Estadística II Examen Final 19/06/2015 Soluciones. Responda a las preguntas siguientes en los cuadernillos de la Universidad

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1 Estadística II Examen Final 19/06/2015 Soluciones Responda a las preguntas siguientes en los cuadernillos de la Universidad Utilice diferentes cuadernillos para responder a cada uno de los ejercicios Indique claramente en cada cuadernillo su nombre, número de orden en el grupo y grupo reducido de clase 1. (3,5 puntos) La aerolínea FastAir ha lanzado una campaña de publicidad en la que anuncia que sus vuelos en cierta ruta son más puntuales que los de la competencia. Un vuelo se considera puntual si el retraso en la hora de salida no supera los 15 minutos. Una organización de consumidores se propone contrastar dicha afirmación, para lo cual recopila datos de puntualidad en 35 vuelos de FastAir y 50 vuelos de otras aerolíneas, de los cuales fueron puntuales 31 y 36 vuelos, respectivamente. a) (1 punto) Plantea el contraste de hipótesis apropiado, identificando las hipótesis nula y alternativa; indica el estadístico de contraste. b) (0,5 puntos) Determina la región de rechazo del contraste y resuelve el mismo con un nivel de significación del 2%. c) (0,5 puntos) Calcula el p-valor del contraste. d) (0,25 puntos) Determina para qué niveles de significación no se rechaza la hipótesis nula con los datos obtenidos. e) (0,25 puntos) Interpreta los resultados. Qué muestran estos sobre la evidencia disponible y la publicidad de FastAir? f ) (1 punto) Calcula el valor (aproximado) de la potencia del contraste anterior para un nivel de significación del 2 %, si la diferencia (poblacional) entre las proporciones de vuelos puntuales es igual a 0,1. Interpreta tu resultado. Solución. a) Se trata de un contraste para la diferencia entre dos proporciones, con muestras grandes independientes de dos poblaciones. Denotamos por p 1 y p 2 las proporciones de vuelos puntuales de FastAir y de la competencia, respectivamente. El contraste de hipótesis es: H 0 : p 1 p 2 (o también H 0 : p 1 = p 2 ) vs. H 1 : p 1 > p 2. El estadístico de contraste es Z = ˆp 1 ˆp 2 ˆp 0 (1 ˆp 0 ) ( aprox. ) N(0, 1), z = n 2 donde ˆp 0 = ( p 1 + n 2 p 2 )/( + n 2 ) (1 85 )( ) 1,84, b) Se rechaza H 0 si z > z 0,02 2,055 (RR 0,02 = {z z > 2,055}). Por tanto, con los datos obtenidos no se rechaza H 0 con un nivel de significación del 2%. c) El p-valor del contraste vale P {Z > 1,84} 0,0329. d) Con los datos obtenidos no se rechaza la hipótesis nula para niveles de significación α 0,0329. e) Los resultados muestran una evidencia moderada de que los vuelos de FastAir son más puntuales que los de la competencia, como indica su publicidad, ya que, por ejemplo, se rechaza H 0 con un nivel de significación del 4%. Sin embargo, la evidencia en favor de la publicidad de FastAir no es muy fuerte, ya que no podemos rechazar H 0 con un nivel de significación del 3%. f ) El cálculo de la potencia se basa en la relación potencia = P (rechazar H 0 p 1 p 2 = 0, 1). Como la región de rechazo es RR 0,02 = {z z > 2,055}, la potencia vendrá dada por P ˆp 1 ˆp 2 ˆp 0 (1 ˆp 0 ) ( ) > 2,055 p p 2 = 0, 1, n 2

2 pero como bajo p 1 p 2 = 0, 1 se tiene que podemos escribir que potencia = P Y + Y ˆp 1 ˆp 2 0, 1 ˆp 0 (1 ˆp 0 ) ( aprox. ) N(0, 1), n 2 0, 1 ˆp 0 (1 ˆp 0 ) ( ) > 2, n 2 = P (Y > 0,944) = 0,172, = P Y > 2, , 1 (1 85 )( un valor muy reducido de la potencia, debido a que 0, 1 está muy próximo al valor 0 correspondiente a la hipótesis nula. Una solución más correcta (pero posiblemente menos immediata) teniendo en cuenta que p 1 p 2, sería trabajar con Y ˆp 1 ˆp 2 0, 1 ˆp 1(1 ˆp 1) + ˆp2(1 ˆp2) n 2 aprox. N(0, 1), de manera que, usando ˆp 1 = 31/35 = 0,886 y ˆp 2 = 36/50 = 0,72, potencia = P Y 0, 1 + > 2,055 = P Y > 2,055 ˆp 1(1 ˆp 1) + ˆp2(1 ˆp2) n 2 = P (Y > 0,853) = 0,197, ) 0, 1 0,886 0, ,72 0, (2,5 puntos) Se quiere comparar el nivel de dificultad de los exámenes parciales primero (P 1 ) y segundo (P 2 ) de la asignatura Estadística II. Para ello, suponiendo que el nivel de dificultad de cada parcial se refleje en las notas obtenidas por los estudiantes (sea X la variable aleatoria asociada a la nota obtenida en P 1 e Y la variable aleatoria asociada a P 2 ), se han seleccionado al azar 9 estudiantes y se han observado las siguientes notas: Estudiante x y a) (1 punto) Dada la naturaleza de las dos muestras disponibles, plantea el contraste oportuno para evaluar si el nivel de dificultad de P 2 ha sido más bajo que el nivel de dificultad de P 1. Indica los supuestos bajo los que vas a realizar este contraste. Especifica las hipótesis nula y alternativa y soluciona el contraste proporcionando el valor del estadístico adecuado y la forma de la región de rechazo para α = 0,05. b) (1 punto) Ahora suponemos que la muestra de X se ha obtenido de manera independiente respecto a la muestra de Y, y que X e Y siguen distribuciones normales con varianzas conocidas: σx 2 = 2,9 y σy 2 = 3,1, respectivamente. Plantea nuevamente un contraste para evaluar si el nivel de dificultad de P 2 ha sido mas bajo que el nivel de dificultad de P 1. Especifica las hipótesis nula y alternativa, y soluciona el contraste proporcionando el valor del estadístico adecuado y su p-valor. Indica tus conclusiones si α = 0,05. c) (0,5 puntos) Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tus respuestas: 1) Los contrastes de los apartados 2a y 2b siempre llevan a conclusiones diferentes, manteniendo los mismos datos, si el nivel de significación es suficientemente reducido. 2) El contraste del apartado 2a no se puede llevar a cabo a menos que las dos poblaciones sean normales.

3 Solución. a) Dado que las muestras son pareadas, podemos emplear un contraste para la diferencia entre dos medias para muestras pareadas, y construir la tabla de las diferencias D = X Y observadas en la muestra disponible: Estudiante D Como el tamaño de la muestra es reducido, supondremos que D sigue una distribución normal con varianza poblacional desconocida. Nuestras hipótesis nula y alternativa serán H 0 : D 0 0, H 1 : D 0 < 0. El contraste planteado puede estudiarse considerando el estadístico y la región de rechazo (n 1 = 8) T = D s d / n t n 1, RR 0,05 = {t : t < t 8;0,05 } = {t : t < 1,860}. Dados los datos del ejercicio, el valor del estadístico es t = d s d / n = 0,3 0,43/3 = 2,09, y como t = 2,09 RR 0,05, en este caso rechazamos la hipótesis nula. Podemos concluir que los datos contienen suficiente evidencia en favor de que las notas del Parcial 2 hayan sido en promedio más altas que las notas del Parcial 1, y eso implicaría que el nivel de dificultad del Parcial 2 ha sido más bajo que el nivel de dificultad del Parcial 1. b) Dado que ahora las muestras son independientes y las poblaciones normales y con varianzas conocidas, podemos emplear un contraste para la diferencia entre dos medias para dos poblaciones normales con varianzas conocidas y considerar el estadístico X Z = Ȳ N(0, 1). σ 2 X n X + σ2 Y n Y El contraste tendrá las siguientes hipótesis nula y alternativa: Dados los datos del ejercicio, el valor del estadístico es y su p-valor es H 0 : µ X µ Y 0, H 1 : µ X µ Y < 0, x = 6,17, ȳ = 6,47, σ 2 X = 2,9, σ 2 Y = 3,1, n X = n Y = 9, z = x ȳ = σ 2 X n X + σ2 Y n Y 6,17 6,47 2, ,1 9 = 0,37, P (Z 0,37) = P (Z 0,37) = 0,3557. Como el p-valor es mayor que α, no podemos rechazar la hipótesis nula. Podemos concluir que los datos no contienen suficiente evidencia en favor de que las notas del Parcial 2 hayan sido en promedio más altas que las notas del Parcial 1.

