Asignatura: PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y MÉTODOS INFORMÁTICOS Asgtur: PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS Tem: INTEGRACIÓN NUMÉRICA Prof. Crlos Code Lázro Prof. Arturo Hdlgo López Prof. Alfredo López Beto Mrzo, 7

2 ÍNDICE Pág.. INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN.. GENERALIDADES SOBRE LAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPO- LATORIO EXPRESIONES DEL ERROR DE LAS FÓRMULAS DE INTEGRA- CIÓN NUMÉRICA ALGUNAS FÓRMULAS DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPOLATORIO USUALES PARA APROXIMAR PRIME- RAS DERIVADAS Fórmuls co dos putos de soporte Csos prtculres Fórmuls co tres putos de soporte Csos prtculres co soporte equdstte OTROS MÉTODOS PARA LA OBTENCIÓN DE FÓRMULAS DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPOLATORIO Medte l comcó de desrrollos e sere de Tylor Método de coefcetes determdos FÓRMULAS DE DERIVACIÓN NUMÉRICA DE TIPO INTERPO- LATORIO PARA LA APROXIMACIÓN DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Otecó de fórmuls de dervcó de tpo terpoltoro medte el método de los coefcetes determdos MEJORA DE LA PRECISIÓN DE LAS FÓRMULAS DE DERIVA- CIÓN NUMÉRICA. MÉTODO DE EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDASON. 67 BIBLIOGRAFÍA SOBRE EL TEMA... 74

3 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc. Itroduccó y motvcó Nos cetrmos e este tem e el estudo de fórmuls que os permt oteer u vlor proxmdo de l tegrl defd de u fucó rel de u vrle e u tervlo (, ). Como y se cometó e l troduccó hstórc que se hzo l tem dedcdo l terpolcó polómc, el orge de ests fórmuls puede ucrse e los orígees del cálculo dferecl e tegrl que tuvo lugr e el sglo XVII. Así, de form álog lo que y señlmos respecto l dervcó umérc, l prcpl de que suyce e ls téccs de tegrcó umérc está muy vculd l terpolcó y se podrí resumr e lo sguete: S de u fucó f(x) se cooce sus vlores e u determdo soporte de putos, puede proxmrse l fucó f(x) por otr fucó p(x) que l terpole e dcho soporte y, como cosecuec, susttur el vlor f(x) dx por el vlor p(x) dx. Est de t smple puede proporcoros u vlor proxmdo de l tegrl uscd. No ostte el vlor excto podrá ser dferete del sí clculdo por lo que tmé covedrá lzr co detlle el error cometdo. Etre ls dstts téccs de terpolcó exstetes os cetrremos e ls téccs de terpolcó polómc de Lgrge prtr de ls cules otedremos ls fórmuls de tegrcó umérc ojeto de este tem. No ostte covee dcr que pr otrs téccs de terpolcó podrí dseñrse otrs fórmuls de tegrcó umérc sguedo u cmo álogo l que desrrollremos e prtdos posterores. Covee demás teer presete el sgfcdo geométrco de l tegrl defd. E este setdo recodemos que el vlor de f(x) dx puede terpretrse como el áre que se ecerr etre el grfo de f(x) y el eje de scss e el trmo (, ) sgádose vlor postvo l áre ecerrd por l prte del grfo correspodete vlores postvos de f(x) y vlor egtvo l ecerrd por l prte del grfo correspodete vlores de f(x) egtvos.

4 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López f(x) f(x) dx U de ls prmers fórmuls que os permte proxmr u tegrl defd cosste e proxmr el áre que ecerr el grfo de u fucó por el áre de u rectágulo que teg como se el segmeto (, ) y por ltur el vlor de f(x) e lgú puto x* de [, ] lo que os coduce que ( ) f(x) dx f x * ( ). Surge sí de mer tutv dferetes fórmuls umércs co u soporte de u puto (el puto x*). Etre ells, ls más populres so ls coocds co el omre de fórmul del puto medo (cudo se tom x* = (+)/), l formul del rectágulo soportdo e el extremo zquerdo del tervlo (cudo se tom x* = ) o l fórmul del rectágulo soportdo e el extremo derecho del tervlo (cudo se tom x* = ). L fgur sguete lustr el áre evlud s se utlz l fórmul del puto medo. f(x) (+)/

5 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Utlzr u úco puto del soporte puede ser lo más smple pero o sepre es lo más precso. L mejor de l precsó mplc el cremeto del úmero de putos e el soporte pudedo etoces optrse por dos cmos: l tegrcó de u polomo terpoldor de myor grdo (lo que d lugr fórmuls de tegrcó umérc de myor orde que se cooce co el omre de fórmuls smples) o l sudvsó del segmeto (, ) e dferetes sudomos de tegrcó usdo e cd uo de elos u úmero de putos de tegrcó reltvmete jo (lo que d lugr ls fórmuls de tegrcó umérc compuests). De mos tpos de fórmuls os ocupremos co detlle más delte pero por el mometo lustrmos l de de ls fórmuls de tegrcó smples co l fórmul coocd co el omre de fórmul del trpeco que utlz dos putos de soporte (x = y x = ) y susttuye el áre ecerrd por f(x) e (, ) por el áre del trpeco dujdo e l fgur f() + f() sguete, es decr f(x) dx ( ) : f(x) Asmsmo lustrmos l de de ls fórmuls de tegrcó compuests co l fórmul coocd co el omre de fórmul del puto medo compuest que utlz dos putos de soporte (x = y x = ) y susttuye el áre ecerrd por f(x) e (, ) por el áre de los dos rectágulos dujdos e l fgur sguete: 3

6 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López f(x) (3+)/4 (+)/ (+3)/4 De est mer los putos de soporte usdos so x = oteédose como fórmul de tegrcó umérc: 3 + y x + 3 = ( ) ( ) f(x ) + f(x ) f(x) dx f(x ) + f(x ) = ( ) Ejemplos: º) Pr l fucó f(x) = x se tee que: x dx =. L fórmul del puto medo plcd l cálculo de est tegrl os proporco el vlor: Vpmed = f(/ ) ( ) = es decr, el vlor excto de l tegrl. L msm tegrl evlud por lgu de ls fórmuls del rectágulo se proxmrí por: Co soporte e el extremo zquerdo: V = = rect f() ( ) Co soporte e el extremo derecho : V = = rect+ f() ( ) cometédose e mos csos u error de tegrcó umérc. 4

7 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc º) Pr l fucó f(x) = x se tee que: x dx=. L fórmul del puto 3 medo plcd l cálculo de est tegrl os proporco el vlor: Vpmed = f(/ ) ( ) = 4 que dfere del vlor excto. L msm tegrl evlud por lgu de ls fórmuls del rectágulo se proxmrí por: Co soporte e el extremo zquerdo: V = = rect f() ( ) Co soporte e el extremo derecho : V = = rect+ f() ( ) cometédose e mos csos u error de tegrcó umérc. L fórmul del trpeco os proporco el vlor: f() + f() V trp = ( ) = cometédose tmé u error de tegrcó. Por últmo, l fórmul del puto medo compuest os coduce : f(/4) + f(3/4) V pmed _ c = ( ) = 3 que tmpoco os proporco el vlor correcto de l tegrl (uque, etre los hlldos, es el vlor más próxmo l correcto). Ce dstgur, l meos, dos fuetes de error e ls téccs de dervcó umérc. L prmer de ells, que se desg htulmete como error del método o error de tructur, es ded susttur l expresó exct de l tegrl ( trvés del cálculo del límte de ls sums de Rem) por u fórmul e l que se com vlores de l fucó e u úmero fto de putos. L segud fuete de error es ded los errores de redodeo que se comete e ls opercoes que cotemple l fórmul umérc. E este tem tmé os ocupremos de lzr l prmer de ls fuetes de error remtedo l prmero de los tems de est sgtur l lector que esté teresdo e el álss de los errores de redodeo. 5

8 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López. Geerlddes sore ls fórmuls de tegrcó umérc Se f(x) u fucó defd e u certo tervlo (, ) de l rect rel. Cosderemos demás u soporte de (+) putos {x, x,..., x } e el que se supoe coocdos los vlores de l fucó f(x). Por smplcdd supodremos demás, e todo cuto sgue, que los putos del soporte so todos ellos dsttos y está ordedos de meor myor es decr que: x < x <... < x. Defcó.. Sedo f(x) u fucó de l que se cooce sus vlores e el soporte de (+) putos {x, x,..., x }, se deom fórmul de tegrcó umérc pr proxmr el vlor de l tegrl de f(x) e el tervlo (, ) de putos cosderdo, tod expresó de l form: f(x) dx = c.f(x ) + c.f(x )+. + c.f(x ) = = c.f(x) dode c, c,, c so (+) esclres deomdos coefcetes (o pesos) de l fórmul de dervcó NOTA: L fórmul de tegrcó que se c de defr puede decrse que es u fórmul de lgrg pues e ell sólo tervee vlores de l fucó f e los putos del soporte. Podrí cosderrse fórmuls más geerles, hermts, e ls que el vlor de l tegrl fuese otedo prtr del vlor de l fucó f y de lgus de sus dervds e los putos del soporte. No ostte, ests últms fórmuls tee u uso mucho meos frecuete que ls de tpo lgrgo y es por ello que e este tem os lmtremos cosderr como fórmuls de tegrcó umérc t sólo ls que hce terver los vlores de l fucó e los putos del soporte. E geerl el vlor excto de l tegrl y el vlor proxmdo dferrá, cometédose u error u e el cso de que se operse s troducr errores de redodeo e los cálculos. Es por ello que juto l defcó de u fórmul umérc covee precsr de form rguros l defcó del error que co ell se comete. E este setdo se troduce l sguete defcó: Auque, pr mejorr l precsó de los cálculos, frecuetemete los putos del soporte se tom e el tervlo (, ) o es ecesro que sí suced. 6

9 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Defcó.. Sedo V l proxmcó del vlor de f(x) dx que se otee operdo s error de redodeo segú l fórmul de tegrcó umérc: f (x*) f ' * = f(x) dx V c.f(x ) = se deom error de trucmeto de l fórmul e el tervlo (,) l vlor R f ((,)) = f(x) dx V Segú est defcó que se c de dr, es ovo que se verfc: = f(x) dx = V + R ((,)) f E el álss del error de trucmeto de ls fórmuls de dervcó umérc se persegurá ecotrr cots del vlor de este error de tegrcó umérc R f ((,)) válds pr culquer tervlo de tegrcó (, ). Ejemplo: Sedo {x, x } u soporte formdo por los dos putos x = y x =, y deotdo por h l logtud del tervlo (, ), h =, l fórmul del trpeco troducd e el prtdo teror se puede escrr como: h f(x) dx V = (f() + f()) que es u fórmul e l que sus coefcetes so c = (h/) y c = (h/). S se desg por F(x) u prmtv de f(x) co lo que: f(x) dx = F() F() U form de cotr el error de trucmeto de est fórmul, s se supoe que F(x) es l meos de clse C 3 ((, )), (es decr que f(x) se supoe, l meos, de clse C ((, )) ) cosste e cosderr el desrrollo de Tylor sguete: h F() = F(+h) = F() + h.f () +.F "( + θ.h) θ (,) de dode: 3 h h F() F() = h F'() + F"() +.F'''( +θ.h) θ (,) 6 que, como F (x) = f(x) y F (x) = f (x), se puede escrr e l form: 7

10 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 3 h h f(x) dx = F() F() = h f() + f '() + f '( +θ.h) 6 θ (,) Por otr prte, l verfcrse que: f() = f(+h) = f() + h f () +(h /) f (+µ h) µ (,) se tee que: h h h V = (f() + f()) = (f() + f() + h f'() + f"( +µ h)) = 3 h h = h f() + f '() + f "( +µ h) µ (,) 4 Por tto: h = 3 R f ((,)) f(x) dx V =.( 4 f "( +θ.h) 6 f "( +µ.h)) θµ, (,) 4 Ls fórmuls de tegrcó umérc suele dseñrse de form que se excts pr determdos tpos de fucoes, es decr pr que l plcrls l estmcó de ls tegrles de tles fucoes, depedetemete del tervlo de tegrcó (, ) que se cosdere, se oteg el vlor excto de l tegrl sedo ulo el error de tructur que l fórmul troduce. Más cocretmete puede drse l defcó sguete: Defcó.3. Se dce que l fórmul de tegrcó umérc: f(x) dx V c.f(x ) = = es exct de orde k pr l fml de fucoes ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (x),... cudo es ulo el error de tructur cometdo l { } k plcr l fórmul pr l estmcó de l tegrl de culquer de ls (k+) prmers fucoes de l fml y e culquer tervlo de tegrcó (, ), es decr: R ϕ ((,)) =, R k Propedd.. S l fórmul de tegrcó umérc = = de orde k pr l fml de fucoes { ϕ ϕ ϕ } f(x) dx V c.f(x ) es exct (x), (x),..., (x),... etoces k es exct pr culquer comcó lel de ls (k+) prmers fucoes de l fml 8

11 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Demostrcó: S l fórmul es exct de orde k pr l fml de fucoes ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (x),... se podrá escrr que: { } k ϕ (x) dx = c. ϕ(x ), R j j = Por otr prte, u fucó culquer que se comcó lel de ls (k+) prmers fucoes de l fml será de l form: f(x) =α ϕ (x) +α ϕ (x) α ϕ (x) = α ϕ (x) k k j j j= por lo que su tegrl sore culquer tervlo (, ) se puede expresr como: k k f(x) dx = αj ϕ j(x) dx = αj c ϕ j(x ) = j= j= = = k α ϕ = c j j(x ) c f(x ) = j= = y puesto que l plccó de l fórmul de tegrcó umérc l fucó f(x) e culquer puto x coduce que: puede coclurse que: f(x) dx V c.f(x ) = = R (x) =, R f k Esto demuestr que l fórmul es exct pr culquer fucó f(x) que se comcó lel de ls (k+) prmers fucoes de l fml de fucoes cosderd. c.q.d. Ls fórmuls de tegrcó umérc más utlzds e l práctc so excts, de lgú orde k, pr l fml de fucoes formd por los moomos, es decr: {, x, x,...,x k,...}. E este tem os referremos e exclusv est fml de fucoes y por ello cudo dgmos que u fórmul es de orde k se soreetederá que es de orde k pr l fml de los moomos, es decr que permte estmr s error lguo l tegrl de culquer fucó polómc de grdo meor o gul que k extedd culquer tervlo (, ). 9

12 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Ejemplo: ( ) f(x) = proporco el vlor excto de l tegrl y que: L fórmul del trpeco: f(x) dx V = ( f() + f() ) plcd l moomo ( ) ( ) = dx = V = ( + ) = ( ) Asmsmo pr l fucó p(x) = x se tee que: ( ) ( ) ( ) = x dx = V = ( + ) = Pero pr l fucó q(x) = x, e geerl, y o cocdrá el vlor de l tegrl e (, ) co el vlor estmdo medte l fórmul del trpeco y que: y: 3 3 ( ) x dx= 3 ( ) V = + ( ) por lo que, slvo que =, V x dx. E cosecuec, como se señló terormete, l fórmul es de orde permtedo tegrr s error culquer polomo de grdo meor o gul que.

13 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc 3. Fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro. Ls fórmuls más utlzds e l práctc se usc de form tl que se excts pr polomos de grdo meor o gul que, es decr de orde. U mer turl de costrur fórmuls excts de orde cosste e recordr que el polomo terpoldor de Lgrge, p (x), sore u soporte de (+) putos de u fucó f(x) que se polómc de grdo meor o gul que cocde co dch fucó. Por ello es equvlete dervr el polomo f(x) que dervr su polomo terpoldor p (x). A tods ls fórmuls de dervcó que se otee dervdo l expresó del polomo terpoldor de Lgrge se ls deom fórmuls de dervcó de tpo terpoltoro. Más cocretmete: Defcó 3.. Se deom fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro (de Lgrge) pr proxmr el vlor de f(x) dx culquer fórmul oted tegrdo e (, ) l expresó del polomo terpoldor de Lgrge costrudo sore u soporte de putos dsttos. NOTA: Osérvese que e l defcó teror se h escrto etre prétess de Lgrge. E efecto podrí pesrse e tegrr tmé l expresó del polomo terpoldor de Hermte oteédose otros tpos de fórmuls de tegrcó de tpo terpoltoro. Puesto que osotros sólo os vmos referr ls fórmuls que se otee l tegrr l expresó del polomo terpoldor de Lgrge omtremos e lo sucesvo l coletll de Lgrge y smplemete dremos fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro. U fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro puede ferrse de culquer de ls expresoes del polomo terpoldor pues recuérdese que el polomo terpoldor de Lgrge de u fucó sore u soporte de (+) putos es úco. Utlzdo l fórmul de Lgrge puede deducrse l expresó de los pesos que tervee e ls fórmul de tegrcó de tpo terpoltoro. E efecto, se verfc l sguete propedd: Cosúltese, por ejemplo, el tem dedcdo l Iterpolcó de Lgrge elordo por A. Hdlgo y C. Code e los putes de est msm sgtur.

14 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Propedd 3.. L codcó ecesr y sufcete pr que l fórmul de tegrcó umérc f(x) dx V c.f(x ) se de tpo terpoltoro es que sus = = coefcetes stsfg ls sguetes gulddes: c = L (x) dx ( =,,..., ) dode se h deotdo por L (x) los (+) polomos de se de Lgrge 3 sore el soporte {x, x,..., x }. Demostrcó: ) Demostremos e prmer lugr que s l fórmul es de tpo terpoltoro etoces sus coefcetes stsfce ls gulddes dds e el eucdo. Pr ello se tee que l expresó detlld del polomo terpoldor de Lgrge p (x) de u fucó f(x) sore el soporte de (+) putos {x, x,..., x } e fucó de los (+) polomos de se de Lgrge { L(x) = es: f(x) p (x) = f(x ) L (x) = } de dode, e culquer tervlo de tegrcó (, ) puede cosderrse l proxmcó: f(x) dx p (x) dx = L (x) dx f(x ) = Est fórmul es u fórmul de dervcó umérc e l que los coefcetes de l fórmul está ddos por l expresó: c = L (x) dx ) Demostremos hor que s los coefcetes de l fórmul de tegrcó f(x) dx V = c.f(x ) stsfce ls gulddes c = = L (x) dx ( =,.., ), etoces l fórmul es de tpo terpoltoro. E efecto, cosderdo que el polomo terpoldor de Lgrge de f(x) e el soporte {x,..., x } se puede 3 Recuérdese que: L (x) = (x x j) (x x j) j= j= j j ( =,,..., )

15 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc expresr como: p (x) = = f(x ) L (x) se tee que s los coefcetes verfc ls gulddes cotemplds e el eucdo: f(x) dx V = c f(x ) = L (x) dx f(x ) = f(x ) L (x) dx = = = = = f(x ) L (x) dx = = p (x) dx lo que demuestr que el vlor proxmdo se puede oteer tegrdo el polomo terpoldor de f(x) y que por tto l fórmul es de tpo terpoltoro. c.q.d. L propedd teror, que crcterz ls fórmuls de tpo terpoltoro, os permte oteer otrs gulddes que dee stsfcer los coefcetes de ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro. Por ejemplo se tee que: Propedd 3.. E tod fórmul de dervcó umérc de tpo terpoltoro f(x) dx V c.f(x ) se verfc que: = = = c = ( ) Demostrcó: Puesto que segú ls propeddes de los polomos de se de Lgrge se L(x) = x = verfc que:, es ovo que e ls fórmuls de tpo terpoltoro: c = L(x) dx = L (x) dx = dx = = = = c.q.d. Ocupémoos hor de lzr el orde de excttud de ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro. Deotdo por ε (x) l fucó error de terpolcó cometdo l proxmr f(x) por su polomo terpoldor de Lgrge p (x) sore el soporte de (+) putos cosderdo, se verfc que: f(x) = p (x) + ε (x) x (,) 3

