UNIDAD DOS FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA

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1 UNIDAD DOS FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA

2 CAPÍTULO CUATRO: FUNCIONES y f ( ) INTRODUCCIÓN En Matmáticas uno d los concptos más importants s l d FUNCIÓN, s cr qu l gran matmático almán Libniz la introdujo a finals dl siglo XVII. El concpto provin dl latín functo, qu quir dcir Acto d ralizar. Todas las áras d las Matmáticas tinn qu vr con funcions, d allí la importancia d su análisis, partindo d la dfinición, sus caractrísticas y su clasificación. El capítulo stá structurado d una manra scuncial, iniciando con l studio dl sistma d rfrncia más utilizado, las caractrísticas d las rlacions y la Concptualización d función, los lmntos fundamntals sobr las funcions, como dominio, imagn, monotonía, simtría, la rprsntación gráfica. S ha dado bastant importancia a los principios sobr funcions para lugo análisis las clasificacions más rlvants. Rspcto a los tipos d clasificación, s ha dado n dos nfoqus: Sgún la rlación ntr los conjuntos d partida y llgara y las otra sgún l modlo matmático qu la plica. Est tipo d clasificación busca qu cualquir función puda sr considrada dntro d una d las catgorías dadas. Admás las divrsas aplicacions qu tin sta tmática. Es important analizar cada tmática con dtniminto, dsarrollando los jrcicios propustos para podr comprndr y afianzar los conocimintos sobr funcions. El tma d funcions s muy intrsant y apasionant.

3 Lcción Vintiuno: Sistma d Coordnadas Los Matmáticos y Cintífico, han inquitado sus studios a las rprsntacions gráficas d los fnómnos naturals, para lo cual s han disñado divrsos sistmas d rprsntación, las cuals tin un sistma d rfrncia, llamada Sistma d Coordnadas, n las cuals s hacn los gráficos sgún l sistma dfinido. Entr las más conocidas s tinn las coordnadas cartsianas, las coordnadas polars, las coordnadas sféricas y las coordnadas cilíndricas. Para fctos d st curso s van a studiar las coordnadas cartsianas. COORDENADAS CARTESIANAS: Rnato Dscarts ( ) n su gran sabiduría stablció qu un punto cualquira dl plano gométrico s podría ilustrar por mdio d un par ordnado (, y) qu rprsnta la distancia uclidia prpndicular dsd los js dl sistma qu él propuso a dicho par ordnado. S considro l principal gstor ntr l lnguaj gráfico y l lnguaj algbraico, ya qu por mdio d ést, s pudo rlacionar a una cuación con una curva y vicvrsa. Actualmnt s ls conoc como l sistma d coordnadas cartsianas o rctangulars, la cual s forma al cruzar dos rctas prpndicularmnt, l punto d cort s l llama orign d coordnadas, d sta manra l plano s fracciona n 4 cuadrants. Ej d Coordnadas: Por convnción intrnacional l nombr d los js s prsntan así: Horizontal: Abscisa o j Vrtical: Ordnada o j y En st sistma cualquir parja (, y) tndrá un signo sgún l cuadrant. Sabmos qu l j s considra positivo hacia la drcha y ngativo hacia la izquirda a partir dl orign, l j y s considra positivo hacia arriba y ngativo hacia abajo a partir dl orign, ntoncs: CUADRANTES PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO X Positivo Ngativo Ngativo positivo Y Positivo Positivo Ngativo Ngativo EJES Ejmplo 8. Para ilustrar sta convnción, ubicar n l plano cartsiano los siguints puntos: a(, ), b(-, ), c(, -) y d(-, -), (, 5) y f(5,). En l siguint grafico, s pud obsrvar la ubicación d los puntos propustos.

4 En cada parja ordnada la primra componnt corrspond al j y la sgunda componnt al j y. S obsrva qu l punto A s positiva para las dos componnts, B s ngativa para la primra componnt y ngativa para la sgunda componnt. Así s pud obsrvar para las dmás puntos. DIAGRAMAS DE VENN: Otra forma d rprsntar un par ordnado, s por mdio d los muy conocidos Diagramas d Vnn. John Vnn, un lógico Británico (.84.9) propon un sistma d óvalos para rprsntar las rlacions ntr pars ordnados, propidads y opracions ntr conjuntos. El sistma buscaba rducir los análisis lógicos y la toría d conjuntos a un cálculo simbólico. Actualmnt sta hrraminta s muy usada n Matmáticas, spcialmnt n toría d conjuntos y n l studio d funcions. Cada parja ordnada sta rlacionada a través d un óvalo así: La componnt n l primr óvalo y la componnt y n l sgundo óvalo. En l diagrama d Vnn, s sta rprsntando los mismos puntos qu furon ubicados n l plano cartsiano antrior. El conjunto A s l conoc como conjunto d partida o conjunto inicial y al conjunto B s l conoc como conjunto d llgada o conjunto final. Las línas van dl conjunto d partida al conjunto d llgada indican las parjas ordnadas qu s rlacionan. Los lmntos dl conjunto d partida A, s ubican n l j dl plano cartsiano y los lmntos dl conjunto d llgada B, s ubican n l j y dl plano cartsiano.

5 Lcción Vintidós: Rlacions y funcions f : R R RELACIONES: En l mundo qu nos roda, istn rlacions ntr dos conjuntos, por jmplo la rlación ntr Tmpratura y Altitud, la cual stablc qu a mayor altitud, mnor tmpratura. Otro caso s la rlación ntr l númro d kilómtros rcorridos y l costo dl srvicio n un tai, l cual sta rlacionado qu a mayor kilomtraj, mayor costo dl srvicio. Así istn muchas rlacions ntr dos conjuntos. El concpto d rlación stá asociado a una condición ntr dos conjuntos, d tal manra qu a cada lmnto dl conjunto d partida, l corrspond un o varios lmntos dl conjunto d llgada. Las rlacions s pudn rprsntar por mdio d los diagramas d Vnn. Las parjas ordnadas graficadas son: (a, 5), (b, 4), (c, ), (d, ), (f, 6), ( g, ) Sgún la toría: A Conjunto d partida B Conjunto d llgada R Rlación ntr cada para ordnado. Componnts d Una Rlación: Toda rlación prsnta varios componnts. Dominio: Corrspondn a todos los lmntos qu conforman l conjunto d partida; s dcir, los lmntos dl conjunto A. Codominio ó Rango: Corrspond a los lmntos qu conforman l conjunto d llgada; s dcir, los lmntos dl conjunto B. Rgla o Norma: Corrspond a la forma n qu s asocian los lmntos dl dominio y l codominio, gnralmnt s rprsnta con la R. Sa R: A B La prsión significa qu ist una rlación R ntr los conjuntos A y B. Ejmplo 9: Dada la rlación ntr los conjuntos P y Q, cuya norma o rgla s: Q P, hacr l diagrama d Vnn idntificar las parjas ordnadas, tomar los 4 primros ntros positivos. A partir d las condicions dl problma: R: Q P. Sa R: P Q 4

6 Las parjas ordnadas: (, ), (, 4), (, 6), (4, 8),, (p, p) En l conjunto d partida s tomaron los 4 primros númros ntros positivos por las condicions dl jmplo, pro n dicho conjunto s pudn tomar los valors qu s dsn, san positivos o ngativos. Ejmplo : Dados los conjuntos M y N, d tal manra qu N sa la raíz cuadrada d M. Vnn y obtnr las parjas ordnadas para, 4, 9, 6,, m para m positivo. Hacr l diagrama d Sa R: M R : N M N Las parjas ordnadas: (, ) y (, -) (4, ) y (4, -) (9, ) y (9, -) (6, 4) y (6, -4) En gnral: (m, n) y (m, -n) FUNCIONES Uno d los concptos más importants n Matmáticas s l d Función, ya qu n las cincias puras y aplicadas son fundamntals para analizar difrnts fnómnos. En Biología l crciminto d los organismos s modlado por una función ponncial, n Economía para la dscripción dl costo ó utilidad d un artículo, n Física l análisis dl moviminto s modla por funcions polinómicas, tc. Dntro dl análisis d funcions, hay algunos concptos qu son prtinnts mncionar. Variabls: S pud dcir qu s todo aqullo qu cambia a través dl timpo o spacio, l mismo spacio y timpo s considran variabls. La clav d st concpto s qu ocurr cambio, ya qu si sto sucd, s dic qu ocurrió variación. En l studio d funcions s conocn dos tipos d variabls. VARIABLE INDEPENDIENTE: S considra aqulla qu s dfin por si misma, una d sas por su naturalza s l timpo, pro istn otras. Esta variabl por lo gnral s ubica n l j d las abscisas dl plano cartsiano; s dcir, n l j. VARIABLE DEPENDIENTE: Como su nombr lo indica, son aqullas qu qudan dfinidas a partir d otra; s dcir, dpnd d otra para qudar dfinida. Esta variabl s ubicada n l j d las ordnadas n l plano cartsiano; j y. 5

7 Cuando s dic qu l ára d un círculo s función dl radio, lo qu s quir dcir s qu l ára dpnd dl radio. A f (R) Constants: Son términos qu tinn valors fijos; s dcir, lo qu indica qu no cambia n ninguna circunstancia. Los valors numéricos son l jmplo típico d constants. En la antigüdad s utilizaban las vocals para indicar las variabls y las consonants para indicar las constants. En la actualidad por convnción gnral, las primras ltras dl alfabto s utilizan para indicar las constants y las últimas ltras para indicar las variabls. Con stos lmntos s pud hacr una dfinición d función. DEFINICIÓN: Una función s una rlación dond a cada lmnto dl conjunto d partida l corrspond uno y solo un lmnto dl conjunto d llgada. En funcions, al conjunto d partida s l llama Dominio y a los lmntos dl conjunto d llgada s l llama imagn. En l plano cartsiano los lmntos dl dominio son ubicados n l j y los lmntos d la imagn son ubicados n l j y. Por la dfinición, s pud infrir qu todas las funcions son rlacions, pro NO todas las rlacions son funcions. (Discutir sta conclusión con los compañros dl grupo colaborativo) Para dtrminar si una rlación s función, basta con obsrvar n l diagrama d Vnn, qu todos los lmntos dl dominio stén rlacionados con algún lmnto dl rango, pro solo con uno. Gráficamnt, para todos los lmntos dl dominio, db salir solo una flcha. Hay dos casos dond la rlación no s función: Cuando un solo lmnto dl dominio no sté rlacionado con alguno dl rango o si algún lmnto dl dominio stá rlacionado con más d un lmnto dl rango. Eistn 4 formas d dfinir una función, n l trabajo con funcions Éstas formas s trabajan indistintamnt, lo qu indica qu s dbn conocr y dominar adcuadamnt.. DESCRIPTIVA: Es la dscripción vrbal dl fnómno qu s studia, n sta s dtallan las condicions n qu ocurrn los hchos. Por jmplo: La ganancia G qu rsulta d vndr artículos, n la cual l valor unitario s d $.. NUMÉRICA: Consist n hacr una tabla d valors con los datos obtnidos dl fnómno al hacr las mdicions corrspondints. Por jmplo: 6

8 . GRÁFICA: Por mdio d una rprsntación gráfica, ubicando pars ordnados n l plano cartsiano, s pud obsrvar la forma d la curva qu mustra la función dada. Los puntos ubicados n l plano son los dscritos n la part numérica. En l j s rprsntan los artículos vndidos y n l j y la ganancia por vntas. 4. ANALÍTICA: También s llamada Matmática, s aqulla qu por mdio d un modlo matmático s dscrib l fnómno, para l jmplo qu stamos analizando sria: El modlo dscrib la ganancia (G) n función d númro d artículos vndidos (). G ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN: En toda función s ncontrar lmntos. Dominio: Son los lmntos dl conjunto d partida; s dcir, los lmntos d, qu corrspondn a la variabl indpndint. En l jmplo modlo la variabl indpndint son l númro d artículos vndidos. Antriormnt s hizo aclaración qu los lmntos dl dominio s ubican n l j dl plano cartsiano. Imagn: Son los lmntos dl conjunto d llgada; s dcir, los lmntos d y, qu corrspondn a la variabl dpndint. En l jmplo modlo s la ganancia G. También por convnción los lmntos d la imagn s ubican n l j y dl plano cartsiano. Rgla o Condición: S considra a la forma n qu s rlacionan los lmntos d y. Cada función tin una rgla qu rlaciona las dos variabls. Solo s db tnr prsnt qu a cada lmnto d l corrspond solo uno d y. Ejmplo : La rlación ntr las variabls y stá dada d tal manra qu y s obtin lvando al cuadrado la variabl, a partir d la dscripción dl fnómno, obtnr la tabla d datos, la gráfica y l modlo matmático. Los valors: 4 5 y

