Solución La función raíz cuadrada tiene sentido cuando lo de dentro de la raíz es mayor o igual que cero, por tanto:

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1 Análisis Matématico Matemáticas Aplicadas a las CCSS º Bachillerato Ejercicio nº Para qué valores de tiene sentido la siguiente función? Es continua la función? f () La función raíz cuadrada tiene sentido cuando lo de dentro de la raíz es mayor o igual que cero, por tanto: 0 f () Dom(f ) [,] 0 La función f() es continua en su dominio, dado que es suma de tres funciones (una de ellas constante) continuas. En los etremos del dominio, la continuidad se entiende en el sentido de la lateralidad del límite, es decir: f ( ) lim f ( ) y f () lim f () Ejercicio nº Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) f () b) si 0 f () si > 0 a) La función: f () Es continua en todos los puntos de su dominio: R-{-,} En los puntos - y, la función no está definida. b) La función: si 0 f () si > 0 está definida a trozos, mediante dos funciones continuas. En el punto 0, se tiene: lim f () lim ; lim f () lim 0 ( ) ( ) los límites laterales son distintos y la función presenta una discontinuidad inevitable. Ejercicio nº Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) f ( ) b) f ( ) a) Es continua en todos los puntos de su dominio: R-{} La función no estará definida cuando el denominador sea 0, en el punto. b) Es continua en todos los puntos de su dominio: R-{-,} La función no estará definida cuando el denominador sea 0, en los puntos - y. Ejercicio nº Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) f ( ) b) f ( )

2 c) Es continua en todos los puntos de su dominio: R-{0}-(-,-) La función no estará definida cuando el denominador sea 0, en el punto 0, y cuando lo de dentro de la raíz sea negativo (-,-). d) Es continua en todos los puntos de su dominio: R-{0}-(-,-)-(, ) La función no estará definida cuando el denominador sea 0, en el punto 0, y cuando lo de dentro de la raíz sea negativo (-,-) U (, ) Ejercicio nº Halla los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: si a) b) si 8 < f () si < f ( ) si < si > 8 si a) Se trata de una función a trozos. Cada una de las funciones parciales que la definen son continuas en sus dominios. En : f () ; lim f () lim( ) ; lim f () lim, la función es continua. En : f () ; lim f () lim ; lim f () lim(), la función presenta una discontinuidad de tipo inevitable b) Se trata de una función a trozos. Cada una de las funciones parciales que la definen son continuas en sus dominios. En -8: f ( 8) ; lim f () lim( ), la función es continua a la derecha del punto 8 8 En -: f ( ) ; lim f () lim ( ) ; lim f () lim ( ), la función presenta una discontinuidad de tipo inevitable. 8 En : f () ; lim f () lim( ) ; lim f () lim, la función es continua. Ejercicio nº6 Estudia los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: a) f () b) si > 0 f () si 0 a) La función: f () tiene como dominio R-{0} Es continua para cada punto de su dominio. En 0, no está definida y no puede decirse que sea continua o discontinua en dicho punto Tampoco tiene límite en el origen, dado que:

3 lim f () y lim f () o o b) La función: si > 0 f () si 0 tiene como dominio R. Es una función a trozos, tal que cada una de las funciones parciales que la definen son continuas. En 0, carece de límite dado que sus límites laterales son distintos: lim f () y lim f () o o En 0, presenta una discontinuidad inevitable. Ejercicio nº7 9 Dada la función f ( ),hallar el valor que debería tener f() para que dicha 6 función fuese continua en : Problema nº8 Calcula m, n, p y q para que la siguiente función sea continua en todo R: si < 8 m si 8 < f ( ) si - < n p si < q si La función está definida por trozos. Cada una de las funciones parciales que la definen son funciones continuas en sus respectivos dominios. De modo que imponemos la condición de continuidad en cada uno de los puntos donde cambia la definición de la función. 7 - En -8: f ( 8) lim f () lim f () m m En -: f ( ) lim f () lim f () m - En : f () - En : f () lim f () lim f () n p p lim f () lim f () p q q n 6 n 8 9 Problema nº9 Dada la función: si < 7 f () a si 7 Se pide: a) Calcula a, para que la función sea continua en su dominio. b) Representa la función. c) Deduce cuál es su recorrido.

4 a) Se trata de una función a trozos, cuyo dominio es R. Cada una de las funciones parciales que definen la función, son continuas en sus dominios. En 7, se verifica: f ( 7 ) 7 a ; lim f ( ) lim ; lim f ( ) lim ( a ) a Para que la función sea continua en 7, ha de cumplirse 7a > a 0 b) Teniendo en cuenta que: si si f () si < < 7 si > si 7 la gráfica de la función es: A partir del dibujo adjunto, los valores que toma la función son: f () 0 por tanto su recorrido es el conjunto: R 0 { } Ejercicio nº0 Halla las derivadas de las siguientes funciones: a() 6 b() 7 c( ) a '() b'() 0 7 c'() 0 Ejercicio nº Halla las derivadas de las siguientes funciones: a () L b( ) L c() log( ) d() log ( ) a() L L() L( ( ) a'() ( ) b() L L( ) L( ) b'() ( ) )( ) c() log( ) L( ) L(0) L( ) d() log ( ) L() L() c'() L( (0) L(0) L L L L() d'() L