4 c) Estas dos afirmaciones son: 1) Falsa. Para niveles de significación muy reducidos tendemos a no rechazar la hipótesis nula en cualquier contraste (a menos que el valor muestral del estadístico coincida exactamente con el valor bajo la hipótesis nula), y por tanto la conclusión tiende a ser la misma en ambos casos. 2) Falsa. Si el tamaño muestral es elevado, el teorema central del límite implica que la distribución de D es aproximadamente normal, y se puede llevar a cabo el contraste basado en esta propiedad. (Otra respuesta posible es que basta con que la diferencia de las dos poblaciones sea normal, para cualquier tamaño muestral.) 3. (4 puntos) Se ha realizado una encuesta de calidad docente en la Universidad a alumnos de la misma para estimar el aumento de interés (I) por una determinada asignatura por parte de los alumnos, en función de la valoración dada a su trabajo personal (T ) por dichos alumnos. Las dos variables se han valorado en una escala (continua) de 1 a 5. Se ha realizado un análisis de regresión con Excel obteniéndose los siguientes valores: I i = 3441,25, T i = 3481,11, Ii 2 = 11292,88, Ti 2 = 11768,99. En base a las tablas anteriores calcule: a) (0,25 puntos) El coeficiente de determinación indicando su interpretación. b) (0,25 puntos) El coeficiente de correlación indicando su interpretación. c) (0,5 puntos) Calcula un intervalo de confianza al 95 % para la pendiente del modelo. d) (0,5 puntos) Qué interés I estimas que tendrá un alumno que valore su trabajo personal como 3,5? Calcula un intervalo de confianza al 95 % asociado a dicha estimación. e) (0,5 puntos) Se podría afirmar que a medida que aumenta el trabajo personal del alumno el interés por la asignatura disminuye en promedio? Contrástalo a un 5 % de significación. Para poder estimar mejor la variable interés del alumno (I) se han añadido a la regresión anterior las siguientes variables explicativas, también valoradas de 1 a 5: Profesor : valoración dada al profesor. Lecturas : valoración de las lecturas repartidas por el profesor. Material : valoración del material repartidas por el profesor. Se ha obtenido la siguiente tabla ANOVA para el modelo multivariante resultante:

5 f ) (0,5 puntos) Calcula un intervalo de confianza al 90 % para el coeficiente de la variable Lecturas en el modelo de regresión múltiple. Basándote en este intervalo, comenta sobre la significación de la variable Lecturas en el modelo múltiple. g) (0,5 puntos) Calcula una estimación de la varianza del error del modelo utilizando un estimador insesgado. h) (1 punto) Responde verdadero o falso a las siguientes cuestiones razonando tu respuesta: Solución. 1) Podemos decir que el modelo de regresión lineal múltiple es globalmente significativo. 2) La variable explicativa Material no es significativa al 1 % de significación. 3) La variable explicativa Profesor tiene un mayor efecto en el interés del alumno por la asignatura que el resto de las variables explicativas. 