16 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López por lo que: ( ) f(x) dx = p (x) +ε (x) dx = p (x) dx + ε(x) dx lo que os coduce poder expresr el error de l fórmul de tegrcó umérc medte: R ((,)) = ε(x) dx f E el cso prtculr e que f(x) se u polomo de grdo meor o gul que se verfcrá que f(x) p (x) y por tto ε (x) = x, resultdo que l fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro costrud sore u soporte de (+) putos es exct pr culquer polomo de grdo meor o gul que. E resume, l meos, es exct de orde. Este hecho os permte clur ls fórmuls de tegrcó umércs de tpo terpoltoro costruds sore u soporte de (+) putos e el cojuto de fórmuls de tegrcó excts de orde. Pero ú puede precsrse más puesto que demás tod fórmul exct de orde costrud sore u soporte de (+) putos dee ser ecesrmete de tpo terpoltoro. Este hecho se demuestr e el sguete teorem. Teorem 3.. L codcó ecesr y sufcete pr que u fórmul de tegrcó umérc costrud sore u soporte de (+) putos, f(x) dx V c.f(x ), se exct de orde es que se de tpo = terpoltoro. = Demostrcó: ) Demostremos e prmer lugr que l codcó recogd e el eucdo del teorem es sufcete, es decr que s l fórmul costrud sore el soporte de (+) putos es de tpo terpoltoro etoces es exct de orde. Pr ello st co recptulr los rzometos terormete relzdos. E efecto, s f(x) es u fucó polómc, de grdo meor o gul que, su polomo terpoldor de Lgrge sore el soporte de (+) putos cocde co l fucó y por tto: f(x) = p (x) x 4

17 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc por lo que f(x) dx = p(x) dx, R. Ello demuestr que l fórmul es exct se cul se el polomo f(x) de grdo meor o gul que l que se plque. E prtculr lo será cudo se plque los (+) prmeros moomos {, x,..., x } y por ello será exct de grdo. ) Demostremos hor que l codcó teror tmé es ecesr, es decr que s l fórmul es exct de orde etoces tmé es de tpo terpoltoro. Pr ello prtmos del hecho de que, l ser l fórmul exct de orde, pr culquer fucó polómc de grdo meor o gul que, p(x), se dee verfcr que: p(x) = c.p(x ) = Por otr prte, puesto que hemos cosderdo que p(x) es u polomo de grdo meor o gul que, se verfcrá que el polomo terpoldor de p(x) e el soporte de (+) putos cocdrá co p(x) y por tto p(x) se puede expresr como: p(x) = p(x ).L (x) de dode su tegrl e (, ) estrá dd por: p(x) dx = L (x) dx p(x ) = = Idetfcdo ls dos expresoes de l tegrl de p(x) e (, ) se tee que: c p(x ) = L (x) dx p(x ) = = Est guldd dee ser stsfech pr culquer polomo p(x) que se de grdo meor o gul que. Por tto deerá verfcrse tmé e el cso de que cosderemos como p(x) culquer de los (+) polomos de se de Lgrge costrudos sore el soporte { x } =. Recordemos demás que los polomos de se de Lgrge verfc: s j L(x) j = s =j 5

18 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Por tto, prtculrzdo l guldd tes oted pr L (x) se tee que: = c.l(x) = L(x) dx.l(x) c L(x) dx = = Al hcerlo pr el polomo L (x) resultrá que: = = c.l(x) L(x) dx.l(x) c L(x) dx = = Y e geerl l prtculrzr pr culquer polomo de se L j (x) otedremos que: = = c.l(x) j L(x) dx.l(x) j cj L(x) dx j = = c.q.d. Ejemplos: º) S se cosder u soporte formdo por los tres putos {x = x = (+)/, x = } el polomo terpoldor de u fucó f(x) e dcho soporte será (utlzdo l fórmul de Newto): p (x) = f()+ f[,(+)/] (x-)+ f[,(+)/, ] (x-) (x-(+)/) L fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro sore el soporte cosderdo estrá dd por: f(x ) f() ( ) f(x) dx V = p (x) dx = f() ( ) + + ( ) f() f(x ) + f() + (x ) (x x ) dx ( ) Est últm tegrl puede clculrse fáclmete por prtes: (x ) (x ) (x ) (x x ) dx = (x x ) dx = 3 3 ( ) ( ) ( ) ( x ) = 6 6 Co ello, flmete result: ( ) + f(x) dx V = p (x) dx = f() + 4 f + f() 6 6

19 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Est fórmul, coocd co el omre de fórmul de Smpso, equvle tegrr e el tervlo (, ) l práol que ps por los putos (, f()), ((+)/, f((+)/) ) y (, f()). L fgur sguete recoge, juto l grfo de l fucó f(x) el grfo del polomo de segudo grdo, p (x) que terpol f(x). f(x) p (x) (+)/ Iterpretcó gráfc de l fórmul de Smpso Ovmete est fórmul permtrá tegrr s error guo fucoes polómcs de grdo meor o gul que (y que el polomo terpoldor de Lgrge de culquer fucó polómc de grdo meor o gul que es l prop fucó). Luego, l meos es u fórmul exct de orde. Como veremos más delte l fórmul de Smpso es de u orde de excttud myor que el que se c de señlr (es decr, tmé permtrá tegrr s error guo fucoes polómcs de grdo 3). 7

20 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 4. Relcó etre el orde de excttud y l poscó de los putos del soporte e ls fórmuls de tpo terpoltoro Segú se h demostrdo e el prtdo teror tod fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro costrud sore u soporte de (+) putos es, l meos, exct de orde. Pero s los putos del soporte o se elge de form rtrr y se uc e poscoes predetermds es posle umetr el orde de excttud de l fórmul de tegrcó umérc. E este setdo, el teorem sguete permte relcor l poscó de los putos del soporte co el orde de excttud de ls fórmuls de tpo terpoltoro. Teorem 4. U codcó ecesr y sufcete pr que l fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro: (+q) es que se verfque ls q gulddes: j= f(x) dx V c f(x ) se exct de orde = = k x (x x) dx= (k =,.., q-) j Demostrcó: ) Demostremos que l codcó dd es ecesr, es decr que s l fórmul es exct de orde (+q) etoces se verfc ls q gulddes dds e el eucdo. E prmer lugr oservemos que l ser l fórmul exct de orde (+q) será exct pr todo polomo de grdo meor o gul que (+q) y, e prtculr pr los de grdo meor o gul que. Ello, e vrtud del teorem XX, mplc que l fórmul es de tpo terpoltoro. Por otr prte es ovo que pr culquer vlor etero o egtvo del ídce k feror o gul (q-), ls fucoes j= k x (x x ) so fucoes polómcs de grdo meor o gul (+q). Por tto, l her supuesto que l fórmul es de orde (+q) se podrá clculr sus tegrles s error usdo l fórmul cosderd. Es decr: j k k j j j= = j= k / k (q ): x (x x ) dx = c x (x x ) = lo cul demuestr que ls q codcoes se verfc. 8

21 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc ) Demostremos hor que ls q codcoes dds so tmé sufcetes, es decr que s ests codcoes se verfc etoces l fórmul de tpo terpoltoro es de orde (+q). Pr ello oservemos que l ser u fórmul de tpo terpoltoro y estr costrud sore u soporte de (+) putos será exct pr todo polomo de grdo meor o gul que. E prtculr lo será pr los (+) polomos de se de Lgrge socdos l soporte {x,..., x } que deotremos por L (x), L (x),..., L (x). Estos polomos, l ser u se del espco de polomos de grdo meor o gul que, form u cojuto de polomos lelmete depedetes. Recordemos demás que e ls fórmuls de tpo terpoltoro se verfc que sus coefcetes c respode l expresó: c = L (x) dx ( =,...,) Por otr prte deotemos por ϕ k (x) (k =,.., q-) los q polomos ddos por: j= k ϕ (x) = x (x x ) k Es evdete que ϕ k (x) es u polomo de grdo (+k+), por lo que estos q polomos so lelmete depedetes etre sí y demás tmé so lelmete depedetes de { L (x), L (x),..., L (x) }. j E resume el cojuto { L (x), L (x),..., L (x), ϕ (x),..., ϕ q- (x)} es u cojuto de (+q+) polomos lelmete depedetes de grdo meor o gul que (+q). Por tto es u se del espco P +q formdo por todos los polomos de grdo meor o gul (+q). Ello mplc que culquer polomo p(x) de P +q puede expresrse de mer úc e l form: por lo que: q k k = k= p(x) = α L (x) + β ϕ (x) q p P : p(x) dx = α L (x) dx + β ϕ (x) dx E est expresó ls tegrles ϕ + q k k = k= k (x) dx so uls por l hpótess de l que hemos prtdo. Y como c = L (x) dx ( =,...,) result que: 9

22 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López + q = p P : p(x) dx = c α Por últmo oservemos que s culquer puto del soporte que: q k k = k= p(x) = α L (x) + β ϕ (x) se verfc pr q j j k k j j = k= p(x ) = α L (x ) + β ϕ (x ) =α (j =,...,) lo que os permte escrr que: + q = = p P : p(x) dx c p(x ) y por tto coclur que l fórmul es exct de orde (+q). c.q.d. Ejemplos: º. S se utlz u soporte de u úco puto x l fórmul de tpo terpoltoro correspodete respode l expresó: f(x) dx f(x ) ( ) Est fórmul, se cul se l eleccó que se hg de x, sempre será, l meos, de orde de excttud (es decr permte evlur s error ls tegrles de los polomos de grdo ls fucoes que tom el msmo vlor e tods ls scss de l rect rel-). S se dese que l fórmul se de orde de excttud el puto del soporte o podrá ser elegdo rtrrmete y deerá ucrse e u scs tl que: (x x ) dx ( x x) ( x) ( x) = = = ( x) = ± ( x) De ls dos poslddes que os ofrece est guldd l que tee sgo + os coducrí que: - x = x =, lo que os dc que l fórmul serí de orde tomdo rtrrmete x s se plc sore tervlos de tegrcó que se reduzc u úco puto (cos que o tee terés práctco lguo pues e ese cso el vlor de l tegrl sempre será ulo). S emrgo l opcó ( x ) = -( x ) os result de myor utldd pues e ese cso x = (+)/. E otros térmos l fórmul del puto medo es de orde e tto que ls demás eleccoes de l scs x coduce fórmuls que sólo so de orde.

23 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Podrí costrurse lgu fórmul de tegrcó umérc co u úco puto de soporte que fuese de orde?. Comproemos que o es posle. E efecto, s tl fórmul exstese deerí ser de tpo terpoltoro (pues l ser de orde deerí permte tegrr s error culquer polomo de grdo meor o gul que, y e cocreto los polomos de grdo por lo que deerí ser de tpo terpoltoro). Y demás, s tl fórmul exster deerí verfcr ls gulddes: (x x ) dx = y x (x x ) dx = L prmer de ests gulddes, segú hemos vsto terormete, os coducrí que x = (+)/. Pero pr est eleccó de x se tedrí que: + 3 x (x ) dx = ( ) que sólo puede ulrse e el cso prtculr e que =. º. El polomo terpoldor de Lgrge de u fucó f(x) costrudo sore u soporte de dos putos {x, x } puede expresrse usdo l fórmul de Newto como: f(x ) f(x ) p(x) = f(x ) + (x x ) x x L fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro correspodete es etoces: f(x) dx p (x) dx = ( x) ( x) ( x) ( x) = ( ) f(x ) + f(x ) (x x ) (x x ) Co tl de que se dferetes puede elegrse rtrrmete ls scss {x, x } sedo l correspodete fórmul de tegrcó umérc de orde de excttud (es decr que permte clculr s error ls tegrles de todo polomo de grdo meor o gul que ). Es muy frecuete que, por comoddd, se elj x = y x = (oteédose sí l deomd fórmul del trpeco que y fue troducd e ejemplos del prmer prtdo). Pero est eleccó, desde el puto de vst del orde de excttud de l fórmul, puede o ser l más decud.

24 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López E efecto, s se dese que co putos de soporte l fórmul correspodete se de orde y o podremos elegr rtrrmete l poscó de los dos putos. T sólo se podrá elegr (cs rtrrmete) l poscó de uo de ellos estdo l poscó del otro determd prtr de etoces. E efecto, pr que l fórmul fuese de orde los putos del soporte dee stsfcer: (x x ) (x x ) dx = de dode tegrdo por prtes se tee que: 3 3 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) = 6 Al dspoerse de u ecucó y dos cógts, puede elegrse u de ells queddo etoces l otr supedtd que se verfque l ecucó. Por ejemplo, cosderdo que, s se tom x = l scs x deerí tomrse segú: 3 ( ) ( ) ( x ) ( ) [ 3 ( x ) ( ) ] = = x = 3 Muchs otrs eleccoes de l poscó de x serí posles. Y pr cd u de ells se otedrí u poscó e l que ucr x. Pero o tods ls eleccoes de l poscó de u puto estrí permtds pues lgu de ells puede hcer que l úc solucó de l ecucó se = (lo cul o tee terés práctco lguo). Propoemos l lector que verfque que e este cso eso sucede úcmete s se tom uo de los putos e l poscó (+)/. E resume, s se scrfc l lertd de elegr rtrrmete l poscó de los dos putos del soporte puede costrurse fórmuls de tegrcó umérc de orde de excttud. Serí posle cremetr u udd el orde de l fórmul?. Veremos más delte que sí es posle ecotrr fórmuls de tegrcó umérc costruds sore u soporte de putos que se excts de orde 3 (l llmd fórmul de tegrcó guss co soporte de putos).

25 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc 3º. L fórmul de Smpso hlld e uo de los ejemplos terores es: ( ) + f(x) dx f() + 4 f + f() 6 Al estr costrud sore u soporte de 3 putos puede frmrse que, l meos es de orde de excttud. Pero será de myor orde?. Pr demostrr que sí verfquemos que: + (x x j) dx = (x ) (x ) (x ) dx = j= El cálculo de l tegrl teror puede relzrse de form cómod cosderdo el cmo de vrle que trsform el tervlo [-, ] e el tervlo de tegrcó [, ], es decr el cmo: + x = + ξ Co este cmo se tee que (x ) = ( + ξ+ ), x = ξ sedo demás: dx = dξ Por tto: 4 j j= y (x ) = ( ξ ) + (x x ) dx = (x ) (x ) (x ) dx = ( ξ+ ) ξ ( ξ ) dξ = = ( ) d ξ ξ ξ = ξ ξ = 4 Ello os dc que l fórmul es de orde de excttud 3. Verfquemos que o es de orde 4. E efecto, co el msmo cmo de vrle se tee hor que: 4 + x (x x ) dx = ( + ξ) ( ξ+ ) ξ ( ξ ) d ξ = j j= = ( ) ( ) d ( ) ( ) d ξ+ ξ ξ ξ+ ξ ξ+ ξ ξ ξ = = + ( ) d ξ ξ ξ = ξ ξ = lo que demuestr que o es u fórmul de orde 4. 3

26 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López El teorem 4. os muestr l form de proceder e l eleccó de los putos del soporte de u fórmul de tpo terpoltoro de mer que su orde de excttud se (+q). E efecto st pr ello co que se verfque ls ecucoes: k x (x x) dx = = (k =,..., q-). Ello podrí hceros pesr e l posldd de elegr q rtrrmete elevdo costruyedo sí fórmuls de tegrcó co putos de soporte que se del orde de excttud que se desee. No ostte dee oservrse que los putos del soporte so (+) y que cd u de ls ecucoes (o leles) k x (x x) dx = = puede servr pr fjr l poscó (o poscoes) de uo de ellos co lo cul o se podrí mpoer más de (+) codcoes. Este rzometo prece dcr que e l práctc el etero q que tervee e el teorem teror sólo puede tomr vlores compreddos etre y. E otros térmos, prece que o puede her fórmuls de tegrcó costruds sore u soporte de putos que presete u orde de excttud myor que ( +). Este hecho se demuestr de form más rguros e el sguete teorem: Teorem 4.. No exste gu fórmul de tegrcó umérc costrud sore u soporte de (+) putos dsttos que teg u orde de excttud myor ( +). Demostrcó: Pr demostrr este teorem strá co ecotrr u polomo de grdo ( +) que o pued ser tegrdo de mer exct por gu fórmul de tegrcó umérc de l form Y e efecto sí sucede pr el polomo: p + (x) = f(x) dx c f(x ). = (x x ) = (x-x )... (x-x ) = Comproémoslo utlzdo l técc de reduccó l surdo. E prmer lugr oservemos que el polomo p + (x) o es el polomo détcmete ulo y que, l ser el cudrdo de u polomo de grdo +, su tegrl e culquer domo (, ) es sempre estrctmete postv. Supogmos etoces que l fórmul de tegrcó fuese de orde ( +) y cosderemos el polomo: r + (x) = = (x x ) = (x x )... (x x ) =α +α x α x + x + 4

27 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc S l fórmul fuese de orde ( +) se deerí verfcr, el teorem 3. pr el vlor q = +, es decr que se deerí stsfcer ls relcoes: k x (x x) dx = = (k =,..., +) Pero ello mplcrí que etoces: p (x) dx = r (x) (x x ) dx =α (x x ) dx = = + = = +α x (x x ) dx+ x (x x ) dx = lo cul es flso pues como se rzoó terormete l tegrl de p + (x) sempre es estrctmete postv. Por tto es surdo supoer que l fórmul cosderd es de orde ( +). c.q.d. Ejercco propuesto: ) Cosdérese el polomo de grdo 7º p 7 (x) = x 7 x y el soporte de 3 putos {x =, x = z, x = } dode z es lgu scs del tervlo (, ). Exste lgu eleccó posle del vlor de z pr el que l fórmul de tpo terpoltoro exct el vlor f(x) dx c f(x ) + c f(x ) + c f(x ) permt clculr de mer p(x) dx 7?. ) Demuestr que pr culquer solucó de l ecucó 4 z 6 9 z + 5 = l fórmul de tpo terpoltoro {, z, } permte clculr el vlor excto de l tegrl p(x) dx 7. c) U solucó de l ecucó del prtdo ) es z = Oté l fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro correspodete y verfc que efectvmete co ell se puede clculr s error el vlor de p(x) dx 7. d) L fórmul oted e el prtdo teror de que órde de excttud es?. Al permtr clculr l tegrl e (, ) del polomo p 7 (x) será de orde 7?. Por qué?. 5

28 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 5. Aálss del error e ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro. E el prtdo teror se lzó el orde de excttud de ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro. Coocer que el orde de excttud de u fórmul es m os dc que culquer polomo de grdo meor o gul que m puede ser tegrdo co ell s cometer error lguo. Pero, e prcpo, o os dce d sore el error que se comete l plcrl l cálculo de l tegrl de u fucó cuy expresó o se polómc de grdo meor o gul que m. Es por ello ecesro que lcemos más detlldmete qué expresoes respode el error de tegrcó umérc cudo ls fórmuls se plc u fucó f(x) geérc. El proceso segudo pr oteer ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro os coduce de form turl que el error de cd fórmul de tegrcó sí determd es gul l tegrl de l fucó de error terpolcó: R f ((, ))= ε(x) dx. Recorddo ls expresoes del error de terpolcó de Lgrge, pr u fórmul de tegrcó de tpo terpoltoro de l form f(x) dx c f(x ), l guldd teror puede rescrrse e ls forms: o = (+ f = ξ + x ( )! R ((,)) f ( ) (x x )... (x x ) dx f [ ] R ((,)) = f x,x,...,x,x (x x )... (x x ) dx Ls expresoes terores, teedo u terés teórco, so de dfícl plccó práctc (htulmete o se cooce l fucó que cd scs x le hce correspoder el puto ξ x, o o se dspoe de u expresó secll pr l dferec dvdd de l segud fórmul). Es por ello que ls expresoes terores so utlzds pr oteer cots del error. Así, s se supoe que f(x) es u fucó de clse C + ((, )) y se deot por M u cot superor del vlor soluto de su dervd (+)-ésm e el tervlo (, ), de l prmer de ls expresoes terores se otee que: R((,)) K (x x) dx dode K = M / (+)!. f = 6