9 La grafica: Plano Cartsiano. Diagrama d Vnn El modlo matmático: y El dominio: Para l caso qu s prsnta, la variabl indpndint pud tomar cualquir valor ral, lugo l dominio son todos los rals. La Imagn: Para cualquir valor d la variabl indpndint, l valor d la variabl dpndint srá positiva, lugo la imagn son todos los rals no ngativos. Dtrminación dl Dominio Imagn d una Función: En l análisis d funcions, s important idntificar l dominio imagn d la función, lo cual s pud hacr d dos manras. A Partir d la Gráfica: Con la obsrvación dtallada d la gráfica, s pud idntificar l dominio y la imagn d una función, vamos dos jmplos modlos. Gráfica A Gráfica B Gráfica A. S obsrva qu la curva s dsplaza a lo largo dl j, tomando valors positivos y ngativos, lugo l dominio son todos los valors rals. Para la imagn, la curva s dsplaza n la part positiva dl j y, lugo la imagn son todos los rals positivos. 8

10 La notación srá: + f : R R Gráfica B: En la curva s obsrva qu la grafica pud tomar valors positivos o ngativos n l j, igual para l j y, lugo l dominio imagn d la función son todos los rals. La notación srá: f : R R A Partir dl Modlo Matmático: (fórmula matmática) Dada l modlo matmático, s dtrmina los valors qu pudn tomar la variabl indpndint y la variabl dpndint. Sa la función y + + Sgún l modlo, s infir qu la variabl pud tomar valors positivos, ngativos incluso cro, lugo l dominio son todos los rals. Así s obsrva qu la variabl y tndrá valors positivos y ngativos incluso cro, lugo la imagn son todos los rals; s dcir s una función d rals n rals. Sa la función y S obsrva qu la variabl pud tomar valors positivos y ngativos, pro NO pud tomar l valor d cro, lugo l dominio srán todos los rals difrnts d cro. La variabl y srá positiva si s positiva y vicvrsa, pro nunca srá cro, lugo la imagn son todos los rals difrnts d cro. y Sa la función. La variabl pud tomar valors positivos y cro, pro No pud tomar valors ngativos, ya qu la raíz cuadrado d númros ngativos no s ral, así l dominio srán los rals positivos y l cro (rals no ngativos). Los valors qu pud tomar y srán positivos y cro ó ngativos, pro no los dos; para qu s puda considran una función, lugo la imagn son los rals no ngativos ó los rals ngativos. En gnral l Dominio d una función srán los valors qu puda tomar la variabl sin qu s prsntn ambigüdads n l momnto d hacr la opración matmática. La imagn s dtrmina dspjando dl modlo matmático y s obsrva qué valors pud tomar la variabl y. NOTA: Con la práctica y muchos jrcicios s ganará dstrza para dtrminar l dominio imagn d una función. Notación Modrna d Función: El matmático francés Agustín Louis Cauchy ( ) dntro d los aports dados a la matmática, como prcisión d los concptos d Función, Límits y Continuidad, propon una nomnclatura para dfinir squmáticamnt una función, d la siguint manra. y f () Funt: mat.usach.cl/histmat/html/cauc.html Como s ha comntado la variabl srá la variabl indpndint y la variabl y srá la variabl dpndint o función. Así y y f() srán quivalnts ya qu significan lo mismo. Por jmplo si scribimos: 9

11 f ( ) + Es lo mismo qu y + Con lo analizado hasta l momnto ya stamos n capacidad d rspond las siguints prguntas. Toda rlación s función: Toda función s rlación: V V F F Funcions d Valor Ral: Con la aclaración d las afirmacions antriors, ahora s db analizar n qué conjunto numérico s pudn trabajar las funcions. En apartados antriors s dio un indicio sobr n dond s pud dfinir l dominio imagn d una función. Una función d valor ral, nos indica qu los lmntos dl dominio imagn son númros rals, por sto las funcions d valor ral s dscribn d la siguint manra: f : R R Es prtinnt aclarar los concptos d rango imagn. El rango s l conjunto qu conforma l codominio d la rlación y la imagn son los lmntos dl rango qu intractúan con los lmntos dl dominio. LAS FUNCIONES SEGÚN EL TIPO DE RELACIÓN: Como s sab n las funcions hay una intracción ntr los lmntos dl dominio y rango. D acurdo al tipo d intracción istn trs class d funcions. Función Inyctiva: También llamada Función Uno a Uno, son aqullas dond los lmntos dl rango qu son imagn d algún lmnto dl dominio, solo lo hacr una vz. Las funcions crcints y dcrcints son inyctivas. DEFINICIÓN: Sa la función y f(), dados dos lmntos dl dominio y, Si, y f ( ) f ( ), ntoncs la función s inyctiva Función Sobryctiva: Las funcions y f(), dond Todos los lmntos dl rango son al mnos imagn d uno o varios lmntos dl dominio. Lo antrior quir dcir qu todos los lmntos dl rango s rlacionan con algún o algunos lmntos dl dominio. Función Biyctiva: Una función y f() s Biyctiva si, solo si, s inyctiva y Sobryctiva. En l siguint grafico idntifica qu tipo d función s cada una. 4

12 f(): g(): h(): SIMETRÍA DE LAS FUNCIONES: La simtría s l comportaminto d la curva rspcto a los js coordnados. Una curva s simétrica rspcto al j y, si la part drcha s la imagn spcular d la part izquirda, srá simétrica rspcto a si la part suprior s la imagn spcular d la part infrior. Simtría rspcto a j Simtría rspcto al j y Simtría rspcto al orign La simtría d las funcions stá rlacionado con l concpto d función par impar, vamos n qué consistn dichos principios. Función Par: Una función f () s par si para todo n su dominio: f (- ) f (). Est tipo d funcions son simétricas rspcto al j y. El jmplo típico son las funcions cuadráticas. Ejmplo : Sa la función f () +, mostrar qu s par. Lo qu s db hacr s cambiar por n la función: f ( - ) ( - ) + + Como f (- ) f (), ntoncs la función dada s par. Ejmplo : 4 Mostrar si la función: g ( ) s simétrica rspcto al j y. + Solo s db rmplazar a por n cada una y obsrvar l rsultado: ( ) 4( ) ( 4) ( 4) g ( ) g ( - ) g ( ), la función no s par, por nd g() + + no s simétricas rspcto al j y. 4

13 Función Impar: Una función f () s impar si para todo n su dominio: f (- ) - f (). Est tipo d funcions son simétricas rspcto al orign d coordnadas. El jmplo típico son las funcions cúbicas. Ejmplo 4: Dada la función f (), dtrminar si s impar. S db rmplazar a por y obsrvar la función obtnida. f ( - ) ( - ) (- ) ( ) Como s pud vr f (- ) - f (), Lugo la función s impar, así srá simétrica rspcto al orign d coordnadas. Ejmplo 5: Mostrar si la función g () 4 5 +, s impar. S db rmplazar a por y obsrvar la función obtnida. g () 4(-) 5 + (-) (4 5 + ). Entoncs: g(-) -g(). la función s simétrica rspcto al orign. Grafica jmplo 4. Grafica jmplo 5 MONOTONÍA DE LAS FUNCIONES: Una función s considra monótona si s crcint o dcrcint. Función Crcint: Intuitivamnt una función s crcint si a mdida qu aumnta la variabl, también aumnta la variabl y. 4

14 DEFINICIÓN: Sa f() una función dfinida n l intrvalo I, para ϵ I y ϵ I, dond <. Si f ( ) < f ( ), s dic qu la función s crcint n l intrvalo I. Cuando s dic qu la función f () stá dfinida n l intrvalo I, s afirma qu l intrvalo I s part dl dominio d la función. FUNCIÓN CRECIENTE Función Dcrcint: Intuitivamnt una función s dcrcint si a mdida qu aumnta la variabl, la variabl y disminuy. DEFINICIÓN: Sa f() una función dfinida n l intrvalo I, para ϵ I, ϵ I, dond <. Si f ( ) > f ( ), s dic qu la función s dcrcint n l intrvalo I. FUNCIÓN DECRECIENTE Dscripción D Una Función: Dscribir una función s hacr l análisis dond s idntifiqu l dominio y la imagn, su monotonía, su simtría y la gráfica corrspondint, ntr las caractrísticas más importants. Ejmplo 6: Sa la función f(), hacr una dscripción d la misma. 4

15 Dominio: Como pud tomar cualquir valor ral, sin rstriccions, ntoncs l dominio son todos los rals. D ϵ R. Imagn: Para hallar la imagn, dbmos dspjar la variabl y obsrvar qué valors pud tomar y, como y, ntoncs. (y + ) / Así, la variabl y pud tomar cualquir valor ral, lugo la imagn son todos los rals I ϵ R. Dcimos: f: R R. (S l rals n rals) Monotonía: S db idntificar si la función s crcint o dcrcint. Para sto s toman dos valors dl dominio: y, rcordmos qu < sgún la dfinición. Ahora s dtrmina la imagn d cada uno así: f( ) () 5. f( ) () 8 Como f( ) < f( ) la función s crcint. Simtría: S db buscar qu f ( - ) f ( ) ó f ( - ) - f ( ), d otra manra no hay simtría. f ( - ) ( - ) - - ( + ). Como s pud vr no s cumpl ninguna d las dos condicions, lugo la función no tin simtría. Gráfico: Para hacr l gráfico s db tomar algunos puntos, vamos: Ejmplo 7: Sa la función y Hacr la dscripción d dicha función. Dominio: La variabl sta dntro d una raíz cuadrada, lugo solo pud tomar valors positivos y cro, pro no pud tomar valors ngativos, ntoncs l dominio son los rals positivos y l cro; s dcir, los rals no ngativos (R * ) D ϵ R * Imagn: Dspjamos la variabl, lugo: y sto significa qu la variabl y solo toma valors positivos o cro (analic porqué). I ϵ R * S pud prsar: f: R * R * Monotonía: Tommos dos valors, digamos y 4, ntoncs: f ( ) y f ( ) 4. Como f ( ) < f ( ) la función s crcint. Simtría: Si tomamos f (- ) n la función, s prsnta ambigüdad, ya qu raícs pars d númros ngativos no son rals. Así la función no s simétrica. Grafica: Tomamos varios puntos y s unn, para obsrvar l comportaminto d la grafica. 44

16 Lcción Vintitrés: Algbra d Funcions f ( ) g( ) ± h( ) Las funcions también s pudn oprar algbraicamnt. SUMA: La suma d dos o más funcions origina otra función, cuyo dominio srán los lmntos comuns a las funcions qu participaron n la opración. San las funcions. f ( ), g ( ), h ( ) ntoncs: s ( ) f ( ) + g ( ) + h ( ) La suma d funcions cumpl con las lys básicas propias d la suma, como la conmutativa, clausurativa, asociativa y otras. RESTA: Al igual qu n la suma, la rsta d dos o más funcions, origina otra función. El dominio d la función rsultant son los lmntos comuns a las funcions qu furon opradas. San f ( ) y g ( ) dos funcions, lugo: r ( ) f ( ) g ( ) Es prtinnt rcordar qu la rsta no s conmutativa. PRODUCTO: Cuando s multiplican dos o más funcions, s produc otra función, la función rsultant tin como dominio los lmntos comuns d las funcions multiplicadas. Sa f ( ), g ( ) y h ( ), funcions, ntoncs: p ( ) f ( ) * g ( ) * h ( ) COCIENTE: Dividir funcions s quivalnt a dividir polinomios, solo qu para podr ralizarla, l dnominador db sr difrnt d cro. Sa g( ) f ( ) con d (). d( ) El dominio d f () srán todos los valors d, cpto aqullos qu hagan d () Ejmplo 8: San las funcions: f ( ) + 5 y g ( ) 6 45

17 Hallar: f ( ) + g ( ), f ( ) g ( ), f ( ) * g ( ), f ( ) / g(), - ) f ( ) + g( ) ( + 5) + ( 6) 4 - ) f ( ) g( ) ( + 5) ( 6) ) f ( )* g( ) ( + 5)*( 6) ) f ( ) g ( ) Ejmplo 9: Hallar la suma, rsta, producto y cocint d las funcions dadas a continuación: f ( ) + y g ( ) Ln( ) 4 La primra s una función ponncial y la sgunda una función logarítmica, studiaran. más adlant s -) f ( ) + g ( ) ( + ) + ( Ln ( ) 4) + Ln ( ) + 6 -) f ( ) g ( ) ( + ) ( Ln ( ) 4 ) Ln ( ) + 4 f g Ln -) ( ) * ( ) ( + ) * ( ( ) 4) ( ) + ( ) ) f ( ) g ( ) + Ln ( ) 4 Ln Para [ Ln ( ) 4] En st jmplo s pud obsrvar qu cuando las funcions no s pudn oprar, ntoncs s dja indicado dicha opración. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Una d las opracions más importants n l álgbra d funcions s la composición. Intuitivamnt componr funcions s Introducir una función dntro d otra, d tal manra qu la función introducida srá l dominio d la función anfitriona. Sa f () y g () dos funcions, ntoncs: Ln f [g()] (f o g) () S l f d g ó g compusta f g[f()] (g o f) () S l g d f ó f compusta g 46