5 Ejercicio nº Halla la derivada de las funciones: a) b) a) D ( ) ( ) b) D ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) Ejercicio nº Halla las funciones derivadas (y calcula sus valores en 0 y -) de las funciones: a() 6 b() 6 (6 6)( ) ( D ( ) ( )( ( ) ) 6) ( ) a ' () ( )( D ( ) ) 6 D ( ) ( ) a' (0) 6 a' ( ) ( 9 ) b' () ( ) 6 b' (0) b' ( ) Ejercicio nº Calcula las derivadas de las funciones: e a() b() e L() L() c () L e a() a'() e e ( e ) e e e ( e ) ( e ) L() L() b() L() b'() c() L L( ) L( ) c'() ( ) L() ( )( ) Ejercicio nº Halla las derivadas de las funciones: a() b() Pasando a forma potencial se tiene: a() a' () 6 6

6 Pasando a forma potencial se tiene: b() b' () Ejercicio nº6 Halla los puntos de la curva: f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) en los que la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Punto de tangencia: T(a,f(a)). Pendiente de la bisectriz: m. Función derivada: f '() Derivada en a: f '(a) a Igualando: a a ± Puntos de tangencia: Para a : T(,) Para a -: T(-,) Ejercicio nº7 Calcula todos los puntos de corte de la recta tangente a la curva de ecuación: y trazada por el punto, con la gráfica de la función. La ecuación de la tangente a la curva: y f() f'()( ) Derivada de la función: f '() Siendo: f () ; f ' () se tiene: Ecuación de la tangente: y ( ) Operando: y Los puntos de corte de la tangente con la curva, son solución del sistema: y y 0 y y 8 Se tienen dos puntos de corte: A(,) y B(-,-8) ( ) Problema nº8 Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la parábola. y que pasan por el punto (,7). Cuáles son las coordenadas de los puntos de tangencia? Sea T(a,f(a)) un punto de tangencia. f () es f '() La derivada de la función La tangente a la curva trazada por T, tiene de ecuación: y f(a) f'(a)(-a) Substituyendo, la tangente en T es:

7 y a a( a) 0 Para que pase por el punto (,7) ha de verificar: 7 a a( a) Operando la ecuación queda: a a T(,) 8a 7 0 a 7 T(7,9) que son los puntos de tangencia buscados. La tangente en T(,) es la recta: y ( ) y La tangente en T(7,9) es la recta: y 9 ( 7) y 9 Ejercicio nº9 Dada la función: f () a b c d Calcula a,b,c,d para que presente un máimo relativo en el punto (,) y un mínimo en (-,-). Con esos valores estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. La función: f () a b c d cuyo dominio es R y su derivada : f ' () a b c verifican: f () a b c d En el punto P(,) : f ' () 0 a b c 0 a ; b 0; c ; d 0 f ( ) a b c d En el punto P(-,-) : f ' ( ) 0 a b c 0 La función resultante es: f () Resultan evidentes las siguientes conclusiones: Para que en - haya mínimo: Si < - la función ha de ser decreciente y para < < la función ha de ser creciente Para que en haya máimo: Si < < la función ha de ser creciente y para > la función ha de ser decreciente. Ejercicio nº0 Estudia qué tipo de crecimiento cóncavo o conveo tienen las siguientes funciones: a) f () L b) f () e c) f () a) La función: f () L tiene como dominio (0, ) Derivadas sucesivas: f '() ; f"() Para > 0, se tiene f'() > 0 y f"() < 0, luego la función es creciente y cóncava. b) La función: f () e tiene como dominio R

8 Derivadas sucesivas: f ' () e ; f"() e Para todo R, se tiene f'() > 0 y f"() > 0, luego la función es creciente y convea. c) La función: f () tiene como dominio [0, ) Derivadas sucesivas: f ' () ; f"() Para todo R, se tiene f'() > 0 y f"() < 0, luego la función es creciente y cóncava. Problema nº Representa la función: f(). Función y derivadas: f () ; f '() - Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R Punto de corte (0,-); (-,0); (,0) Asíntota horizontal: y Posición: lim f () 0 lim f () 0 - Máimos, mínimos y monotonía: f () 0 0 ( ) Para 0, f (0) > 0, se trata de un mínimo en el punto (0,-) Intervalos de crecimiento (0, ). Intervalos de decrecimiento (-,0) curvapor debajode la asíntota curvapor debajode la asíntota ( ) ( ) ) ; f"() - Puntos de infleión y curvatura: f"() 0 Intervalos de conveidad:, 0 ;. Intervalos de concavidad:,,