29 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc L tegrcó de ls expresoes del error de terpolcó que utlz dferecs dvdds os permtrí oteer fórmuls del error pr dferetes fórmuls de tegrcó umérc 4. Exste otr ví, sd e el uso de desrrollos e sere de Tylor, que permte oteer ls expresoes del error de tegrcó umérc. Es por eso que lo que rest de este prtdo lo dedcremos determr u expresó de fácl plccó dvrtedo de temo l lector que más que l fórmul que flmete determemos, e l práctc es el método que vmos segur el que tee terés práctco. NOTA: Ates de cetrros e este ojetvo recordemos que s f(x) es u fucó cotu e u tervlo (, ) y co sus (m+) prmers dervds cotus e (, ), sedo x y z putos de (, ), puede expresrse el vlor de l fucó e x medte l fórmul de Tylor: f(x) = p m (x) + r m+ (x) dode p m (x) es el polomo de Tylor de grdo m (pr l fucó f(x) y el puto z) ddo por: m m k (x z) (x z) (m (x z) (k p m(x) = f(z) + (x z) f '(z) + f "(z) f (z) = f (z)! m! k! y r m+ (x) es el deomdo resto de Tylor de orde (m+). S f fuese ftmete dervle el resto estrí ddo por: k (x z) (k r m+ (x) = f (z) k! k= m+ k= E lugr de utlzr est expresó del resto de Tylor, que cotempl u sum de ftos térmos, es más útl uscr expresoes equvletes del resto. E este setdo recordemos que s l fucó es de clse C m+ (, ) exste lgú puto ξ e (, ) co yud del cul se puede oteer l expresó e form dferecl del resto de Tylor, dd por: m+ (x z) (m+ r m+ (x) = f ( ξ) (m + )! 4 Puede cosultrse pr myor detlle, por ejemplo, F. Mchvl y C. Code (987) Métodos de Aproxmcó Ed. Depto. De Mtemátc Aplcd y Métodos Iformátcos ETSI Ms Uv. Poltécc de Mdrd. 7

30 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Recordemos smsmo que exste u tercer form de expresr el resto, deomd expresó tegrl del resto de Tylor, y que es: x (m+ m r m+ (x) = f (t) (t z) dt m! z Dejmos como ejercco propuesto l lector justfcr l equvlec de ests tres expresoes del resto de Tylor. Nosotros utlzremos culquer de ells, segú l utldd que e cd mometo teg u u otr. Cosderemos u fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro f(x) dx V = c f(x ) costrud sore u soporte de (+) putos dsttos = {x < x <...< x } que se de orde de excttud m >. Supodremos e todo cuto sgue que dch fórmul se plc l cálculo proxmdo del vlor de l tegrl e (, ) de u fucó f(x) sufcetemete regulr e (α, β) 5, dode α = Mí(x, ) y β = Máx(x, ). Asmsmo deotremos por F(x) u fucó que se prmtv de f(x), es decr tl que: f(x) = F (x) (y más geerlmete que f (k (x) = F (k+ (x) (k =,..., m) ). Co est otcó el vlor excto de l tegrl es: f(x) dx = F() F() S se deot por h l logtud del tervlo de tegrcó, jo ls hpótess de regulrdd relzds terormete: h f(x) dx = F() F() = F( + h) F() = h F'() + F"() m+ m+ h (m+ h (m+ + F () + F () +... = (m + )! (m + )! m+ k+ h h (m h (k = h f() + f '() f () + f () ( I ) (m+ )! (k+ )! k= m+ 5 Más cocretmete supodremos que l fucó f(x) posee tts dervds cotus e (α, β) como se ecesrs e los desrrollos que de ell se relce. Posterormete os ocupremos del cso e el que esto o suced. 8

31 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc L de que resume el álss del error que se v relzr cosste e comprr el vlor excto ddo por ( I ) co el que os proporco l fórmul de tegrcó cosderd. Pr ello deerá desrrollrse e sere de Tylor, e toro l puto todos los vlores f(x ) que e dch fórmul tervee. De θ, θ,..., θ los úmeros reles ddos form más cocret, deotemos por { } por: x = θ ( =,..., ) h Es evdete que etoces x = + θ h, lo cul, utlzdo l fórmul de los desrrollos e sere de Tylor, os permte rescrr l fórmul de tegrcó umérc de l form: f(x) dx V = c f(x ) = c f( +θ h) = = = m m k k θ h θ h (m θ h (k = c f() +θ h f '() + f "() f () + f () = m! k= m+ k! m k k k k θ h (k θ h (k = c f () + c f () k= = k! k= m+ = k! (II) Los coefcetes de los prmeros (m+) sumdos del desrrollo teror puede ser expresdos de mer que se fclte l comprcó co el vlor excto trvés de l sguete propedd: Propedd 5.. S l fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro f(x) dx c f(x ) es de orde m, co l otcó utlzd terormete, se verfc que: k k k+ θ h h c = (k =,...,m) = k! (k + )! Demostrcó: Por ser l fórmul de orde m podrá clculrse de form exct co ell el vlor de l tegrl e (, ) de culquer fucó polómc de grdo meor o gul que k. E cocreto s, pr culquer vlor etero del ídce k que se meor o gul que m, se deot por p k (x) l polomo de grdo k ddo por l expresó: p k (x) = (x ) k / k!, se tedrá que: = 9

32 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López (x ) k k (x ) p(x) dx k = dx= c k! = k! k / k m Por otr prte, co l otcó utlzd terormete, θ h = (x ) por lo que k k k θ h (x ) =. Ello os muestr que: k! k! k k k (x ) θ h p(x) dx k = dx= c k / k m k! = k! Y ddo que el vlor excto de l tegrl de p k (x) es: k k+ k+ k+ (x ) (x ) ( ) h p(x) dx k = dx = = = k! k! k + (k + )! (k + )! l detfccó de ms expresoes que reflej el vlor excto de l tegrl os coduce que: k k k+ θ h h k / k m: c = = k! (k + )! c.q.d. Est propedd juto co los desrrollos relzdos terormete os permte oteer u expresó del error de tegrcó umérc tl y como se hce e el sguete teorem: Teorem 5.. Sedo: f(x) dx V = c f(x ) u fórmul de tegrcó umérc costrud = sore u soporte de (+) putos {x < x <...< x } y co u orde de excttud m >, (α,β) u tervlo de l rect rel tl que α = Mí(x,) y β = Máx(x,), f(x) u fucó de clse C (α, β), h el vlor ddo por h = (-) θ,..., θ u cojuto de (+) úmeros eteros tles que { } x = +θ h ( =,...,) se verfc que el error de tegrcó umérc de l fórmul plcd l evlucó de f(x) dx está ddo por: R f ((, )) = k h h k (k f(x) dx V = c f () k= m+ k! θ k + = 3

33 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Demostrcó: L propedd 5. permte expresr el vlor proxmdo de l tegrl de f(x) ddo por l expresó (II) como: m k+ k k h (k θ h (k f(x) dx V = f () + c f () ( III ) k= (k + )! k= m+ = k! Restdo del vlor excto de l tegrl, ddo por ( I ), el vlor proxmdo ddo por ( III ) se otee: R f ((, ))= f(x) dx V = f () c f () = + k+ k k h (k θ h (k k= m+ (k )! k= m+ = k! k h h k (k = c θ f () k= m+ k! (k + ) = c.q.d. L estmcó del error que se c de oteer qued e form de u sumtoro de ftos térmos. De form álog lo que sucedí co los restos de los desrrollos de Cuchy, puede demostrrse 6 que sedo f(x) u fucó de clse C m+ ((α, β)) l expresó del error teror puede reducrse l prmero de los sumdos que e ell tervee s se susttuye el vlor de l dervd e por el vlor de l msm dervd e u puto cocreto del tervlo (α, β). E otros térmos, e ls codcoes del teorem precedete, ξ, tl que: exste lgú puto ( ) m+ h h m+ (m+ R((,)) f = c θ f ( ξ) m+! (m+ ) = Ejemplos: º. Segú se demostró e el prmero de los ejemplos relzdo l fl del prtdo teror, l fórmul del puto medo: + f(x) dx f ( ) 6 Cosúltese, por ejemplo, J.F. Steffese, Iterpolto (d edto), Ed. Chelse 95. 3

34 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López es u fórmul co u orde de excttud. S dch fórmul se plc l cálculo de l tegrl sore (, ) de u fucó de clse C ((,)) el error de tegrcó umérc estrá ddo por: h h " R((,)) f = c θ f ( ξ) ξ (,)! 3 Como e este cso c = (-) = h, y θ = puede coclurse que exste lgú puto ξ e (, ) pr el que el error cometdo co l fórmul del puto medo está ddo por: 3 h h " h R((,)) f = h f ( ξ) = f"( ξ) ξ (,) º. Pr l fórmul de Smpso ( ) + f(x) dx f() + 4 f + f() 6 se demostró e ejemplos terores que su orde de excttud er m = 3. El error de tegrcó umérc que se comete co est fórmul l tegrr fucoes de clse C 4 ((, )) está ddo por: 4 h h (v R((,)) f = c θ c θ c θ f ( ξ) ξ (,) 4! 5 Como e este cso c = c = (-)/6 = h/6, c = 4 (-)/6, θ =, θ = y θ = puede coclurse que exste lgú puto ξ e (, ) pr el que el error cometdo co l fórmul del puto medo está ddo por: 4 5 h h 4 h h (v h (v R f ((,)) = f ( ξ) = f ( ξ) ξ (,) Este error se expres e ocsoes e fucó de l dstc etre los putos del soporte, H, que puede relcorse co l logtud del tervlo e l form H = h/, o lo que es gul, h = H. S e l expresó teror se remplz h por H se tee que: 5 H (v R f ((,)) = f ( ξ) ξ (,) 9 3

35 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc L fórmul del error de tegrcó umérc que se h utlzdo permte expresrlo e fucó de l dervd de orde (m+) de l fucó f(x) que se tegr evlud e u puto ξ que htulmete o es fácl de determr. Por otr prte, o proporco formcó sore el error cudo l fórmul se plc l evlucó de tegrles de fucoes que o teg l regulrdd exgd, es decr que o se de clse C m+ ((α, β)). EN esos cso podemos pregutros cuál es l expresó del error de tegrcó? Los teorems y corolro sguete d respuest l pregut teror e ess stucoes (s e, s se plc l cso de fucoes sufcetemete regulres, coduce cots myores que ls oteds co el teorem 5.). Teorem 5.. Sedo: f u fucó de clse C (, ), f(x) dx V = c f(x ) u fórmul de tegrcó umérc de tpo = terpoltoro costrud sore u soporte de (+) putos {x,..., x } y co u orde de excttud m >, h el vlor ddo por h = (-) p k (x) culquer polomo de grdo k sedo k < m se verfc que el error de tegrcó umérc de l fórmul plcd l evlucó de f(x) dx está cotdo por: R ((,)) (h + c ) Sup f(x) p (x) f k = x (,) Demostrcó: E prmer lugr recordemos que l ser k < m l fórmul de tegrcó cosderd, l ser de orde de excttud m, permte tegrr s error l tegrl e (, ) del polomo p k (x), es decr: p(x) dx= c p(x) k k = Ello os permte escrr que: 33

36 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López R ((,)) = f(x) dx c f(x ) = f(x) dx c f(x ) p (x) dx + c p (x ) = f k k = = = (f(x) p (x)) dx c (f(x ) p (x )) k k = (f(x) p(x)) dx + c (f(x) p (x)) k k = f(x) p (x) dx + c (f(x ) p (x )) k k = Sup f(x) p (x) dx + c f(x ) p (x ) k k x (,) = Sup f(x) p k(x) h+ c x (,) = c.q.d. U cosecuec medt del teorem teror es l recogd e el sguete corolro (que tee utldd e umeross fórmuls utlzds frecuetemete). Corolro 5.. Bjo ls msms hpótess relzds e el teorem 5., s demás l fórmul de tegrcó umérc tee todos sus coefcetes o egtvos (c >, =,..., )se verfc que: R ((,)) h Sup f(x) p (x) f x (,) Demostrcó: Es evdete s más que cosderr que s gú coefcete es egtvo y l fórmul es de tpo terpoltoro: c = c = ( ) = h = = por lo que l cot del teorem 5.. se coverte e l quí cosderd. k c.q.d. Osérvese que ls cots dds e el teorem 5. y e su corolro 5. o hce terver ls dervds de l fucó f(x). Pero, l referrse culquer polomo p k (x), o permte estlecer cots e ls que terveg potecs de l logtud del tervlo de tegrcó. Pr oteerls st co cosderr como p k (x) el polomo otedo co los k prmeros sumdos del desrrollo 34

37 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc e sere de Tylor de l prop fucó f(x). Más cocretmete se tee el sguete teorem: Teorem 5.3. Sedo: f(x) u fucó de clse C k+ ((, )) co k meor o gul que m, f(x) dx V = c f(x ) u fórmul de tegrcó umérc de tpo = terpoltoro costrud sore u soporte de (+) putos {x,..., x } y co u ode de excttud m >, h el vlor ddo por h = (-) se verfc que el error de tegrcó umérc de l fórmul plcd l evlucó de f(x) dx está cotdo por: k+ h (k+ R((,)) f (h+ c) Supf (x) = (k )! x (,) ( IV) + S demás o es egtvo gú coefcete de l fórmul de tegrcó umérc, l cotcó teror result ser: k+ h h (k+ R((,)) f Supf (x) x (,) (k + )! (V) Demostrcó: Deotemos por p k (x) l polomo formdo por los (k+) prmeros térmos del desrrollo e sere de Tylor de l fucó f(x) e toro l puto medo del tervlo (, ) que deotremos por x*=(+)/, es decr: (x x*) (x x*) k! k (k p k(x) = f(x*) + (x x*) f '(x*) + f "(x*) f (x*) El resto de este desrrollo trucdo de Tylor estrá ddo por l expresó: k+ * (x x*) (k+ r k+ (x) = f ( ξx) (k + )! dode ξ x es lgú puto termedo etre x y x*. 35

38 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Se tee etoces que: k+ * h (k+ k k+ x (,) x (,) x (,) Sup f(x) p (x) = Sup r (x) Sup f (x) (k+ )! Aplcdo etoces el teorem 5. pr est eleccó del polomo p k (x) se tee demostrd l cotcó (IV). Aálogmete, pr demostrr l cotcó (V) st co plcr el corolro 5.. pr el polomo de Tylor p k (x) c.q.d. Osérvese que e el teorem que se c de demostrr se otee cots de error pr fucoes f(x) que se (k+) veces cotumete dferecles co k pudedo vler,,..., m. Sólo estrí fuer de ests cotcoes del error los csos e que f(x) o fuese cotu o sedo u fucó cotu o tuver dervds cotus e (, ). Pr dchos csos, se plcrí drectmete l cot del teorem 5. (o, e su cso, l del corolro 5.). Ejemplos: º. L fórmul del trpeco f(x) dx ( f() + f() ) es u fórmul de tegrcó umérc co u orde de excttud gul (esto es, permte tegrr s error culquer polomo de grdo meor o gul que ). El corolro 5.. y el teorem 5.3 os permte frmr que segú l regulrdd de l fucó l que se plque est fórmul, u cot del error de tegrcó será l recogd e l tl sguete: Regulrdd Cot de error f C ((,)) h Sup f(x) f C ((,)) x (,) h Supf'(x) x (,) S l fucó fuese de regulrdd C ((, )) el teorem 5.3. os coduce l expresó: 3 h f C ((,)) R f (,) < Sup f "(x) 4 x (,) Osérvese que e este últmo cso el teorem 5.. sí serí plcle y coducrí u cot meor que l teror. 36

39 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc º. L fórmul de Smpso + f(x) dx f() + 4 f + f() 6 es u fórmul de tegrcó umérc co u orde de excttud gul 3 (esto es, permte tegrr s error culquer polomo de grdo meor o gul que 3). El corolro 5.. y el teorem 5.3 os permte frmr que segú l regulrdd de l fucó l que se plque est fórmul, u cot del error de tegrcó será l recogd e l tl sguete: Regulrdd Cot de error f C ((,)) h Sup f(x) f f f C ((,)) C ((,)) 3 C ((,)) x (,) h Supf'(x) x (,) 3 h Sup f "(x) 4 x (,) 4 h Sup f '''(x) 4 x (,) E el cso de que l fucó f fuese de regulrdd C 4 (,) el teorem 5.3. coduce u cot del error dd por: 5 4 h (v f C ((,)) R f (, ) < Sup f (x) 9 x (,) Osérvese que e est últm stucó el teorem 5.. coduce l cot del error (vése el ejemplo º trs l demostrcó del teorem luddo): 5 h (v R f (, ) = Sup f (x) 88 x (,) Ls expresoes del error de tegrcó umérc sí como ls cots del msmo permte coclur que el error de tegrcó umérc depederá de: ) L poscó de los putos del soporte de tegrcó, pues dch poscó determrá el orde de excttud de l fórmul y cuto myor se dcho orde de excttud myor podrá ser el grdo del polomo de Tylor usdo e l otecó del error. ) De l logtud del tervlo de tegrcó, pues est logtud, elevd l potec correspodete, tervee drectmete e ls expresoes del error y e sus cotcoes. c) De l regulrdd de l fucó que se tegr, pues e l medd que se más veces cotumete dferecle myor podrá ser el grdo del polomo de Tylor usdo e l otecó de ls expresoes y cotcoes del error de tegrcó umérc. 37

40 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 6. Otecó de fórmuls de tegrcó umérc. 6.. El uso de u tervlo de referec. Pr smplfcr los cálculos e l determcó de fórmuls de tegrcó umérc y de su error es recomedle relzr los cálculos sore u tervlo de referec y posterormete geerlzrl medte el oportuo cmo de vrle que trsforme el tervlo de referec elegdo e u tervlo geérco [, ]. E los suprtdos sguetes os cetrremos e tres métodos (equvletes etre sí) que os permtrá determr ls fórmuls de tpo terpoltoro e culquer tervlo. E este os ocupremos de detllr el proceso segur pr poder trsformr u fórmul que se coozc e el tervlo de referec e otr fórmul váld pr culquer tervlo [, ]. Frecuetemete se utlz como tervlo de referec el tervlo [-, ]. E ese cso, deotdo por t l vrle depedete e [-, ] y por x l vrle depedete e [, ], el cmo de vrle cosderr 7 es: + x = + t por lo que: dx = dt y: + f(x) dx = f t dt + De est form s se cooce u fórmul de tegrcó umérc e [-, ] de l form: g(t) dt = γ g(t ) = l fórmul correspodete e [, ] serí: + + f(x) dx = f t dt f t + γ + = por lo que los putos de tegrcó e [, ] serí 7 E el cso más geerl, u tervlo [α, β] puede trsformrse lelmete e [, ] β α β α β α utlzdo el cmo de vrle: x = + t t [ α, β ] 38

41 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc y los pesos: + x = + t ( =,...,) c = γ E cuto l error de tegrcó, s se cooce su expresó e [-, ] puede determrse l fórmul del error e [, ] medte: R((,)) = f(x) dx c f(x) = f = + + = f t dt f t + γ + = = = g(t) dt γ g(t ) = R ((,)) g = dode se h deotdo por g(t) l fucó + g(t) = f + t. S l fórmul es de orde m, e l expresó del error R g ((-,)) precerá l dervd de orde (m+) de l fucó g(t) evlud e u certo puto t ξ. Est dervd dee ser relcod co l dervd de orde (m+) de f(x) utlzdo pr ello l regl de l cde. Más cocretmete: + g(t) = f + t dg df + g'(t) = (t) = t dt + dx d g d f + g"(t) = (t) = t dt + dx d g d f + g'''(t) = (t) = t 3 3 dt + dx... m+ m+ m+ (m+ d g d f + g (t) = (t) = + t m+ m+ dt dx 39

42 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López por lo que llmdo + ξ= + t ξ se tedrá que: m+ (m+ (m+ ξ g (t ) = f ( ξ) Ilustremos este proceso co u ejemplo. Ejemplo: Cosdérese l fórmul de tegrcó umérc 8 de tpo terpoltoro sore el tervlo [-, ]: g(t) dt (g( ) + 3 g( / 3) + 3 g(/ 3) + g()) 4 co l que se comete u error de tegrcó umérc ddo por l expresó: (v R(( g,)) = g (t ξ ) tξ, 45 ( ) Determemos l fórmul de tegrcó umérc correspodete s se tegr e u tervlo geérco [, ]. E el tervlo [-, ] los 4 putos del soporte utlzdos so: {t = -, t = -/3, t = /3, t 3 = } Por ello los putos del soporte e [, ] so: + + x = + t = = x = + t = = x = + t = + = x 3 = + t3 = + = 8 E u ejemplo del prtdo 6.3. se deducrá l fórmul quí cosderd (llmd regl de 3/8 ) sí como l expresó de su error sore el tervlo (-, ). 4

