Computación Científica. Ciencias Computacionales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez

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1 Ciencias Computacionales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez

2 Errores y Aritmética de Punto Flotante INAOE Ciencias Computacionales

3 Objetivos Identificar las fuentes de error en la computación científica. Determinar si un problema esta bien o mal condicionado. Representar un número real en un sistema numérico de punto flotante. Gustavo Rodríguez Gómez 3

4 Contenido Introducción Conceptos básicos Aritmética de punto flotante Ejemplos de cálculos de punto flotante Casos de estudio Gustavo Rodríguez Gómez 4

5 Contenido Introducción Conceptos básicos Aritmética de punto flotante Ejemplos de cálculos de punto flotante Casos de estudio Gustavo Rodríguez Gómez 5

6 Introducción Los errores en la tienen diferentes orígenes: El modelado que da origen al problema matemático (hipótesis y simplificaciones). Incertidumbre en los datos del problema. Discretización del modelo. La codificación del modelo. Errores de redondeo. Gustavo Rodríguez Gómez 6

7 Contenido Introducción Conceptos básicos Aritmética de punto flotante Ejemplos de cálculos de punto flotante Caso de estudio Gustavo Rodríguez Gómez 7

8 Conceptos Básicos Sea xˆ una aproximación a x. Las medidas más útiles de la exactitud de xˆ son su error absoluto E abs ( xˆ) = x xˆ, y su error relativo E rel ( xˆ) = x x xˆ. Gustavo Rodríguez Gómez 8

9 Conceptos Básicos (cont...) Un problema matemático con datos de entrada x y salida y = f (x )está bien condicionado si Pequeños cambios en x siempre originan pequeños cambios en y. Si los cambios en y son grandes el problema está mal condicionado. Gustavo Rodríguez Gómez 9

10 Conceptos Básicos (cont...) Un problema puede estar bien o mal condicionado dependiendo de cómo son medidos los cambios. Gustavo Rodríguez Gómez 0

11 Conceptos Básicos (cont...) Un concepto relacionado con la condición es la estabilidad. Un algoritmo es estable si pequeños cambios en su entrada originan pequeños cambios en su salida. Si los cambios producidos son grandes el algoritmo es inestable. Gustavo Rodríguez Gómez

12 Condición de una Función Condición de una función f (x) diferenciable. Suponga que x se perturba a x + εx Cambio absoluto en f (x) ( x) f ( x + εx) εx f ( x) f Cambio relativo f x f x + εx f εx f ( x) f ( ) ( ) ( x) ( x) Número de Condición de f (x ): x f f ( x) ( x) Gustavo Rodríguez Gómez 2

13 Condición de una Función Ejemplo. Considere la función f ( x) = 2 Su número de condición es xf ( x) f ( x) Obtener raíces cuadradas es un proceso bien condicionado = x 2 Gustavo Rodríguez Gómez 3

14 Condición de una Función Ejemplo 2. Considere la función 20x f ( x) = 2 ( x ) Su número de condición es xf f ( x) ( x) = 2x 2 x 2 El número anterior puede ser muy grande cuando x Gustavo Rodríguez Gómez 4

15 Algoritmo Inestable Algoritmo Inestable. Considere E E x Integrado por partes obtenemos Primer miembro de la familia n = 0 x n e > L > E n dx para n > L > E. n ne = n 0. = 0,,2, K, E x = e dx = e. 0 Gustavo Rodríguez Gómez 5

16 Algoritmo Inestable Aproximación de E n E n valor comentario E E M E E n exacta es positiva M M M E x0 Exactas M M 0 < E n < Gustavo Rodríguez Gómez 6

17 Algoritmo Inestable Qué está pasando? Hagamos un poco de análisis: suponga que iniciamos con E = E +δ y que no cometemos errores aritméticos al evaluar la recurrencia: Eˆ = E n!δ n n ± Un pequeño cambio en el primer valor E origina grandes cambios en E n Gustavo Rodríguez Gómez 7

18 Contenido Introducción Conceptos básicos Aritmética de punto flotante Ejemplos de cálculos de punto flotante Caso de estudio Gustavo Rodríguez Gómez 29

19 Notación Científica Todo número real y 0se puede escribir en notación científica El número y está normalizado si d 0. A 0. d K se le llama mantisa. d2 La cantidad e se le llama el exponente, es un entero con signo. Existe una ambigüedad. Acordamos que es lo mismo que y = ± 0 + i e. dd2 Ld sd s L 0, 0 d K K Gustavo Rodríguez Gómez 30 9

20 Números en Punto Flotante Los cálculos numéricos en una computadora digital son hechos en aritmética de punto flotante (APF ) Un conjunto de números en punto flotante es un sistema numérico con un número finito de dígitos para aproximar el sistema de números reales empleados en los cálculos exactos. Gustavo Rodríguez Gómez 3

21 Números en Punto Flotante Un conjunto F de números en punto flotante se caracteriza por los siguientes parámetros. La base del sistema β. 2. Un número finito de dígitos en la mantisa n. 3. Un exponente m e M. β, n, m, M, e donde son enteros. Gustavo Rodríguez Gómez 32

22 Números en Punto Flotante Un número flotante tiene la forma donde ± (. d d d 2 3 K d n El conjunto F está normalizado si d 0. Todos los números se normalizan excepto el cero. ) β β 0 β, i =,2, K, n. d i e, Gustavo Rodríguez Gómez 33

23 Números en Punto Flotante El conjunto F no es continuo, su cardinalidad es 2( β ) β n ( M m + ) + Los números en F no están igualmente espaciados a través de todo su rango, excepto cuando se encuentran entre potencias sucesivas de β. Gustavo Rodríguez Gómez 34

