calcula: tg sn lim sn SOLUC: 3 Ejrcicio 8º.- S condra la función f : R R dfinida por: f ( ) 4 a) (1 punto) Halla la cuación d la rcta normal a la gráfica d la función n l punto d abscisa =. b) (1,5 puntos) Dtrmina l punto d la grafica d f n l qu la rcta tangnt s prpndicular a la rcta d cuación + y = SOLUC: a) 1 1 y b) (-1, 3) 4 Ejrcicio 9º.- Condra la función dfinida, para, por: f ( ) 1 1 a) ( puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (,5 puntos) Estudia la poción rlativa d la gráfica d f rspcto a sus asíntotas. SOLUC: a) AV: = (j d abscisas) AH: y = -1 (a la izquirda) y = 1 (a la drcha) AO: No hay b) lim f ( ) lim f ( ) En infinito la gráfica d la función f() stá por ncima d su asíntota horizontal, y n mnos infinito stá por dbajo Ejrcicio 1º.- Sa la función continua f :(, 1) R dfinida por: f ( ) a b 1 a) (1,5 puntos) Dtrmina a y b sabindo qu f s drivabl n todo su dominio. b) (1 punto) Halla la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa =. SOLUC: a) a b 1 b) Rcta tangnt y Rcta prpndicular y

3 Ejrcicio 11º. (,5 puntos) Condra la función polinómica f : R R qu vin dada por la prón: f ( ) a 3 b c d Halla los coficints a, b, c y d sabindo qu f prsnta un trmo local n l punto d abscisa =, qu (1, ) s punto d inflión d la gráfica d y qu la pndint d la rcta tangnt n dicho punto s -3. SOLUC: a = 1 b = -3 c = d = Ejrcicio 1º.- Sa la función f : R R dfinida por f ( ) a) (1 punto) Estudia la drivabilidad d f y calcula su función drivada. b) (1 punto) Dtrmina los intrvalos d monotonía d f y calcula los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) c) (,5 puntos) Haz un sbozo d la gráfica d f. SOLUC: a) La función s drivabl n R {} Su función drivada s 1 f '( ) 1 b) Crc: (-1/, ) U (1/, ) Dcrc: (-, -1/) U (, 1/). MÁXIMO rlativo: (, ) mínimos n: (-1/, -1/4) y (1/, -1/4) Ejrcicio 13º.- (,5 puntos) Qurmos fabricar una caja con bas cuadrada, d tal manra qu la altura d la caja más l prímtro d la bas sumn 6 cm. Dtrmina sus dimnons para qu contnga l mayor volumn pobl. V( ) 6 4 ndo la longitud d uno d los lados d la bas Las dimnons d la caja son: 1 cm 1 cm cm SOLUC: Función a optimiza: volumn d la caja 3 Ejrcicio 14º.- (,5 puntos) Dtrmina a y b sabindo qu b > y qu la función f : R como: s drivabl. SOLUC: a = b = f ) a ( a cos( ) b Ln( 1) 1 R dfinida Ejrcicio 15º.- Sa la función f :(, ) R dfinida por: f ( ) ln( 3 ) a) (1,5 puntos) Dtrmina, istn, l punto o los puntos d la gráfica d f n los qu la rcta tangnt a la gráfica s paralla a la rcta d cuación y + 1 =. b) (1 punto) Halla la cuacions d la rcta tangnt y d la rcta normal (prpndicular) a la gráfica d f n l punto d abscisa = 3. SOLUC: a) Eist sólo un punto y s (3, lu18) b) Rcta tangnt: 1 3 y ln18 Rcta normal: y 6 ln18