43 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Aálogmete los pesos de l fórmul e [, ] se otee medte: c = γ = =, 4 8 c = γ = 3 = 3 ( ), 4 8 c = γ = 3 = 3 ( ) 4 8 c = 3 γ 3 = = 4 8 por lo que l fórmul uscd result: + + f(x) dx f() + 3 f + 3 f + f() Est fórmul se cooce htulmete co el omre de regl de 3/8. El error que co ell se comete se otedrá medte: 4 5 (v ( ) (v R f ((,)) = f ( ξ ) = f ( ξ ) NOTA: E muchs ocsoes, cudo se us soportes equdsttes, el error se expres e fucó de l dstc etre los putos del soporte e lugr de l logtud del tervlo de tegrcó. E este cso H = (-)/3, o lo que es lo msmo (-) = 3 H lo que os coducrí que el error de tegrcó umérc podrí expresrse tmé medte: 5 3 H (v R((,)) f = f ( ξ ) 8 Ejercco propuesto: Detllr el proceso que permte oteer fórmuls de tegrcó umérc sore u tervlo geérco [, ] prtr de fórmuls de tegrcó coocds e u tervlo de referec [α, β]. Desrrollr tmé l expresó que proporco el error váld e [, ] prtr del coocmeto de l expresó del error e el tervlo de referec [α, β]. Prtculrícese ls expresoes terormete oteds l cso e el que se cosdere como tervlo de referec el [, ]. 4

44 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 6.. Medte l tegrcó del polomo terpoldor. L defcó dd de ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro os permte oteer tles fórmuls medte l tegrcó del polomo terpoldor de f(x) e el soporte de putos cosderdos, A estos efectos recordemos que es dferete l fórmul por l que se hy clculdo dcho polomo pudedo utlzrse e cd cso quell que más coveg pr reducr el volume de cálculo. Así, deotdo por L (x) l -ésmo polomo de se de Lgrge sore el soporte {x,..., x } y por f[x,.., x ] l dferec dvdd de orde de l fucó f(x) e los (+) prmeros putos del soporte, l msm fórmul de tegrcó umérc puede oteerse medte ls expresoes sguetes (correspodetes l uso de l fórmul de Lgrge o de Newto pr el cálculo del polomo terpoldor): f(x) dx p (x) dx = L (x) dx f(x ) = f(x) dx p (x) dx = f(x ) ( ) + f[x,...,x ] (x x ) dx = k= Y s el soporte fuese equdstte, deotdo por H l dstc etre putos cosecutvos del soporte, est msm fórmul puede ser oted utlzdo dferecs fts progresvs o regresvs medte: f = + =! H k= f(x) dx p (x) dx f(x ) ( ) (x x ) dx f = + =! H k= f(x) dx p (x) dx f(x ) ( ) (x x ) dx Ejemplo: Sedo H u vlor rel estrctmete postvo, cosderemos el soporte x = -H, x = H/ y x = H y determemos l fórmul de tegrcó umérc que permte clculr el vlor proxmdo de H/ H/ f(x) dx. Pr ello podemos expresr el polomo terpoldor de Lgrge de l fucó f(x) como: H H (x ) (x H) (x+ H) (x ) (x+ H) (x H) p(x) = f( H) + f(h/) + f(h) = 3 H 3 H / 4 H 4

45 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc 3 4 = f( H) x H x + H f(h / ) ( x H ) + 3 H 3 H + f(h) x + H x H H Itegrdo est expresó se tee que: H/ H/ H f(x) dx p (x) dx = 7 f( H) + 44 f(h / ) 5 f(h) 36 H/ H/ ( ) Est es u fórmul de tpo terpoltoro costrud sore u soporte de 3 putos y por ello será, l meos, de orde. El error que se comete co ell, s se plc fucoes de clse C ((-H, H)) puede estmrse comdo desrrollos e sere de Tylor e toro lgú puto del tervlo de tegrcó. Así s se desrroll e toro resultrá que el vlor excto de l tegrl podrá expresrse como: H/ H H H 3 f(x) dx= F(H/) F( H/) = F() + F'() + F"() + F'''() H/ H (v H (v H H H + F () + F () +... F() + F'() F"() + F'''() H (v H (v H H (v F () + F ()... = H f() + f"() + f () Y el vlor proxmdo se expres por: H/ H p (x) dx = 7 f( ( H) + 44 f(h/ ) 5 f(h) ) = 36 H/ = (H/36) H 7 H 7 H (v 7 f() 7 H f '() + f "() f '''() + f () H 44 H 44 H 44 H (v + 44 f() + f'() + f"() + f'''() + f () H 5 H 5 H (v 5 f ( ) 5 H f '( ) f "( ) f '''( ) f ( )... = H H 7 H (v = H f ( ) + f ''( ) f '''( ) f ( ) L comprcó de ls expresoes terores os coduce que: H/ H/ 4 R(( H/,H/)) = f(x) dx p(x) dx = H f'''() f H/ H/ 43

46 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López S f(x) es de clse C 3 ((-H, H)) exste lgú puto ξ e (-H, H) pr el que l expresó teror puede escrrse e l form: 4 R f (( H /,H / )) = H f '''( ξ ) 9 S f(x) tuver u regulrdd feror o gul C 3 ((-H, H)) el error de tegrcó de l fórmul puede cotrse (vése el teorem 5.3 e el prtdo teror) por lgu de ls expresoes sguetes: Regulrdd f 3 C (( H,H)) f C (( H,H)) f C (( H,H)) f C (( H,H)) Cot de error 4 H Sup f'''(x) 4 x ( H/,H/) 3 H Sup f"(x) 4 x ( H/,H/) H Sup f'(x) x ( H/,H/) H Sup f(x) x ( H/,H/) Ejercco propuesto: ) Oté l fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro que proxm el vlor de g(t ) dt utlzdo el soporte {t = -, t =, t = }. ) Oté l expresó del error de tegrcó cometdo co l fórmul hlld e el prtdo teror. c) A prtr de ls expresoes hllds e los prtdos terores, y segú lo explcdo e el prtdo 6., determ l fórmul correspodete váld pr proxmr tegrles e u tervlo geérco (, ) sí como l fórmul del error de tegrcó. d) Prtculrz ls expresoes hllds e el prtdo teror l tervlo (-H/, H/) y compárls co l fórmul de tegrcó umérc y l fórmul del error hllds e el ejemplo resuelto más rr. Ifere de todo lo teror u procedmeto pr determr fórmuls de tegrcó umérc y lzr el error co ells cometdo que se se e el cálculo del polomo terpoldor y e el uso de u tervlo de referec. 44

47 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc 6.3. Método de coefcetes determdos. Este método de costruccó de fórmuls de tegrcó umérc se s e cosderr que s l fórmul f(x) dx c f(x ) es exct de orde m > = etoces dee permtr clculr s error ls tegrles de los moomos {, x,..., x,..., x m } por lo que elgedo (+) de dchos moomos puede costrurse k k u sstem lel de (+) ecucoes de l form x dx= c x cuy resolucó os proporcoe los vlores de los coefcetes {c,..., c }. Por otr prte, u vez hlldos los coefcetes de l fórmul, el error de tegrcó, l ser de l form: m+ (m+ R ((,)) = C ( ) f ( ξ ), f = puede ser cocretdo tmé s se plc l fórmul l moomo x m+ pues e ese cso: m+ m+ m+ = x dx = c x + C ( ) (m+ )! C = m+ m+ = m+ x dx c x (m + )! ( ) S o se cooce pror el orde de l fórmul, se us los (+) prmeros moomos pr determr los vlores de los coefcetes de l fórmul y se prue co los sguetes hst ecotrr el prmero de ellos que permte determr u vlor o ulo de l costte C usd e l expresó del error. Dcho moomo es el que permtrá determr el orde de excttud de l fórmul. E este método es especlmete cómodo trjr e el tervlo de referec [-, ] determdo l fórmul e el tervlo de referec: m+ (m+ g(t) dt = γ g(t ) + C g (t ξ ) =. E efecto, e ese cso ls tegrles de los moomos de potec mpr so sempre uls y ls del moomos de potec pr, k, está dds por /(k+). Por ello el sstem que proporco los pesos de l fórmul es: k+ k k ( ) k t dt = γ t (k =,..,) = γ t (k =,..,) k+ = = 45

48 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Además l costte C de l fórmul del error de tegrcó sore el tervlo [-, ] es e este cso: + m+ + + m ( ) γ m m t dt t γ t = (m + ) = m+ m+ C = = (m + )! (m + )! U vez determds ls fórmuls e [-, ] se segurá el proceso descrto e 6. pr geerlzrls u tervlo [, ] geérco. Ilustremos est form de proceder co u ejemplo. Ejemplo: Determemos l fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro que se soport e u cojuto de 4 putos uformemete dstrudos e [, ]. E el tervlo [-, ] los 4 putos del soporte será: {t = -, t = -/3, t = /3, t 3 = } Al her 4 putos l fórmul de tegrcó de tpo terpoltoro será l meos de orde 3, es decr permtrá tegrr s error los 4 prmeros moomos {, t, t, t 3 }. Por tto, e el tervlo [-, ] dch fórmul verfcrá: dt = = γ + γ + γ + γ 3 t dt = = γ γ + γ + γ t dt = = γ + γ + γ + γ t dt = = γ γ + γ + γ Ls ecucoes terores os proporco los vlores γ = γ 3 =, γ = γ = 4 por lo que l fórmul e [-, ] es: 3 4 g(t) dt (g( ) + 3 g( / 3) + 3 g(/ 3) + g()) 4 Determemos el error de tegrcó e este tervlo de referec. Pr ello plcremos l fórmul l sguete moomo oteedo: 46

49 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc 4 = = = t dt 3 3 R 5((,)) R 5 ((,)) t t de dode: 4 6 R 4 ((,)) = = t Al o ser u error ulo puede segurrse que l fórmul es de orde 3 y por ello el error pr u fucó geérc dee respoder l expresó: R ((,)) = C ( ( )) 5 f (v ( ξ ) = C 3 f (v ( ξ ). S se plc est expresó l f fucó t 4 (v se verfc que: R 4 ((, )) = C ( 3) f ( ξ ) = C ( 3) ( 4!) = C 768. t Comprdo ls dos expresoes oteds pr R ((,)) puede coclurse t 4 que l costte que tervee e l expresó del error tom el vlor: C = 6 6 = = lo que os coduce que el error e (-, ) puede expresrse por: (v (v R(( g,)) = 3 g (t ξ ) = g (t ξ ) U vez oted l fórmul de tegrcó umérc y l de su error e (-, ) su trsformcó e ls correspodetes fórmuls válds e u tervlo geérco [, ] puede cosultrse e el ejemplo co el que lustrámos el prtdo 6., oteédose: + + f(x) dx f() + 3 f + 3 f + f() y: 5 ( ) (v R((,)) f = f ( ξ) ξ, 648 ( ) Est fórmul de tegrcó se cooce htulmete co el omre de regl de 3/8 y el error que co ell se comete, l ser el soporte equdstte, es frecuete que se expresdo como: 5 3 H (v R((,)) f = f ( ξ ) 8 dode H = (-)/3 es l dstc etre putos cosecutvos del soporte. 47

50 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López E resume, s se tee e cuet que k s k es pr tdt= k+ sk esmpr pr que l fórmul de tegrcó g(t)dt γg(t ) se exct pr todos los = moomos de l fml {, t, t,..., t m } dee verfcrse que: γ t t t t γ t t t t γ t t t t γ 3 = m m m m t t t t γ ( ) m+ S se cosder putos dferetes del soporte y = m, el sstem teror tedrá (+) ecucoes y (+) cógts, sedo l mtrz del sstem u mtrz regulr (pues osérvese que su determte es de tpo Vdermode y es o ulo). m+ S m > el sstem teror podrá teer solucó úc (e el cso de que el rgo de l mtrz mpld del sstem cotúe sedo (+)) o o teerl (e el cso cotrro). Expresdo de otr form, l eleccó de u soporte co (+) putos dferetes segur l meos que ls fórmuls se de orde pero, pr certs eleccoes de los (+) putos del soporte podrí oteerse fórmuls de orde m >. E prtdos posterores, e los que se ordrá ls fórmuls de Newto-Cotes y de Guss, lzremos co myor detlle ls codcoes que dee stsfcer los putos del soporte pr grtzr órdees de excttud superores. 48

51 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc 6.4. Comcó de desrrollos e sere de Tylor. U tercer cmo usdo pr determr fórmuls de tegrcó umérc, sí como ls expresoes del error que co ells se comete, cosste e detfcr los prmeros térmos de los desrrollos e sere de Tylor del vlor excto de l tegrl que se quere proxmr co el de l fórmul que se quere determr. De form más cocret, s l fórmul se costruye sore u soporte de (+) putos ls gulddes oteds de detfcr los (+) prmeros térmos de mos desrrollos proporcorá los coefcetes de l fórmul. Y l dferec etre los sguetes térmos o ulos de mos desrrollos servrá pr oteer l expresó del error de tegrcó. Nótese que est mer de proceder es váld pr ser plcd fucoes f(x) pr ls que exst tts dervds como se utlce e los desrrollos. No ostte, tl y como se dcó l oteer cots del error e el prtdo 4, s l fucó que se quere tegrr o tee l regulrdd ecesr, l fórmul sgue sedo váld metrs que l expresó del error es l que crece de setdo e es stucó y dee ser susttud por l cot de error correspodete l regulrdd que teg l fucó. A cotucó detllmos este método de otecó de fórmuls de tegrcó umérc. Los desrrollos que relzremos se hrá todos ellos e toro u puto z de u tervlo [α, β] que cluy tto l tervlo de tegrcó [, ] como los (+) putos del soporte. Supoedo que f(x) es u fucó sufcetemete regulr y que F(x) es u prmtv de f(x), el vlor excto de l tegrl de f(x) e [, ] puede desrrollrse e sere de Tylor e toro u puto z de l form sguete: ( z) ( ( z) ( f(x) dx = F() F() = F(z) + F (z) F(z) F (z) =!! = = + + ( z) ( z) ( = f (z) = +! Por otr prte s se quere costrur u fórmul de tegrcó umérc sore u soporte {x, x,..., x } de l form: f(x) dx V c f(x ) = j= j j 49

52 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López puede expresrse el vlor proxmdo que proporcoe l fórmul por l expresó: = = = (x j z) (xj z) ( ( V c j f(x j) c j f (z) c j f (z) j= j= =! = j=! Idetfcdo los coefcetes que multplc ls dervds del msmo orde e los desrrollos del vlor excto y del vlor proxmdo se tee ls ecucoes: + + ( z) ( z) (xj z) = c j ( =,,...) +!! j= Cuto myor se el orde de dervcó de los térmos de mos desrrollos que cocd myor será el orde de excttud de l fórmul. Pero pr ello sólo dspoemos de l lertd de eleccó de los (+) pesos de l fórmul de tegrcó. Por ello el sstem 9 que os proporco estos coefcetes es el sguete: + + ( z) ( z) (xj z) = c j ( =,,...) +!! j= Co el vlor que se hy determdo pr los pesos {c, c,..., c } cocdrá m coefcetes de los desrrollos e sere de Tylor. Ello dcrá que el orde de excttud de l fórmul es m y que, s se plc fucoes f(x) que se l meos de clse C m+ ((,)), exstrá lgú puto ξ e (, ) pr el que el error de l fórmul puede expresrse medte: m m m ( z) ( z) (x j z) (m+ R((,)) f = ξ c j f ( ) + (m )! j= (m + )! Ls expresoes de los pesos y del error que se c de oteer se smplfc cosderlemete s se plc l tervlo de referec [, ] = [-, ] y se tom como puto e toro l cul relzr los desrrollos de Tylor el puto z =. De est mer, deotdo por γ los pesos de l fórmul váld pr (-, ), por g(t) l fucó l que se plque y por {t,..., t } l soporte, el sstem de ecucoes que proporco los pesos está ddo por: + + () ( ) (t j) = γ j ( =,,...) +!! j= 9 Ovmete se podrí formr u sstem co u úmero meor de ecucoes que dejse lguos pesos lres (y los que se podrí sgr culquer vlor). Pero ello coducrí fórmuls co u orde de excttud feror y por tto o serí de tpo terpoltoro. Por este motvo o cotemplmos quí dch posldd. 5

53 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc y el error por: m m m () () (t j ) (m+ R(( g,)) = γ j g (t) ξ (m + )! j= (m + )! Ls fórmuls sí oteds, válds pr el tervlo de referec, dee ser geerlzd pr u tervlo (, ) culquer sguedo el proceso detlldo e el prtdo 6.. NOTA: Fáclmete puede comprorse que ests expresoes so equvletes ls proporcods por el método de coefcetes determdos. Ilustremos este proceso co u ejemplo. Ejemplo: Determemos u fórmul de tegrcó umérc, del myor orde de excttud posle, que proxme el vlor de sore el soporte x =,x =,x = 4 4. f(x) dx y que esté costrud S trjmos clmete e el tervlo [-, ] los putos del soporte correspodetes est fórmul so: {t = -½, t =, t = ½ } y l fórmul de tegrcó será de l form: g(t ) dt V = γ g( ) + γ g() + γ g( ) Los prmeros térmos del desrrollo e sere de Tylor, e toro, del vlor excto de l tegrl, llmdo G(t) u prmtv de g(t) y supoedo que g(t) es sufcetemete regulr, so: g(t ) dt = G() G( ) = (v (v G() + G'() + G"() + G'''() + G () + G () (v (v G() + G'() G"() + G'''() G () + G ()... = 6 4 (v = g( ) + g"( ) + g ( )

54 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López El desrrollo del vlor proxmdo os coduce : V = γ g( ) + γ g() + γ g( ) = 3 4 γ ( ) γ ( ) γ ( ) (v = γ g( ) γ ( ) g'( ) + g"( ) g'''( ) + g ( ) γ g( ) γ ( ) γ ( ) γ ( ) (v + γ g( ) + γ ( ) g'( ) + g"( ) + g'''( ) + g ( )... = 6 4 = ( γ + γ + γ) g( ) + ( γ + γ) g'( ) + ( γ + γ) g"( ) + 8 (v + ( γ + γ) g'''( ) + ( γ + γ) g ( ) Idetfcdo los coefcetes de los desrrollos que multplc g(), g () y g () se tee que: = ( γ + γ + γ) = ( γ + γ ) = ( γ + γ ) L resolucó del sstem teror os coduce que: γ = γ = y γ = 3 3 por lo que l fórmul uscd e [-, ] es: g(t ) dt V ( g( = ) g() + g( )) 3 El error de tegrcó umérc, e el tervlo [-, ] puede determrse restdo el desrrollo del vlor proxmdo del desrrollo del vlor excto, oteédose: (v R(( g,)) = g(t) dt V = g'''() + g () +... = g (v = ( ) Al herse uldo el coefcete e g () y o el de g (v () puede coclurse que l fórmul es de orde de excttud 4. Además, s g(x) es l meos de clse C 4 ((-, )) el error de tegrcó está ddo por: 7 = t ξ (,) 7 (v R(( g,)) g (t ξ ) 5

55 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc U vez otedos l fórmul y su error e el tervlo [-, ] determemos ls expresoes válds pr culquer tervlo de tegrcó [, ]. Los putos de tegrcó se correspode co: = + ( ) = x x = + ( ) = x = + ( ) = 4 y los pesos: 4 ( ) c = = 3 3 ( ) c = = ( ) c = = 3 3 lo que os proporco l fórmul: ( ) + f ( x ) dx V = f ( ) f + f ( ) 3 E cuto l error, utlzdo l fórmul oted e el prtdo 6., s f(x) es l meos de clse C 4 ((,)) result: (v 7 ( ) (v R f ((,)) = f ( ξ ) = f ( ξ ) dode ξ = + t ξ es u puto de (, ). NOTAS: ª. A meudo el error se expres e fucó de l dstc H etre putos cosecutvos del soporte equdstte. Como e este cso H = (-) / 4, se tee que (-) = 4 H por lo que u expresó equvlete del error que se c de determr serí: 5 4 H (v R((,)) f = f ( ξ ) 45 ª. A fórmul hlld e este ejemplo se cooce co el omre de fórmul de Newto-Cotes ert co 3 putos de soporte. 53