4) El coeficiente de determinación en este modelo es 0,3865. a) Tenemos que R 2 = SCM SCT = 188,97 368,33 = 0,513, y por tanto podemos explicar el 51,3 % de la variabilidad de la variable Interés del alumno por la asignatura con el valor de la variable Valoración que hace el alumno de su Trabajo Personal. b) Obtenemos ρ = R 2 = 0,513 = 0,716. Se puede decir que existe una correlación lineal entre las variables Interés y Trabajo personal positiva, puesto que la pendiente es positiva, y fuerte, puesto que el valor es mayor que 0,6. c) El intervalo de confianza para β 1 se obtiene aplicando la fórmula [ ] ˆβ 1 t n 2;α/2 s 2 R (n 1)s 2 T ya que T es la variable independiente del modelo. De la tabla ANOVA tenemos que la varianza residual vale s 2 R = 0,1657; de la tabla adjunta también tenemos que ˆβ 1 = 0,5659. De los datos incluidos obtenemos que la varianza de la variable Trabajo personal es ( ) s 2 T = 1 Ti 2 n n 1 T 2 = 0,5469. i Por último, de la tabla de la normal (al ser n elevado) t 1082;0,025 z 0,025 = 1,96. Con todos estos datos obtenemos que d) Dado que el modelo de regresión es obtenemos una predicción puntual para T 0 = 3,5, IC 0,95 (β 1 ) = [0,5331; 0,5987]. Î = 1, ,5659T, I 0 = 1, ,5659 3,5 = 3,3376. El intervalo de confianza pedido vendrá dado por [ ( 3,3376 1,96 0, ) ] (3,5 3,211)2 + = [1,8873; 4,7878] ,5469 e) El contraste a realizar es H 0 : β 1 0 H 1 : β 1 < 0 De la tabla obtenemos el valor de estadístico T 0 = 33,763, y la región de rechazo viene dada por RR α = {t 0 < t n 2;α }. Utilizamos la aproximación de la t de Student (al ser n muy elevado) por la normal t n 2;0,05 z 0,05 = 1,645. No se puede rechazar la hipótesis nula por lo que no se puede afirmar que a medida que aumenta la Valoración del trabajo personal disminuya el Interés del alumno a un 5 % de significación.,

6 f ) De los datos en la tabla, este intervalo tiene la forma IC 0,9 (β 2 ) = [0,053 t 1079;0,05 0,032] = [0,0004; 0,1056]. Como el valor 0 no pertenece al intervalo, la variable es (individualmente) significativa para un nivel de confianza del 10 %. g) El estimador insesgado de la varianza del error es la varianza residual, que de la tabla indicada vale s 2 R = 0,131. h) Para las preguntas Verdadero/Falso tenemos: 1) Verdadero, puesto que el contraste de la tabla ANOVA rechaza que el modelo no sea significativo globalmente, dado el valor del estadístico F = 428,06 y el p-valor asociado, aproximadamente igual a 0 (6, ) 2) Falso, ya que si hacemos el contraste H 0 : β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0 H 1 : algún β j 0 H 0 : β 4 = 0 H 1 : β 4 0 rechazamos la hipótesis nula puesto que el estadístico t 0 = 8,10 y el p-valor del contraste es casi nulo (1, ) así que la variable sí es significativa. 3) Verdadero, porque si miramos los coeficientes de las pendientes parciales observamos que es el mayor coeficiente. Si variamos un punto la valoración del Profesor, la variable Interés del alumno aumenta en 0,385 en promedio, si el resto de las variables explicativas se mantienen constantes. Este el es el mayor valor de los coeficientes estimados. 4) Falso, ya que R 2 = SCM/SCT = 225,95/368,33 = 0,6134