FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS ACADEMIA DE PROBABILIDAD. Semestre:

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1 FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS ACADEMIA DE PROBABILIDAD SERIE TEMA VARIABLES ALEATORIAS Semestre: 7-. Una variable aleatoria discreta X tiene la función de probabilidad f() donde k(9-) si = 5, 6, 7, 8 f()= otro caso a) Determine K b) Encuentre la media y la varianza de X P(X=5) = k (9-5) = k P(X=6) = k(9-6) = k P(X=7) = k(9-7) = k P(X=8) = k(9-8) = k Sabemos que: k = entonces tenemos que: k = / Función de Probabilidad X P (X) / / / / Función de Distribución Acumulada X P(X) F(X) 5 / +/ = / 6 / /+/ =7/ 7 / 7/+/ =9/ 8 / 9/+/ = si 5 si F si si 7 8 si 8 Media µ = (5) (/)+ (6) (/)+ (7) (/) + (8) (/) = 6 Varianza V()= (5 6) (/) + (6-6) (/) + (7-6) (/)+ (8-6) (/) =. Considere un grupo de cinco donadores de sangre potenciales, Adán, Bruno, Carlos, Diego y Eduardo de los cuales sólo Adán y Bruno tienen sangre tipo O+. Se determinará en orden aleatorio el tipo de sangre con cinco muestras, una de cada individuo, hasta que se identifique un individuo O+. Sea la variable aleatoria Y=el número de eámenes de sangre para identificar un individuo O+. a) Hallar la función de masa de probabilidad en forma tabular. b) Hallar el valor esperado de Y. c) Hallar la varianza de Y. a) p()=p(y=)=p(adán o Bruno eaminados primero)=. 5 p()= P(Y=)=P(Carlos, Diego o Eduardo primero, y luego Adán o Bruno)=PCarlos, Diego o Eduardo primero Adán o Bruno a continuación Carlos, Diego o Eduardo primero. 5 p()= P(Y=)=P(Carlos, Diego o Eduardo primero y segundo, y luego Adán o Bruno). 5 p()= P(Y=)=P(Carlos, Diego y Eduardo primero). 5 La función de masa de probabilidad en forma tabular es: y p(y).... SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 7

2 n i b) EX i f i c) E X Var X E X E X 5. Un alumno presenta, sin estudiar, un eamen de opción múltiple, el cual consta de diez reactivos y cinco posibles respuestas por reactivo. Si el número de aciertos es una variable aleatoria, encontrar la función de probabilidad y la probabilidad de acreditar el eamen. Como el alumno no estudió, contestará al azar y no dejará ninguna pregunta sin responder. El número de formas de tener aciertos está dado por C, y el número de formas en que se pueden contestar preguntas incorrectamente es ya que cada pregunta tiene respuestas incorrectas. Y el número total de formas en que se puede contestar el eamen es 5. Por lo tanto la función de probabilidad está dada por: Para encontrar la probabilidad de acreditar el eamen tenemos que calcular: P( 6) P ( 6) % La probabilidad de aprobar el eamen es de.67% La constructora encargada del tramo de la autopista concesionada Tierra Blanca-Tutepec, en el estado de Veracruz, está obligada a garantizar el funcionamiento y mantenimiento de la vía de comunicación a su cargo. Para ello ha contratado un seguro contra daños causados por desastres naturales por una cantidad de mdp (millones de pesos). La aseguradora ha considerado que se tendrá una pérdida del % con una probabilidad de., una pérdida del 5% con una probabilidad de. y una pérdida de 5% con probabilidad de. Cuánto deberá pagar la constructora de prima anual a la aseguradora? 7 P ) 5 ( O bien: P() ,,... otro caso Siendo X la variable aleatoria que representa las pérdidas causadas por desastres naturales en millones de pesos. A partir de los datos del problema se puede generar la siguiente función de probabilidad:.5.5 f() Las pérdidas esperadas son: E X f SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 7 n i i i es el porcentaje de pérdidas esperadas. El seguro cubre $ La prima a cobrar es entonces: *.8 = 8 anuales.

3 5. Sea una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por: X Probabilidad a) Obtener una tabla de distribución de probabilidad de la siguiente variable aleatoria Y X X b) Obtener la media y la varianza de la variable Y SOLUCION: a) Sustituimos los valores de X en la función Y y obtenemos lo siguiente b) YXX Y YX X Y 7 Y X X Y YXX Y Y X X Y Y 7 P(y) EY EY EY E Y EY EY 6.5 Var Y E Y E Y Var Y Var Y Var Y Considere un sistema de agua que fluye a través de las vías o líneas que fluyen desde A hasta B (véase el diagrama). Todas las válvulas,, y funcionan independientemente y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad.8. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de vías abiertas y represéntela gráficamente. Sea X: número de vías abiertas después de haber enviado la señal {,, }, Vk: válvula k abierta {,,, } Lk: línea abierta P(L)= P(V)=.8 P(L )= P(V )= -.8 =. P(L)= P(V y V y V)=(.8) =.5 P(L )= -.5 =.88 P(Vk)=.8 P(Vk )=.8 =. P(X=) = P (L y L ) = (.) (.88) =.976 P(X=) = P (L o L) P(L y L) = P(L) + P(L) P(L) P(L) - P(L) P(L) = (.8) (.5) =.98 SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 7