18 El dominio d f o g s l conjunto d todos los lmntos dl dominio d la función g, d tal manra qu g() sté n l dominio d f. D la misma forma para g o f. S pud graficar la composición d funcions así: Es d aclarar qu al función compusta NO s conmutativa, ya qu: f o g g o f. Ejmplo 4: Sa f ( ) + y g ( ) + Hallar f o g() y g o f(). -) fog ( ) f ( g( )) ( + ) ) gof ( ) g( f ( )) ( + ) + + Ejmplo 4: San las funcions h ( ) y j( ). Hallar h o j () y j h () Para calcular h o j (), primro s busca la función compusta y lugo s aplica para, simpr y cuando st valor st n l dominio d la compusta. Igual para j h () -) hoj ( ) Ahora lo aplicamos para : Entoncs h o j () - 5 / 4 hoj ( ) ) ( ) joh ) ( ) ( S aplica para. Entoncs j h () 4 / 5 joh ) () () (

19 Ejmplo 4: Calcular (f o g) (/) y (g o f)(π/8) para f ( ) sn(4) y g() Ln() - ) Calculmos primro (f o g) () y lugo lo aplicamos a / fog ( ) sn(4ln()) Rmplazamos para /. fog ( ) sn(4ln( )) sn(4ln()) sn() Entoncs (f o g) (/) - ) Hallmos: (g o f) () y lugo lo aplicamos a X π/8 gof ( ) Ln (sn (4 )) π π Ahora s aplica para π/8. gof ( ) Ln(sn(4 )) Ln(sn( )) Ln() Ln() 8 Entoncs (g o f)( π/8) Ln() Ejmplo 4: Dadas las funcions f ( ) y g() / Para. Hallar: a-) (f o f)( ) b-) (g o g)( ) c-) (f o g)( ) 4 a-) fof ( ) 4(4 + 4) + 4 4( ) + 4 b-) 4 4 fof ( ) gog ( ) 4 c-) fog ( ) Para

20 EJERCICIOS Para las funcions dadas, hacr la dscripción corrspondint: Dominio, Imagn, simtría y monotonía y una dscripción d la gráfica.. f ( ) g ( ) 6 h( ) 6 4. Dada la función f ( ) Hallar la imagn; si ist para, -,, + 5. Proponga dos jmplos d funcions inyctivas, sobryctivas y biyctivas Dada las funcions f ( ) y 4 a-) ( ) g( ) f + b-) f ( ) g( ) 7. Para las funcions ( y) y 5y+ 4 4 g( ) Hallar. h y ( y) y 5 y + 8 L Hallar: a-) ( y) L( y) h b-) L ( y) + 5h( y) c-) 5 h ( y ) L ( y ) 8. San ( ) 4sn ( ) f y g ( ) 4cos ( ) Hallar: f ( ) f + b-) g ( ) a-) ( ) g( ) 9. San las funcions: Dtrminar: a-) ( )( ). San las funcions: a-) ( ) g( ) f + b-) f ( ) y g ( ) + 4 fog b-) ( gof )( ) ( ) y g ( ) sn( ) f f ( ) g ( ) c-) ( )( ) fog d-) ( gof )( ) 49

21 Lcción Vinticuatro: Funcions Espcials. Clasificar la gran cantidad y varidad d funcions no s tara fácil, antriormnt analizamos qu sgún l tipo d rlación hay funcions inyctivas, sobryctivas y biyctivas. Pro istn otros critrios para clasificar funcions, l más gnral s clasificar las funcions sgún l tipo d prsión matmática qu la dscrib. Por jmplo la cuación linal dscrib funcions linals, las cuacions cuadráticas dscribn funcions cuadráticas, los logaritmos dscribn las funcions logarítmicas y así sucsivamnt. El critrio dscrito s muy prtinnt, ya qu d sta manra s pud involucrar la mayoría; por no dcir todas las funcions qu istn y pudan istir. Bajo st contto las funcions s clasifican n Algbraicas, Trascndntals y Espcials. FUNCIONES ESPECIALES: S considran a las funcions cuyo modlo matmático no tin un patrón dfinido, más bin son muy particulars.. Función Constant: Sa f ( ) b Sindo b una constant. Esta función indica qu para todo valor d, su imagn simpr srá b. La función constant s linal. La notación f : R R fijo Su dominio son todos los rals y su imagn un único valor b; quizás sto s lo qu la hac vr spcial. Es una función par, ya qu f (- ) f ( ), lugo s simétrica rspcto al j y. La función qu s prsnta n la gráfica mustra qu l dominio s cualquir ral y la imagn para st caso s y. Esta función no s crcint, tampoco dcrcint, por lo cual no s considra monótona. 5

22 . Función idéntica: S l llama idéntica ya qu para cualquir valor dl dominio, su imagn s prcisamnt l mismo valor. Sa f ( ). Esta función también s linal, solo qu l valor dl dominio imagn s l mismo, aquí s dond s l da la connotación d spcial. La notación f : R R Esta función s impar, ya qu s cumpl f (-) - f (). Por sr una función impar, la función idéntica s simétrica rspcto al orign. En la gráfica s obsrva qu la función s crcint, sto porqu l coficint d la variabl s positivo, pro si dicho coficint s ngativo la función srá dcrcint, d todas manras sta función s monótona.. Función Valor Absoluto: Esta función cumpl con los principios dl valor absoluto. Sa f ( ). El dominio son todos los rals, ya qu l valor absoluto s aplica a cualquir valor ral. La imagn son los rals no ngativos, dbido a qu l valor absoluto por dfinición simpr srá positivo o a lo más cro. La notación f : R R * Esta función s par ya qu f (- ) f ( ), por lo cual s Simétrica rspcto al j y. La función s crcint n l intrvalo [, ) y dcrcint n l intrvalo (-, ) 4. Función Part Entra: Es una función muy spcial ya qu prsnta una discontinuidad notoria. Algunos la llaman función scalonada, n la gráfica s vrá porqu. f ( ) Cuyo significado s l valor máimo ntro mnor o igual qu, más común Sa [ ] part ntra. Por jmplo ( ) [, ] plícitamnt: Para - <, su imagn s - Para <, su imagn srá Para <, su imagn s. Así sucsivamnt. f, ya qu, s mayor mnor o igual qu. Más 5

23 El dominio d sta función son todos los rals y su imagn los ntros. La notación: f : R Z No tin simtría, tampoco monotonía, su caractrística más notoria s su discontinuidad para cada ntro. 5. Función Dfinida por Parts: Es una función qu combina part d divrsas funcions, pud sr dfinida por una part constant y otra idéntica, una part linal y otra trascndntal, tc. En gnral la función dfinida por parts s mustra por una rgla compusta por dos o más prsions matmáticas. Aunqu no hay una forma gnral, podmos ilustrar con algún jmplo, pro s tndrá más oportunidad d analizar st tipo d funcions a lo largo dl curso. Ejmplo 44: si > Sa f ( ) si si < S obsrva qu sta función stá dfinida n trs parts, sgún l valor qu tom la variabl, para la part positiva d la variabl la función s idéntica, para la part ngativa la función s constant. Cuando, ntoncs la imagn s. Vamos la gráfica. 5

24 Lcción Vinticinco: Funcions Algbraicas. f ( ) a + b + c Las funcions algbraicas s caractrizan porqu la cuación qu la dscrib son polinomios, hacindo qu éstas tngan los principios y caractrísticas qu tinn éstos.. Función Linal: Su nombr s dado por la gráfica qu la rprsnta, la cual s una lína rcta no vrtical, admás su cuación s d primr grado. DEFINICION: Sa f ( ) m + b, dond m y b son rals y m. S dfin como una función linal, dond m s conoc como la pndint y b l intrcpto. El dominio d la función linal son todos los rals al igual qu la imagn. f : R R La pndint a s calcula d la siguint manra, a partir d dos puntos P(, y ) y P(, y ): y y m. La pndint pud sr ngativa, positiva o cro. Cuando m, la rcta s horizontal, así la función no tin monotonía, tampoco simtría. Cuando m > la rcta s inclinada hacia la drcha, n st caso la función s crcint. Cuando m < la rcta s inclinada hacia la izquirda, sindo dcrcint para st caso. El intrcpto s l punto dond la rcta corta al j y. En la gráfica s obsrva los trs casos d la función linal. Para y la pndint m, la rcta s horizontal y l intrcpto s y. Para y, la pndint m >, la rcta s crcint y l intrcpto s y -. Para y - la pndint m <, la rcta s dcrcint y l intrcpto s y. Como s pud infrir, la monotonía d la función linal stá dtrminada por l valor d la pndint. En l pquño grupo colaborativo, analizar la simtría d la función linal. Ejmplo 45: Sa la función f() a +b, por dicha función pasa los puntos P (, 4) y Q (-, -). Dtrminar la cuación qu dscrib dicha función, idntificar la pndint, l intrcpto y hacr la grafica. 5

25 Sgún la cuación qu idntifica la función f() a +b, lo qu s db hallar s a y b, sabindo qu a s la pndint y b l intrcpto. Calculmos la pndint: tommos como P (, 4) y Q (-, -) ntoncs: S rmplaza l valor d a n la cuación plantada: y a m y f ( ) + b. Como los dos puntos dbn 4 satisfacr dicha cuación, s rmplaza uno d llos y así s obtin b: Tomando l punto P (, 4): () + b b 4 Así la cuación qu distingu la función s: f ( ) La gráfica: La gráfica mustra qu la rcta sta inclinada hacia la drcha, lugo la pndint s positiva, lo qu s pud corroborar n la cuación; admás, s crcint. No s simétrica, lo qu s pud comprobar sustituyndo a por n la cuación. Ejmplo 46. Dados los puntos R (-, 4) y S (, -), dtrminar la cuación linal qu contin dichos puntos, la gráfica, su monotonía. La cuación srá d la forma: y m + b, qu s quivalnt a f() a + b Como n l caso antrior dbido a qu no s conoc la pndint lo primro s hallarla. y y 4 6 m ( ) 6 Ahora n la cuación dada s rmplaza uno d los puntos, ya sabmos por qué. 4 ( ) + b b Por consiguint: f ( ) + La gráfica: Sgún la cuación, la pndint s ngativa, lugo la rcta srá inclinada hacia la izquirda, lo qu s obsrva n la gráfica. La función s dcrcint. (Comprobarlo matmáticamnt, n l grupo colaborativo) 54

26 El intrcpto s, s v n la gráfica y s obsrva n la cuación. Así la prsión obtnida s una función linal. Ejmplo 47: San los puntos P (, ) y Q(, -) qu pasan por una rcta. Hallar la cuación, la gráfica y dtrminar si s función. Calculmos la pndint: y y 5 m Ind Esto nos indica qu NO hay pndint. Así la rcta s vrtical. La cuación s d la forma: La gráfica: La cuación obtnida No rprsnta una función, ya qu para, las imágns son infinitas. Así la prsión s una rlación, pro no s función. Gnralizando, toda lína vrtical rprsnta una rlación y toda lína no vrtical rprsnta una función.. Función Cuadrática: Su nombr s dado por l tipo d polinomio qu la dscrib, un polinomio d sgundo grado. DEFINICION: Sa f ( ) a + b + c, dond a, b y c son rals y a. S dfin como una función cuadrática. El dominio sta dntro d los rals al igual qu la imagn. f : R R La gráfica d una función cuadrática s una parábola, qu consta d dos ramals qu s unn n un punto llamado vértic; admás, una rcta qu pasa por l vértic llamada j d simtría, l cual divid la curva n dos parts iguals. Para qu una parábola corrsponda a una función, l j d simtría db sr simpr vrtical. 55

27 Analizando la cuación f ( ) a + b + c, s pudn hacr algunas particularidads. Cuando b c, la parábola tin l vértic n l orign. Si b y/o c son difrnts d cro, l vértic sta fura dl orign, n st caso l vértic s haya así: b a b b El vértic (, y) Dond: ; y f El j d simtría: a a Cuando a; s dcir, l coficint d la variabl al cuadrado toma valors positivos o ngativos, la gráfica cambia. - ) Si a >, las ramas d la parábola abrn hacia arriba a partir dl vértic. - ) Si a <, las ramas d la parábola abrn hacia abajo a partir dl vértic. Ejmplo 48: Dada la función f ( ) hacr la dscripción corrspondint. Como la cuación dada s cuadrática, s pud infrir qu s trata d una función cuadrática. S obsrva qu b c, lugo l vértic sta n l orign. El dominio son todos los rals, ya qu la variabl pud tomar cualquir valor ral. La imagn: Rcordmos qu s dspja y s obsrva qu valors pud tomar y ó f(). y y y f ( ), sto nos indica qu y solo pud tomar valors positivos, ya qu las raícs pars solo tin solución n rals para valors positivos y cro. La imagn srán los Rals no ngativos. (R * ) b El j d simtría srá: a Como a >, ya qu a, ntoncs las ramas abrn hacia arriba a partir dl vértic. La función s dcrcint n, ), ( y crcint n [ ) 56

