5 APLICACIONES. DE LA DERIVADA - Trabajo Práctico. Recta Tangente. Recta Normal

Transcripción

1 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA - Trbjo Práctico Rect Tngente Rect Norml Llmmos Rect Tngente l gráfico de f() en el punto ( 0 ;f( 0 )) l rect que ps por ese punto y cuy pendiente es f ( 0 ). Llmmos Rect Norml l gráfico de f() en el punto ( 0 ;f( 0 )) l rect que ps por ese punto y cuy pendiente es -1/f ( 0 ). (L perpendiculr l rect tngente en ese punto)... 1) Considere l función y clcule ls rects tngente y norml en. Represente gráficmente. Cálculo de: Cálculo de: ; luego result. Rect Tngente:.32 Rect Norml= Mtemátic - Curto Año - 1

2 2) Hllen los puntos (;y) donde l rect tngente l gráfico de es: ) Prlel l rect b) Perpendiculr l rect c) Horizontl. )! "# Hcemos:! Obtenemos: $ %& El punto solicitdo es: ' ;& ) b)! "# Pr que ls rects sen perpendiculres, ls pendientes deben ser recíprocs y opuests, luego hcemos: " El punto solicitdo es: ; Mtemátic - Curto Año - 2

3 c) Hcemos: El punto solicitdo es: (1;2) que es Mínimo de l función. 3) Si f (4) = 3 y f(4) = 10, Cuál es l ecución de l rect tngente l gráfico de f() en el punto de bscis 4?. Y de l rect norml? 4) Relice estudio completo y gráfico de ls funciones: ) b) c) d) e) f) g). Mtemátic - Curto Año - 3

4 Not: en el punte de ejercicios resueltos encontrrá más ejemplos, vrintes de los propuestos. Utilice los ejemplo resueltos y geogebr pr orientrse. 5) Cuáles son los vlores de y de b si... *. tiene un máimo reltivo en = 2 y l imgen de 2 trvés de f() es 6?- [Rt.: *+. Resuelv nlíticmente y verifique con geogebr]. 6) Demuestre que el rectángulo de áre máim con perímetro igul K uniddes es un cudr do. [/"0123 ; Á0".1.2 ; 56...:12 3 ]. 7) Cuál es el vlor de pr que l función 7. en?. Determinr si pr el vlor hlldo de de l función tiene un máimo ó un mínimo reltivo. teng un etremo 8) Encuentre los puntos que pertenecen l rect y que están más próimos l origen de coordends. [Rt.: /' + 8 ; )]. Sugere 8 enci: utilice GeoGebr pr visulizr el problem y l fórmul de distnci,-. entre dos puntos Mtemátic - Curto Año - 4

5 9) Jun tiene 20 m. de tel de lmbre con l que plne cercr un espcio rectngulr pr su perro. Si dese que el áre se máim, cuáles deben ser ls dimensiones? 10) Encuentre dos números no negtivos cuy sum se 10 y cuyo producto se máimo. 11) Encuentre el volumen de un cj sin tp más grnde que se pued hcer con un hoj cudrd de crtón de 24 cm. de ldo. 12) Ejercicio de Evlución del Progrm de Diplom Mtemátic - Curto Año - 5

6 13) Se l función se pide clculr y justificr: ) Coordends de Etremos. b) Coordends del Punto de Infleión. Mtemátic - Curto Año - 6

7 14) Pr l función 6 :"#6<=:6 "#">?#6"0@.>= A;;B identifique puntos críticos. Clcule, si eisten, vlores máimos, mínimos e infleión. Grfique. 15) Encuentre,., pr ls siguientes funciones. * :"#; < Regl de L Hospitl L Regl de L Hospitl recibe este nombre en honor de un noble frncés, el mrqués de L Hospitl ( ), pero fue descubiert en 1694 por el mtemático suizo John Bernoulli ( ). L eplicción es que mbos hbín entrdo en un curioso rreglo de negocios por medio del cul el mrqués de L Hospitl compró los derechos de los descubrimientos mtemáticos de Bernoulli. Est regl preció impres por primer vez en el libro Anlyse des Infiniment Petits, publicdo por el Mrqués de L Hospitl en Fue el primer libro de teto de cálculo lgun vez publicdo y el ejemplo que llí utilizó el mrqués pr ilustrr su regl fue: lím Regl de L Hospitl: Supóngse que f y g son dos funciones derivbles y que g ( ) 0 cerc de (ecepto quizás en ). Si: lím f ( ) = 0 lím f ( ) =± y ó y lím g( ) = 0 lím g( ) =± entonces: lím f( ) g( ) = lím f ( ) g ( ) Mtemátic - Curto Año - 7