24 Números en Punto Flotante La distancia entre dos números consecutivos en j j+ β, β es siempre igual a donde m j M. [ ] β j+ n Sea x un real y fl(x) su representación en F. El error de redondeo se define como fl( x) x Gustavo Rodríguez Gómez 35

25 Números en Punto Flotante El error de redondeo depende de la magnitud de x. Se mide relativo a x, esto es fl( x) x δ ( x) =, x x Entonces δ (x) es el error relativo y además fl( x) = x( + δ ( x)). 0. Gustavo Rodríguez Gómez 36

26 Números en Punto Flotante Es deseable encontrar una cota a δ (x) que sea independiente de x, fl( x) x δ ( x) j β 2 j+ β β 2 n β + n n n redondeo trunca miento redondeo trunca miento Gustavo Rodríguez Gómez 37

27 Números en Punto Flotante La unidad de redondeo (precisión de la máquina) se define como u β = 2 n β Se caracteriza por ser el menor número positivo de punto flotante tal que n redondeo trunca miento u > Gustavo Rodríguez Gómez 38

28 Ejemplo Números Flotantes Un conjunto de PF con n dígitos y base 0, representa a sus números como y 0 d m = ± 0. d d i 0, e M, d 2 Ld 9 para i n m, M 0 e, =,2, K, n, enteros. Gustavo Rodríguez Gómez 39

29 Ejemplo Números Flotantes El número cero es especial es escrito como 0.0L0 0 Tome n =, m =, y M =. El sistema numérico de punto flotante es ,,, Hay que agregar los negativos de cada uno de los números y el cero: m, L,, L, L , , Gustavo Rodríguez Gómez 40

30 Ejemplo Números Flotantes Hay únicamente 55 números en el sistema de PF anterior. Los números no están igualmente espaciados. Gustavo Rodríguez Gómez 4

31 Números en Punto Flotante Se dispone de un número finito de p.f. para representar el sistema de números reales cada número de p.f. representa muchos números reales Si en los cálculos se origina un número cuya representación necesita un exponente e>m diremos que tenemos un rebosamiento (overflow) Gustavo Rodríguez Gómez 42

32 Números en Punto Flotante Si tenemos el caso contrario e < m, se llama subestimación (underflow). Ejemplo. El cálculo del determinante de un sistema de n ecuaciones lineales det = y y 2... y n. Considere M = 00, y =0 50, y 2 =0 60, y 5 =0-30 ( y y2 ) y3 el producto y ( y y ) se puede estimar 2 3 parcial presenta No siempre tenemos asociatividad y y 2 rebosamien to Gustavo Rodríguez Gómez 45

33 Números en Punto Flotante Sea y un número real. Suponga que su exponente está en los rangos permitidos para su representación en la APF. Denotemos la representación de y en la APF por fl (y) La representación fl (y) puede tener dos alternativas Truncado: todos los dígitos después de n son quitados. ( n+ Redondeo: añadimos 5 0 ), a la representación y en notación científica. Gustavo Rodríguez Gómez 46

34 Números en Punto Flotante Ejemplo. Si m = -99, M = 99, n = 5 y π = K Truncado: fl ( ) π = Redondeado: fl ( π ) = Gustavo Rodríguez Gómez 47

35 Ejemplo Unidad de Redondeo Cual es el error relativo cometido en fl (y ) si y es truncado a n dígitos? y fl y ( y) 0.00Ld = 0. d d Ld = 2 En una aritmética decimal con n dígitos la unidad de redondeo u = 0 -n, cuando hay truncamiento. n+ d d n+ n L099L 0.0L000L 0.00L000L 0.0L000L n+ 2 e L 0 L 0 = 0 n e Gustavo Rodríguez Gómez 48

36 Ejemplo Unidad de Redondeo La unidad de redondeo, cuando hay redondeo, es u = 2 0 n u es una cota superior del error relativo cometido al representar y como fl ( y ) Es conveniente la siguiente representación fl ( y) = y( + δ ), δ u Gustavo Rodríguez Gómez 49

37 Exactitud Imposible Suponga que un usuario específica un error absoluto r. Cualquier número es aceptable como aproximación de y si y y y r Expresada en error relativo y y y r Cuando < u r < u y, requisito imposible. y r y Gustavo Rodríguez Gómez 50

38 Conceptos Básicos Exactitud imposible: No es posible computar una respuesta más aproximada que la representación en p.f. de la verdadera solución Gustavo Rodríguez Gómez 5

39 Aritmética de Punto Flotante Las operaciones suma y multiplicación de punto flotante son conmutativas pero no son asociativas ni distributivas. Existen técnicas para el análisis del error de redondeo que evitan algunas de estas dificultades. Es recomendable analizar los algoritmos usando estas técnicas. Gustavo Rodríguez Gómez 52

40 Contenido Introducción Conceptos básicos Aritmética de punto flotante Ejemplos de cálculos de punto flotante Caso de estudio Gustavo Rodríguez Gómez 53

41 Aritmética de Punto Flotante Ejemplo. Defina a F con los siguientes parámetros β = 2, n = 3, m =, M = 2, tome a = 3/8 y b = 5/4. Entonces a,b pertenecen a F, pero a+b no está en F. Demostración. Ya que se concluye que y a [/ 4,/ 2] b [,2 ], = = F. F, Gustavo Rodríguez Gómez 56

42 Aritmética de Punto Flotante Sin embargo, ya que 3/ 8 [,2], implica que luego 2 8 = < = < + F. 3 4 = 4 8, Gustavo Rodríguez Gómez 57

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