56 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 7. Fórmuls de tegrcó umérc de Newto Cotes. Etre ls fórmuls de tegrcó umérc que se puede costrur, ls más frecuetemete usds so: ) o e quells que sedo de tpo terpoltoro tee el myor orde de excttud posle (llmds fórmuls de Guss) ) o e quells que sedo de tpo terpoltoro utlz u soporte equdstte y cetrdo e el tervlo de tegrcó (, ) (llmds fórmuls de Newto Cotes). E el prtdo 8º os ocupremos de ls fórmuls de Guss y dedcmos este l estudo de ls fórmuls de Newto Cotes. Ls fórmuls de Newto Cotes tee su fvor l smplcdd e l eleccó de los putos que form el soporte. Como prcpl desvetj puede señlrse que su orde de excttud está cerc de los vlores más pequeños que puede tomr ls fórmuls de tpo terpoltoro (como veremos u poco más delte, el orde de excttud de ls fórmuls de Newto Cotes que utlz (+) putos de soporte es ó (+) depededo de que se mpr o pr respectvmete). Est fml de fórmuls se suele sudvdr e los dos grupos sguetes: Fórmuls de Newto - Cotes cerrds: so quells fórmuls de tegrcó de tpo terpoltoro e ls que el soporte de tegrcó es equdstte e cluye, como prmer y últmo putos del soporte, los extremos del tervlo de tegrcó. De form más cocret, l fórmul de Newto Cotes cerrd co (+) putos de soporte que permte clculr el vlor proxmdo de f(x) dx utlz u soporte equdstte e el que l dstc etre putos está dd por el vlor H = (-)/ oteédose ls scss usds como soporte medte: x = + H ( =,.., ). No ostte dee señlrse que el coveete dedo u jo orde de excttud de ls fórmuls de Newto-Cotes puede comtrse utlzdo fórmuls de tegrcó compuests, que se estudrá e el prtdo 9º de este tem, y que áscmete cosste e frgmetr el tervlo de tegrcó (, ) e sutervlos de meor logtud plcdo ls fórmuls de tegrcó correspodetes dchos sutervlos. 54

57 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Fórmuls de Newto Cotes erts : so quells fórmuls de tegrcó de tpo terpoltoro e ls que el soporte de tegrcó es equdstte y cetrdo e (, ) pero o cluye los extremos del tervlo de tegrcó. De form más cocret, l fórmul de Newto Cotes ert co (+) putos de soporte que permte clculr el vlor proxmdo de f(x) dx, utlz u soporte equdstte e el que l dstc etre putos está dd por el vlor H = (-)/(+) oteédose ls scss usds como soporte medte l expresó: x = + (+) H ( =,.., ). Osérvese que e este tpo de fórmuls, se erts o cerrds, el soporte es smétrco respecto l puto medo del tervlo de tegrcó (, ). Ello quere decr que s es pr (úmero de putos mpr) el puto x / cocde co el puto medo del tervlo de tegrcó y los puto x (/)-j y x (/)+j ( j =,..., /) está l msm dstc del puto cetrl x /. H H x (/)- x (/)- x / x (/)+ x (/)+ H H Y s el vlor de es mpr (esto es el úmero de putos es pr) el puto medo o perteece l soporte pero está l msm dstc de x j que de x -j (j =,...,(-)/). H/ H/ x ((-)/)- x (-)/ pmed x -(-)/ x -((-)/)+ 3 H/ 3 H/ L smetrí del soporte respecto l puto medo del tervlo de tegrcó mplc demás certs gulddes etre los pesos de l fórmul de tegrcó correspodete como se demostrrá posterormete. Ates de ello oservemos que ls fórmuls de Newto-Cotes e u tervlo geérco [, ] E lguos textos ls fórmuls de Newto-Cotes erts tmé se deom como fórmuls de Steffese 55

58 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López puede ser oteds prtr de ls fórmuls de Newto-Cotes defds e el tervlo de referec [-, ] sguedo el proceso detlldo e el prtdo 6.. E efecto, se verfc l sguete propedd: Propedd 7.. Sedo: = ( ) f( ξ)d ξ= γ f ξ u fórmul de Newto-Cotes de (+) putos defd e el tervlo [-, ] se verfc que los pesos de l fórmul fórmul de Newto-Cotes de (+) putos e u tervlo geérco [, ] = ( ) f(x)dx = c f x puede oteerse como mágees de los putos ξ medte el cmo de vrle que trsform [-, ] e [, ] ddo por l plccó fí: + x = + ξ y los pesos de tegrcó medte: c = γ Demostrcó: L dstc etre dos putos co suídce cosecutvo e el soporte de l fórmul usd e [, ] es: x x ( ) = ξ ξ = λ + + dode λ es l dstc etre putos cosecutvos del soporte e [-, ]. Más cocretmete: S l fórmul es cerrd: λ = y x+ x= S l fórmul es ert: λ= y x+ x= + + Luego el soporte de l fórmul e [, ] tmé es equdstte. Por otr prte, el puto ξ* = es el puto medo del tervlo [-, ] y tee por mge e el tervlo [, ] el puto x* = (+)/ que es puto medo del tervlo [, ]. Ello os permte compror que s ξ y ξ j so dos putos smétrcos respecto sus mágees tmé lo so respecto l puto medo de [, ]. E efecto sedo µ el vlor µ = ξ ξ* = ξ* - ξ j se tee que: 56

59 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc x x* = ( ξ ) = µ = ( ξ j) = x* xj lo que demuestr que el soporte {x,..., x } es u soporte equdstte smétrco respecto l puto medo. Por últmo, puesto que {ξ,..., ξ } es u soporte de u fórmul de Newto-Cotes e [-, ] se verfcrá que: η=ξ ( ) = ξ de dode se tee que: + + x = + ξ + ( ) = ( ξ + ) = η= + + = ( ξ ) = + + ξ = x lo que demuestr que el soporte, demás, es cetrdo e [, ]. E resume que es el soporte de u fórmul de Newto-Cotes de (+) putos. Pr verfcr l expresó que permte oteer los pesos de tegrcó, deotemos por L ( ξ ) ( =,..., ) los (+) polomos de se de Lgrge defdos sore el soporte {ξ,..., ξ } y por L (x) ( =,..., ) los (+) polomos de se de Lgrge defdos sore el soporte {x,..., x }. Segú l propedd 3.. los pesos de ls fórmuls cosderds e cd tervlo respode l expresó: γ = L ( ξ)dξ y c = L(x)dx ( =,..., ) Relzdo e l expresó de los pesos c el cmo de vrle que estmos cosderdo, se tee que: + c = L(x)dx = L + ξ dξ + Notdo que L + ξ es u polomo e l vrle ξ de grdo meor o gul (+) y que verfc que: + s= j L + ξ j = L(x j) = s j ( <,j < ) + puede coclurse que L + ξ = L ( ξ) ( =,, ), y por tto que: c = L(x)dx = L ( ξ)dξ = γ 57

60 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López c.q.d. Como y señlmos terormete, l smetrí respecto l puto medo del tervlo de los putos tomdos como soporte e ls fórmuls de Newto- Cotes hce que este tpo de fórmuls goce de certs propeddes. Algus de ells se recoge e los dos teorems sguetes. Teorem 7.. Se que: f(x) dx c f(x ) u fórmul de Newto Cotes. Se verfc etoces = S es pr: c (/)- = c (/)+ ( =,..., (/)-) S es mpr: c = c - ( =,..., (-)/) Demostrcó: ) Cso e el que es pr (úmero mpr de putos de soporte). L de e l que se s est demostrcó cosste e referr ls scss l puto medo del tervlo (, ) que, e este cso es el puto cetrl del soporte. Más cocretmete, deotemos por k l vlor k = /, y por reordeemos los putos del soporte e l form: ξ = x /, ξ j = x (/)+j (j = -k, -k+,..., -,,..., k-, k) Desgdo por H l dstc etre putos cosecutvos del soporte se tee que: ξ j = x + j H (-k < j < k) y pr culquer scs x exstrá u úco umero rel t tl que: x x x = x + t H t = H Aálogmete pr los extremos del tervlo de tegrcó, y, exstrá dos vlores α y β (co el msmo vlor soluto pero co sgo cotrro) tles que: x x = x +α H α =, = x H +β H β= H 58

61 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc α H k H k H β H H H H H x ξ -k x (/)-... x (/)-... ξ - ξ - x (/) x (/)+ x (/)+ ξ ξ ξ x ξ k Co est otcó los polomos de se de Lgrge socdos l soporte estrá ddos por ls expresoes: ( x ξj) ( ) ( ) ( ) t j H t j j k j j k ( j ) = ξ ξ = H j= k ( j) (-k < < k) L(x) = L(x + t H) = = = k k k j j j S se cosder u vlor o ulo del ídce se verfc fáclmete que: L(x + t H) = L (x t H) ( = -k,..., -,,..., k) / / E efecto: k k k ( t j) ( t j) ( t+ ) ( t j) t+ L(x + t H) = = = j k ( j) = j= k ( j) ( ) + j= k ( j) j j,j j,j ( ) k k k ( t j) ( t j) ( t ) ( t+ j) ( t+ ) L (x t H) = = = = j k ( j) = j= k ( j) ( ) j= k ( + j) j j,j j,j k ( t+ j) ( t+ ) = j= k ( + j) j,j y llmdo m -j : 59

62 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López t m t+ t m ( t+ ) L (x t H) = = = L(x + t H) k k ( ) ( ) ( ) m k ( ) = m= k ( ) m m m,m m,m L -j (x) L j (x) ξ j ξ ξ j Est guldd os coduce que: ( ) ( ) β α L (x) dx = L x + t H H dt = L x t H H dt = α β α β ( ) ( ) = L x + t H H dt = L x + t H H dt = L (x) dx β α Por últmo, recorddo que los pesos de u fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro so l tegrl defd e (, ) de los polomos de se de Lgrge correspodetes l soporte utlzdo, es evdete que se verfc el teorem pr el cso e que es pr. ) Cso e el que es mpr (úmero pr de putos de soporte). L demostrcó es álog l del cso teror, co l úc dferec de que hor el puto medo del tervlo de tegrcó o es u puto del soporte. De form más cocret, sedo z = (+)/ el puto medo del tervlo de tegrcó y deotdo por H l dstc etre putos del soporte se cosder el cmo de vrle: 6

63 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc x = z+ t H De est form exstrá dos vlores α y β (co el msmo vlor soluto pero co sgo cotrro) tles que: = z +α H α = z H, = z +β H β = z H Además, pr lgerr l otcó, sedo k el vlor k = (+)/, reorderemos el soporte e l form: ξ j = x j+k (j = -k, -k+,...,-) ξ j = x j+k- (j =,,...,k-, k) verfcádose que: H ξ j = z + ( j+ (j = -k, -k+,..., -) ) H ξ j = z + ( j ) (j =,,, k-, k) β H =- α H β H ( k-) H/ ( k-) H/ 3 H/ 3 H/ H/ H/ x ξ -k... x ((-)/)- ξ - z x (+3)/ ξ... x ξ k x (-)/ ξ - x ((+)/ ξ Co est otcó, sguedo u proceso álogo l desrrolldo e el cso teror de est demostrcó, se verfc fáclmete que: t : L(z+ t H/) = L (z t H/) ( =,,, k) R Se dej los detlles como ejercco propuesto l lector. 6

64 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López L -j (x) L j (x) ξ -j ξ - ξ ξ j Est guldd os coduce que: β α H H H H L (x) dx = L z + t dt = L z t dt = α β α β β H H H H = L z+ t dt = L z+ t dt = L (x) dx α Por últmo, recorddo que los pesos de u fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro so l tegrl defd e (, ) de los polomos de se de Lgrge correspodetes l soporte utlzdo, es evdete que se verfc el teorem tmé pr el cso e que es mpr. c.q.d. Ejemplos: º) L fórmul del trpeco, oted e prtdos terores, ( ) f(x) dx (f() + f()) es u fórmul de Newto - Cotes cerrd co dos putos de soporte ( = ). E este cso x = y x =, por lo que l dstc etre putos del soporte es H = lo que os permte escrr l fórmul como: H H f(x) dx f(x ) + f(x ) pudedo comprorse que, tl y como segur el teorem 7.., los pesos de l fórmul verfc: c = c = H/ 6

65 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc º. L fórmul de Smpso, tmé deducd e prtdos terores, ( ) + f(x) dx (f() + 4 f + f()) 6 es u fórmul de Newto Cotes cerrd co tres putos de soporte ( = ). Ahor el soporte está ddo por cso x =, x = (+)/ y x =, por lo que l dstc etre putos del soporte es H = ( )/ lo que os permte escrr l fórmul como: H H H f ( x ) dx f ( x ) + 4 f ( x ) + f ( x ) pudedo comprorse que, tl y como segur el teorem 7.., los pesos de l fórmul verfc: c = c 3º. L fórmul de Newto Cotes ert co 4 putos de soporte ( = 3), e u tervlo geérco (, ), utlz u soporte e el que l dstc etre putos cosecutvos está dd por: H = ( ) / ( +) = (-)/5 por lo que los putos del soporte será: 4 + x = + H =, x = + 3 H =, x = + H = x3 = + 4 H = 5, Utlzdo culquer de los métodos presetdos e el prtdo teror puede oteerse fáclmete l fórmul: 55 H 5 H 5 H 55 H f(x) dx f(x ) + f(x ) + f(x ) + f(x 3) Nuevmete puede comprorse que, tl y como segur el teorem 7.., los pesos de l fórmul verfc: c = c 3 y c = c 63

66 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Ls fórmuls de Newto-Cotes costruds sore u soporte de (+) putos, l ser de tpo terpoltoro, so fórmuls excts pr todo polomo de grdo meor o gul que (es decr so fórmuls de orde ). No ostte l smetrí e los putos del soporte respecto l puto medo del tervlo de tegrcó hce que e el cso de que se pr el orde se ve cremetdo e u udd. Este hecho se demuestr e el teorem sguete: Terorem 7.. S es pr, el orde de excttud de u fórmul de tegrcó de Newto- Cotes costrud sore u soporte de (+) putos es (+). Demostrcó: Tod fórmul de Newto Cotes costrud sore u soporte de (+) putos, l ser de tpo terpoltoro, es l meos de orde. Ello, segú l defcó de orde de excttud dd e prtdos terores mplc que permte clculr s error guo ls tegrles sore culquer tervlo cotdo (, ) de culquer polomo de grdo meor o gul que (o, lo que es equvlete, de todos los moomos {, x,..., x }). Por tto, pr demostrr este teorem, st co demostrr que s es pr l fórmul tmé permte tegrr s error el moomo x (+). Relzremos est demostrcó, e u prmer etp, sore el tervlo [-, ] y posterormete l geerlzremos u tervlo geérco [, ]. ) Demostremos que e el tervlo [-, ] l fórmul permte clculr s error l tegrl del moomo ξ (+). Es evdete que, l ser pr ξ + d ξ =. Por otr prte, dd l smetrí del soporte de ls fórmuls de Newto Cotes respecto l puto cetrl y segú el teorem 7.., deotdo por γ ( =,..., ) los pesos de l fórmul e [-, ], se verfc: = lo que os coduce que s es pr: γξ = (+ ) ( ) ( ) + + = = ξ dξ = γξ ) Demostremos que l fórmul es exct pr el cálculo de culquer tervlo [, ]. x + dx e 64

67 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc El vlor de x + dx puede clculrse trsformdo el tervlo de tegrcó [-, ] e [, ] medte el cmo de vrle: x = ((+)/) + ((-)/) ξ por lo que: (+ ) + + x dx = d + ξ ξ pudedo evlurse de form exct l tegrl e [-, ] del polomo de grdo (+) ddo por decr: + + ξ (+ ) medte l fórmul de Newto-Cotes, es (+ ) (+ ) x dx = d + ξ ξ = γ + ξ = y puesto que, segú l propedd 7.., los putos de tegrcó x e el tervlo [, ] so ls máges de los putos ξ medte el cmo de vrle cosderdo y que los pesos c e el tervlo [, ] se otee medte l expresó c = ((-)/) γ, se tee flmete que: (+ ) + + x dx = γ c x + ξ = = = lo que demuestr que l fórmul es de orde (+). c.q.d. NOTA: Ates de presetr ls fórmuls de Newto-Cotes más usules, covee señlr que e ls fórmuls de Newto Cotes el vlor soluto del coefcete de myor vlor soluto crece co el úmero de putos que se utlz. Además, pr ls fórmuls cerrds co más de 8 putos los sgos de los coefcecetes se lter (hst ese úmero de putos so todos postvos).pr ls erts l lterc de sgos se produce y pr =. L uó de estos dos hechos mplc que ls fórmuls de Newto-Cotes co más de 8 putos de soporte se muy sesles los errores de redodeo y e l práctc teg u uso muy esporádco. 65

68 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 7.. Fórmuls de Newto-Cotes cerrds Como se señló terormete ests fórmuls de tpo terpoltoro permte proxmr el vlor de u tegrl defd e el tervlo [, ] tomdo los (+) putos del soporte e l form: x = + H ( =,,, ) sedo H = (-)/. Pr oteer ls fórmuls correspodetes cd vlor de puede utlzrse culquer de los procedmetos detlldos e el prtdo 6. S se expres l fórmul e l form: f(x)dx = α f(x ) + R f((,)) D = l tl sguete recoge, pr dsttos vlores de, los prámetros que defe cd u de ls fórmuls correspodetes (sí como, e su cso, el omre 3 por el que htulmete se cooce l fórmul). E l colum referete l error de l fórmul de tegrcó, l expresó que prece es váld sólo e el cso e que se supog que l fucó f(x) es sufcetemete regulr e el tervlo (, ) (más cocretmete de clse C + ((, )) s es mpr y C + ((, )) s es pr). S l fucó f(x) tuver meor regulrdd l expresó del error correspodete deerí estmrse segú lo desrrolldo e el prtdo 5º. α j (j=,..., ) D R f ((,) Nomre ( 3 ) ξ ( 5 ) (v ξ ( 5 ) (v ξ ( 7 ) (v ξ ( ) ( 9 ) (v H / f ''( ) Trpeco 4 6 H / 9 f ( ) Smpso H /8 f ( ) Regl3/ H / 945 f ( ) Mle 7 (v H /96 f ( ξ) H /4 f ( ξ) Weddle NOTAS: ª. Puesto que, como se demostró prevmete, ls fórmuls costruds pr pr tee el msmo orde de excttud que ls costruds co u u puto más, htulmete se utlz más ls fórmuls e ls que es pr, es decr 3 L fórmul oted co = 3, e l tl llmd regl 3/8, es ctd tmé como regl de 3/8 de Newto. Asmsmo, e l ltertur frces l fórmul oted pr = 4, quí llmd fórmul de Mle, es deomd frecuetemete fórmul de Boole-Vllrceu. 66

69 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc ls fórmuls de Smpso, Mle y Weddle. Juto ells, por su smplcdd, tmé es muy utlzd e l práctc l fórmul del trpeco. ª. El utlzr vlores de myores 7 coduce fórmuls muy sesles los errores de redodeo y que práctcmete o so usds. Por otr prte 4, o puede demostrrse l covergec de ests fórmuls cudo tede fto hc el vlor excto de l tegrl u e el cso de que l fucó tegrr se de clse C ((,)). Por ello ests fórmuls so usds, co u úmero de putos de soporte feror 7, pr oteer prtr de ells ls deomds fórmuls de cudrtur compuest (que será desrrollds e el prtdo 9º y que, e sítess, cosste e plcrls sore u prtcó del tervlo de tegrcó (, ) e sutervlos de meor logtud). 7.. Fórmuls de Newto-Cotes erts (o fórmuls de Steffese) Est fml de fórmuls de tpo terpoltoro permte proxmr el vlor de u tegrl defd e el tervlo [, ] tomdo los (+) putos del soporte e l form: x = + (+) H ( =,,, ) sedo H = (-)/(+). Pr oteer ls fórmuls correspodetes cd vlor de puede utlzrse culquer de los procedmetos detlldos e el prtdo 6. S se expres l fórmul e l form: f(x)dx = α f(x ) + R f((,)) D = l tl sguete recoge, pr dsttos vlores de, los prámetros que defe cd u de ls fórmuls correspodetes. E l colum referete l error de l fórmul de tegrcó, l expresó que prece es váld sólo e el cso e que se supog que l fucó f(x) es sufcetemete regulr e el tervlo (, ) (más cocretmete de clse C + ((, )) s es mpr y C + ((, )) s es pr o ulo). S l fucó f(x) tuver meor regulrdd l expresó del error correspodete deerí estmrse segú lo desrrolldo e el prtdo 5º. 4 Cosúltese, por ejemplo, M. Crouzex y A. L. Mgot Alyse umérque des équtos dfferetelles Ed. Msso (984). 67