9 Problema nº Representa la función: f() ( ). Función y derivadas: f () - Dominio, cortes y asíntotas: Dominio R {} Cortes (0,0) ; f '() ( ) ( ) ; f"() ( ) ( ) Asíntota vertical : Posición lim lim f ( ) f ( ) Asíntota horizontal y : Posición lim lim f ( ) 0 f ( ) 0 la curva la curva está por debajo está por encima de la asíntota de la asíntota Máimos y mínimos. Monotonía: f'() Para 0; f"(0) > 0, se trata de un mínimo en el punto (0,0) Intervalos de crecimiento (0,) Intervalos de decrecimiento (,0) (, ) Puntos de infleión. Curvatura: f"() 0 0 -/ La función es cóncava en (, /) La función es convea en ( /, ) {} Problema nº El coste total epresado en pta de fabricación de unidades de cierto artículo viene dado por la función: f() a) Representa gráficamente la función en su dominio real de definición, sabiendo que, por razones técnicas, no es posible fabricar diariamente más de 0 unidades de producto. b) En qué nivel de fabricación se producen los gastos mínimos? c) Cuáles son los costes semanales de fabricación, a pleno rendimiento, si no se trabaja el sábado ni el domingo? d) Cuál deberá ser el precio unitario del producto para cubrir gastos en esas condiciones?

10 a) Derivadas sucesivas: f '() 0; f"() El dominio natural es el número de unidades de producto diarias: [0,0] La curva es una parábola convea (f > 0) f () 0 implica 0 0, por tanto: El vértice, punto mínimo es V(,f()) V(,97) b) Los gastos mínimos se producen para c) El coste para 0: f(0) 00 pta, por tanto el coste semanal es pta. d) El precio unitario: 00/00 0 pta. Problema nº Durante los 0 días consecutivos de un mes las acciones de una determinada compañía han tenido unas cotizaciones dadas por la función: f() 0, donde es el número de días transcurridos. Halla los días en los que las respectivas acciones estuvieron en baja (bajando de precio) y los que estuvieron en alza. Qué día del mes alcanzaron el valor máimo? Y el mínimo? Funciones derivadas: f () 0, 8; f () 0, Se trata de una parábola convea (ramas hacia arriba) dado que f > 0 f () 0 implica 0, 8 0, por tanto 0 El vértice, punto mínimo es V(0,f(0)) V(0,0) Se trata de ver ahora el comportamiento de la función en el intervalo [0,0] f(0) 00 y f(0) 0, por tanto: las acciones empezaron a cotizar a 00 y terminaron a 0. Fueron bajando hasta el día 0 en el que alcanzaron la mínima cotización f(0) 0 Fueron subiendo desde ése día hasta el día 0 (final de mes) donde alcanzaron una cotización de 0. Por tanto el primer día del mes fue cuando alcanzaron el valor máimo.

11 Ejercicio nº Representa la función: f() - 8 Función y derivadas: f () -8 ; f '() 6 8 ; f"() Dominio y Puntos de Corte: Dominio R. Corte con OX: f() 0, no hay soluciones racionales. Corte con OY: f(0) (0,) Monotonía y Etremos relativos: / ; f" ( / ) < 0 se trata de un máimo f ' () / ; f "( / )> 0 se trata de un mínimo Intervalos de decrecimiento:, Intervalos de crecimiento:,, Curvatura y Puntos de infleión: Si < 0 f"() 0 0 0; Si > 0 Por tanto en 0 hay un punto de infleión. f" < 0 f" > 0 cóncava en convea en (-,0) ( 0, ) Ejercicio nº6 Una hoja de papel, con márgenes laterales de, cm y márgenes superior e inferior de cm, ha de tener una superficie de 6 cm. Halla las dimensiones de la hoja para minimizar la superficie de papel usado. ancho ; y alto relación : y 6 y ; f () ( ) f '() 6 f '() 0 6 mínimo para 9,9 cm, y,9 cm. 80 9,9 ; f ''() 60 f ''( 80) > 0 Ejercicio nº7 La recta tangente a una curva se puede interpretar como aquélla tal que su pendiente coincide con derivada en dicho punto. Calcula la recta tangente a la curva y - en el punto 0. : f (0) f '() - ; f '(0) - y - - ( - 0) y -

12 Ejercicio nº8 Calcula la recta tangente a la curva y 7 en el punto donde la recta tangente sea paralela a la recta y. : La pendiente de la recta dada debe ser igual a la pendiente de la recta tangente: f '() es el punto donde debemos calcular la recta tangente f() 9 y f() f () ( ) y 9 ( ) y 6 Ejercicio nº6 Representa la función: f() Función y derivadas: f () -0 9; f '() 0; f"() 0 Dominio y puntos de corte: Dominio R. Monotonía y etremos relativos: Corte con OX: f ' () ; Intervalos de decrecimiento (, Intervalos de crecimiento ( Curvatura y puntos de infleión: Con OY: f(0) 9 (0,9) ; f" (,0) ) (,0) ) f () 0 (,0) (,0) ( ) f" ( 0) ; f" ( ) ( ) ( 0, ),0) (, ) > 0 se < 0 > 0 se trata de un mínimo se trata de un máimo trata de un mínimo f"() ± Si Si,,, > f" 0 f" < 0 concava convea Por tanto en los puntos de abcisas ± hay infleiones.