1. Estimar el porcentaje de bolsas con peso menor de seis kilos suministrado por el mayorista.

Transcripción

1 Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Hoja 6, curso Ejercicio 1 (Junio 2006, técnicos). Si el intervalo de confianza al 95 % para la media de una población Normal con varianza desconocida es (10,20) para un tamano muestral n = 9. Cuál es el valor del estimador puntual de µ? Y el del estimador de la varianza (cuasivarianza muestral)? Ejercicio 2 (Septiembre 2006, técnicos). Dos encuestas del CIS con sendas muestras aleatorias de 500 y 1500 entrevistados realizadas en 2000 y 2005 indican que la proporción de personas que consideraban el precio de la vivienda como uno de los principales problemas de España había pasado del 27 % al 38 %. Podemos afirmar que ha aumentado significativamente la proporción de españoles que consideran el precio de la vivienda como uno de los principales problemas de España? Ejercicio 3 (Septiembre 2004, técnicos). Un mayorista de alimentación distribuye naranjas envasadas en bolsas de seis kilos. En el contrato de distribucion suscrito con unos grandes almacenes se especifica que el 95 % de las bolsas debe superar ese peso nominal. Para comprobar el cumplimiento del contrato, los técnicos de los grandes almacenes han tomado una muestra de 40 bolsas de naranjas resultando que seis de ellas tienen un peso inferior a seis kilos. Se pide: 1. Estimar el porcentaje de bolsas con peso menor de seis kilos suministrado por el mayorista. 2. Cuál es la distribución muestral del porcentaje estimado en el apartado anterior? 3. Dar un intervalo de confianza para el porcentaje de bolsas con peso menor a seis kilos (nivel de confianza 95 %). 4. Contrastar (α = 0 05) si la cláusula que se recoge en el contrato (95 % de las bolsas con peso superior a seis kilos) es cierta. 1

2 Ejercicio 4 (Junio 2005, técnicos). El tiempo medio de montaje de un artículo no debe superar las 5 horas. Para comprobarlo, se toma una muestra de 11 artículos y se obtienen los siguientes resultados: X = 5 12, Ŝ 2 = Si se supone que el tiempo de montaje se encuentra modelado en forma adeacuada por una distribución Normal, es cierto lo afirmado con anterioridad sobre el tiempo medio de montaje? Ejercicio 5 (Junio 2005, técnicos). Se realizaron 500 exámenes de Estadística. Se toman 50 de ellos al azar y se obtiene una nota media de 7 5 puntos con una desviación típica de 1 punto cuál es el intervalo de confianza para la nota media de los 500 exámenes? Ejercicio 6 (Septiembre 2005, técnicos). Una compañía produce una pieza cilíndrica para un motor. La compañía afirma que el proceso productivo que fabrica estos cilindros es muy preciso, y que la varianza del diámetro no es mayor a cm. Una muestra aleatoria de 10 de dichos cilindros dio una varianza de s 2 = Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen de forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use α = Ejercicio 7 (Junio 2006, superiores). Se toma una muestra de 41 notas de alumnos, 21 alumnos (x 1 ) y 20 alumnas (x 2 ), matriculados en Estadística I, obteniéndose los siguientes resultados: Nota media alumnos 5 14 Cuasidesviación Típica alumnos 2 48 Nota media alumnas 4 97 Cuasidesviación Típica alumnas 1 87 Suponiendo que la variable notas se distribuye de acuerdo a una normal y que la desviación típica es común para alumnos y alumnas. Se pide: 2

3 a) Se puede afirmar que en promedio los alumnos obtienen mejores notas que las alumnas? (α=0 05) b) Generar un Intervalo de Confianza al 95 % para la nota media global, suponiendo σ conocido (σ=2 3) Ejercicio 8 (Septiembre 2006, superiores). Un laboratorio cultiva virus en un medio líquido para la fabricación de una vacuna. De 78 muestras de 1 cm 3 se han obtenido los siguientes resultados: Número de virus Frecuencia a) Suponiendo que la variable sigue una distribución de Poisson, obtener un intervalo aproximado de confianza 95 % para el número medio de virus por cm 3 en la población. b) Contrastar si el n medio de virus por cm 3 esperado es mayor o igual que 1 (nivel de significación 0 05). Ejercicio 9 (Septiembre 2005, superiores). Se realiza un experimento para medir el tamaño de los capullos de una variedad rosal. Para ello se dispone de dos parcelas y una se trata con abono y la otra no, teniéndose los siguientes resultados sin abono: x 1 = 2 6, s 2 1 = 0 11, n 1 = 41 ; con abono extra: x 2 = 2 9, s 2 2 = 0 2, n 2 = 31. Suponiendo normalidad a) Es mayor la varianza de los tamaños de los capullos cuando le ponemos abono extra? b) Un vecino afirma que aportar un extra de abono ni aumenta ni disminuye el tamaño de los capullos. Tiene razón el vecino? 3