4 P(X = ) = P(L y L) = P(L) P(L) = (.8)(.5) =.96 P() Una parábola vertical tiene como epresión analítica ( y k) ( h) p En donde el punto (h,k) representa las coordenadas de su vértice, p la longitud de su lado recto y el signo de p define si la parábola abre hacia arriba (+) o hacia abajo (-) De esta forma, su epresión analítica es: si f si otro caso b) Determine su función de probabilidad acumulada. 7. En la gráfica que se muestra a continuación se ilustra una función de probabilidad formada por dos ramas parabólicas; la primera es una parábola vertical que abre hacia arriba, con vértice en el origen; la segunda es una parábola vertical con vértice en el punto (,) y que abre hacia abajo p() a) Obtenga su epresión analítica. b) Determine su función de probabilidad acumulada. c) Cuál es la probabilidad de que sea menor de.8 d) Cuál es la probabilidad de que esté entre.8 y. e) Calcule su media. f) Obtenga su desviación estándar. Ésta se obtiene integrando cada rama. Para la segunda rama hay que integrar de a, pero se requiere sumarle / de área de la rama anterior: F si si si si c) Cuál es la probabilidad de que sea menor de.8 El resultado se puede obtener a partir de F() = F( =.8) F ( = ) = P(<.8)= F(=.8)= (.8) /= d) Cuál es la probabilidad de que esté entre.8 y. a) Obtenga su epresión analítica. SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 7

5 P( 8.. ) F(. ) F( 8. ) P(. 8. ) (. ) ( 8. ) e) Calcule su media E f()d ( )d ( ) d d d d d d segundos. Determinar la probabilidad de que la duración de la carga eceda a su valor esperado. Sea X la variable aleatoria que caracteriza la duración de la carga, en segundos. De acuerdo al enunciado del problema la función de densidad corresponde a la mostrada en la figura, en la que se desconocen los parámetros a y b. De acuerdo con las propiedades de la función de densidad: 6 X f d a d bd ; 576ab Para =, a() =b ; b=a Resolviendo: a=/5 ; b=/5 8. El período de hospitalización, en días, para pacientes que siguen un tratamiento para un cierto tipo de desorden renales una v.a. Y X donde X tiene la siguiente función de densidad f( ) en otro caso Determinar el número promedio de días que una persona está hospitalizada para seguir el tratamiento contra ese desorden ( ) EY EX d8 ( ) Por lo que el promedio es de 8 días. E X f 6 d d d P X X X.5PX d En un eamen de probabilidad el promedio de calificaciones fue de 6 con una desviación estándar de.8, El profesor sospecha que el eamen fue difícil. Qué transformación del tipo a + b debe hacer para que la media sea 7 y la desviación estándar igual a?( es la variable aleatoria que representa las calificaciones del grupo). 9. La función de densidad de la duración de la aplicación de una carga sobre una estructura es proporcional al cuadrado de tal duración hasta los segundos; pero después permanece constante hasta la máima de 6 Se requiere: Ea ( b) 7 Var( a b) SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 7 5

6 Por propiedades de la esperanza y la varianza tenemos: Ea ( b) ae ( ) ba(6) b7 Var a b a Var a ( ) ( ) (.6) Despejando a y b: 5 a b7 a(6) 7 (6) Por lo tanto la transformación buscada es: 5 a b,,, EJERCICIOS SUGERIDOS EN EL TEMA VARIABLES ALEATORIAS. Se Considere la variable aleatoria discreta X cuya función de masa de probabilidad es: k px i, i,,,... i a) Determine el valor de la constante k que hace que la función sea una auténtica función de masa de probabilidad y grafíquela. b) Obtenga la función de distribución acumulada de X y grafíquela. c) Calcule la probabilidad de que X sea mayor o igual que. d) Calcule la probabilidad de que X sea menor que e) Calcule los siguientes parámetros de la distribución: media, mediana, moda, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis. a) / /,,,, / / ; ; b) Obtenga la función de distribución acumulada de X y grafíquela. c) d) e),., 7 9, /, / SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 7 6

7 8/ Por lo tanto la probabilidad de que el tiempo de retardo del empleado eceda su tiempo promedio de retardo semanal es de.5 6/ Se sabe que la cantidad semanal de tiempo, en segundos, que un empleado llega tarde a trabajar es una variable aleatoria X con función de densidad : 5 5 ; 5 5 ; a) Determine el tiempo promedio semanal de retardo del empleado b) Determine la probabilidad de que el tiempo de retardo del empleado eceda su tiempo promedio de retardo semanal. a) Tiempo promedio semanal de retardo= E(X) = 5 = Por lo tanto el tiempo promedio semanal de retardo del empleado es de [s]. b) Prob. de que el tiempo de retardo del empleado eceda el tiempo promedio de retardo semanal = P( X > ) P( X > ) = = 5 =.5 5 SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 7 7