28 Por toría d polinomios, sabmos qu una cuación cuadrática tin dos cros, qu s dond la curva corta la j, para st caso l cort s n cro, lugo dicho polinomio tin dos cros rals iguals. No dbmos olvidar la toría d polinomios analizada n la part d cuacions polinómicas, s d mucha ayuda para l studio d funcions. Ejmplo 49: Hacr la dscripción d la función: f ( ) El dominio: todos los rals. b La imagn: Son los rals qu san mayors o iguals a f, ya qu a >. a b 8 b Primro s calcula: Ahora s dtrmina f. a () a Vamos: f ( ) ( ) + 8( ) + 5 Finalmnt s stablc qu la imagn son los rals mayors o iguals qu -. Vértic: V (-, -) Simtría: S db rmplazar por n la función: ( ) ( ) + 8( ) S obsrva qu f (- ) s difrnt a f (). Así no hay simtría par. S factoriza l signo y s obtin: f ( ) ( + 8 5) Tampoco s cumpl qu f (- ) - f (), lugo no hay simtría impar, por consiguint la función no tin simtría. Monotonía: Como a > o, las ramas abrn hacia arriba a partir dl vértic. Lugo la función prsnta la siguint monotonía: D (, ) la función s dcrcint., la función s crcint. D [ ) La gráfica: f Como jrcicio, s db dtrminar los cros dl polinomio; s dcir, dond la curva corta al j. Mustr qu dichos cros son: -,775 y -,4. Trabajarlo n l grupo colaborativo. 57

29 Ejmplo 5: Hacr la dscripción d la función cuya cuación s f ( ) + 5 Dominio: Todos los rals b Imagn: Todos los rals qu san mnors o iguals qu f, ya qu a <. a b. Ahora: f ( ) () + () 5 7 La imagn son todos los rals mnors o a ( ) iguals qu 7. Vértic V (, 7) Simtría: Como n l caso antrior s infir qu NO hay simtría, por favor comprobarlo n l grupo colaborativo. Monotonía: La curva prsnta la siguint monotonía: D (,) la función s crcint., la función s dcrcint. D [ ) La grafica: Mostrar qu los cros d sta curva son:,47,57 y Trabajarlo n l grupo colaborativo.. Función Cúbica: Su nombr s dado por l tipo d polinomio qu la dscrib, un polinomio d trcr grado. DEFINICION: Sa f ( ) a + b + c + d, dond a, b, c y d son rals y a. S dfin como una función cúbica. El dominio y la imagn stán n los rals f : R R f ( ) a. Esta función s impar. Cuando b c d, s obtin la función caractrística Cuando a > la función s crcint y cuando a < la función s dcrcint. 58

30 La función cúbica d la forma f ( ) a con a, s simétrica rspcto al orign, s monótona y tin trs raícs rals iguals, para l caso d f ( ) a + c, dond a y c prsntan simtría rspcto al orign, no son monótonas y tinn trs raícs rals difrnts. Sa la función: f() 4 y g() 5. La gráfica siguint mustra qu tanto f() como g(), prsntan simtría rspcto al orign, no tinn monotonía y prsntan trs raícs rals difrnts.. Para l caso d la función f ( ) a + b + c + d dond b, c y d, no prsnta simtría. Si la función prsnta las trs raícs rals, no s monótona. Vamos dos jmplos n la siguint grafica. Sgún la gráfica, qué tipo d raícs tin g() y p(). 59

31 4. Función Polinómica: Las funcions polinómicas son aqullas cuya rgla stá dada por l polinomio qu la dfin, por lo tanto l grado d la función srá l grado dl polinomio. DEFINICION: n n Sa f ( ) an + an a + a, dond a u, a n-,, a y a son rals y a n y n є Z +. S dfin como una función polinómica. Para stas funcions l dominio y su imagn stán n los rals; s dcir: Sgún la dfinición las funcions linals, cuadráticas y cúbicas son polinómicas, solo qu éstas s studiaron por sparado, dbido a su importancia y caractrísticas. Aunqu analizar funcions polinómicas rquir d sólidos conocimintos n polinomios y buna cantidad d jrcicios modlos, lo prsntado n las tmáticas d polinomios y funcions nos pudn srvir como bas para adquirir sólidos conocimintos n l tma. Ejmplo 5: 4 Sa la función f ( ) 4 + : Hacr la dscripción d dicha función. Dominio: Los rals, ya qu la variabl pud tomas cualquir valor ral. Imagn: Los rals, ya qu la variabl y toma también valors rals. Monotonía: Las funcions polinómicas por lo gnral no son monótonas, ya qu pudn sr crcints y dcrcints. f : R R 6

32 4 4 Simtría: Si s rmplaza por, tnmos: f ( ) ( ) 4( ) + ( ) Así no s cumpl f (-) f (), tampoco f (- ) - f (). La función no tin simtría. Gráfica: Para hacr un bosqujo d la gráfica, s pud primro idntificar los cros dl polinomio, lo 4 qu s hac, linalizándolo: f ( ) 4 + ( 4 + ) ( )( ) Entoncs los cros dl polinomio son,,. Por l diagrama d signos, s pud idntificar cómo s comporta la curva. Con l diagrama d signos s infir qu la función prsnta la siguint curvatura: Positiva n los intrvalos: (,) (,) (, ) Ngativa n l intrvalo: (, ) En la gráfica s pud corroborar lo obtnido n l diagrama d signos. La gráfica también nos dja vr qu la imagn son los y - 5. Ejmplo 5: 4 Hacr la dscripción d la función qu tin como cuación: f ( ) Dominio: Todos los rals Imagn: Sgún la cuación la variabl simpr srá positiva, lugo la imagn srán los rals no ngativos. Monotonía: La función no tin monotonía, ya qu prsnta crciminto y dcrciminto. 4 4 Simtría: f ( ) ( ) 4( ) S obsrva qu f (-) f (), lugo la función tin simtría par, así s simétrica rspcto al j y. 4 Gráfica: Idntifiqumos los cros. f ( ) ( ) ( )( ) 6

33 f ( ) ( )( ) ( )( + )( )( + ) Como l polinomio s d grado cuarto, s tinn cuatro cros. Con ayuda dl diagrama d signos, podmos idntificar la curvatura d la grafica. La gráfica, nos corrobora qu la imagn d la función son los rals no ngativos; admás, qu la función s positiva, ya qu n l diagrama d signos l producto s positivo n todo su rcorrido. Ejmplo 5: Dada la gráfica, idntificar las caractrísticas d la función. Hacr l jrcicio con l pquño grupo colaborativo y corroborar la solución con l tutor. Ayuda: Es una función d cuarto grado. 6

34 5. Función Racional: El cocint d dos númro ntros origina una númro racional, análogamnt, l cocint d dos polinomios originan las funcions racionals. DEFINICION: p( ) Sa f ( ), dond q() a f () s l dnomina función racional. q( ) El dominio d la funcions racionals son todos los rals cpto aqullos qu hagan a q(). Rspcto a la imagn, dpnd dl tipo d función, ya qu cada una tin sus particularidads, al igual qu la monotonía y simtría. La gráfica s una función racional s pud hacr idntificando las caractrísticas dscritas, pro admás l límit hasta dond pud llgar la curva sgún las rstriccions dl dominio y la imagn. Los límits d las curvas s pudn idntificar por mdio d las llamadas Asíntotas. ASINTOTA: En términos muy sncillos una asíntota s una rcta qu limita la curva d una función racional. Podmos dcir qu la Asíntota s como la Cbra qu hay n los smáforos n dond no db star l carro cuando ést stá n rojo. La Asíntota s la cbra dond no pud star la curva, solo muy crca. Las Asíntotas son d trs tipos al sabr: Asíntotas Horizontals: S dic qu la rcta y c s una asíntota horizontal d la función f(), si s cumpl alguno d los siguints nunciados: + ( c Cuando ± f ) o ( c Cuando ± f ) Lo antrior significa, qu la función f () tind a c por la drcha (c + ) ó por la izquirda (c - ) cuando tind a más ó mnos infinito. La gráfica antrior mustra qu f () tind a mnos dos por la drcha, cuando tind a mnos infinito. En la siguint gráfica s pud obsrva qu la función f () tind a cro por la izquirda, cuando tind a más infinito. 6

35 Asíntotas Vrticals: S dic qu la rcta a s una asíntota vrtical d la función f(), si s cumpl alguno d los siguints nunciados: f () ± Cuando + a o () ± f Cuando a Lo antrior significa, qu la función f () tind a más o mnos infinito, cuando tind hacia a por la drcha o por la izquirda. En la gráfica antrior s pud obsrvar qu cuando tind a mnos por la drcha, la función f () tind a mnos infinito. Asíntotas Oblicuas: Cuando una rcta s asíntota d una curva, pro dicha rcta no s vrtical tampoco horizontal, s dic qu oblicua. p( ) f ( ) Es una función racional, dond l grado d p ( ) s n y l d q( ) q ( ) s n, ntoncs f ( ) tndrá una asíntota oblicua d la forma y a + b. El trabajo consist n sabr cómo hallar dichas asíntotas, vamos: p() s uno mayor qu l grado d q(). p( ) f ( ), como l grado d q( ) 64

36 p( ) Al hacr la división: q( ) rsiduo. Lugo, cuando ± R h( ) + Dond h () a + b; s dcir, una cuación linal, R s l q( ) R ntoncs lugo: h ( ) a + b Por consiguint q ( ) la asíntota oblicua srá la cuación y a + b, obtnida al hacr la división ntr los polinomios d la función racional. Ejmplo 54: Dscribir la función: f ( ) 4 Dominio: Todos los rals difrnts d y - Imagn: Todos los rals Monotonía: La función no s monótona, ya qu crc y dcrc n su dominio. Simtría: Al rmplazar por, no s prsnta l caso d función par tampoco impar. Asíntotas: HORIZONTALES: No tin ya qu no s cumpl ninguna d las opcions para st tipo d asíntota. VERTICALES: S prsntan varios casos: + Cuando ntoncs f () Cuando ntoncs f () + Por otro lado: + Cuando ntoncs f () + Cuando ntoncs f () Por consiguint s prsnta asíntota vrtical n - y. OBLICUAS: Cuando s hac la división d la prsión racional, s obtin una cuación linal d la forma y. Gráfica: 65

37 Ejmplo 55: Para la función: f ( ) Hacr la dscripción corrspondint. Dominio: Todos los rals difrnts d Imagn: Todos los rals difrnts d cro. Monotonía: La función no s monótona, ya qu n su dominio crc y dcrc, lo vrmos n la gráfica. Simtría: Si rmplazamos a por n la función, no prsnta ninguna d las altrnativas d simtría. Asíntotas: HORIZONTALES: + Cuando +, ntoncs f (). Cuando, ntoncs f (). Así s prsnta una asíntota horizontal n y. VERTICAL: + Cuando ntoncs f () Cuando ntoncs f () Así s prsnta una asíntota vrtical n. 66

38 Gráfica: La función no prsnta asíntotas oblicuas, Rflionar porqué! 6. Función Radical: Cuando l polinomio qu dscrib la función sta dntro d un radical, s l llama función radical. DEFINICION: Sa f ) n p( ) (, para n y n є Z + S dic qu s una función radical. El dominio d st tipo d funcions son los rals; sgún los siguints casos: Para n Par: p(). La imagn son los rals positivos. Estas funcions por lo gnral son monótonas y no simétricas. Para n Impar: p() pud sr positivo o ngativo. La imagn también pud sr positiva o ngativa. Ejmplo 56: Dada la función f ( ) + Idntificar sus caractrísticas. Dominio: Como +, ntoncs -. Así l dominio son los rals mayors o iguals a mnos dos. Imagn: Los rals no ngativos. Monotonía: La función s crcint ya qu para un <, f( ) < f( ) Simtría: Rmplazamos por. f ( ) +, no hay simtría, ya qu no s cumpl f (-) -f () tampoco f (-) f (). 67

39 Gráfica: Ejmplo 57: Dscribir la función: f ( ) Dominio: Todos los rals. Imagn. Todos los rals Monotonía: La funcions s crcint. Simtría: f ( ) S cumpl qu f (-) - f (). La función s impar, lugo s simétrica rspcto al orign d coordnadas. Gráfica: Ejmplo 58: Analizar la función: f ( ) 4 68