70 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López α j (j=,..., ) D R f ((,) 3 ( ) ξ 3 ( ) ( ) ( ) H /3 f"( ) 3H /4 f"( ξ) 5 (v 3 4H /45 f ( ξ) 5 (v H /44 f ( ξ) L fórmul oted pr =, muy utlzd e l práctc por su smplcdd, se cooce co el omre de fórmul del puto medo (o de Pocelet). NOTA: Puesto que, como se demostró prevmete, ls fórmuls costruds pr pr tee el msmo orde de excttud que ls costruds co u puto más, htulmete se utlz más ls fórmuls e ls que es pr. Ejemplos: º) Otegmos l fórmul de Newto - Cotes ert co 5 putos de soporte ( = 4) e el tervlo [, ]. Pr ello semos que los putos del soporte será: t = /6, t = /6, t = 3/6, t 3 = 4/6 y t 4 = 5/6 sedo l fórmul de l form: 4 = g(t)dt = γ g(t ) + R ((,)) g Puesto que est fórmul dee ser exct, l meos, pr todo polomo de grdo meor o gul que 4, los coefcetes de l fórmul puede oteerse de ls gulddes ls que coduce su plccó los moomos {, t, t, t 3, t 4 }, es decr de ls ecucoes: 4 k k k k k k k γ t = tdt t γ + t γ + t γ + t 3 γ 3 + t 4 γ 4 = (k =,,, 3, 4) k + = Se otee sí el sstem: 68

71 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc γ γ γ = γ 3 γ cuy úc solucó es: γ =, 4 γ =, γ = 6, 4 γ = 3 y γ = 4 Segú el teorem 7., semos que est fórmul es exct tmé pr los polomos de grdo 5 (y que es pr). Por tto pr hllr l expresó del error de l fórmul l plcremos t 6, oteedo que: = t dt = R ((, )) t = + R 6((,)) R 6((,)) = t t S se compr este vlor co el correspodete l expresó: d(t) 5 R 6 ((,)) = K H = K 6! = K t 6 dt se otee que K = 4. 4 º) Geerlcemos l fórmul oted e el ejemplo teror pr poder plcrl l cálculo proxmdo de tegrles sore u tervlo geérco (, ). Puesto que l plccó fí que trsform [, ] e [, ] está dd por: x = + t (-) se tee que los putos del soporte de tegrcó e (, ) será: x =, x =, x =, x3 = y x4 = Los pesos de l fórmul se otedrá multplcdo el jcoo de l trsformcó, (es decr (-)) por los pesos de l fórmul hlld pr el tervlo de referec [, ]. Ello os coduce que: 69

72 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López c = c 4 = ( ), 4 6 c = c 3 = ( ), c = ( ) pudedo escrrse l fórmul uscd e l form: ( ) f(x)dx f 4 f + 6 f 4 f + f E cuto l error cometdo e u tervlo geérco su expresó, segú se mostró e el prtdo 6.., será: 4 (v R((,)) f = f ( ξ) ξ (,) 3º) Aplquemos l fórmul oted e el ejemplo teror l cálculo de 3 x e cos(x)dx y compremos co su vlor excto 5. E [, 3] los 5 putos del soporte de l fórmul de Newto-Cotes ert so: x = ½, x =, x = 3, x 3 = y x 4 = 5 E ellos los vlores de l fucó f(x) = e x cos(x), redodedo hst el 8 decml, so: f = , f = , f =.374, f 3 = , f 4 = por lo que: 3 x 3 e cos(x)dx ( f 4 f+ 6 f 4 f3 + f4) Puesto que el vlor excto de est tegrl es el error cometdo es: Error = V excto V proxmdo = Compremos co l cot l que os coducrí l expresó de R((,3)) f tes oted. Pr ello, e este cso se tee que f (v (x) = 8 e x se(x) cuyo vlor máxmo e el tervlo (, 3) se lcz e x* = 3π/4. E este puto f (v (x*) = y por tto: R f ((,3)) = cot que es myor que el error relmete cometdo. 5 Se dej como ejercco propuesto l lector verfcr que: 3 x 3 e cos( x )dx = e (cos(3 ) + se(3 ))

73 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc 8. Fórmuls de cudrtur guss. Segú se h demostrdo prevmete, tods ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro, costruds sore u soporte de (+) dsttos so tee grtzdo u orde de excttud de vlor, l meos,. S o se ecest que l fórmul se de myor orde, puede tomrse los (+) putos del soporte lremete. No ostte, s se reuc tomr los putos rtrrmete y se escoge e poscoes determds detro del tervlo de tegrcó (, ) puede umetrse el orde de l fórmul. U ejemplo de ello, lzdo e el prtdo teror, so ls fórmuls de Newto-Cotes costruds co soportes co u úmero mpr de putos (es decr co pr) que grtz u orde de vlor (+). El ojetvo de este prtdo es presetr u fml de fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro que tee órdees de excttud superores. Tles fórmuls rece el omre del mtemátco lemá que, e l prmer mtd del sglo XIX ls otuvo: Joh Crl Fredrch Guss. Como se demostró terormete (teorem 4.. del prtdo 4º), u codcó ecesr y sufcete pr que u fórmul de tegrcó umérc de tpo terpoltoro se de orde (+q) es que se verfque ls q gulddes sguetes: k x (x x ) dx = (k =,..., q-). (S) = Por tto l de que suyce e l otecó de fórmuls de orde (+q) cosste e determr soportes de terpolcó co (+) putos de form que se stsfg ls ecucoes o leles que form el sstem (S). Pero (recuérdese el teorem 4.. demostrdo e el 4º prtdo) el vlor de q o puede superr el de (+) pues, de form smplfcd, ello os coducrí que el sstem teror tee más ecucoes que cógts o dmtedo solucó. E otros térmos prece fctle poder oteer fórmuls que, costruds sore u soporte de (+) putos teg órdees de excttud, (+), (+),..., o (+). Pero tes de poder frmr esto es ecesro demostrr que el sstem (S) dmte lgu solucó pr culquer vlor de q compreddo etre y (+). Nosotros demostrremos este hecho sólo pr el cso e que q tom el myor de los vlores posles, es decr e el cso q = +. E dcho cso, demás, el sstem (S) dmte u solucó úc formd por putos de (, ). 7

74 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Teorem 8.. Exste u úc eleccó posle de los putos del soporte { x } = que hce que l fórmul de tegrcó de tpo terpoltoro: f(x)dx = c f(x ) + R ((,)) = f se exct pr todo polomo de grdo meor o gul que (+). Además los putos de dcho soporte so dsttos etre sí y perteece todos ellos l tervlo (, ). Demostrcó: ) Demostremos e prmer lugr l exstec de u úco soporte que hce que l fórmul se de orde (+). Ello es equvlete demostrr que exste u úco polomo de l form = = (x x ) verfcdo el sstem de ecucoes: k x (x x ) dx = (k =,,..., ) (S) El polomo = (x x ) es u polomo de grdo (+) co coefcete drector gul l udd. Por tto podrá expresrse e l form: = (x x ) = + x + x x + x + Cosderdo est expresó del polomo, el sstem (S) puede escrrse e l form: + x dx = x dx dx + + x dx = x dx xdx (S3) x dx = x dx x dx Pr que este sstem co ls (+) cógts {,,..., } dmt solucó úc es codcó ecesr y sufcete que l mtrz del sstem teg rgo (+), es decr que ls fls de l mtrz del sstem se lelmete depedetes. Demostremos, por reduccó l surdo, que esto es sí. E efecto, s ls fls de l mtrz del sstem fuese lelmete depedetes, exstrí (+) esclres {β, β,..., β } o todos ulos tles que: 7

75 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc + ( ) ( ) β x +β x β x dx = x β +β x β x dx = ( ) ( ) β x +β x β x dx = x β +β x β x dx = ( ) β +β x β x dx = Multplcdo l prmer de ls gulddes terores por β, l segud por β -, y sí sucesvmete hst llegr l últm que se multplcrí por β, y sumdo ls (+) gulddes oteds se tedrí etoces que: ( ) β +β x β x dx = lo cul sólo serí posle s β = β =... = β = e cotr de l suposcó de que o todos ellos er ulos. Por tto ls fls de l mtrz del sstem (S3) so lelmete depedetes y ello grtz que exste u úco juego de coefcetes {,,..., } que hce que el polomo = (x x ) = ( + x + x x + x + ) stsfg el sstem (S). Ls ríces de dcho polomo será los putos del soporte de l fórmul de tegrcó cosderd e el eucdo. ) Demostremos hor que ls (+) ríces del polomo que verfc (S) so tods dferetes y perteecetes l tervlo (, ). E efecto, deotemos por r l úmero de ríces de multplcdd mpr que perteece (, ). Como cosecuec drect del teorem fudmetl del Álger es evdete que r o puede ser superor (+). Demostremos etoces, uevmete por reduccó l surdo, que r tmpoco puede ser feror (+). E efecto, s r, ordedo ls ríces de form que {x,.., x r- } fuese ls r ríces perteecetes (, ) podemos cosderr el polomo: r q(x) = (x x k) (x x ) s < r < k= = = q(x) (x x ) s r = = 73

76 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López El polomo q(x) sí defdo es u polomo de grdo superor e feror (+) y co tods sus ríces perteecetes (, ) co multplcdd pr. Ello mplcrí que el sgo de q(x) e el tervlo (, ) permece costte. Pero, por otr prte, s < r < escredo el polomo r k= (x x ) x... x x r k = λ +λ + +λ r + r k= r (x x ) e l form se tedrí que: r r q(x) =λ (x x ) +λ x (x x ) λr x (x x ) + x (x x ) = = = = k por lo que: q(x)dx x (x x ) x (x x ) = r λ + k r k k= = = sedo uls, l verfcrse el sstem (S), tods ls tegrles que prece e l expresó teror. Y s r = se tedrí que q(x)dx = (x x )dx que tmé serí ul l = verfcrse l prmer de ls ecucoes de (S) E resume, s r < se hrí ecotrdo u polomo q(x) de grdo superor e feror (+) que o cm de sgo e (, ) y tl que q(x)dx = lo cul es surdo (pues sólo podrí suceder s q(x) fuese el polomo détcmete ulo y e ese cso su grdo o serí superor ). E coclusó el úco polomo = (x x ) que stsfce el sstem (S) posee (+) ríces de multplcdd mpr e (, ). Y como l sum de ls multplcddes de ls ríces dee cocdr co el grdo del polomo, se tee demostrdo que ests ríces so demás de multplcdd. c.q.d. Defcó Se deom fórmuls de cudrtur guss tods ls fórmuls de tegrcó umérc de tpo terpoltoro costruds sore soportes de (+) putos elegdos de form que se solucó del sstem (S). 74

77 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Segú l defcó que se c de dr el proceso de costruccó de u fórmul de cudrtur guss se reduce : º) Determr los putos del soporte resolvedo el sstem (S) º) Determr los pesos { c } = de l fórmul de tegrcó como ls tegrles de los respectvos polomos de se de Lgrge socdos l soporte de tegrcó (o por culquer otro método de los descrtos e el prtdo 6º). 3º) Determr el error de tegrcó umérc e l form + + R = 3 ( f ((,)) K ( ) f ( ξ) segú lguo de los procedmetos presetdos e el prtdo 6º. Es htul oteer ests fórmuls e u tervlo de referec (frecuetemete el (-, )) y posterormete extederls u tervlo geérco (, ) tl como se lzó e el suprtdo 6.. Ilustremos este proceso co lgú ejemplo. Ejemplos: º) Costruymos l fórmul de cudrtur guss co u puto de soporte que permte evlur tegrles e el tervlo [, ]. El puto del soporte dee ser tomdo de tl form que: (x x )dx = ( x) ( x) = + ( )x = x = Es decr, e este cso l fórmul uscd es l fórmul del puto medo que y h sdo lzd e prtdos terores. º) Costruymos l fórmul de cudrtur guss co putos de soporte ( = ) que permte proxmr tegrles defds e (-, ). E este cso dee stsfcerse ls dos ecucoes: (t t )(t t )dt = tt + = 3 t(t t )(t t )dt = (t t ) + = 3 75

78 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López De l segud ecucó se deduce quetx = -t y co ello l prmer ecucó coduce que t = y t =. 3 3 L fórmul de cudrtur guss sí costrud se se que será exct pr todo polomo de grdo meor o gul que 3 = (+). E prtculr es exct pr los moomos {, t, t, t 3 }. De plter l exctdud de los vlores proxmdos y exctos pr dos culquer de estos moomos se otedrá los coefcetes de l fórmul uscd. Por ejemplo, s se cosder los dos prmeros se tee que: dt = γ + γ = γ + γ tdt = γ + γ = γ + γ ( ) De l segud guldd se tee que γ = γ y etrdo co este resultdo e l prmer guldd result flmete que γ = γ =. Por tto l fórmul de cudrtur guss co putos de soporte es: g(t ) dt g + g 3 3 El error que co ell se comete podrí oteerse plcdo l fórmul l prmer moomo pr el que o es exct y uscdo dcho error e l form: 5 (v R((,)) = K H g ξ g ( ) No ostte, e este tpo de fórmuls l expresó del error es preferle uscrl o y e fucó de l dstc etre los putos de tegrcó (que o so equdsttes) so e fucó de l logtud del tervlo de tegcó lo que e este cso os coduce uscr el error e l form: R g ((-, )) = K 5 g (v (ξ) Aplcádolo l fucó g(t) = t 4 se tee que: K 3 4! = R 4 ((,)) = t 5 + = de dode: K =. 43 NOTA: A prtr de l teror puede oteerse fáclmete l fórmul guss co putos plcle e u tervlo de tegrcó geérco (, ): 76

79 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc ( ) + + f(x)dx f f co l que se comete u error ddo por: ( ) 43 5 (v R f = f ( ξ) ξ (,) 3º) Costruymos l fórmul guss que utlzdo 3 putos de soporte permte proxmr tegrles sore el tervlo (-, ). E este cso ( = ) dee stsfcerse ls tres ecucoes: (t t )(t t )(t t )dt = 3 t(t t )(t t )(t t )dt = ( ) 3 5 t (t t )(t t )(t t )dt = 5 3 (t + t + t ) t t t = tt + t(t + t) + = (t + t + t ) t t t = De l prmer y tercer ecucoes es fácl oteer que t + t + t = t t t = lo que os permte segurr que lgú puto está e l scs ul (llmemos este t ) y co ello que los otros dos so smétrcos respecto él (es decr que t = -t ). Co ello l segud ecucó se puede rescrr e l form: t + = 3 5 de dode flmete se otee que: t 3 =, t = y t 5 = 3 5 L fórmul de cudrtur guss sí costrud se se que será exct pr todo polomo de grdo meor o gul que 5 = (+). E prtculr es exct pr los moomos {, t, t, t 3, t 4, t 5 }. De plter l exctdud de los vlores proxmdos y exctos pr tres culesquer de estos moomos se 77

80 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López otedrá los coefcetes de l fórmul uscd. Por ejemplo, s se cosder los tres prmeros se tee que: dt = γ + γ + γ = γ + γ + γ t dt = γ + γ + γ = γ + γ ( ) tdt = γ γ γ γ γ = ( ) De l segud guldd se tee que γ = γ y etrdo co este resultdo e l tercer guldd result que γ = γ = 5 9. Co estos vlores l prmer guldd olg que γ = 8 9. Por tto l fórmul de cudrtur guss co 3 putos de soporte es: 3 3 g(t ) dt 5 g 8 g() 5 g El error que co ell se comete podrí oteerse plcdo l fórmul l prmer moomo pr el que o es exct y uscdo dcho error e l form: R g ((-, )) = K 7 g (v (ξ) Aplcádolo l fucó g(t) = t 6 se tee que: K 8 6! = R 6 ((,)) = t + + = de dode: K =. 6 NOTA: A prtr de l teror puede oteerse fáclmete l fórmul guss co 3 putos plcle e u tervlo de tegrcó geérco (, ): ( ) ( ) ( ) f(x)dx 5 f + 8 f() + 5 f co l que se comete u error ddo por: 7 ( ) (v R f = f ( ξ) ξ (,) 6 78

81 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Como poe de mfesto los ejemplos terores, l prcpl dfcultd l hor de determr u fórmul de tegrcó guss cosste e resolver el sstem de ecucoes o leles que proporco los putos y el sstem de ecucoes leles que proporco los pesos correspodetes. No ostte este trjo se puede ver lgerdo cosderlemete s se dspoe de l uccó de los putos de soporte y de los pesos correspodetes e u tervlo de referec. E l logrfí 6 puede ecotrrse tls e l que se proporco estos putos pr dsttos vlores de. L tl sguete recoge l poscó de los putos de tegrcó (redodedo sus vlores los prmeros decmles sgfctvos) sí como l de los pesos correspodetes e el tervlo [-, ] pr ls fórmuls co compreddo etre y 4. g(t ).dt γ j.g(t j ) j=.. t j (j =,..., ).. γ j (j =,..., ). ( pto.).. ( ptos.) (3 ptos.) (4 ptos.) (5 ptos.) Puede cosultrse, por ejemplo, O.C. Zeckewcz El método de los elemetos ftos Ed. Reverté (9XX) pr ecotrr u tl más complet que l que quí clumos. 79

82 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López NOTAS: ª. A dferec de lo que sucedí e ls fórmuls de Newto-Cotes, ls fórmuls de tegrcó guss tee sempre todos sus pesos postvos. Por motvos (cuy explccó detlld excede los ojetvos que os hemos mrcdo co estos putes) este hecho les cofere u gr estldd frete los errores de redodeo pudedo ser utlzds fórmuls gusss co vlores de elevdos cudo se dese teer u gr precsó e los cálculos. ª. Los fudmetos de ls fórmuls de tegrcó guss, e u mrco más geerl, está estrechmete lgdos l teorí de los polomos ortogoles. Su estudo desord los límtes que os hemos mrcdo l elorr estos putes y por ello o etrremos e detlle e estos spectos. Pero covee señlr que pr fucoes ω(x) sufcetemete ues es posles demostrr que exste sucesoes de polomos ortogoles 7 { Q(x) k }, sedo Q k= k(x) de grdo k, co tods sus ríces dstts y e (, ), verfcdo que: k x ω (x) Q + (x) dx = (k =,...,) S se costruye u fórmul de cudrtur de tpo terpoltoro soportd e ls ríces de uo de tles polomos, Q + (x), puede demostrrse que dch fórmul permte clculr s error ls tegrles p (x) se u polomo de grdo meor o gul que (+). p (x) ω(x) dx sempre que E el cso prtculr e que = -, = y ω(x) l fml de polomos ortogoles { Q(x) k } es l formd por los polomos de k= Legedre8. E dcho cso ls fórmuls de tegrcó umérc que se otee so l 7 E este cotexto dremos que dos polomos p(x) y q(x) so ortogoles s verfc que ω (x) p(x) q(x) dx = 8 Los polomos de Legedre se defe de form recursv, prtr de Q (x)=, mpoedo l codcó de que Q k (x) se de grdo k y verfque que Q(x) Q(x) dx=. Tom su omre del mtemátco frcés Adre Mre Legedre (Prís, 75 Prís, 833) que los trodujo e u trjo sore l form de los plets pulcdo e 784. k j 8

83 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc fórmuls de Guss que se c de presetr prtculrzds l tervlo [-, ]. Por dcho motvo ests fórmuls se deom tmé fórmuls de Guss- Legedre. Pr otrs eleccoes de los límtes del tervlo de tegrcó y de l fucó ω ( x ) se otee otrs fmls de fórmuls tles como ls de Guss-Cheyshev 9 / (co ], [ = ]-, [ y ω(x) = ( x ) ), Guss-Hermte x (co ], [ = ]-, [ y ω(x) = e ), Guss-Lguerre (co ], [=], [ y x (x) x α ω = e ),... El estudo detlldo de este tpo de fórmuls, de gr terés cudo se trj co fucoes sgulres o e tervlos o cotdos, exgrí l troduccó de umerosos coceptos prevos sore proxmcó polómc y sorepsrí mplmete el mrco de estos putes. Por ello remtmos l lector teresdo l logrfí recogd l fl de este tem pr u estudo más profudo de ests fmls de fórmuls de tegrcó. ª. E cuto hemos desrrolldo terormete os hemos cetrdo e ls fórmuls que usdo (+) putos de soporte proporco el myor orde de excttud posle(orde (+)). Pero exste tmé fórmuls que usdo (+) putos de soporte tee órdees de excttud myores que e ferores (+). Dchs fórmuls se otee tomdo u soporte que stsfg el sstem (S) dádole q lgú vlor compreddo etre y. El sstem de ecucoes o leles que sí se otee tee meos ecucoes (q) que cógts (los (+) putos del soporte) lo cul permte tomr cs rtrrmete (+-q) putos y e fucó de dch eleccó determr los q putos resttes pr que l fórmul teg el orde requerdo. Ejemplos de tles fórmuls so ls llmds fórmuls de Guss-Lotto e ls que se olg que x = y x = oteedo los (-) putos resttes medte l resolucó del sstem (S) co q = - (y oteédose por ello fórmuls de orde (-) cudo se us (+) putos de soporte) o ls fórmuls de Guss - Rdu zquerd (resp. derech) e ls que se fj x = (resp. x = ) oteédose los putos resttes resolvedo el sstem (S) co q = y oteédose sí fórmuls de orde. 9 E hoor l mtemátco ruso Pfuty Lvovch Cheyshev (Oktovo (Rus), 8 S Petersurgo (Rus) 894) que trodujo los polomos que llev su omre e u pulccó de 854. E hoor l mtemátco frcés Chrles Hermte (Deuze (Frc), 8 Prís, 9)que los trodujo e sus trjos pr demostrr l rrcoldd del úmero e pulcdos e 873. E hoor l mtemátco frcés Edmod Ncols Lguerre (Br-le-Duc (Frc), 834 Brle-Duc 886) y que dchos polomos so solucoes de l deomd ecucó dferecl de Lguerre. 8