4 Ejercicio 10 (Septiembre 2005, superiores). Una muestra aleatoria simple de tamaño 144, extraída de una población normal de varianza poblacional igual a 100, presenta una media muestral 160. Se pide: a) Construir un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional b) Si se quiere, manteniendo el nivel de confianza, que la estimación no diste del verdadero valor poblacional en más de 1 2 uds. Cuál sería el tamaño de la muestra? c) Para el tamaño muestral del apartado a), contrastar la hipótesis al 95 % de confianza, que la media poblacional es inferior a 162 uds. Ejercicio 11 (Septiembre 2004, superiores). Una fábrica requiere ácido sulfúrico como materia prima. La calidad de lo que produce depende en gran parte de la pureza de esta sustancia, la cual es provista por dos proveedores diferentes A y B. Se sabe que la distribución del nivel de pureza es Normal y se toman muestras de tamaño n A = 9 y n B = 16. Obteniéndose los siguientes datos: x A = 0 96, ŝ A = 0 14 ; x B = 0 91, ŝ B = Se quiere determinar si el nivel de pureza medio del ácido sulfúrico difiere entre ambos proveedores con un error que no supere el 10 %. Ejercicio 12 (Junio 2004, superiores). Se quieren comparar las emisiones de CO 2 de dos centrales de generación de energía eléctrica con una potencia nominal de 400MW que utilizan fundamentalmente hulla como combustible, sabiendo que dichas emisiones siguen una distribución normal. Para ello se analizan las emisiones en cada una de las plantas entre los años 1990 y 2000 dando los resultados se muestran a continuación: Planta 1, X Planta 2, Y x = ; y = , (x i x) 2 = ; (y i y) 2 = i i 4

5 1. Construir un intervalo de confianza del 95 % para la media de cada una de las plantas. 2. Qué tamaño deberán tener ambas muestra para que, con una confianza del 95 %, la amplitud del intervalo sea de 300 kt? 3. Se ha realizado el contraste para la igualdad de varianzas, obteniendo que el valor observado del estadístico de contraste es Con este valor se puede aceptar la hipótesis de igualdad de varianzas? F 10,10,0 025 = 3 71 F 11,11,0 025 = 3 47 F 10,10,0 975 = F 11,11,0 975 = F 10,10,0 05 = 2 79 F 11,11,0 025 = 2 82 F 10,10,0 95 = F 11,11,0 95 = Se podría decir, con un 95 % de confianza que ambas plantas emiten la misma cantidad de CO 2 al año? Ejercicio 13 (Septiembre 2003, superiores). Se desea comparar el punto de fusión de dos aleaciones metálicas diferentes utilizadas en soldadura. Dicha comparación es importante, pues a igualdad de resistencia de la soldadura, un menor punto de fusión hace que el proceso de soldadura sea más sencillo y económico. Además, si utilizásemos una temperatura muy alta correríamos el riesgo de deteriorar los elementos que queremos unir con la soldadura. Para hacer dicha comparación se analizan 21 muestras de cada aleación. La media muestral y la desviación típica (corregida) de los puntos de fusión de la aleación A es x A = F y ŝ A = 2 5F, mientras que para la aleación B es x B = 425F, ŝ B = 2 34F. Supondremos que la variabilidad de los puntos de fusión en cada tipo de aleación sigue una distribución normal. a) Puede decirse a la vista de los datos que la aleación A tiene un menor punto medio de fusión que la B? (utiliza α = 0 10) b) Por qué es necesario que los datos sean nornales? razona brevemente la respuesta. 5

6 c) Qué harías si se comprobase que los datos se alejan mucho de la normal? razona brevemente la respuesta. d) Sabiendo que la relación entre grados Farenheit (TFar ) y centigrados (Tcent) es: Tcent = 5/9 (TFar 32), calcula el valor de ŝ A en grados centígrados. 6