40 Dominio: Son todos los rals para los cuals > Como l numrador simpr s positivo, 4 ntoncs l qu dtrmina l valor qu pud tomar la variabl s l dnominador, así: 4 >, lugo > 4. El dominio son todos los rals mayors qu 4. Imagn: Para st tipo d función s sab qu son los rals no ngativos, pro para st caso como 4 solo pud sr strictamnt mayor, ntoncs la imagn srán los rals positivos. Monotonía: si s tomas dos valors d, digamos 5 y 6, al rmplazar n la función s pud obsrvar qu f( ) > f( ), lugo la función s dcrcint, por consiguint s monótona. Simtría: Esta función no s simétrica, ya qu no cumpl qu f (-) f (), tampoco f (-) - f (). Asíntotas: HORIZONTALES: Cuando +, ntoncs. f ( ) 4 Así s prsnta una asíntota horizontal n y. VERTICAL: + Cuando 4 ntoncs f () Así s prsnta una asíntota vrtical n 4. Gráfica: 69

41 EJERCICIOS f ( ) f () Dada la prsión para, Hallar l valor d la función dada:. f ( ) Rta:. f( ) Rta: -. f ( ) Rta: + Dadas las siguints funcions, hacr la dscripción idntificando: Dominio, Imagn, monotonía, simtría, gráfica. 4. f ( ) 4 5. f ( ) q ( ) 4 7. f ( ) ( ) 8. f + f ( ) f ( ) + 4. Dadas las funcions f() y g() cuyas gráficas s obsrvar a continuación, idntificar las caractrísticas d cada una tals como: Dominio, Imagn, monotonía y simtría.. Idntificar algunas aplicacions d las funcions polinómicas y racionals n las áras d Ingniría, Administración, Cincias Agrarias y Cincias Socials. 7

42 Lcción Vintiséis: Funcions Transcndntals f ( ) Log( + b + c) S considran a las funcions cuyo modlo matmático son prsions con ponncials, logarítmicas, prsions trigonométricas o combinacions d stas. FUNCIÓN EXPONENCIAL: S caractriza porqu la variabl sta n l ponnt, lugo su dscripción sta bajo los principios d los ponnts. D st tipo s conocn muchas, pro con l fin d comprndrlas s analizarán algunas. Función Eponncial Bas a: Son aqullas cuya bas s un númro ral positivo y l ponnt la variabl indpndint. DEFINICION: Sa f ( ) a, para a > y a. S dfin como una función ponncial d bas a. La función ponncial tin las siguints caractrísticas: Dominio: Es l conjunto d los rals, ya qu la variabl pud tomar cualquir valor ral n l modlo matmático qu la rprsnta. Imagn: Esta n l conjunto d los rals positivos, dbido a qu para cualquir valor d, la función no toma valors ngativos. f : R R + La rlación: El Intrcpto: Esta función corta al j y n l valor y. La plicación s qu para, la imagn simpr s y. Monotonía. La función ponncial s monótona. Si a > la función s crcint, pro si < a <, la función s dcrcint. Simtría: Est tipo d función no prsnta ningún tipo d simtría. Asíntotas: Las funcions ponncials tinn una asíntota horizontal n y. 7

43 Todas las funcions d la forma f ( ) a tin la misma forma, solo cambia la pndint d la curvatura, sgún sa l valor d a. Así hay dos tipos d funcions ponncials muy particulars, qu analizarmos a continuación. Función Eponncial Dcimal: Es aqulla función cuya bas n, d allí su nombr. DEFINICION: Sa f ( ), S dfin como una función ponncial dcimal La función ponncial dcimal tin las propidads d una función ponncial d bas a. Función Eponncial Natural: Es aqulla función cuya bas n l númro d Eulr, rprsntado por la ltra. DEFINICION: Sa f ( ), S dfin como una función ponncial natural El gran matmático Suizo Lonhard Eulr obtuvo l númro dsarrollando la prsión +,78... a mdida qu Función Eponncial Dcimal Función Eponncial Natural El numro s un númro irracional, pro s ha tomado como la bas d la función ponncial natural. En la gráfica, s obsrva qu la función ponncial dcimal s más pndint qu la natural. 7

44 Ejmplo 59: Analizar la función f ( ) y g ( ) Todas las propidads dadas para función ponncial s cumpln para stas funcions, solo vamos las gráficas. Estas dos funcions son la bas d las llamadas funcions hiprbólicas, qu s analizarán más a adlant. Ejmplo 6: Dscribir la función: f ( ) Para sta función l dominio son todos los rals, pro la imagn stá rstringida a l intrvalo (, ] Es simétrica rspcto al j y, crcint n l intrvalo (,] y dcrcint n l intrvalo (, ) Analizar stas caractrísticas con l grupo colaborativo y lugo compartir con l Tutor. 7

45 FUNCIÓN LOGARITMICA: El logaritmo s una opración invrsa a la potnciación, análogamnt la función logarítmica s invrsa a la función ponncial. Los principios, lys y propidads d los logaritmos son aplicabls a st tipo d función. Ants d comnzar a trabajar con funcions logarítmica, s prtinnt rcordar algo sobr los logaritmos. A propósito, John Npr (.55.67) fu l primro qu dio la dfinición d logaritmo, como la razón d dos magnituds. La palabra stá asociada a la curvatura d la trayctoria d curpos clsts. Propidads d los Logaritmos: Aunqu por studios prvios, todos tnmos algo d conocimintos sobr los logaritmos, n l curso d Matmáticas Básicas, s studian con dtniminto, pro s considra prtinnt hacr rfrncia a algunas propidads d sta opración. Invrsa Suma y y Log a ( ) a Log ( ) + Log ( y) Log ( * y) a a a Difrncia potncia Log a ( ) Log a ( y ) Log Log k ( ) klog ( ) a a a ( y ) Raíz Rcíproco Nulo Opración Opusta Log Log ( y ) Log y Log a ( ) Log ( a ) a ( a ) Log a ( ) a Log a ( ) Cambio d Bas: En ocasions s tin una función logarítmica n bas a, pro s rquir trabajar una función logarítmica con otra bas, para sto ist un principio qu prmit cambiar la bas d una función logarítmica sin qu sus propidads s altrn. Log ( ) a Log Log b b ( ) ( a ) 74

46 Dmostración: Sa y Log () s dsa qu la función s transform n una nuva bas, digamos b, ntoncs: a y y Log ( ) a Aplicamos logaritmo n la nuva bas a la última cuación: a y y a Log b ( a ) Log b ( ) Por la propidad d potncia para logaritmo, s tin: Log b ( ) ylog b ( a) Log b ( ) Dspjamos la variabl y, s obtin: y Log ( a ) Ejmplo 6: Dada la función ( ) y log, transformarla a bas. b Para l caso a y b, ntoncs rmplazando: log ( ) Ln ( ) Ln () Ejmplo 6: Trasformar d la bas dada a bas 4, la función y Log() Log ( ) Log Log 4 4 ( ) () Función Logarítmica Bas a: Lo qu difrncia a las funcions logarítmicas s la bas, así s vrán algunas funcions logarítmicas muy particulars. DEFINICION: Sa f ( ) Log a ( ), para a > y a. S dfin como una función logarítmica d bas a. Al igual qu la función ponncial, la función logarítmica tin algunas propidads. El Dominio: Para las funcions logarítmicas, l dominio son todos los rals positivos, ya qu l logaritmo d rals ngativos no istn. La Imagn: La imagn d la función logarítmica son todos los rals: La Monotonía: La función logarítmica s crcint para a > y dcrcint para < a <. Entoncs la función logarítmica s monótona. Asíntotas: Prsnta una asíntota vrtical n. Intrcpto: La curva corta al j n, pro no corta al j y. Asíntotas: La función logaritmo f() Log() tinn una asíntota vrtical n. R + R 75

47 Función Logarítmica Bas : Esta función s conoc como la función logaritmo dcimal. DEFINICION: Sa f ( ) Log ( ) Log( ). S dfin como una función logarítmica dcimal Como s obsrva n la dfinición, la función logarítmica dcimal s scrib comúnmnt como Log(), s una d las funcions logarítmicas más conocidas y utilizadas. Todas las propidads d los logaritmos son aplicabls a sta función. Función Logarítmica Bas : Esta función s conoc como la función logarítmica natural. DEFINICION: Sa f ( ) Log ( ) Ln( ). S dfin como una función logarítmica natural Como s obsrva n la dfinición, la función logaritmo natural s scrib comúnmnt como Ln(), también s una d las funcions logarítmicas más conocidas y utilizadas. Todas las propidads d los logaritmos, también son aplicabls a sta función. Función Logaritmo Dcimal Función Logaritmo Natural En las gráficas s pud vr qu la función logaritmo natural s más pndint qu la función logaritmo dcimal. Pro las dos son crcints n su dominio, también s obsrva la asíntota n. 76

48 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: La trigonomtría fu dsarrollada hac más d. años, sindo los Grigos sus gstors y l Matmático y Astrónomo Hiparco d Nica (9- a d C) uno d sus rprsntants. Sus inicios furon motivados por la ncsidad d prdcir rutas y posicions d curpos clsts, para mjorar la navgación, l cálculo d timpos y posicions d los plantas. La trigonomtría s cntra n l studio d los Triángulos, la palabra s driva dl grigo Trigonom qu significa Triángulo y mtrs d mdición. En sta lcción solo nos cntrarmos n l studio d las funcions trigonométricas, sus principios, caractrísticas y aplicacions. En la lcción d Trigonomtría s analizarán aspctos d trigonomtría analítica. Hiparco d Nica Funt:astrocosmo.cl/biografi/b-_hiparco.htm Sabmos por nustros conocimintos prvios qu todo triángulo tin trs lados y trs ángulos; admás, qu los triángulos rctángulos tinn un ángulo conocido. Los Ángulos: En Gomtría s studiaron los ángulos, class, propidads y dmás. S analizaron divrsas dfinicions d ángulos, aquí solo s dará una dfinición muy sncilla y particular. Un ángulo s forma cuando dos sgmntos d rcta s cortan n un punto llamado Vértic. A los sgmntos d rcta s l conocn como lado inicial y lado Trminal. V Vértic a lado inicial b Lado Trminal Θ Ángulo formado S pud dcir qu un ángulo s l Espacio formado por los sgmntos d rcta qu s cruzan n l vértic. Por convnción un ángulo s positivo cuando s mid n sntido contrario a las mancillas dl rloj y ngativo cuando s mid n sntido d dichas mancillas. Por lo gnral para simbolizar los ángulos s usan ltras grigas como α β λ ϑ ntr otras, o ltras latinas mayúsculas A, B, C, otros. La gráfica mustra qu l ángulo s positivo arriba y ngativo hacia abajo. hacia Mdida d loa ángulos: La mdida d los ángulos dpnd d la abrtura o sparación qu prsntn las dos smirrctas. Eistn dos sistmas básicos para mdir los ángulos. El Sistma Sagsimal cuya unidad son los Grados y l sistma Circular cuya unidad s l Radian. Estos tinn rfrncias, vámoslo n la grafica siguint. 77

49 Sistma Sagsimal Sistma Circular Una vulta quival a 6 n l sistma sagsimal y π n l sistma circular. Eist un sistma d convrsión ntr los sistmas, sgún las quivalncias qu s pudn vr n las gráficas. Para convrtir d radians a grados: 8 y Grados ( Radians π Para convrtir d grados a radians. π Radians ( y Grados 8 ) ) Ejmplo 6: Convrtir π/ a grados. Para st caso nos sirv la primra fórmula. 8 y ( π ) π 8 6 Lo antrior significa qu π / quival a 6. Ejmplo 64: A cuantos radians quivaln Aquí s db cambiar d grados a radians. y π 8 ( ) π 8 π 78

50 Entoncs quivaln a π / Ejmplo 65: Cuantos radians hay n 4 y π 8 (4 ) 4 π 8 7π Ejmplo 66: Cuantos grados y radians hay n vultas y mdia. Como una vulta s d 6 y mdia vulta s d 8, ntoncs trs vultas y mdia srá: (6 ) n grados. π 6π Para radians. y (6 ) 7π Así vultas y mdia quivaln a.6 ó 7π 8 8 Ángulos Notabls: Ángulos istn muchos, pro para facilitar l análisis d las funcions trigonométricas, s han stablcido unos ángulos qu s ls han dnominado ángulos notabls, ya qu a partir d stos s pud analizar cualquir otro. En l sistma d coordnadas rctangulars, l primr cuadrant stá comprndido ntr los ángulos y π/. El sgundo cuadrant stá comprndido ntr π / y π, l trcr cuadrant ntr π y π / y l cuarto cuadrant ntr π / y π Los ángulos notabls s obtinn cuando s divid la unidad n 6 parts, así s obtinn 6 ángulos ya qu 8 / 6, ntoncs s obtin 6 ángulos con una mdida d cada uno n la part suprior dl plano, d la misma manra n la part infrior. Otra división s n cuatro parts: 8 / 4 45, ntoncs s obtin 4 ángulos con una mdida d 45 cada uno. La siguint gráfica ilustra dichas divisions. Las línas azuls mustras las 6 divisions d la part suprior y 6 divisions d la part infrior. Las línas cafés mustras las 4 divisions d la part suprior y las 4 d la part infrior. D sta manra s mustran los ángulos notabls n grados. Ángulos Notabls Dados n Grados 79

