Departamento de Física Aplicada III

Transcripción

1 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Superior de Ingenieros Cmino de los Descubrimientos s/n Sevill Exmen de Cmpos electromgnéticos. 2 o Curso de Ingenierí Industril. 8 de septiembre de 2009 PROBLEMA 1.- Un condensdor cilíndrico de rdio interior y rdio exterior R 2 crgdo con crg se encuentr prcilmente relleno con un cilindro dieléctrico de rdio interior y rdio exterior como muestr l figur. El dieléctrico es linel y no homogéneo. L permitividd reltiv del dieléctrico vrí con l coordend r de cilíndrics de cuerdo con l expresión: ε r = r Se pide clculr: ) Cmpo eléctrico en todos los puntos del interior del condensdor. (0.6 ptos) b) Cpcidd del condensdor. (0.6 ptos) c) Densiddes de crg de polrizción en volumen y en superficie. Crgs de polrizción nets en volumen y en superficie. (0.8 ptos) d) Trbjo que es preciso relizr pr extrer el cilindro dieléctrico del interior del condensdor suponiendo que ls plcs se mntienen islds durnte todo el proceso. (0.5 ptos) Aprtdo ) SOLUCIÓN: Si el condensdor cilíndrico es suficientemente lrgo se pueden desprecir hbitulmente los efectos de borde. Bjo est proximción podemos considerr que solmente existe cmpo eléctrico en l región entre ls plcs del condensdor y que su dirección es purmente rdil (en cilíndrics). Además el cmpo h de depender como mucho únicmente de l coordend rdil: E = E(r) u r. Est simetrí invit utilizr l Ley de Guss pr hllr el cmpo eléctrico. Sin embrgo, en un problem en el que existe un cp dieléctric result más ventjoso plicr l Ley de Guss sobre el vector desplzmiento, y que l crg que prece en l ecución de l Ley de Guss pr éste último es solmente l crg libre ( en este problem), mientrs que pr el cmpo E serí necesrio incluir ls crgs de polrizción, que son un incógnit del problem.

2 Así, plicndo l Ley de Guss sobre un cilindro de ltur L, coxil con el eje z y de rdio r con < r < R 2 tenemos: S g D d S = 2πrLD(r) = (1) De donde D = llegmos : 2πrL u r. Utilizndo hor l relción D = εe, válid pr dieléctricos lineles, D ε r(r)ε 0 = 2πε 0 L u z pr r < E = (2) D ε 0 = 2πrε 0 L u r pr r > Aprtdo b) El hecho de que el dieléctrico no se homogéneo hce imposible clculr l cpcidd como l cpcidd equivlente de dos condensdores en serie, y que es equivlenci se demuestr solmente pr dieléctricos lineles, isótropos y homogéneos. Entonces, pr hllr l cpcidd del condensdor imponemos l condición de que l circulción del cmpo eléctrico entre ls plcs del condensdor debe ser igul l diferenci de potencil entre ls plcs, l que llmremos V : V ( ) V (R 2 ) = V = r=r2 r= E d r = 2πε 0 L dr + R2 dr (3) 2πrε 0 L e integrndo tenemos: De donde: V = C = [ R1 2πε 0 L V = + ln R ] 2. (4) 2πε 0 L 1 + ln R. (5) 2 Aprtdo c) Ls densiddes de crg de polrizción se expresn en función del vector polrizción. Este vector puede obtenerse de un form muy sencill pr un dieléctrico linel en función de E: P = (ε ε 0 ) E. Es decir, el interior de l lámin de dieléctrico es l únic región en l que el vector P es no nulo. Usndo (2) tenemos que P dentro del dieléctrico es: P = r 1 r 2πrL u r. (6) Ls densidd superficil de crgs de polrizción en culquier punto de l superficie de l lámin dieléctric es por definición ρ (P s ) = P ˆn, donde recordemos que ˆn es un vector unitrio perpendiculr l superficie en ese punto y que punt hci fuer del dieléctrico. Esto quiere decir que solmente puede hber densidd de crg de polrizción en l superficie que corresponde r = (donde ˆn = u r ) y en l que corresponde r = (donde ˆn = u r ). Así, obtenemos: ρ (P s ) (r = ) = P (r = ) ( u r ) = 2π L, (7) s (r = ) = P (r = ) ( u r ) = 0. (8)