4 Ejrcicio 16º.- Sa la función d dfinida por f ( ) para 1 1 a) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas d f. b) (1 punto) Estudia y calcula los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) d la función f. c) (,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) AV: Hay una = 1 AH: Hay una por la izquirda y = (l j d abscisas) AO: No hay b) Crc: (, ω) Dcrc: (-ω, 1) U (1, ). Hay un mínimo n (, ) Ejrcicio 17º.- (,5 puntos) Halla los valors a, b y c sabindo qu la gráfica d la función: a b f ( ) c tin una asíntota vrtical n = 1, una asíntota oblicua d pndint, y un trmo local n l punto d abscisa = 3. SOLUC: a = b = 6 c = -1 Ejrcicio 18º.- Sa la función continua f : R R dfinida por: k f ( ) 1 a) (1,5 puntos) Dtrmina l valor d la constant k. b) (1,5 puntos) Halla la cuacions d la rcta tangnt y d la rcta normal (prpndicular) a la gráfica d f n l punto d abscisa = 1. SOLUC: a) k = 1 b) Rcta tangnt: y = 3 + Rcta normal: 1 1 y Ejrcicio 19º.- (,5 puntos) Sabindo qu los valors d a y b. SOLUC: a = 1/ b = a b 1 cos( ) lim sn( ) s finito y val uno, calcula Ejrcicio º.- (,5 puntos) Un granjro dsa vallar un trrno rctangular d pasto adyacnt a un río. El trrno db tnr 18 m para producir suficint pasto para su ganado. Qué dimnons tndrá l trrno rctangular d modo qu utilic la mínima cantidad d valla, l lado qu da al río no ncta vallado? SOLUC: Función a optimiza: longitud d la valla qu roda l trrno 36 L( ) ndo la longitud dl lado dl trrno parallo al río Las dimnons dl trrno son: 6 m l lado parallo al río y 3 m l lado prpndicular al río Ejrcicio 1º. Sa la función f : R R dfinida por: f ( ) a) (,5 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. b) ( puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f, la rcta = y la rcta tangnt obtnida n l apartado antrior.

5 SOLUC: a) 1 y 1 b) - 5 u Ejrcicio º.- Calcula las intgrals indfinidas (para obtnr la puntuación máima dbs prsar l rsultado n ponnts fraccionarios ni ponnts ngativos): a) (,5 puntos) cos (5 1) d 1 b) (,5 puntos) d 3 ( ) c) (1,5 puntos) 3 d SOLUC: 1 a ) sn( 5 1 ) C b ) C c ) C ( ) C Ejrcicio 3º.- (,5 puntos) Qurmos fabricar una caja crrada d bas cuadrada con una capacidad d 8 cm 3. Para la tapa y la suprfici latral s mpla un matrial qu custa 1 / cm y para la bas s mpla un matrial un 5% más caro. Halla las dimnons d la caja para qu su cost sa mínimo. SOLUC: Función a optimizar: cost dl matrial Las dimnons d la caja son: 4 cm 4 cm 5 cm 3 C( ),5 ndo la longitud d uno d los lados d la bas. Ejrcicio 4º.- (,5 puntos) S sab qu la función f :( 1, 1) R dfinida como: f ( ) 1 c s drivabl n l intrvalo (-1, 1). a) (1 punto) Dtrmina l valor d la constant c. b) (,5 puntos) Calcula la función drivada f. c) (1 punto) Halla las cuacions d las rctas tangnts a la gráfica d d f qu son parallas a la rcta d cuación y = -. SOLUC: a) c= 1 b) 1 4 f '( ) c) y y 4 Ejrcicio 5º.- (,5 puntos) Calcula la intgral indfinida Sugrncia: s pud hacr l cambio d variabl t SOLUC: d dt Ln ( 1) Ln( 1) C ( 1)( 1) ( t 1)( t1) 4 4 ( 1) ( 1)( 1) d Ejrcicio 6º.- Condra la función polinómica f : R f ( ) R qu vin dada por la prón:

6 a) (,75 puntos) Dibuja la rgión acotada dl plano qu stá limitada por la gráfica d f y la bisctriz dl primr y trcr cuadrant. b) (1,75 puntos) Calcula l ára d la rgión dscrita n l apartado antrior. SOLUC: b) 1/3 u Ejrcicio 7º.- a) (1 punto) Halla la cuación d la rcta tangnt a la parábola y = qu s paralla a la rcta d cuación 4 + y + 3 =. b) (1,5 puntos) Halla las cuacions d las rctas tangnts a la parábola y = qu pasan por l punto (,). SOLUC: a) y 4 4 b) y y 8 16 Ejrcicio 8º.- Condra la función f dfinida por: f ( ) 1 para 1 b) (,5 puntos) Halla las asíntotas d la gráfica d f. c) (,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y sus trmos rlativos (abscisas dond s localizan y valors qu s alcanzan). d) (,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad d f y los puntos d inflión. ) (,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) AV: Hay una = 1 AH: Hay una sólo a la izquirda y s l j d abscisas y = AO: No hay b) Crc: (,ω) Dcrc: (-ω,1) U (1,) UN MÏNIMO rlativo: (, ) c) Cóncava: (-ω,1) Conva: (1,ω) NO TIENE PI Ejrcicio 9º.- Calcula las intgrals indfinidas: a) (1,5 puntos) 5 16 d 5 b) (1 punto) ( 3) tg( 3 ) d SOLUC: a) 5 4 Ln ( 5) 3 Ln ( 5) C b) Ln cos( 3 ) C Ejrcicio 3º.- (,5 puntos) S dsa construir una lata d consrva n forma d cilindro circular rcto qu tnga una suprfici total d cm. Dtrmina l radio d la bas y la altura d la lata para qu l volumn sa máimo. SOLUC: Función a optimizar: volumn d la lata V ( ) R 3 1R ndo R l radio d la bas d la lata. La lata db tnr cm d radio, y su altura db tnr cm d altura. 3 Ejrcicio 31º. (,5 puntos) S sab f : R R la función dfinida por: f ( ) a b c tin un trmo rlativo n l punto d abscisa = y qu su gráfica tin un punto d inflión n l punto d 1 abscisa = 1. Conocindo admás qu f ( ) d 6, halla los coficints a, b y c. SOLUC: a = - 3 b = c = 7/4

7 Ejrcicio 3º.- Sa f : (, ) R la función dfinida por f ( ) Ln( ) ( Ln dnota la función logaritmo npriano). a) (1,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan). b) (1 punto) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa SOLUC: a) Dcrc: 1 (, ) b) 3 y Crc: 1 (, ) UN MÏNIMO rlativo n 1 1 (, ) Ejrcicio 33º.- (,5 puntos) Qurmos hacr junto a la carrtra un crcado rctangular para unos caballos. Cada mtro dl lado dl crcado qu stá junto a la carrtra custa 1 uros, mintras qu para l rsto dl crcado nos custa a 1 uros l mtro. Si sólo disponmos d 3 uros, cuáls son las dimnons dl prado d ára máima qu podmos crcar? SOLUC: Función a optimiza: ára dl prado A( ) ( 15 ) 15 ndo la longitud d cada lado parallo a la carrtra 13,64 m cada lado parallo a la carrtra y 75 m cada lado prpndicular a lla. Ejrcicio 34º.- Sa f : R R la función dfinida por f ( ) 3 a) (1 punto) En qué punto d la gráfica d f la rcta tangnt a sta pasa por l orign d coordnadas? Halla la cuación d dicha rcta tangnt. b) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto acotado qu stá limitado por la gráfica d f, la rcta tangnt obtnida y l j d ordnadas. SOLUC: a) P = (3, ) y b) A u Ejrcicio 35º.- (,5 puntos) Calcula la intgral indfinida 1 1 d Sugrncia: s pud hacr l cambio d variablt SOLUC: 1 d 4 4 ln 1 C 1 3 Ejrcicio 36º.- La rcta tangnt a la gráfica d la función f : R R, dfinida por f ( ) a b 3, n l punto d abscisa (1, -6), s paralla a la rcta y = -. a) (1,5 puntos) Dtrmina las constants a y b. Halla la cuación d dicha rcta tangnt. b) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por la gráfica d la función f, la rcta tangnt antrior y l j d ordnadas. SOLUC: a) a = b = - 5 Rcta tangnt: y = b) /3 u