51 Para l caso d radians, la división s d la forma. / 6, así cada part s /6 por la part suprior, igual para la part infrior dl plano. Hacindo la división n 4 parts, s obtin la razón / 4. Las línas azuls mustran la división n 6 parts y la lína café mustra la división n 4 parts. D sta manra s mustran los ángulos notabls n radians. Ángulos Notabls Dados n Radians Rsumindo la construcción d los ángulos notabls, n la siguint tabla s prsntan aqullos n los cuadrants corrspondints. Cuadrant / Sistma Sagsimal Circular Primr cuadrant π/6 π/4 π/ π/ Sgundo Cuadrant π/ π/4 5π/6 π Trcr Cuadrant π/6 5π/4 4π/ π/ Cuarto Cuadrant 5 6 5π/ 7π/4 π/6 π Rlacions Trigonométricas: Rcordando qu las rlacions son intraccions ntr dos conjuntos, para l caso d trigonomtría la rlación s l cocint ntr dos longituds. Tomando como rfrncia l triángulo rctángulo, s pud dtrminar las rlacions trigonométricas conocidas. y Lado Opusto lado adyacnt h Hipotnusa θ Angulo 8

52 A partir d las longituds d, y, h s dfinn 6 rlacions trigonométricas. sn (θ ) cos( θ ) tan( θ ) y h h y csc( θ ) sc( θ ) cot( θ ) h y h y Convnción: sn (θ ) Sno dl ángulo cos(θ ) cosno dl ángulo tan(θ ) tangnt dl ángulo cot(θ ) cotangnt dl ángulo sc(θ ) scant dl ángulo csc(θ ) coscant dl ángulo Las trs primras rlacions s conocn como las principals y las otras trs como las complmntarias. Como las rlacions originan un cocint, s pud infrir qu la rlación s da ntr un ángulo y un númro ral. Ejmplo 67: Sa n triángulo rctángulo cuyos lados midn 4; y, y, hallar las rlacions trigonométricas corrspondints. Grafiqumos l triángulo corrspondint. Primro hallamos la hipotnusa, lo qu s pud hacr por mdio dl torma d Pitágoras: h + y h Así s tinn los valors d las trs longituds, lugo ya s pud dfinir las rlacions trigonométricas. y h 5 sn (θ ) Entoncs: sn ( θ ) csc(θ ) Entoncs: csc( θ ) h 5 y cos(θ ) Entoncs: h 4 cos( θ ) 5 h sc(θ ) Entoncs: 5 sc( θ ) 4 y tan(θ ) Entoncs: tan( θ ) 4 cot(θ ) Entoncs: y 4 cot( θ ) S obsrva qu cada rlación tin un valor ral para un ángulo. Rducción d Ángulos al Primr Cuadrant: S sab qu los ángulos l primr cuadrant van d a π/, cualquir ángulo mayor a stos s pud rducir a un ángulo quivalnt dl primr cuadrant. Lo antrior s sustnta n qu las mdidas d los ángulos s hacn rspcto al j, lugo n l 8

53 plano cartsiano y para la circunfrncia unidad (radio ) simpr habrá 4 ángulos quivalnts rspcto al j, solo qu cada uno stará ubicado n cada uno d los cuadrants. Con la siguint situación s pud ilustrar la rducción mncionada. S obsrva qu los 4 ángulos tinn la misma abrtura rspcto al j, solo qu stán n cuadrants difrnts. Para prsar la abrtura n l primr cuadrant, s db hacr una convrsión. Dl sgundo cuadrant: 8-5 Dl trcr cuadrant. 8 Dl cuarto cuadrant: 6 Gnralizando: Sa Φ un ángulo dado y sa l ángulo quivalnt d Φ llvado al primr cuadrant, para cualquir ángulo Φ > π/ s tin: Dl sgundo al primr cuadrant: 8 θ Dl trcr al primr cuadrant: θ 8 Dl cuarto al primr cuadrant: 6 θ Ejmplo 68: Rducir al primr cuadrant: 5 y 5 El ángulo d 5 stá n l sgundo cuadrant, lugo: Entoncs l ángulo 5 qu stá n l sgundo cuadrant, s quivalnt a 55 n l primr cuadrant. Para l ángulo 5 qu stá n l trcr cuadrant Para st caso l rsultado nos indica qu 5 ubicado n l trcr cuadrant s quivalnt a 45 n l primr cuadrant. Ejmplo 69: Rducir al primr cuadrant los ángulos y -6 Para por star n l cuarto cuadrant: 6 5 Para l caso d -6, l valor n l primr cuadrant s 6 (porqué). Funcions Trigonométricas d Ángulos: Las funcions trigonométricas son rlacions n las cuals a cada ángulo l corrspond un único númro ral. El dominio d las funcions trigonométricas son todas las mdidas d los ángulos agudos, pro sgún la función dfinida, l dominio s pud tndr a otros ángulos. 8

54 S va a analizar cada función, con l fin d idntificar sus particularidads, no sin ants rsaltar qu stas funcions son priódicas, ya qu s rpitn cada cirto ángulo, s dcir: f ( ) f ( + p) Para P >. La Circunfrncia Unidad y Longitud d Lados d Triángulo Rctángulo: La circunfrncia unidad s aqulla cuyo radio s R. A partir d st principio, s pud conocr la longitud d los lados hipotnusa d un triángulo rctángulo, sgún l ángulo stablcido. Hay algunos tormas qu prmitn idntificar los valors d los lados d un triángulo rctángulo para los ángulos notabls básicos:, π/6, π/4, π/, π/. CIRCUNFERENCIA UNIDAD (R) ANGULO DE 9: (, π) Para l ángulo d los valors d las coordnadas son: y. La razón s qu n st ángulo no hay coordnada vrtical.. La razón s qu n st ángulo coincidn la hipotnusa y l lado adyacnt. Para l caso d 9 la situación s la siguint: y. La razón s qu n st ángulo la hipotnusa y l lado opusto coincidn.. La razón s qu n st ángulo no hay coordnada horizontal ANGULO DE 6:(π/6, π/) TEOREMA: En un triángulo rctángulo - 6, la longitud dl lado opusto al ángulo d s la mitad d la longitud d la hipotnusa. Entoncs: Dmostración: h y y h y La dmostración s dja como jrcicio para qu ustd stimado studiant, la invstigu, así s afianzan d manra más dinámica los conocimintos. 8

55 Para - π/6: Para la circunfrncia unidad: h Lugo: h y Entoncs: y Para 6 - π/: y Las longituds d los dados son al contrario. y y 4 y 4 h Con st rsultado, s pud hallar los valors d las funcions trigonométricas para los ángulos d y 6. ANGULO DE 45: (π/4) Por gomtría básica sabmos qu un triángulo rctángulo con un ángulo d 45, tin sus lados iguals, ya qu l otro ángulo también s d 45 Como y, ntoncs por Pitágoras: h + y Rmplazando: + Dspjando la incógnita: Por consiguint: y Conocindo las longituds d los lados d un triángulo rctángulo para los ángulos notabls básicos; s dcir, los dl primr cuadrant, podmos iniciar l studio d las funcions trigonométricas. 84

56 FUNCIÓN SENO: Dfinida la rlación sn (θ), podmos dfinir la función sno como sigu: f () sn(θ). Dond θ y al cual l corrspond un númro ral. Lo antrior significa qu a cada ángulo l corrspond un númro ral. Dominio: Son todos los rals, ya qu la variabl pud tomar cualquir valor ral. Imagn: la imagn d la función sno sta n l intrvalo [-, ], ya qu l cocint d la rlación nunca pud suprar la unidad. Lo antrior stablc qu como sn (θ) y/h sindo h y, lo máimo s qu h y, así l cocint srá, pro si h > y, l cocint stará ntr y, sindo cuando y. El signo ngativo s da n los cuadrants dond l j y s ngativo. Valors dl sno: Para obtnr los valors d los ángulos notabls, utilizamos la dfinición d rlación trigonométrica y las longituds dl triángulo para los difrnts ángulos analizados. y sn( θ ) sn( ) Lugo: sn ( θ ) h sn ( ) sn(45 ) sn(6 ) sn(9 ) Para obtnr los valors d los ángulos n los dmás cuadrants, s tin n cunta la quivalncia ntr ángulos dl primr cuadrant y los otros. Por jmplo l ángulo d s quivalnt a 5, y, solo s tin n cunta l valor d y para cado uno. El j y s positivo n l primro y sgundo cuadrant (I y II) y ngativo n los dmás. Como conscuncia s tin qu para la función sn (θ), l valor d los ángulos n l primro y sgundo cuadrant son positivos y n l trcro y cuarto cuadrant (III y IV) son ngativos. El siguint cuadro rsum los valors notabls dl dominio y su imagn Gráfica d la función sn(): Simtría: Para la función sno s cumpl: sn(-) -sn(), lugo s una función impar, por consiguint s simétrica rspcto al orign d coordnadas cartsianas. 85

57 Monotonía: La función no s monótona, ya qu prsnta crciminto y dcrciminto a través d su dominio, como s pud obsrvar n la gráfica. Priodicidad: Antriormnt hicimos rfrncia a qu la función s priódica, l priodo dl sno s π, ya qu cumpl: sn ( ) sn( + π ) Esto significa qu la función sno s rpit cada π n las mismas condicions. Propidads Adicionals: Para cualquir ángulo d la circunfrncia unidad. -) sn ( + π ) sn ( ) -) sn ( π ) sn ( ) π -) sn ( ) cos( ) FUNCIÓN COSENO: f () cos(θ). Dond θ y al cual l corrspond un númro ral. Al igual qu n l sno, a cada ángulo l corrspond un númro ral. Dominio: Son todos los rals, ya qu la variabl pud tomar cualquir valor ral. (, ) Imagn: la imagn d la función cosno sta dada también n l intrvalo [-, ], ya qu l cocint d la rlación nunca pud suprar la unidad. Como s plico para sno, n st caso s lo mismo. Como cos (θ) / h sindo h, lo máimo s qu h, así l cocint srá, pro si h >, l cocint stará ntr y, sindo cuando. El signo ngativo s da n los cuadrants dond l j s ngativo. Valors dl Cosno: Para obtnr los valors d los ángulos notabls, utilizamos la dfinición d rlación trigonométrica y las longituds dl triángulo para los difrnts ángulos analizados. cos( θ ) cos( ) Lugo: cos( ) h cos( ) cos(45 ) cos(6 ) cos(9 ) Para obtnr los valors d los ángulos n los dmás cuadrants, al igual qu l sno, s tin n cunta la quivalncia ntr ángulos dl primr cuadrant y los otros cuadrants. Por jmplo l ángulo d s quivalnt a 5, y, solo s db tnr n cunta l valor d para cado uno. El j s positivo n l primro y cuarto cuadrant (I y IV) y ngativo n los dmás. Como conscuncia s tin qu para la función cos (Φ), l valor d los ángulos n l primro y cuarto cuadrant son positivos y n l sgundo y trcro (II y III) son ngativos. El siguint cuadro rsum los valors notabls dl dominio y su imagn

58 Gráfica d la función cos(): Simtría: Para la función cosno s cumpl: cos(-) cos(), lugo s una función par, por consiguint s simétrica rspcto al j y d coordnadas cartsianas. Monotonía: La función no s monótona, ya qu prsnta crciminto y dcrciminto a través d su dominio, como s pud obsrvar n la gráfica. Priodicidad: El priodo dl cosno s π, ya qu cumpl: cos( ) cos( + π ) Esto significa qu sta función; al igual qu l sno, s rpit cada π n las mismas condicions. Propidads Adicionals: Para cualquir ángulo d la circunfrncia unidad. -) cos( + π ) cos( ) -) cos( π ) cos( ) π -) cos( ) sn( ) FUNCIÓN TANGENTE: f () tan(θ). La tangnt significa qu toca n un punto. Dominio: Son los rals para los cuals, así l dominio srán todos los valors cpto los múltiplos d π/, sto dbido a qu n st ángulo l valor d s, lugo l cocint y / quda indfinido. Imagn: la imagn d la función tangnt son todos los rals. Valors d la Tangnt: Con los mismos argumntos utilizados para sno y cosno, s pud obtnr los valors d los ángulos notabls. y tan( θ ) tan( ) Lugo: tan( θ ) 87