8 si el límite del segundo miembro eiste (o es infinito). L Regl de L Hospitl firm que el límite de un cociente de funciones es igul l límite del cociente de sus derivds, siempre que se stisfgn ls condiciones previs (indeterminciones del tipo 0 0 o bien ls condiciones referentes los límites de f y g, ntes de plicr l regl. ). Es muy importnte comprobr en el siguientes: L Regl de L Hospitl tmbién es válid pr los límites lterles y los límites ± ; es decir, se puede reemplzr con culquier de los símbolos +,, + +,. 16) Resuelv los siguientess límites indetermindos ) c) e) g) i) k) m) ln 1 ln e 1 sen ( + e ) 2 ln(2 1) lím uuur ln 1 2 sen( ) tg ( 1) ln( ) b) d) f) h) j) l) e lím uuur 2 1 π π tg ( ln ) cos ( ) 1 lím uuur sen 2 (2 + ) 2 n) + 0.ln( ) Mtemátic - Curto Año - 8

9 Ts de Vrición Medi Ts de Vrición Instntáne L ts de vrición medi de un función en un intervlo A.;*B es el cociente: CD;A.;*B *. *. (cociente incrementl) Se define l ts de vrición instntáne de un función en un punto como: CF; GHI es decir: J CD CF; GHI J D;A ; = JB J J (derivd en K ; P R ) Ejemplos de plicción resueltos: 17) Un poblción de 300 bcteris se introduce en un cultivo. Si su número crece según l epresión #6.'>#6 ), siendo t el tiempo en hors. Clculr: ) El número y l ts de crecimiento l cbo de 5 hors. b) El instnte en que l velocidd de crecimiento es de 300 bcteris/hor. ) E? 68 #8.L>#+M OO *.<6"0?.: A ls 5 hors hy proimdmente 1277 bcteris. L ts de crecimiento l cbo de 5 hors es l ts de vrición medi de l función en el intervl [0;5]. CD#;A;8B #8#8 8 b) Puesto que l velocidd de crecimiento pedid corresponde un vrición instntáne, el instnte solicitdo se obtendrá determinndo el vlor de t pr el cul l derivd de l función vle 300. OO 8 & &8, Mtemátic - Curto Año - 9

10 # 6$ % 6 # Ecución de Segundo grdo de solución 6 hor, que es el instnte buscdo. Por tnto, trnscurrid un hor desde su inclusión en el cultivo, ls bcteris se están reproduciendo un velocidd de 300 bcteris/hor. 18) El crecimiento, en centímetros, de un plnt durnte sus primeros ocho dís de vid viene ddo por l función `, que indic l medid de l plnt trnscurridos dís de su ncimiento. ) Cuánto mide l plnt finlizdo el curto dí? Y si h finlizdo el octvo dí? b) Cuál es l ts de crecimiento en esos cutro dís? c) Cuál fue l ts medi de crecimiento en ese período? d) Cree que l funciónn dd puede representr el crecimiento de l plnt lo lrgo de tod su vid? ). <! ` <!. b) TU VUWU XY Z[YZ\]\Y^V_ by `,&`` <!. c) CDA;`B ` ` d) No. Supondrí que,&``,o <!/,í. l plnt crece indefinidmente, pues GHI e, y este comportmiento no es propio de los seres vivos. Este es un ejemplo clro de l importnci que tiene restringir el dominio de un función. 19) El espcio que recorre un coche en los primeros 10 minutos desde que sle de un grje hst que entr en un utopist sigue l ecución "6 6, donde el tiempo viene ddo en minutos y el espcio en kilómetros. ) Cuál es l velociddd medi del coche en estos diez minutos? b) A qué velocidd circul en el momento en que entr en l utopist? Eprésel en km/h. Mtemátic - Curto Año - 10

11 c) Un dí el conductor recibe un mult porque, según el rdr de l policí, en el minuto ocho sobrepsó el límite de 70 km/h eistente en el lugr por donde circulb. Puede recurrir l mult? ) C! "" 8 g! +!?#h6= 8 g!/j b) " " + g!!?#h6= J!/J c) En el minuto 8 circulb " ` estb justificd. g!!?#h6= ` J!/J ; por lo tnto, l mult 20) Se quiere vcir un depósito de gu. Se i6.&6 +6 l función que describe el número de litros que quedn en el depósito l cbo de t minutos de hber comenzdo vcirlo. ) Cuántos litros de gu tiene inicilmente el depósito??, Cuánto tiempo trdrá en vcirse?, Cuál es l función que describe el número de litros que hn slido l cbo de t minutos de hber comenzdo vcirlo? b) Clcul l función derivd de l función Q y su vlor pr t=10 y t=20 minutos. Relcione los resultdos obtenidos con l rpidez con l que se vcí el depósito. ) Inicilmente se consider cundo 6, entonces hy i` >?60=:. El depósito estrá vcío cundo i6, es decir, cundo &+66 y esto sucede los 6!?#h6=:. L función que describe el número de litros que hn slido ser: E`i6.6.6 en el intervl A;B b) i 6.6+ es l función que proporcion l rpidez con l que se vcí el depósito. En 6 6 es: i.+ ` i.+ Lo cul indic que l velocidd de vcido disminuye con el tiempo. Mtemátic - Curto Año - 11