8 Ejrcicio 37º.- Condra la función f : R R dfinida por: f ( ). c) (1 punto) Dtrmina las asíntotas d f. d) (1,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f, así como sus trmos locals (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). SOLUC: a) AV: NO tin AH: una asíntota horizontal n y s l j d abscisas y = AO: NO tin b) Dcrc: (, )U (, ) Crc: (, ) UN MÏNIMO rlativo n (, ) UN MÁXIMO rlativo n (, 4/ ) Ejrcicio 38º.- Condra la función f : R R dfinida por: f ( ) 3 f) (1,5 puntos) Estudia la continuidad y la drivabilidad d f. Halla su función drivada. g) (1,5 puntos) Estudia la monotonía d f. Calcula sus trmo rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan. SOLUC: a) Función continua n R y drivabl n R {3}. 3 6 f '( ) b) Dcrc: (, )U (, 3 ) Crc: (, )U ( 3, ) DOS MÏNIMOS rlativos: (, ) y (3, ) UN MÁXIMO rlativo n (, 4) Ejrcicio 39º.- (,5 puntos) Dtrmina la función f :(, ) R tal qu tin tangnt horizontal n l punto P = (1, 1). 1 f ''( ) y su gráfica SOLUC: f ( ) Ln( ) Ejrcicio 4º.- (,5 puntos) D ntr todos los rctángulos cuya ára mid 16 cm, dtrmina las dimnons dl qu tin la diagonal d mnor longitud. SOLUC: a) Función a optimizar: diagonal dl rctángulo La rspusta s un cuadrado d 4 cm d lado D( ) 56 ndo la longitud d uno d los lados dl rctángulo Ejrcicio 41º. Sa f : R R la función dfinida por: f ( ) ( 3 1). a) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas d3 f. b) (1 punto) Halla los puntos d la gráfica d f cuya rcta tangnt s horizontal. c) (,5 puntos) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. SOLUC: a) AV: NO tin AH: una asíntota horizontal n y s l j d abscisas y = AO: NO tin b) Hay dos puntos P 1 = (-, - ) y P = (1, 5/) c) y = + 1 Ejrcicio 4º.- (,5 puntos) Calcula: sn ( ) d SOLUC: 1 ( ) cos( ) sn d sn ( ) C 5 5

9 Ejrcicio 43º.- (,5 puntos) Dtrmina a y b sabindo qu b > y qu la función f : R R dfinida como s drivabl. a cos( ) f ( ) b a Ln ( 1) 1 SOLUC: a = b = Ejrcicio 44º.- (,5 puntos) Sa g la función dfinida por g( ) Ln( ) para >. Calcula l valor d a > 1 para l qu l ára dl rcinto limitado por la gráfica d g, l j d abscisas y la rcta = a s 1. SOLUC: a = Ejrcicio 45º.- (,5 puntos) S quir vallar un campo rctangular qu stá junto a un camino. Si la valla dl lado dl camino custa 8 uros/mtro y la d los otros lados 1 uros/mtro, halla las dimnons dl campo d ára máima qu pud vallars con 8 8 uros. SOLUC: Función a optimiza: ára dl campoo A( ) 144 ndo la longitud d cada lado parallo al camino 16 m cada lado parallo al camino y 7 m cada lado prpndicular a él. Ejrcicio 46º. Condra la función f : R R dfinida por: f ( ) 3 3 c) (,5 puntos) Halla la cuación d la rcta normal a la grafica d f n l punto d abscisa = -1. d) ( puntos) Calcula l ára d dicho rcinto limitado por la gráfica d f y la rcta d cuación y =. SOLUC: a) = - 1 b) 7/4 u Ejrcicio 47º.- (,5 puntos) Calcula l guint límit: lim Ln ( ) lim 1 SOLUC: 1 Ln ( ) Ejrcicio 48º.- (,5 puntos) S divid un sgmnto d cm d longitud n dos trozos. Con uno d los trozos s forma un cuadrado y con l otro un rctángulo n l qu la bas s l dobl qu la altura. Calcula la longitud d cada uno d los trozos para qu la suma d las áras d las dos figuras sa mínima. SOLUC: Función a optimizar: la suma d las áras dl cuadrado y dl rctángulo 17 ( ) A ndo la longitud d uno d los lados dl cuadrado. La longitud dl trozo qu forma l cuadrado mid 16/17 cm (s dcir, cada lado dl cuadrado mid 4/17 cm) La longitud dl trozo d hilo qu forma l rctángulo s d 18/17 cm (s dcir, la bas dl rctángulo mid 6/17 cm y su altura 3/17 cm)