84 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 9. Fórmuls de cudrtur compuests. Los errores cometdos co ls fórmuls de tegrcó de tpo terpoltoro l clculr tegrles e u tervlo (, ) tee expresoes e ls que tervee (-) m dode m es u etero relcodo co el úmero de putos (+) que form el soporte sore el que se costruye l fórmul. Ello hce que e geerl o pued segurrse l covergec del vlor proxmdo hc el excto cudo el úmero de putos del soporte se hce teder hc fto. Juto ello, deemos recordr que fórmuls como ls de Newto Cotes se vuelve muy sesles los errores de redodeo cudo se elev el úmero de putos de sus soportes. Todo ello dc que, tes que cremetr rtrrmete el umero de putos de soporte de u fórmul, es más efcete l hor de mejorr l precsó de los vlores proxmdos sudvdr el tervlo de tegrcó (, ) e M sutervlos de meor logtud y plcr e cd uo de ellos fórmuls co u úmero reltvmete jo de putos de soporte. Dedcremos este prtdo detllr cómo se relz este proceso y lzr ls fórmuls resulttes. Ddo el tervlo de tegrcó (, ) deotremos por {z = < z < z <... < z M- < z M = ) (M+) putos de [, ] y desgremos por I j l tervlo (z j-, z j ) co j M. I I I j I M z z z j- z j z M- = z z M = Ovmete se verfc que: M z j f(x)dx = f(x)dx () j= zj Co est otcó, se deom fórmuls de cudrtur compuests tods quells fórmuls que se otee como resultdo de proxmr los vlores de ls tegrles zj f(x)dx que prece e l expresó () medte u zj fórmul de tpo terpoltoro. Más cocretmete, s e cd tervlo I j se utlz u fórmul co ( j +) putos de tegrcó de l form: zj z j j f(x)dx = c f(x ) + R ((z,z )) = j, j, f j j se otedrá l fórmul de cudrtur compuest: 8

85 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc M j M f(x)dx = c,j f(x,j ) + R f((z j,z j )) j= = j= E est expresó, el térmo: M j V = c j, f(x j, ) j= = es el vlor proxmdo de f(x)dx l que coduce l fórmul compuest metrs que el últmo sumtoro proporcorá el error de l fórmul de tegrcó: M R((,)) = R((z,z )) f f j j j= S el puto z j cocder co el últmo de los putos de tegrcó de l fórmul elegd sore el tervlo I j y co el prmero de los de l fórmul seleccod pr I j+ los pesos co los que se ve fectdo e ms fórmuls se sumrá e el proceso que se c de descrr. Auque puede oteerse fórmuls compuests utlzdo dferetes fórmuls smples de tegrcó e cd sutervlo I j, ls fórmuls más utlzds e l práctc so quells que utlz l msm fórmul de tegrcó pr el cálculo de tods ls tegrles sore los tervlos I j. E este tpo de fórmuls será e ls que os cetrremos e cuto sgue. Ates de ordr csos geerles, lustremos el procedmeto que cmos de descrr co lguos ejemplos cocretos. Ejemplos: º) Fórmul del trpeco compuest. Es l que se otee de tegrr e cd tervlo I j medte l fórmul del trpeco. Recorddo que: zj 3 (zj z j ) (zj z j ) f(x)dx = f(z j ) + f(z j ) + f"( ξj ) ξj (z j,z j ) z j el proceso teror os coduce l deomd fórmul del trpeco compuest dd por: M (z M j z j ) 3 f(x)dx = ( f(z j ) + f(z j )) + (zj z j ) f''( ξ j ) j= j= pudedo escrrse el vlor proxmdo l que coduce l fórmul del trpeco compuest como: 83

86 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López f(x)dx V f(z ) f(z ) (z z )f(z ) M z z zm zm = + M + j+ j j j= y el error de l fórmul, s f C ((,)), como: R((,)) (z z ) f''( ) M 3 f = j j ξ j j= E el cso prtculr e que los putos { z } M j j = esté uformemete reprtdos e (, ), deotdo por h l dstc etre dos putos cosecutvos, l fórmul teror puede smplfcrse y escrrse como: M 3 M f() + f() h f(x)dx = h + f(z j ) + f''( ξ j ) j= j= Más delte lzremos cómo puede smplfcrse l expresó del térmo de error de l expresó teror. º. Fórmul de Smpso compuest. Es l que se otee de tegrr e cd tervlo I j medte l fórmul del trpeco. Recorddo que: z j 5 (zj z j ) zj + z j (zj z j ) (v = j + + j + ξj ξj j j z 6 88 j f(x)dx f(z ) 4f f(z ) f ( ) (z,z ) l sum de ls tegrles sore cd sutervlo os coduce l deomd fórmul de Smpso compuest dd por: f(x)dx (z z ) f(z ) z 4f + z f(z ) (z z ) f ( ) M M j j j j 5 (v = j j j j ξ j j = 88 j= El vlor de l tegrl es proxmdo co l fórmul de Smpso compuest por: M M (z ) ( z M ) (zj+ z j ) (zj z j ) zj z + j f(x)dx V = f() + f() + f(z j ) + f 6 6 j= 6 j= 3 cometédose u error que, s f 4 C ((,)), se puede expresr como: R((,)) (z z ) f ( ) M 5 (v f = j j ξ j 88 j= 84

87 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc E el cso prtculr e que los putos { z } M j j = esté uformemete reprtdos e (, ), deotdo por h l dstc etre dos putos cosecutvos, l fórmul teror puede escrrse como: M M 5 M h zj + zj h (v f(x)dx = f() + f() + f(z j ) + 4 f + f ( ξ j ) 6 j= j= 88 j= Más delte lzremos cómo puede smplfcrse l expresó del térmo de error de l expresó teror. E geerl, s se utlz u msm fórmul co (+) putos pr clculr ls tegrles sore cd sutervlo, se deot por { x j,, x j,,..., x j, } los putos de tegrcó sore el tervlo I j, por {c j,, c j,,..., c j, } los correspodetes pesos de l fórmul e el tervlo I j y se dmte que e cd sutervlo I j el error de l fórmul respode u expresó de l form: q (p R ((z,z )) = K (z z ) f ξ ξ (z,z ) ( ) f j j j j j j j j se proxmrá el vlor de l tegrl por: M V = c j, f(x j, ) j= = y se cometerá u error ddo por l expresó: M q (p R((,)) = K (z z ) f ( ξ ) ξ f j j j j j j j= ( z,z ) ( j =,...,M ) E l expresó del error que se c de escrr, los vlores de (z j z j- ) q sempre será postvo. Deotdo por h j = (z j z j- ) l logtud del tervlo I j l expresó de error puede rescrrse como: M q (p R((,)) f = K h f j ( ξ j ) ξ j ( z j,z j ) ( j =,...,M ) j= L otecó de u expresó más smple del error (e l que se elme el sumtoro que prece e l guldd teror) se s e el sguete teorem: Teorem 9.. Sedo g(x) u fucó cotu e u tervlo [, ] y ddos M putos { ξ } M j j = del tervlo [, ] y M úmeros reles { α } M j j = todos ellos del msmo sgo y o ulos, exste l meos u puto ξ (,) pr el que se verfc que: 85

88 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López M dode α = α. j= j M j= α g( ξ ) = αg( ξ) j j Demostrcó: Al ser g(x) u fucó cotu y her cosderdo el tervlo [, ] cerrdo, el segudo teorem de Weerstrss segur que l fucó g(x) lczrá u vlor máxmo y u vlor mímo e [, ], verfcádose pr culquer puto ξ [, ] que: x [,] ( ξ ) m g(x) g mxg(x) E prtculr pr cd uo de los putos { x [,] ) S los úmeros { } M ( ξ ) x [,] x [,] ξ } M j j = se verfc: m g(x) g mxg(x) (j =,..., M) () α = fuese todos ellos postvos, ls desgulddes dds j j por l expresó () mplc que: ( m g(x) ) g( ) ( mxg(x) ) x [,] x [,] α α ξ α (j =,..., M) j j j que sumds pr todos los vlores permtdos l ídce j y deotdo por α l úmero estrctmete postvo α = α coduce que: j j= M M M ( m g( x )) ( g ( )) x [,] ( mx g( x ) ) x [,] M ( m g(x) ) ( jg( j) ) ( mxg(x) ) x [,] x [,] αj α j ξj α j j= j= j= α α ξ α j= M m g(x) α jg( ξj) mxg(x) x [,] α x [,] j= M Luego α jg ( ξ j ) tee u vlor termedo etre el meor y el myor vlor α j = de g(x) e [, ]. Al ser g(x) cotu ese vlor termedo será lczdo e, l meos u puto de [, ]. Deotemos por ξ uo de los putos e los que l fucó g tome este vlor termedo. Se verfc etoces que: Segudo teorem de Weerstrss: Tod fucó cotu defd e u tervlo cerrdo lcz u vlor máxmo y u vlor mímo e lguos putos de dcho tervlo. 86

89 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc ξ ξ = α ξ α M [, ] / g( ) jg ( j ) M o lo que es lo msmo: [ ] j ( j) ) S los úmeros { } M ξ, / α g ξ = αg( ξ). dds por l expresó () mplc que: j j α = fuese todos ellos egtvos, ls desgulddes ( m g(x) ) g( ) ( mxg(x) ) x [,] x [,] α α ξ α (j =,..., M) j j j que sumds pr todos los vlores permtdos l ídce j y deotdo por α l úmero estrctmete egtvo α = α coduce que: M j= j ( m g( x )) ( g ( )) x [,] ( mx g( x ) ) x [,] M ( m g(x) ) ( jg( j) ) ( mxg(x) ) x [,] x [,] M M αj α j ξj α j j= j= j= α α ξ α j= M m g(x) α jg( ξj) mxg(x) x [,] α x [,] j= Utlzdo el msmo rzometo que e el cso ), se cocluye que tmé e este cso: M [ ] j ( j) ξ, / α g ξ = αg( ξ) c.q.d. El teorem teror permte demostrr fáclmete el sguete teorem: Teorem 9.. Se f u fucó de clse C p ([, ]), dode el etero p es el ídce que prece e l expresó de l fórmul de tegrcó compuest: M M q (p ϕ(x)dx = c j,ϕ(x j, ) + K h j ϕ ( ξj ) j= = j= Se verfc etoces que exste lgú puto ξ [,] tl que el error de l fórmul de tegrcó l plcrl l cálculo de M q (p R((,)) f = K h j f ( ξ ) j= f(x)dx está ddo por: 87

90 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Demostrcó: Es u cosecuec medt del teorem 9. s e él se tom como fucó g(x) l fucó f (p q (x) y l secuec de úmeros postvos { α } M j = hj. j = c.q.d. E el cso prtculr e que todos los sutervlos I j = [z j-, z j ] teg l msm logtud (h = h j, < j < M) l expresó del error puede smplfcrse ú más y que: M M q (p q (p q (p R f((,)) = K h j f ( ξ ) = K h f ( ξ) = K (M h ) f ( ξ) j= j= y teedo e cuet que e este cso (-) = M h, result flmete l expresó: q (p R((,)) = K ( ) h f ( ξ ) f S l logtud de los sutervlos I j o fuese l msm, puede deotrse por h l myor de ells, h = mxh, y cotrse l expresó del error como sgue: j M j M M q (p q (p f j ξ j j= j= R((,)) = K h f ( ) K h h f ( ξ) = M q (p q (p = K h h j f ( ξ ) = K( )h f ( ξ ) j= Ejemplos º. S l fucó que se tegr f(x) es de clse C ([, ]), l fórmul del trpeco compuest oted e ejemplos terores, preset u error de tegrcó que puede expresrse por R ((,)) h f ''( ξ ) M = 3 f j j j= Este error, segú el teorem 9., puede expresrse e l form: M 3 R((,)) f = hj f"( ξ) ξ [,] j= 88

91 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc E el cso de que todos los sutervlos teg l msm logtud l expresó del error se smplfc : ( ) R((,)) f = hf"( ξ) ξ [,] Y s los sutervlos I j tee logtudes dferetes, deotdo por h l myor de ls logtudes h j de los sutervlos I j, el error puede cotrse por: ( ) R((,)) f h f"( ξ) ξ [,] º. S se clcul el vlor de l tegrl e (, ) de u fucó que se de clse C 4 ([, ]) medte l fórmul de Smpso compuest (oted e ejemplos terores) el error de tegrcó se expres por M 5 (v R((,)) = f h f j ( ξ j ) 88 j= ( ) El teorem 9.. os permte rescrr est expresó del error e l form: M 5 (v R((,)) f = h j f ( ξ) ξ (,) 88 j= S ls logtudes de todos los sutervlos I j e los que se sudvde (, ) es l msm, l expresó del error puede smplfcrse e l form: ( ) = 88 4 (v R((,)) f h f ( ξ) ξ (,) Y s l logtud de los sutervlos I j o es costte, el error de tegrcó está cotdo por: ( ) 88 4 (v R((,)) f h f ( ξ) ξ (,) dode se h deotdo por h l myor de ls logtudes de los sutervlos I j, h = mx h. es decr ( j ) j M NOTA: 89

92 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Osérvese que l cotcó relzd pr el error de tegrcó de ls fórmuls compuests hce terver l potec (q-)-ésm de l logtud del myor de los M sutervlos e que se sudvde el tervlo cl de tegrcó. Ello segur, dferec de lo que sucedí co ls fórmuls smples, que hcedo teder l logtud de los sutervlos hc cero el vlor proxmdo tederá hc el vlor excto de l tegrl. E otros térmos, co ls fórmuls compuests puede segurrse l covergec hc el vlor excto. Ejerccos propuestos º) Oteer l fórmul de Mle compuest sí como l expresó de su error y u cot del msmo. º) Oteer l fórmul compuest que utlz e cd sutervlo de tegrcó u fórmul de Newto-Cotes ert co 4 putos de soporte. Oteer tmé l expresó de su error y u cot del msmo. 3º) ) Utlzr l fórmul del trpeco compuest pr clculr el vlor de: 3 π / 4 se e x ( π ) Relícese los cálculos co 3, 6 y sutervlos de gul logtud. dx ) Repítse el prtdo teror pero utlzdo hor l fórmul de Smpso compuest. 9

93 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc. El método de Romerg. Cosderemos l fórmul compuest del trpeco oted e el prtdo teror, co u sudvsó del tervlo de tegrcó (, ) e M sutervlos (z -, z ) ( =,..., M) todos ellos de l msm logtud h: M f() + f() f(x)dx h + f(z j ) j= Segú se dedujo e el prtdo teror, s l fucó f(x)que se tegr es de clse C (([, ]), el error de tegrcó umérc cometdo co est fórmul puede expresrse, medte: ( ) R((,)) f = hf"( ξ) ξ [,] que revemete lo expresremos dcedo que el error es de orde O(h ). Esto os dc que s el úmero de sutervlos cosderdos fuese el dole, M, el error de tegrcó se reducrí, proxmdmete, l curt prte. Y s el úmero de sutervlos fuese el trple (reducedo l logtud de cd sutervlo l tercer prte) el error se reducrí l ove prte. E geerl, el error cometdo co (k M) sutervlos será, proxmdmete, (/k ) veces el error cometdo co sólo M sutervlos. Ello justfc que cudo el úmero de sutervlos (de l msm logtud) ted fto el vlor proxmdo, teórcmete 3, ted l vlor excto de l tegrl. Ejemplo: L fgur sguete recoge l evolucó del error de tegrcó umérc cometdo l plcr l fórmul del trpeco compuest l estmcó de l tegrl π x ese(x)dx sudvdedo el tervlo [, π] e m sutervlos y sgdo m los vlores m =,,...,. Puede precrse e dch gráfc l reduccó cudrátc del error. 3 Decmos teórcmete pues l cremetr el úmero de sutervlos tmé se cremet el úmero de opercoes y co ello, s se oper e rtmétc decml ft, el error de redodeo. 9

94 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Error m Evolucó del error de tegrcó umérc otedo l plcr l fórmul del trpeco compuest co m sutervlos π x ese(x)dx E l práctc, por u prte, o se puede operr co ftos sutervlos y, por otr, el cremeto del úmero de opercoes (e rtmétc ft) collev el umetr de mer dscrmd el úmero de tervlos troduzc, prtr de u determdo vlor, errores de redodeo que se myores que l gc dervd de l reduccó de l logtud de los sutervlos coducedo resultdos peores que los otedos co u sudvsó meos f. Ejemplo: L fgur sguete recoge el comportmeto errátco del error de tegrcó umérc cometdo l proxmr π x ese(x)dx co l fórmul del trpeco compuest utlzdo sudvsoes e m sutervlos de gul logtud y co vlores de m compreddos etre 4 y 5 sutervlos. Los cálculos fuero relzdos co el progrm MAPLE 7 utlzdo 6 dígtos sgfctvos. 9

95 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Error m Evolucó del error de tegrcó umérc otedo l plcr l fórmul del trpeco compuest co m sutervlos π x ese(x)dx Es tereste dspoer de fórmuls compuests co u error de myor orde pr que sí cremetos moderdos del úmero de sutervlos colleve reduccoes myores del error de tegrcó umérc. Algus de tles fórmuls puede oteerse segú se descró e el prtdo teror y preset u error de orde superor (como ls de Smpso compuest, regl de 3/8 de Newto compuest, Weddle compuest,...). Pero tmé ecest u myor úmero de putos e cd sutervlo y, co ello, u myor volume de opercoes. U estrteg ltertv, sd e el método del trpeco, pr cremetr el orde del error e ls fórmuls de tegrcó es el método de Romerg e el que comdo proxmcoes de meor orde puede oteerse uevs proxmcoes más precss del vlor excto de l tegrl que se quere clculr. Este método se s e l deomd fórmul del sumtoro de Euler-Mclur que os permte expresr el error de tegrcó cometdo co l fórmul del trpeco compuest de u mer más útl pr uestros ojetvos. Por ello, tes de ordr el método de Romerg propmete dcho, psmos presetr l fórmul de Euler-Mclur e el próxmo suprtdo. 93

96 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López. L fórmul del sumtoro de Euler-Mclur Cosderemos u fucó f(ξ) sufcetemete regulr (e u setdo que explctremos más delte) e el tervlo [, ] y se p (ξ) u polomo de prmer grdo cuy prmer dervd se l fucó udd es decr de l form p (ξ) = ξ + α, dode, e prcpo, α puede ser culquer costte rel rtrrmete elegd. Co est otcó ovmete se verfc que: V = f( ξ)dξ = f( ξ)dξ = p '( ξ) f( ξ)d ξ exc Itegrdo por prtes se otee: exc ] V = p ( ξ) f( ξ) p ( ξ) f'( ξ)d ξ Se hor p (ξ) culquer polomo de segudo grdo cuy prmer dervd se p (ξ), es decr p (ξ) = (½)ξ + α ξ + α, pudedo elegrse, e prcpo, α rtrrmete. Co est otcó se tee que: ] ] ] V = p ( ξ) f( ξ) p '( ξ) f'( ξ)dξ = p ( ξ) f( ξ) p ( ξ) f'( ξ ) + p ( ξ) f"( ξ)d ξ exc Este proceso puede geerlzrse cosderdo u sucesó de polomos { ξ } = p( ), defdos prtr del polomo p (ξ) y tles que p '( ξ ) = p ( ξ), k k k k oteédose que, pr todo etero postvo r, s f(ξ) es de clse C r ((,)): r = ξ ξ = (j ) (j r (r ξ ξ exc j + ξ ξ ξ r j= V f( )d ( ) p ( ) f ( ) ( ) p '( ) f ( )d () L expresó () puede smplfcrse s l fml de polomos { ξ } = p( ) se k k elge decudmete. Pr ello oservemos que los polomos p k (ξ) ( < k) que se h utlzdo preset u cojuto de costtes α, α,..., α k,... que puede tomr culquer vlor. Pr defr de mer más cocret los polomos que teres uestros ojetvos sgremos vlor dchs costtes mpoedo lgus codcoes dcoles sore los polomos. Cocretmete mpodremos que: 94