3 Nótese que l crg de polrizción en l superficie r = es nul. Esto se debe que l permitividd reltiv (ε r = r ) se hce 1 en es superficie y por tnto P (r = ) = 0 y no hy discontinuidd de l componente norml del vector de polrizción. L crg net de polrizción en superficie corresponde por tnto l crg negtiv que hy en l superficie r = : (P ) s = s (r = )ds = 2π L 2πL =. (9) Respecto l densidd de crg de polrizción en volumen tenemos que = P en culquier punto del interior del dieléctrico. Vemos en (6) que el vector P solmente depende de r y por tnto est divergenci puede clculrse con fcilidd usndo l expresión pr l divergenci en cilíndrics: v = 1 r d dr (rp ) = 1 r 2πL. (10) Pr hllr l crg totl de polrizción en volumen, (P v ), lo más cómodo es utilizr el resultdo en (9) junto con el hecho de que l crg net de polrizción debe ser nul: (P s ) + (P v ) = 0 (P v ) = (P s ) =. (11) Alterntivmente, es posible integrr l densidd volumétric de crg de polrizción (10) en el volumen del dieléctrico: (P ) v = ρ (P v ) dτ = 2πL 2πL 1 r rdr =. (12) Aprtdo d) Pr clculr el trbjo mecánico relizdo l efectur un cmbio en un sistem de conductores en equilibrio electrostático podemos plnter el teorem de l energí cinétic: T = W e + W m + W g = 0. (13) Donde W m es el trbjo mecánico relizdo y W e es el trbjo relizdo por ls fuerzs eléctrics, que cumple W e = U e, siendo U e l energí electrostátic del sistem. Por su prte W g es el trbjo relizdo por el generdor, que pr un sistem isldo como éste es nulo. Entonces tenemos W m = W e = U e. Esto es, puede clculrse el trbjo relizdo prtir de l vrición de l energí electrostátic cundo se extre l lámin de dieléctrico. Como sbemos, l energí electrostátic de un condensdor de cpcidd C crgdo con crg es U e = 2 /2C. Entonces tenemos: ( W m = ). (14) 2 C0 C Donde C es l cpcidd del condensdor con el dieléctrico dentro que h sido clculd en (5) y C 0 es l cpcidd del condensdor cilíndrico cundo está vcío: Así podemos sustituir en (14) y obtenemos: W m = C 0 = 2πε 0L ln R 2 2 4πε 0 L [ R1 1 + ln Puede comprobrse que este trbjo es positivo. Esto se debe que pr scr l lámin es preciso ejercer un fuerz en contr de ls fuerzs eléctrics, que tienden introducirl entre ls plcs del condensdor. ] (15)