59 / / tan( ) tan(45 ) / / tan(6 ) tan(9 ) ind La función tangnt s positiva dond l cocint d las variabls y s positivo; s dcir, la tangnt s positiva n los cuadrants primro y trcro. (I y III) Grafica d la función tangnt: La función tangnt tin Asíntotas vrticals n π/ y π/, para la circunfrncia unidad, s pud obsrvar n la gráfica. Simtría: Para la función tangnt s cumpl: tan(-) - tan(), lugo s una función impar, por consiguint s simétrica rspcto al orign d coordnadas. Monotonía: La función tangnt s monótona, ya qu s crcint n su dominio. Priodicidad: El priodo d la tangnt s π, ya qu cumpl: tan( ) tan( + π ) Esto significa qu sta función s rpit cada π n las mismas condicions. Propidads Adicionals: Para cualquir ángulo d la circunfrncia unidad. π -) tan( ) cot( ) -) tan( π ) tan( ) -) tan( π + ) tan( ) 88

60 FUNCIONES COMPLEMENTARIA: D sta manra qudan analizadas las funcions trigonométricas principals, n sguida s hará una dscripción d las funcions complmntarias, con l fin d qu ustd stimado studiant indagu n difrnts funts sobr las mismas, para d sta manra afianzar sus conocimintos. FUNCIÓN DOMINIO IMAGEN SIMETRÍA MONOTONIA PERIODO ASÍNTOTAS Cotangnt є R, Los Función Es monótona. dond π y π Rals impar. Simtría rspcto al Dcrcint n su dominio π π π Scant є R, dond π/ y π/ Coscant є R, dond π y π Grafica función Cotangnt: (-α, -] U [, α] (-α, -] U [, α] orign Función par. Simtría rspcto al j y. Función impar. Simtría rspcto al orign No s monótona, ya qu crc y dcrc n su dominio. No s monótona, ya qu crc y dcrc n su dominio. π π/ π/ π π π 89

61 Grafica función Scant: Grafica función Coscant: Los valors d las funcions cotangnt, scant y coscant, s obtin d la misma manra como s hizo para las funcions principals. Vamos algunos jmplos. π cot( ) 6 y Así sucsivamnt. π h sc( ) 6 π h csc( ) 6 y 9

62 El trabajo consist n qu ustd stimado studiant complt los valors para los ángulos notabls n los cuatro cuadrants n la tabla propusta n sguida, utilizando los principios dados n l apart: Valors d las funcions trigonométricas: Cotangnt: Scant: Coscant:

63 EJERCICIOS Hallar l dominio, imagn, monotonía, simtría y un bosqujo d la gráfica.. f ( ). h ( ) +. J ( ) f ( ) Log (4 h ( ) Log ( ) 5. ) 6. El númro d bactrias n un cultivo stá dado por la función: 5. Dond t s mid n horas. a-) cual s la tasa rlativa (TR) dl crciminto d la población d bactrias. b-) Cual s la población inicial dl cultivo c-) Cuantas bactrias habrá n l cultivo a las 5 horas. Rta: a-) 445 Bactrias/Hora. b-) Rta: 5 bactrias c-) Bactrias 7. La rlación ntr l ingrso anual y l númro d individuos y n un país capitalista sta dado por la función: P( ) Log( y) klog ( ) Cuál srá l númro d individuos n un país capitalista dond k y b., si l ingrso anual s d. Dados los ángulos, hacr la convrsión a radians. Rta: 8. 5 Rta: π/ 9. 7 Rta: 7π/ Rta: 67π/6. 48 Rta: 8π/. -78 Rta: 4π/9 Convrtir a grados los siguints ángulos dados n radians.. 4π/ Rta: 4 4. π/8 Rta: 67, π/8 Rta:,5 6. 7π/ Rta: 5 9

64 7. - 9π/ Rta: 5 Para la siguint figura, Hallar la longitud dl arco y l ára dl sctor circular 8. R 8 cm. α π / 4 Rta: Longitud S 6, 8 cm. Ára: 5, Cm 9. Para Los triángulos dados, hallar l valor d las 6 funcions trigonométricas, sgún l ángulo stablcido.. Para la función f() cot(), n l intrvalo π, idntificar las asíntotas horizontals y vrticals, si las tin.. Graficar las siguints funcions: a-) f() - cot() b-) g() - cos() c-) h() sn() 9

65 Lcción Vintisit: Transformación d Funcions y af ( b + c) Las funcions analizadas hasta l momnto son las qu s podrían considran las funcions modlos o básicas, pro a partir d stas s pudn obtnr nuvas funcions modificando o mjor hacindo cirtas transformacions a las primras. Las transformacions pudn sr d tipo traslación o stiraminto. TRASLACIÓN: La traslación s un corriminto qu pud sufrir la función ya sa horizontal o vrticalmnt, dbido a qu s adiciona una constant a dicha función. Corriminto Vrtical: Sa y f () una función, si s adiciona una constant k, d tal manra qu la función quda: y f ( ) + k la función sufr un corriminto vrtical. Cuando: K > El corriminto vrtical s hacia arriba k unidads a partir d la función bas. Cuando: K < El corriminto vrtical s hacia abajo k unidads a partir d la función bas. Corriminto Horizontal: Sa y f () una función, si s adiciona una constant p, d tal manra qu la función quda: y f ( + p) la función sufr un corriminto horizontal. Cuando: p > El corriminto horizontal s hacia la izquirda p unidads a partir d la función bas. Cuando: p < El corriminto horizontal s hacia la drcha p unidads a partir d la función bas. Ejmplo 7: Sa la función a-) y + b-) y ( ) c-) y ( + ) y A partir d sta obtnr: 94

66 a-) D la función bas y, s l adiciono +. A la función, lugo hubo un corriminto vrtical unidads hacia arriba. b-) Para st caso s adicionó a la variabl, lugo l corriminto s horizontal, dos unidads hacia la drcha. c-) Para st caso s prsnta corriminto n los dos js. Horizontal: Un unidad hacia la izquirda, ya qu s adicionó + a la variabl. Vrtical: Dos unidads hacia abajo, ya qu s adicionó a la función. Ejmplo 7: Graficar la función: a-) f ( ) 4 b-) g ( ) + c-) h ( ) + 95

67 a-) La función bas s la función valor absoluto, lugo para l primr caso s adiciona 4 unidads ngativas a la variabl, así hay corriminto horizontal d 4 unidads hacia la drcha. b-) A partir d la función bas, valor absoluto, s adiciona dos unidads positivas a la función, lugo sta s corr dos unidads hacia arriba; s dcir, sufr corriminto vrtical. c-) Para st caso, la función sufr corriminto tanto vrtical como horizontal. Vrtical: Como s adiciono unidads positivas a la función, ntoncs ésta sub unidads. Horizontal: Admás para la misma función s adicionó dos unidads ngativas a la variabl, ntoncs ésta s corr dos unidads hacia la drcha. Ejmplo 7: Sgún la grafica siguint, idntificar la función qu la dscrib, d las opcions propustas. 96

68 a-) f ( ) cos( π ) b-) g ( ) cos( + π ) c-) h ( ) sn ( π ) Aunqu la rspusta stá ntr stas, por favor justifiqun Cual s y porqu? ESTIRAMIENTO: Cuando a una función s l antpon un coficint, ésta pud prsntar stiraminto o comprsión, sgún los siguints casos: DEFINICIÓN: Sa f () una función y sa k una constant difrnt d cro. Si kf () y La función sufr comprsión vrtical n k unidads. y f ( La función sufr stiraminto vrtical n /k unidads k Si ) Ejmplo 7: A partir d la función valor absoluto: a-) b-) y y f ( ) obsrvar los siguints casos: La función bas s la función valor absoluto. a-) S multiplica la función por l valor, así la función sufr comprsión vrtical. b-) Cuando s multiplico la función por ½, ésta s stiró vrticalmnt. Las dos situacions s pudn obsrvar n la gráfica siguint. 97

69 DEFINICIÓN: Sa f () una función y sa k una constant difrnt d cro. Si f (k) y La función sufr comprsión horizontal n k unidads. y f ( La función sufr stiraminto horizontal n /k unidads k Si ) Ejmplo 74: A partir d la función cuadrática: a-) y f ( ) obsrvar los siguints casos: b-) y La función bas s la función cuadrática. a-) S multiplica la variabl por l valor, así la función sufr comprsión vrtical. b-) Cuando s multiplico la variabl por ½, la función sufr stiraminto vrticalmnt. Las dos situacions s pudn obsrvar n la gráfica siguint. Ejmplo 75: Dada la función: f ( ) Establcr qu ocurr si: a-) S multiplica a f() por b-) S multiplica a f() por / c-) S multiplica a por d-) S multiplica a por ½ 98

70 a-) La función bas s la función cúbica: prsnta una comprsión vrtical. f ( ) Cuando s multiplica dicha función por, s b-) Cuando s multiplica la función por /, s prsnta un stiraminto vrtical. En las siguints gráficas s plica los casos prsntados. c-) Cuando s multiplica la variabl por, la función prsnta una comprsión vrtical. d-) Cuando s multiplica la variabl por /, la función prsnta un stiraminto vrtical. Ejmplo 76: Para las funcions dadas a continuación idntificar qu tipo d stiraminto prsntaron. a-) f ( ) sn( ) b-) f ( ) sn() 99

71 a-) La función bas sn(), al multiplicarla por, ésta s stira vrticalmnt. b-) Pro si multiplicamos la variabl por, la función s ncog horizontalmnt. Conclusions: A manra d rsumn s pud comntar: Cuando a una función bas s l suma una constant la función s traslada ya sa horizontal o vrticalmnt. Cuando a una función bas s l multiplica por una constant, la función s stira o ncog, pro no s traslada. REFLEXIÓN: A toda función f() s l pud hallar otra función qu sa su rfljo. La función y su rfljo forman simtría rspcto a los js coordnados. Sa f () una función, ntoncs - f ( ) s l rfljo rspcto al j. Sa f () una función, ntoncs f ( - ) s l rfljo rspcto al j y. Vamos sta situación d manra gráfica. La rflión qu s obsrva s con rspcto al j.

72 La rflión s st caso s con rspcto al j y. EJERCICIOS Para Las funcions dadas a continuación, a partir d la función bas, idntificar cuáls furon los cambios prsntados y hacr la gráfica.. f ( ) + 4. f ( ) ( ) +. g ( ) 5 4. h( ) 6 5. p ( ) π 6. s ( ) sn( + )

73 Lcción Vintiocho: Funcions Invrsas y f ( ) f ( y) En las funcions ocurr algo parcido a las opracions matmáticas básicas, dond la rsta anula la suma, la multiplicación anula la división, n st ordn d idas las funcions invrsas anulan la función bas, s caractrizan porqu l dominio imagn s invirtn. Es important rsaltar qu para qu una función s puda invrtir, ésta db sr INYECTIVA, la razón s lógica, si s invirtn l dominio imagn, s db tnr cuidado n qu no s prsntn dominios dond alguno d sus lmntos tngan más d una imagn. Dfinición: Sa y f() una función Inyctiva (uno a uno), la invrsa d f() s la función f - (), la cual tin como dominio la imagn d f() y como imagn l dominio d f(). Dada la función y f (), la función invrsa s pud prsar d dos manras Forma Implícita: f (y) Forma Eplícita: y f ( ) La propidad fundamntal d invrtir funcions: f ( f ( ) ) f ( f ( ) ) En las condicions analizadas, s pud infrir qu las funcions monótonas son invrtibls, s dcir las funcions crcints o dcrcints. Vamos las caractrísticas básicas d las funcions invrsas: Dominio: El dominio d f - () s la imagn d f() Imagn: La imagn d f - () s l dominio d f() Simtría: Las funcions f() y f - () son simétricas rspcto a la rcta y. La rcta y, s l j d simtría d las funcions f() y f - (). FUNCIONES ALGEBRÁICAS INVERSAS: Las funcions polinómicas d grado impar, como las d grado uno y trs son inyctivas, las funcions radicals también son inyctivas, st tipo d función s invrtibl, n gnral como s dijo

74 antriormnt todas las funcions monótonas. Eist un método gráfico para idntificar si una función s inyctiva, consistnt n trazar una rcta horizontal n cualquir punto dl plano y vrificar qu corta a la curva n un solo punto. S obsrva qu L corta la curva n más d un punto, lugo f() no s inyctiva, para l caso d g() la rcta corta a la curva solo n un punto, por consiguint g() s inyctiva. Ejmplo 77: Halar la función invrsa d f ( ) 4 5 Como la función s linal, s pud obtnr su invrsa. El procdiminto consist n dspjar la variabl y obtnr una nuva función dond y s la variabl indpndint. Vamos: y 4 5 y Así la función invrsa srá: Forma Implícita: Forma Eplícita: y f ( ) y La gráfica siguint nos mustra l comportaminto d la función f() y su invrsa.

