EXAMEN TEMA 1. Sucesiones, series, dos variables

Transcripción

1 GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma EXAMEN TEMA. Sucesioes, series, dos variables. ptos.) Determiar el valor que ha de teer a R para que se cumpla que + a ) = ) + ). ptos.) Calcular el límite de la sucesió co térmio geeral: + ) + ). ) c = Ayuda: multiplicar y dividir por! detro de la raíz y aplicar Stirlig) 3. ptos.) Dada la fució xy fx, y) = { x + y, x, y) 0,0) 0, x, y) = 0,0) a) 0, ptos.) Demostrar que fx, y) = f, ) y 0,5 ptos.) dibujar la curva de ivel x y fx, y) =, x, y) 0,0) b),3 ptos.) Aalizar la cotiuidad e el orige de la fució. 4. ptos.) Dar el radio de covergecia pto.), itervalo de covergecia de la serie de potecias, pto.) Sx) = + ) = 5. ptos.) Estudiar la covergecia de las siguietes series: a)0,5 ptos.) b)0,8 ptos.) c)0,7 ptos.) = +!) = )! 4+) = 5 +) x

2 GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma EXAMEN TEMA. Sucesioes, series, dos variables. ptos.) Determiar el valor que ha de teer a R para que se cumpla que + a ) = ) + ) Calculemos + a ) + a + ) + a ) = + a + ) = Por lo tato a = 3. a + a + ) = a + a + ) = + a + a + ) = a ) + ) = )) + ) = 3. ptos.) Calcular el límite de la sucesió co térmio geeral: + ) + ). ) c = Ayuda: multiplicar y dividir por! detro de la raíz y aplicar Stirlig) + ) + ). ) =e ) c e = ) =!+)+).) = )!! = 4 = 4 e e! = e ) 4π e ) π = e ) ) =

3 GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma 3. ptos.) Dada la fució xy fx, y) = { x + y, x, y) 0,0) 0, x, y) = 0,0) a) 0, ptos.) Demostrar que fx, y) = f, ) y 0,5 ptos.) dibujar la curva de x y ivel fx, y) =, x, y) 0,0) b),3 ptos.) Aalizar la cotiuidad e el orige de la fució a) f x, y ) = xy x + y = xy x +y x y = xy x +y = fx, y) fx, y) = x + y = xy x + y xy = 0 x y) = 0 x = y Por lo tato se trata de la bisectriz del primer cuadrate b) Comprobamos las codicioes de cotiuidad:. f0,0) = 0,. x,y) 0,0) fx, y)? Vamos a ver co u cambio a polares x,y) 0,0) x=ρ cos θ y=ρ si θ ρ cos θ si θ fx, y) = ρ 0 ρ = cos θ si θ De dode deducimos que dicho límite o existe, co lo cual o es cotiua Coclusió: la fució o es cotiua e el orige. 4. ptos.) Dar el radio de covergecia pto.), itervalo de covergecia de la serie de potecias, pto.) Sx) = + ) = x Calculemos co la fórmula de la raiz su radio de covergecia, etoces 3

4 GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma + ) = + ) = + ) = e + ) = e Por lo que el radio de covergecia vale R=e y el itervalo de covergecia es e, +e). 5. ptos.) Estudiar la covergecia de las siguietes series: a)0,5 ptos.) b)0,8 ptos.) c)0,7 ptos.) a) = + = +!) = )! 4+) = 5 +), comparádola co la serie = calculamos + 3 = 3 + = < Y como = coverge, lo hará tambié la del euciado b)!) = )! 3, aplicado el criterio del cociete a + a + )! + )! )! = )! )! + )! Por lo que se trata de ua serie covergete. 4+) c) = ahora aplicamos el criterio de la raíz 5 +) Por lo que se trata de ua serie divergete. a 4 + ) = 5 + ) = 6 5 > = + ) + ) + ) = 4 < 4

5 GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma EXAMEN TEMA. Sucesioes, series, dos variables. ptos.) Calcular el límite de las sucesioes co térmio geeral:!! = =! )! = ) ) ) = e ) a =! = e, por el criterio de razó y raíz.. ptos.) Aalizar la cotiuidad e el orige de la fució y 6 fx, y) = {y x) + y 6, x, y) 0,0) 0, x, y) = 0,0) Comprobamos las codicioes de cotiuidad:. f0,0) = 0,. x,y) 0,0) fx, y)? Vamos a ver los límites reiterados fx, y)) = 0 6 x 0 y 0 y 0 0 x) + 0 6) = 0 fx, y)) = y 6 y 0 x 0 y 0 y 0) + y6) = y 6 y 0 y 4 + y6) = x 0 y + y ) = 0 Al ser iguales, sólo podemos deducir que si existe el límite, ha de valer este valor comú. Calculemos dicho límite por parábolas x,y) 0,0) y= x fx, y) = x 0 x 3 x x) + x 3) = Cómo éste valor es distito del valor que habría de teer el límite, si existiera, deducimos que el límite de la fució e el orige o existe. 5

6 GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma Coclusió: la fució o es cotiua e el orige. 3. ptos.) Estudiar la covergecia de la siguiete serie:!) = 3 Al tratarse de ua STP podemos usar el criterio del cociete, etoces + )!) = a + 3 a 3 +) Pero ++ x 9 = +x+ x 9 x = = x!) = x+ 9 x = l 9 = x cosecutivas la regla de LHopital. Por lo tato Y la serie dada es covergete. a + a = 0 < + ) 3 + = x l 9) =0, aplicado dos veces 4. ptos.) Dada la fució fx, y) = l x +y ) ) defiició y b) pto.)calcular x,y) 0,) x x +y ), se pide a) pto.)calcular su domiio de a) Calculemos los putos que aula el deomiador de la fució, l x + y ) ) = 0 x + y ) = x + y ) = Éstos so los de la circuferecia cetrada e el puto 0,) y de radio uo. E estos putos la fució o está defiida. Tampoco lo está e los que hace egativo iguo) o cero el argumeto del logaritmo, esto es e el puto 0,). La raíz o excluye putos del domiio ya que su argumeto es siempre positivo suma de cuadrados). Coclusió Domf)= {x, y): x, y) 0,), x + y ) }. x b) x,y) 0,) x = 0 = +y ) { x = ρ cos θ ρ cos θ) } = ρ 0 0 y = + ρ si θ = ρ cos θ) +ρ si θ) 0 θ<π = cos θ) = cos θ), d e dóde cocluimos que dicho límite o existe ρ 0 0 θ<π 6

7 GRUPO Ma 4-5) CÁLCULO Facultad de Iformática UPM) 5-Juio - 05 Tiempo: horas º º 3º 4º 5º suma 5. ptos.) Dar el radio de covergecia, itervalo de covergecia de la serie de potecias pto.) Sumádola, si es posible para x=. pto.) Sx) = ) x = Calculemos co la fórmula del cociete su radio de covergecia, etoces h + = h ) + ) = = R Por lo que el radio de covergecia vale R= y el itervalo de covergecia es, +). Para x=, la serie umérica asociada es S= =, Pero = ) ) Etoces S= = ) ). Calculamos, a partir de aquí las sumas parciales sucesivas S =, S 3 = +, S 3 4 = + +,,, S N = N Co lo que la suma de la serie vale N S N = N N = 7