10 Ejrcicio 49º.- Sa f : R R la función dfinida por: 1 f ( ) d) (1 punto) Estudia la continuidad y la drivabilidad d f. Calcula su función drivada. ) (1 punto) Dtrmina las asíntotas y los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). f) (,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) Función continua n R y drivabl n R {}. 1 f '( ) ( 1) 3 b) AV: NO tin AH: Una n - y s l j d abscisas, y = AO: NO tin Tin un mínimo n (3/, -13/4) Ejrcicio 5º.- a) (1,5 puntos) Calcula la primitiva d f ( ).cos( ) cuya gráfica pasa por l punto (, ). 9 b) (1 punto) Calcula la intgral indfinida d 3 SOLUC: a) sn( ).cos( ) ( sn( ) cos( )) b) ln 1 3 ln 3 C Ejrcicio 51º.- Sa la función f : R R dfinida por f ( ) 3 1 a) (,5 puntos) Pruba qu las rctas y = y = 3 1 son tangnts a su gráfica. b) ( puntos) Halla l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f y las rctas mncionadas n l apartado antrior. SOLUC: a) La primra rcta s tangnt a la gráfica d f n l punto (1, ) y la sgunda n l punto (, -1) b) 1/6 u Ejrcicio 5º.- (,5 puntos) Sa la función f : R R dfinida por: f ) ( ( a) b c 1 Calcula las constants a, b y c, sabindo qu la función f s drivabl n todo su dominio y qu la rcta tangnt a su gráfica n l punto d abscisa = 1 s paralla a la rcta d cuación 3 y + = SOLUC: a = c = b = 4 Ejrcicio 53º.- (,5 puntos) Calcular d ( ) (Sugrncia: t ) SOLUC: 1 ln ln 1 C

11 Ejrcicio 54º.- S condra la función f ( ). a) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas d la gráfica d f. b) (1 punto) Calcula los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los trmos d la función (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) AV: NO tin AH: la misma asíntota horizontal a ambos lados y s l j d abscisas y = AO: NO tin b) Crc: (, 1 )U (, 1 ) Dcrc: ( 1, )U ( 1, ) UN MÏNIMO absoluto n (, ) DOS MÁXIMOS absolutos n ( -1, 1/) y (1, 1/) Ejrcicio 55º.- (,5 puntos) Qurmos fabricar una caja d bas cuadrada, d tal manra qu la altura d la caja mas l prímtro d la bas sumn 6 cm. Dtrmina sus dimnons para qu contnga l mayor volumn pobl. 3 SOLUC: Función a optimizar: volumn d la caja V ( ) 6 4 ndo la longitud d uno d los lados d la bas d la caja. Las dimnons d la caja son 1cm 1 cm cm. Obsrvación: la rspusta a la prgunta plantada s indpndint d la caja tin o no tin tapadra. Ejrcicio 56º. (,5 puntos) Calcula: SOLUC: 1/4 1 Ln( 1) d Ejrcicio 57º.- (,5 puntos) Una hoja d papl tin qu contnr 18 cm d tto. Los márgns suprior infrior han d tnr cm cada uno y los latrals 1 cm. Calcula las dimnons d la hoja para qu l gasto d papl sa mínimo. SOLUC: Función a optimizar: ára o suprfici dl folio A( ) ( ).( 4) ndo l ancho dl tto y l alto dl tto. Las dimnons dl papl son: 5 cm d ancho y 1 cm d alto. 18 Ejrcicio 58º.- San las funcions f : R R y f : R R dfinidas por las prons: f y g a) (,75 puntos) Halla los puntos d cort d las gráficas d f y g. Esboza dichas gráficas. b) (1,75 puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por dichas gr4áficas. SOLUC: a) Dos puntos d cort: (-1,) y (1, ) b) 7/3 u Ejrcicio 59º.- Condra la función f : R R dfinida por a) (,75 puntos) Halla las asíntotas d f. b) (,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). f ( )