97 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc p( ξ)dξ = (k =,,...) k Ello os coduce que el prmero de los polomos de est fml dee ser p( ξ ) =ξ. El cálculo del segudo puede relzrse e l form: deedo verfcrse que: ξ p() ξ = (z + = ξ )dz C ( ) + C / ( ξ ) ( ξ ξ+ = = ) d C C d ξ= = por lo que: p() ξ = ξ 4 El polomo p 3 (ξ) puede oteerse de mer smlr medte: ξ 3 p() ξ = (z + = ξ ξ ) dz C ( ) ( ) + C 4 3! / dode l costte C 3 se escoge de form que: por lo que: p()d ξ ξ = C = C = p() ξ = ξ ξ 3 ( ) ( ) 3! 4 E geerl, podemos dmtr que pr u determdo vlor del etero k se verfc que: k j ( ) p ( ξ ) = β ξ k k,j j= y que p k- () = p k- () =. Oservemos que esto sucede pr k = (polomo p 3 (ξ)) co β 3, = -/4 y β 3, = /6. Se tee defrí etoces el sguete polomo de l fml, p k (ξ), medte: 95

98 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López β ξ = k k,j j ( ξ k ) + j= j p ( ) C k que es u fucó pr e (ξ ½) (es decr que p k (½+t) = p k (½-t) ). El vlor de l costte se determrá de mer que p ( ξ)dξ=. Deotemos por β β k,j+ = j k,j (j =,..., k) y por β k, = C k. k Aálogmete el sguete polomo de l fml, p k+ (ξ), se determ por: β p ( ) C + + ξ = k k,j j ( ξ k ) + k + j= j deedo verfcrse hor que: β p ( ξ)dξ= ξ dξ+ C C = k+ k,j j k + ( ) + + = k k j j βk,j por lo que llmdo β k+,j = j+ (j =,..., k+) se podrá escrr p k+(ξ) e l form: k + + k j= ( ) p ( ξ ) = β ξ k,j j que es u fucó mpr e (ξ ½) (es decr que p k+ (½+t) = -p k+ (½-t) ) de expresó álog quell de l que prtmos pr p k- (ξ). Utlzdo el hecho de que p k- () = p k- () = y l relcó etre los coefcetes de los polomos p k- (ξ) y de p k+ (ξ), fáclmete se verfc demás que p k+ () = p k+ () =. E resume, jo ls codcoes e que hemos defdo l fml de p( ξ), se verfc que los polomos co suídce pr so polomos { } j = j fucoes pres e (ξ ½) pr los que se verfc que p k () = p k () = ρ k metrs que los polomos de suídce mpr so fucoes mpres e (ξ ½) pr los que p k- () = -p k+ () y, demás pr k > los polomos de suídce mpr stsfce que p k- () = p k- () = sedo p () = -p () = ½. 96

99 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Estos hechos os permte rescrr (), pr culquer vlor etero postvo del ídce k e l form: k (j (j (k [ ] exc j k j= V = f( ξ)dξ = f() + f() + ρ f () f () + p '( ξ) f ( ξ)dξ () dode ρ j = p j() = p j() (j =,,...). L expresó () proporco el vlor excto de l tegrl f( ξ)d ξ. S sedo m u etero o egtvo se dese clculr l tegrl de u fucó f(t) de clse C k ([m, m+]) e el tervlo [m, m+] l expresó () puede dptrse fáclmete s más que cosderr el cmo de vrle t = m + x que trsform [,] e [m, m+]. Co él se tee que: m+ k (j (k [ ] j k m j= f(t)dt = f(m) + f(m+ ) + ρ f (m+ ) f(m) + p ( ξ )f (m +ξ)dξ A su vez est expresó puede usrse pr clculr el vlor de l tegrl de f(t) e u tervlo [, N] dode N es u etero postvo 4. E efecto st pr ello cosderr que: N N m+ f(t)dt = f(t)dt m= m por lo que, plcdo l expresó teror cd u de ls tegrles e [m, m+] y sumdo se tee que: N f(t)dt f() f()... f(n ) f(n) f (N) f () k (j (j = ρ k + j= (k (k (k ( ) + p ( ξ) f ( ξ ) + f ( +ξ ) f (N +ξ) d ξ k De est expresó se fere que, s f es u fucó de clse C k ([, N]): 4 No sstremos más e detllr que l fucó f(t) dee ser l meos de clse C k ([, N]) pr que l expresó utlzd teg setdo. 97

100 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López N k (j (j = ρ k j= f() f()... f(n ) f(n) f(t)dt f (N) f () (k (k (k ( ) p ( ξ) f ( ξ ) + f ( +ξ ) f (N +ξ) d ξ (3) k L expresó (3) se cooce como fórmul del sumtoro de Euler Mclur 5. Pr k = l fórmul teror se escre como: f() + f() f(n ) + f(n) = f(t)dt [ f '(N) f '()] ( ) p ( ξ) f"( ξ ) + f"( +ξ ) f"(n +ξ) d ξ (4) N Y pr k = : f() + f() f(n ) + f(n) = f(t)dt [ f '(N) f '()] + + [ f '''(N) f '''() ] p (v (v (v 4 ( ξ ) ( f ( ξ ) + f ( +ξ ) f (N +ξ ) ) d ξ 7 N (5) L utldd de l fórmul de Euler-Mclur pr mejorr l precsó de ls fórmuls de tegrcó rdc e que el térmo que está l zquerd de l guldd se correspode co l fórmul del trpeco compuest plcd l tervlo [, N] y co N sutervlos de logtud udd. Ello hce que se fáclmete dptle tervlos [, ] geércos s estos se sudvde e sutervlos de l msm logtud y se oper co l fórmul del trpeco compuest. E est de se s el método de Romerg que desrrollmos e el suprtdo sguete. 5 E hoor los dos mtemátcos que, l precer de form depedete, l descurero y pulcro: Leohrd Euler (Bsle (Suz) 77 S Petersurgo (Rus) 783) que le comucó e u crt de 736 Jmes Strlg este proceso pr clculr sumtoros dcádole que lo hí presetdo terormete e coferecs mprtds e l Acdem de S Petersurgo, y Col Mclur (Klmodm (Escoc) 698 Edmurgo (Escoc) 746) que l pulcó e 74 e su or Tretse of fluxos s e el propo Jmes Strlg hí comucdo 4 ños tes Euler que Mclur hí demostrdo tmé dch fórmul. Tto Euler como Mclur otuvero est fórmul o y pr el cálculo de tegrles so pr el cálculo de sums prcles de seres umércs. 98

101 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc.. El método de Romerg. E prmer lugr oservemos que el cmo de vrle x = + t es u M plccó fí que permte trsformr el tervlo [, M] e el tervlo [, ] de form tl que l vlor de t correspodete l etero < < M le correspode el puto z = + h sedo h = (-)/M. Co est otcó, sedo k u etero o egtvo y f u fucó de clse C k ((, )), el uso del cmo de vrle x = + t h y de l fórmul de Euler- Mclur (3) os permte escrr que: + M f(x)dx = hf( + th)dt = h f() + f(z ) f(z M ) + f() + k M j (j (j k+ (k k k j= = ρ h f () f () + h p ( ξ ) f (z +ξ) d ξ (6) Los prmeros térmos de este desrrollo puede escrrse e l form: f(x)dx = h f() + f(z ) + f(z ) f(z M ) + f() 4 h h [ f '() f '()] + [ f '''() f '''()]... 7 El prmer sumdo l derech de l guldd puede terpretrse como el vlor proxmdo que proporco l fórmul del trpeco compuest cudo se plc l cálculo l tegrl defd de f(x) e el tervlo (, ) sudvdédolo e M sutervlos de détc logtud h. Deotdo por V,M dcho vlor proxmdo, se tee que: 4 h h Vexc = f(x)dx = V,M [ f '() f '()] + [ f '''() f '''()]... 7 (7) S el método del trpeco se huer plcdo co el dole se sutervlos, todos ellos de l msm logtud h/, el msmo rzometo os coducrí que: 99

102 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López 4 ( h h ) ( ) Vexc = f(x)dx = V,M [ f '() f '()] + [ f '''() f '''()]... = 7 4 h h = V,M [ f '() f '()] + [ f '''() f '''()] (8) S l expresó (8) se multplc por 4 se tee que: 4 h h 4Vexc = 4V,M [ f '() f '()] + [ f '''() f '''()] (9) de dode, restdo (7) de (9) se tee que: 4 3 V exc = 4V,M V,M + h [ f '''() f '''()] V,M V,M h V exc = [ f '''() f '''()] L expresó teror os muestr que s se clcul l proxmcó de f(x)dx medte l fórmul del trpeco compuest prmero co M sutervlos gules (de logtud h sufcetemete pequeñ y oteedo V,M ) y posterormete co M sutervlos gules (de logtud h/ y oteedo V,M ) puede refrse l proxmcó tomdo como vlor proxmdo de l 4V,M V,M tegrl el vlor ddo por l expresó: f(x)dx V,M y que de 3 est form se comete u error del orde de O(h 4 ) e lugr de O(h ). Est form de proceder es l que se cooce htulmete co el omre de método de Romerg. Pr lgerr l otcó deotremos e cuto sgue ls proxmcoes oteds medte el método del trpeco compuesto co ( j M) sutervlos como V,j y ls oteds medte l fórmul de Romerg prtedo de V,j- y V,j por V,j, es decr: V,j = (4V,j V,j- )/3 = V,j (V,j V,j- )/3. Co est otcó V, se correspode co el vlor que terormete hemos deotdo V,M. Aálogmete V, es el vlor hst quí deotdo por V,M y el vlor V, (tes deotdo V,M ) se otee medte: V, = (4 V, V, )/3 = V, + (V, V, )/3.

103 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Ejemplo: Cosderemos l fucó f(x) = se(x)(x ½ )(x- 3 ). L fml de fucoes prmtvs de f(x) est dd por l expresó: 5 F(x) = cos(x) + x x + se(x) ( x ) ) + C 4 y su tegrl e [, ] tee el vlor: 5 f(x)dx = (cos() ) + se() = L tl sguete recoge, e su segud colum, los vlores proxmdos co dígtos, de l tegrl oted l plcr l fórmul del trpeco l cálculo de est tegrl dvdedo [, ] e = j sutervlos de l msm logtud y sgdo los vlores,, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56 y 5. Deotdo por V,j dchos vlores, l tercer colum recoge los vlores los que coduce l plccó de l fórmul de Romerg ddos por V,j (4 V V ) pr j =,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. =( 3 ) t, t, / V,j V,j E ell puede oservrse cómo co l correccó propuest por Romerg se lcz u precsó e los prmeros decmles pr = 4 (metrs que l fórmul del trpeco s est correccó exgrí sudvdr el tervlo [, ] e 6 sutervlos pr poder oteer el segudo decml correcto). L precsó e los tres prmeros decmles se lcz usdo el método de Romerg co 8 sutervlos (frete los 3 ecesros s o se us est fórmul). Los 5 prmeros decmles exge 3 sutervlos s se utlz l fórmul de Romerg o 56 s o se utlz.

104 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López El método de Romerg puede geerlzrse pr, prtr de ls proxmcoes: V, = 4V V,, 3 y V, = 4V V,, 3 (j=,,...) oteer u proxmcó V,j+ más precs que ls terores. E efecto, segú se otuvo terormete: 4 h Vexc = V, [ f '''() f '''()] por lo que, de mer álog: 4 (h / ) Vexc = V, [ f '''() f '''()] Restdo l segud expresó multplcd por 6 l prmer expresó se tee que: 6 5V = 6V V + O(h ) exc,, por lo que: V, 6V V = 5,, es u proxmcó de orde O(h 6 ) más precs que ls proxmcoes V, y V,. E geerl, s se utlz ls proxmcoes oteds co ( j- M), ( j- M) y ( j M) tervlos se tedrá V,j 6V V = 5, j, j (j > ) proxmádose, pr fucoes de clse C 6 ([, ]), l sucesó de vlores { },j = V hc el vlor excto co u velocdd de covergec O(h 6 ). j Ejemplo: Co l msm fucó f(x) = se(x)(x ½ )(x- 3 ) l tl sguete recoge ls proxmcoes oteds l utlzr veces el método de Romerg, hédose deotdo por V,j ls seguds proxmcoes de Romerg que fgur e l curt colum:

105 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc V,j V,j V,j Los vlores terores puede comprrse co el vlor excto pr compror l mejorí e l precsó que proporco l retercó del proceso de Romerg 6. De form más geerl, el método de Romerg clcul l tl: V, V, V, V, V, V, V,3 V,3 V,3 V3,3 V,4 V,4 V,4 V3,4 V4, dode, ddo u vlor de M, los vlores de l prmer colum V,j se otee se otee proxmdo f(x)dx medte l fórmul del trpeco compuest co ( j M) sutervlos y los vlores V k,j de l colum k-ésm se otee prtr de los vlores de l colum teror medte l fórmul: V k,j = V k 4Vk,j k,j k 4 ( k =,,...; j = k, k+,...) 6 De hecho los tres últmos vlores empeor l proxmcó oted pr = 8. Ello es dedo l fluec de los errores de redodeo cometdos l operr sólo co decmles. Cosúltese los putes sore errores de redodeo pr lzr l fluec de este tpo de errores e los cálculos. 3

106 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Los rzometos prevmete relzdos muestr que, s l fucó f(x) es de clse C k ([, ]), los vlores de l colum k-ésm coverge hc el vlor excto de l tegrl co u velocdd del orde O(h (k+) ). NOTA ª: ª) El método de Romerg permte clculr de form precs ls tegrles de umeross fucoes co u úmero reltvmete jo de sutervlos (6, 3 o 64 suele ser sufcetes). No ostte deemos sstr e que pr que ello ocurr l fucó que se tegr dee ser lo sufcetemete regulr sore el tervlo e que se tegr (de clse C k ([,, ])). S est regulrdd o tee lugr el método de Romerg perde su efcc. Es más, s l fucó f(x) está cerc de ser sgulr (es decr s e certs zos lgus dervds de f(x) tee vlores solutos elevdos) el método tmé puede perder su efcec orgdo colums de vlores { k,j} V j = k que, e sus prmeros vlores, coverge hc el vlor excto de l solucó co u velocdd de covergec del msmo orde que ls colums terores. Ello mplc que e dchos csos dee cosderrse prtcoes más fs del tervlo de tegrcó cremetádose sí el coste computcol (y ddo lugr que los errores de redodeo pued teer presec sgfctv e los resultdos). Este hecho se poe de mfesto e el ejemplo sguete. Ejemplos: Evluemos umércmete α x postv. El vlor excto de est tegrl es: (e ) α dx dode α es u costte rel e V exc α ( e ( α + ) ) α α ( ) α x (e α x) = = α α(e ) e α x e L fucó tegrr, f(x) = α e, es u fucó de clse C ([, ]) pues su dervd dervd de orde k, f (k k α α x (x) = e es u fucó cotu e el α e tervlo [, ] se cul se el vlor de k. Pero pr vlores sufcetemete α α x elevdos de α l prmer dervd de est fucó, f (x) = e, puede α e tomr grdes vlores e toro l puto (del orde de α) sedo dchos vlores pequeños pr vlores sufcetemete lejdos por l zquerd de 4

107 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc (del orde de α / (e α -)). E resume, pr vlores sufcetemete elevdos de l fucó ps de vlores cs ulos vlores próxmos e u estrech frj del tervlo [, ] (llmd e ocsoes cp límte ). Ls fgurs sguetes recoge el grfo de ls fucoes f(x) correspodetes los vlores α =, α = 5 y α = 3 e lustr este hecho. f(x) = (e αx -)/(e α -) α = α = 5 α = 3 Por dcho motvo el método de Romerg perde efcc medd que se elv el vlor de α e l expresó de l fucó f(x) tegrr. Por ejemplo, pr el vlor α = 3 los prmeros vlores de l tl de Romerg otedos co j tervlos (j =,,..., 8) so los sguetes: j V,j V,j V,j V3,j V4,j

108 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Puede oservrse que e tods ls colums, l reducr el tmño de los sutervlos l mtd, el error se v reducedo, proxmdmete, l mtd. Est stucó cm pr colums más l derech o pr fls prtr de l correspodete j = 7; e otros térmos, el método de Romerg comez ser efcz pr u vlor sufcetemete elevdo del úmero de sutervlos ( prtr de 56) cudo se comez proxmr co sufcete precsó l cp límte. Osérvese que e el ejemplo teror, l vst de l gráfc de l fucó, huer stdo co refr l prtcó e toro l cp límte cerc l scs x =, o oteédose mejor sustcl de los vlores proxmdos co ls sudvsoes cercs l scs x =. Ello muestr que e l práctc es tereste poder dspoer de detectores del error e cd sutervlo pr refr sólo quellos e los que l precsó oted o se dmsle. E l ot 5ª volveremos sore este specto. NOTA ª: L tegrcó medte l regl del trpeco compuest de fucoes peródcs sore u tervlo que se correspod co u úmero etero de perodos o g d co l plccó del método de Romerg, u e el cso e que l fucó peródc se de clse C. E efecto, s se recosder l expresó (6) f(x)dx = h f() + f(z ) f(z M ) + f() + k M j (j (j k+ (k + ρ k h f () f () + h p k( ξ ) f (z +ξ) d ξ j= = y se sume que f(x) es de clse C ([,]), y que - es gul u úmero etero de cclos (y por tto se verfcrá que f() = f() y f ( () = f ( () >) el orde del error puede hcerse t elevdo como se quer l ser ulo, pr culquer vlor de k que se escoj, el sumtoro k j (j (j ρ k j= h f () f (). E otros térmos, l prop fórmul del trpeco compuest es, e est stucó, de orde t elevdo como se desee. Este hecho se lustr co el sguete ejemplo. 6

109 Progrmcó y Métodos Numércos Itegrcó umérc Ejemplo: L tl sguete recoge, usdo j sutervlos m, ls proxmcoes del π 4 cos(x)*( se(x) dx, cuyo vlor excto es 8π. vlor de ( + + ) j V, j V, j V, j V 3, j V 4, j π 8π π 3 8π 8π 36 π π 8π 8π 678 π π 8π 8π 8π π 795 Puede oservrse que los vlores exctos y so otedos l plcr l fórmul del trpeco co sutervlos, o producédose por ello mejor e l precsó l utlzr el lgortmo de Romerg. L fgur de l fucó (y del proceso de tegrcó usdo l fórmul del trpeco) puede lustrr el motvo de l excttud de los vlores otedos co l fórmul umérc. Así cudo se oper co u úco tervlo (j = ) el áre se sore-estm o compesádose el áre clculd e exceso (áre del rectágulo dujdo que está sore el grfo de l curv) co el áre o computd (áre jo el grfo de l curv y sore el ldo superor del rectágulo). 7

110 Itegrcó umérc. Crlos Code, Arturo Hdlgo, Alfredo López Pero cudo se clcul co u úmero myor de sutervlos el áre clculd e exceso es compesd co el áre compredd etre el grfo y los ldos superores de los trpecos. NOTA 3ª: Cosderemos, pr u determdo vlor de M, l proxmcó V, de f(x)dx oted por el método del trpeco compuesto l sudvdr [, ] e los M sutervlos de détc logtud [z -, z ] ( =,..., M) co z j = + j h (j =,.., M) y sedo h = (-)/M. Dch proxmcó está dd por: = + + M V, h (f() f()) f(z ) j= S hor se duplc el úmero de sutervlos, dvdedo cd uo de ellos e dos y se vuelve plcr l fórmul del trpeco compuest se tedrá que: M M h z + z+ V, = (f() + f()) + f(z ) + f = = Ests dos proxmcoes so ls que se h utlzdo pr oteer el prmer vlor refdo medte el método de Romerg: M M 4V, V, h z + z+, = = = = V f() f() f(z ) 4 f 8