4 Deprtmento de Físic Aplicd III Escuel Técnic Superior de Ingenieros Cmino de los Descubrimientos s/n Sevill Exmen de Cmpos Electromgnéticos (3 convoctori). 2 o de Industriles. Diciembre-2009 Problem 2.- (2.5 ptos.) Un espir circulr de rdio R trsport un corriente I 1. Sobre el eje perpendiculr lespirquepsporsucentro(ejez en l figur djunt) y un ltur h se encuentr otr espir (espir 2) circulr de rdio R recorrid por un corriente I 2 y cuyo eje de simetríformunángulo α con el eje z. Se pide clculr: () Cmpo mgnético credo por l primer espir en culquier punto del eje z. (0.7 ptos.) (b) Energí de intercción de l espir 2 con el cmpo mgnético credo por l espir 1. (0.5 ptos.) (c) Fuerz y momento de fuerzs que el cmpo mgnético credo por l espir 1 ejerce sobre l espir 2. (0.8 ptos.) (d) Coeficiente de inducción mutu. (0.5 ptos.) Not: Ddo que l espir 2 es muy pequeñ puede suponerse como buen proximción que el cmpo mgnético que cre l espir 1 es prácticmente uniforme sobre l espir 2 e igul su vlor en el eje. Aprtdo () SOLUCIÓN Aplicmos l fórmul del cmpo producido por corrientes filiformes: B( r) = μ 0I d r 1 ( r r 1) 4π r r 1 3, γ donde γ represent l espir de rdio R, I = I 1 y, usndo coordends cilíndrics, identificmos r = z u z (pr puntos en el eje), r 1 = R u r (φ 1 )yd r 1 = Rdφ 1 u φ (φ 1 ). Por tnto, r r 1 =(R 2 + z 2 ) 1/2.Elángulo φ 1 es el vlor que tom l coordend ngulr de cilíndrics pr puntos-fuente, es decir, puntos donde están situdos los elementos de corriente. Est será nuestr vrible de integrción, que recorre el intervlo 0 <φ 1 < 2π. L integrl qued B(z) = μ 0 I 1 R 2π 4π(R 2 + z 2 ) 3/2 dφ 1 u φ (φ 1 ) [z u z R u r (φ 1 )] = 0 μ 0 I 1 R 2π 4π(R 2 + z 2 ) 3/2 dφ 1 [z u r (φ 1 )+R u z ]. 0

5 De los dos términos del corchete, el primero es nulo, lo cul es fácil ver por simetrí (puesto que estmos integrndo el vector u r, que punt de igul form en tods ls direcciones del plno) o bien recordndo que u r (φ 1 )=cosφ 1 u x +senφ 1 u y y que l integrl de funciones sinusoidles en nuestro intervlo de integrción es nulo. ued entonces sólo el segundo término del corchete, que d lugr l resultdo Aprtdo (b) B 1 (z) = μ 0 I 1 R 2 2(R 2 + z 2 ) 3/2 u z. L energí de intercción de l espir pequeñ en el cmpo credo por l grnde se obtiene de l fórmul U m = m B 1, donde m es el momento dipolr mgnético de l espir pequeñ, es decir, m = I 2 S2 = I 2 πr 2 n, con n un vector unitrio perpendiculr l plno que contiene l espir y orientdo según l regl de l mno derech respecto del sentido de circulción de l corriente. Este vector form un ángulo α con el eje OZ. Sustituyendo el cmpo obtenido en el prtdo nterior pr un ltur z = h qued U m = I 2 πr 2 μ 0 I 1 R 2 2(R 2 + h 2 cos α. ) 3/2 Aprtdo (c) L fuerz sobre l espir puede ser clculd prtir del grdiente de l energí de intercción con signo cmbido: [ ] F = U μ0 πi 1 I 2 R 2 R 2 m = u z z 2(R 2 + z 2 cos α = 3μ 0πI 1 I 2 R 2 R 2 h ) 3/2 2(R 2 + h 2 ) 5/2 cos α u z. z=h Se trt de un fuerz trctiv si α<π/2 y repulsiv en cso contrrio. Pr α = π/2 nohyfuerz. El momento de l fuerz se clcul medinte l fórmul M = m B,con B = B 1. Por tnto, M = m B 1 n u z = I 2 πr 2 μ 0 I 1 R 2 2(R 2 + h 2 ) 3/2 senα u φ(α). Hemos usdo un descomposición del vector n en cilíndrics, es decir, n =cosα u z +senα u r (α), pr expresr el producto vectoril que prece en el cálculo. Aprtdo (d) Por último, el coeficiente de inducción mutu se obtiene prtir de l interpretción como flujo mgnético producido por l espir myor trvés de l menor, dividido por l intensidd que recorre l espir myor: L 21 = Φ 21 = 1 I 1 I 1 S 2 B1 ds = πr 2 B 1 (h)cosα = πr 2 μ 0 R 2 I 1 2(R 2 + h 2 cos α. ) 3/2 Hemos hecho l proximción recomendd en el enuncido, según l cul el cmpo trvés de l espir se puede considerr uniforme y de vlor igul l que tom en el eje.