12 c) (,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad y los puntos d inflión. d) (,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) AV: NO AH: NO AO: y = por la drcha b) Dcrc: (-, ) Crc: (, ) mínimo: (, 1) c) Conva: (-, ) PI: NO hay Ejrcicio 6º. (,5 puntos) Calcula: d SOLUC: 3 4 3Ln 3Ln 1 C Ejrcicio 61º.- (,5 puntos) Sa la función : f R R dfinida por f() = a 3 + b + c + d s sab qu: tin un máimo n = -1, su gráfica corta al j OX n l punto d abscisa = -, tin un punto d inflión n = y qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = tin d pndint 9. Calcula la prón analítica d la función f SOLUC: a = 1 b = c = -3 d = Ejrcicio 6º.- San las funcions f : R g rspctivamnt. R y g : [, ) R dfinidas por la prons f y 4 a) (,75 puntos) Halla los puntos d cort d las gráficas d f y g. Raliza un sbozo dl rcinto qu limitan. b) (1,75 puntos) Calcula l ára d dicho rcinto. SOLUC: a) Dos puntos d cort: (, ) y (4, 4) b) 16/3 u Ejrcicio 63º.- Condra la función dfinida por 1 f ( ) a) (,5 puntos) Halla las asíntotas d f. b) (,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad y los puntos d inflión. d) (,5 puntos) Esboza la gráfica d f. SOLUC: a) AV: = (j d ordnadas) AH: NO AO: y = b) Crc: (-, -1) U (1, ) Dcrc: (-1, ) U (, 1) Máimo: (-1, -) mínimo: (1,) c) Cóncava: (-, ) Conva: (, ) PI: NO hay Ejrcicio 64º. a) ( puntos) Dtrmina la función : f R R tal qu f '( ) ( 1) y su gráfica pasa por l orign d coordnadas. b) (,5 puntos) Calcula la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =. SOLUC: a) ( 1) 3 ( 3) 3 b) y =

13 Ejrcicio 65º.- (,5 puntos) D ntr todos los triángulos rctángulos d ára 8 cm, dtrmina las dimnons dl qu tin la hipotnusa d mnor longitud. SOLUC: Función a optimizar: hipotnusa dl triángulo 56 h( ) S trata d un triángulo rctángulo isóscls d 4 cm cada catto y por tanto 3 cm d hipotnusa. Ejrcicio 66º.- San f y g las funcions dfinidas por f ndo la longitud d uno d los cattos dl triángulo. ( ) y a) (,5 puntos) Calcula los puntos d cort ntr las gráficas d f y g b) (,5 puntos) Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js. c) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f y g. SOLUC: a) Dos puntos d cort: (, ) y (1, 1) c) 3/ - Ln() =, 1137 u ( ) 1 g para -1 Ln( ) R la función dfinida por f ( ) a) (1,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). Ejrcicio 67º.- Sa f : (, ) b) (,75 puntos) Halla las asíntotas d f. SOLUC: a) Crc: (, ) Dcrc: (, ) Máimo: 1 (, ) b) AV: = sólo por la drcha AH: y = sólo por la drcha AO: NO Ejrcicio 68º. (,5 puntos) Halla a y b sabindo qu la función : prón s continua n su dominio. cos( ) a f ( ) b f R R dfinida por la guint SOLUC: a = 1 b = - 1 Ejrcicio 69º.- (,5 puntos) Halla los valors a, b y c sabindo qu la gráfica d la función a b f ( ) tin una asíntota vrtical n = 1, una asíntota oblicua d pndint, y un trmo local c n l punto d abscisa = 3. SOLUC: a = b = 6 c = - 1

14 Ejrcicio 7º.- Sa f : (, ) R la función dfinidas por f ( ) Ln( ) d) puntos) Esboza l rcinto limitado por la gráfica d f y la rcta y = 1 ) (,5 puntos) Calcula los puntos d cort d la gráfica d f y la rcta y = 1. f) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto citado. SOLUC: b) Dos puntos d cort ntr ambas gráficas: 1 (, 1 ) y (, 1 ) c) 1 A u, 3 5 u Ejrcicio 71º.- Sa f la función dfinida por f ( ) 1 para 1 h) (1,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). i) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas d f. SOLUC: a) Dcrc: (, 1 )U ( 1, ) Crc: (, ) UN MÏNIMO rlativo n (, ) b) AV: = 1 AH: una asíntota horizontal n - y s l j d abscisas y = AO: NO tin