75 Ejmplo 78: Dada la función: g ( ) Hallar g - (). Por la toría analizada, la función tin invrsa, ya qu s un polinomio d grado impar. Entoncs dspjamos la variabl. y y La invrsa s: Forma Implícita: Forma Eplícita: y g ( ) Ejmplo 79: Idntificar la invrsa d la función: f ( ) La función s inyctiva, lugo tin invrsa. y + y y La invrsa n las dos formas: Forma Implícita: + y Forma Eplícita: f ( ) + 4

76 Ejmplo 8: Dtrminar la invrsa d: g ( ) + 4 Dspjamos la variabl para obtnr la invrsa. y y( + 4) y + 4y y 4y + 4 4y (y ) 4y y Así la función invrsa s: 4y Forma Implícita: y Forma Eplícita: g ( ) Vamos las gráficas. Para comprobar si la invrsión d la función fu corrcta, s pud aplicar la propidad fundamntal: f f f ( ) f ( ) ( ) ( ) 5

77 + 5 4 Apliquémoslo para l jmplo 77, f ( f ( ) ) Para l jmplo 78: g ( g ( ) ) ( ) S obsrva qu la propidad s cumpl. Como jrcicio d rfurzo, dsarroll lo mismo para los jmplos 79 y 8. FUNCIONES TRASCENDENTALES INVERSAS: Las funcions trascndntals invrsas son muy importants ya qu tinn mucha utilidad n la intgración, n la solución d cuacions y otras áras. Función Eponncial: Sabmos qu la función ponncial s inyctiva, por consiguint tin invrsa la cual s la función logarítmica. DEFINICIÓN: Sa ( ) a, ntoncs f ( ) Log a ( ) f Dmostración: A partir d: y a Loga ( y) Loga ( a ) Loga ( y) Eprsándola n forma plícita: Loga ( y) f ( ) Loga ( ) Analizando las funcions ponncials más conocidas, la natural y la dcimal: f ( ) f ( ) Ln ( ) f ( ) f ( ) Log ( ) Función Logarítmica: Sabmos qu la función logarítmica también s inyctiva, por consiguint tin invrsa la cual s la función ponncial. DEFINICIÓN: Sa f ( ) Log ( ), ntoncs a f ( ) a Dmostración: A partir d: a y a f ( ) a y Loga ( ) y y Log ( ) a a a Eprsándola n forma plícita: 6

78 Analizando las funcions logarítmicas más conocidas, la natural y la dcimal: f ( ) Ln( ) f ( ) f ( ) Log( ) f ( ) Función Eponncial Dcimal y función Eponncial Logarítmica. Función Trigonométrica Invrsas: Sabmos qu las funcions trigonométricas no son inyctivas, ya qu por sr priódicas s rpitn cada cinto valor dl dominio, por jmplo la función sno s rpit cada π, la función tangnt cada π, así las dmás. Para podr invrtir las funcions trigonométricas, s hac un análisis dl dominio, hacindo lo qu s conoc como la Rstricción dl Dominio, qu consist n tomar solo una part d ést, dond la función sa monótona, ya qu d sta manra si s pudn invrtir. Vamos l procso: Sno: Dominio rstringido para l sno s: π π, En st intrvalo la función s dcrcint 7

79 Cosno: El dominio rstringido para l cosno s: [, π ] En st intrvalo la función s dcrcint Tangnt: El dominio rstringido para la tangnt s: π π, En st intrvalo la función s crcint Para l caso d las funcions rstants:, π n st intrvalo la función s dcrcint. Cotangnt: Dominio rstringido: ( ) Scant: Dominio rstringido (, π ) cpto π En st intrvalo al función s crcint. Coscant: Dominio rstringido π π, cpto. En st intrvalo la función s crcint. En stas condicions las funcions trigonométricas s pudn invrtir. Sno Invrtido: Dominio: Son los númros rals comprndidos: [,] Imagn. Los ángulos ntr Sa f ( ) sn ( ) S dfin como la función invrsa dl sno o arcosno d la variabl. π π, 8

80 Simtría: la función sn - () s impar, lugo s simétrica rspcto al orign d coordnadas. Monotonía: Crcint n su dominio. Cosno Invrtido: Sa f ( ) cos ( ) S dfin como la función invrsa dl cosno o arco cosno d la variabl. Dominio: Son los númros rals comprndidos: [,] Imagn. Los ángulos ntr [, π ] Simtría: la función cos - () s impar, lugo s simétrica rspcto al orign d coordnadas. Monotonía: Dcrcint n su dominio. Vamos las gráficas d stas funcions. Función Sno Invrso Función cosno Invrso Vamos las otras funcions trigonométricas invrsas: FUNCIÓN DOMINIO IMAGEN SIMETRÍA MONOTONÍA tan ( ) (, ) π π Impar Crcint, cot ( ) (, ) (,π ) Invstigar? Invstigar? 9

81 Función Tangnt Invrsa Función Cotangnt Invrsa FUNCIÓN DOMINIO IMAGEN SIMETRÍA MONOTONÍA sc ( ) π π Invstigar? Invstigar?,, π csc ( ) π π Invstigar? Invstigar?,,

82 Función Scant Invrsa Función Scant Invrsa Ejmplo 8: Hallar y sn - (/) π π Lo qu s db hacr s buscar n l intrvalo, qu s l conjunto d la imagn dl arco sno, un ángulo para l cual l sno val ½, s sab qu l sn(π/6) s /, lugo: sn - (/) π/6, ntoncs: y π/6 Ejmplo 8: Rsolvr: y tan - ().

83 π π En l intrvalo, s db buscar una ángulo para l cual su tangnt val. El ángulo para l cual la tangnt s, corrspond a π/4 (45 ). Entoncs: tan - () π/4, por consiguint y π/4 Ejmplo 8: Hallar l ángulo o ángulos para l cual: y cos ( ) El arco cosno tin como imagn, l intrvalo [, π ] S db buscar l ángulo o ángulos n st intrvalo dond l cosno val π cos ( ) 4 Ejmplo 84:. S sab qu l cosno d π/4 s igual a. Entoncs: Rsolvr: y cos (/ ) + cot ( ) S db hallar l arco cosno d ½ y l arco cotangnt d. Para l Para la cos cot ( π (/ ) π ) 6 (Justifiqu sta rspusta). Rcordmos qu para cot - () l intrvalo d la imagn s (,π ) π π π Ahora: y cos (/ ) + cot ( ) + Así: y π/ 6 Ejmplo 85: Hallar l ángulo para los valors dados: a-) Sn - (, 5) b-) cos - (, 95) a-) El valor dado Sn - (,5) s pud hallar a través d las tablas d funcions trigonométricas. El valor s ncuntra así: ANGULO VALOR Por intrpolación:,986 (Compartir con su Profsor l procso d,8,488 intrpolación) X,5 En l programa D. S pulsa shift con sin - s ingrsa l valor para st,9,56 caso (,5) la calculadora arroja l valor,866 qu srá l valor dl ángulo corrspondint. b-) Igual qu n l caso antrior. cos - (,95) En la tabla corrspond a 4 Por la calculadora: shift sin - (,95) 4,64

84 EJERCICIOS D las siguints funcions dtrminar si son inyctivas y justificar la rspusta.. f ( ) 5 6 Rta: Sí. g ( ) + 4 Rta: No. h ( ) Rta: No Las funcions dadas a continuación son inyctivas, hallar la función invrsa y su dominio. 4. f ( ) 4 Rta: 4 5. g( ) 5 + Rta: 6. l( ) 4 Rta: f g l ( ) 4 5 ( ) 4 ( ) Para cada una d las funcions dadas, idntificar la invrsa. 7. h ( ) Rta: h ( ) (4) ( ) 4 Ln + Ln + 8. N( ) Log Rta: N ( ) Para las funcions dadas a continuación, graficas la función y su invrsa. 9. f ( ). h ( ) Ln(4) Dsarroll los siguints jrcicios, utilizando la tabla d funcions trigonométricas o la calculadora. Hallar l valor d y para las siguints funcions.. y sn () Rta: π/. y cos () Rta:. y tan ( ) Rta: - π/ 5π/ 4. y cot ( ) Rta: π/6 5. y sc () Rta: π/ 6. y csc ( ) Rta: π/4 7. Hallar cosh () Rta: +

85 Lcción Vintinuv: Aplicación d las Funcions. Las funcions tinn aplicacions n todas las áras dl sabr, por lo cual s dsa prsntar algunas d las muchas conocidas, los jmplos modlos son una motivación para qu con stos y otros qu puda analizar, stimado studiant adquira mucha dstrza para rsolvr problmas con funcions. S prsntarán casos con funcions algbraicas, ponncials, logarítmicas y trigonométricas.. ALGEBRÁICAS: Ejmplo 86: El prímtro d un rctángulo mid cm. Eprsar l ára dl rctángulo como función d la longitud d su largo. Ejmplo 87: Prímtro: + y Simplificando: P: + y 6 Dspjando y, ntons: y 6 Ára dl rctángulo: A * y A * (6 ) 6 A() 6 - Así quda prsada l ára n función dl largo. La rlación ntr la tmpratura dl mdio ambint y la altitud s aproimadamnt linal, para y.5 T grados cntígrados ( C) y y mtros. La tmpratura a nivl dl mar s aproimadamnt 6 C al aumntar la altitud a.5 mtros, la tmpratura disminuy n 7 C. a-) Hallar T (y); s dcir, la tmpratura n función d la altitud. b-) Qué tmpratura ambintal habrá a. mtros d altura. c-) A qué altitud la tmpratura srá d C. a-) Por las condicions dl problma: T my + b dond T s la tmpratura, m la pndint d la rcta; ya qu s una rlación linal, y la altitud y, b l intrcpto. El problma nos dscrib qu para T 6 C, y mtros, así s tin un punto, con st podmos hallar l intrcpto b: T my + b rmplazamos: 6 m () + b b 6 A partir d: Para hallar l otro punto qu nos prmita obtnr la pndint, l problma también nos dic qu cuando y.5 m. La tmpratura disminuy n 7 C, ntoncs: T 6 C 7 C 9 C. Lugo por la cuación linal: 9.5 m + 6 En sguida calculamos la pndint, dspjando m d la cuación antrior: m T b y Entoncs: T f (y): T y b-) A. mtros d altura, la tmpratura srá: 4

86 T 7.5 (. ) + 6 6,67 C C-) A C la altitud srá: 7 7 y y 6 7 y 6 * 5 Finalmnt: 4. y.48, 57 m 7 Como y stá n l rango qu s considro n l plantaminto dl problma, l dato s confiabl. Ejmplo 88: Eprsar l ára dl círculo como función dl prímtro. El ára dl círculo s: A πr y l prímtro P π R La ida s dspajar R d la cuación dl prímtro y rmplazarlo n l ára: P π R R P π Ahora: Por consiguint: Ejmplo 89: A ( P ) P 4 π A πr P A π π Un tanqu d almacnaminto d líquido tin forma d cono circular rcto, con una altura d mtros y radio d la bas d 5 mtros. Eprsar l volumn dl líquido n cualquir instant como función d la altura d líquido. Una gráfica nos ayudará a rsolvr l problma. Por gomtría sabmos qu l volumn d un cono circular rcto sta dado por la cuación: π V r h S obsrva qu l volumn dpnd dl radio y d la altura. El problma consist n prsar l volumn solo n función d la altura. En la figura s obsrvan dos triángulos smjants (stimado 5

87 studiant dtéctlos) S sab qu cuando hay dos triángulos smjants, sus lados corrspondints son proporcionals, sgún la figura: h 5 h r h 5 r 4 Ahora rmplazamos n la cuación dl volumn: V π r Finalmnt: h h Ejmplo 9: π h 4 h π 48 π V ( h ) h 48 Para l jmplo 97, A qué altura stará l líquido si l volumn d ést s d 4 m? π V ( h ) h 48 π π h 4 h π h Como s conoc la función: V ( h ) Dspjando altura: Ejmplo 9: 9 h, 98 π rmplazamos los valors y dspjamos la incógnita. El costo d producción d un artículo sta dado por los costos fijos más los costos variabls. En una compañía los costos fijos d producción son d $5., l costo d producir una unidad s d $ Cuánto costará producir. unidads? Costo total Costos fijos + Costos variabls. La siguint función pud prsar matmáticamnt l fnómno. C ( ) K + n( ) Con los datos dados n l problma: m 9 C ( ) K + n ( ) C ( ) 5. + Para producir. unidads, l costo srá: C (. ) 5. + (. ) Por consiguint producir. unidads costará $ EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS: Eistn muchos fnómnos qu son plicados por funcions d tipos ponncials o logarítmicos, como los prsntados a continuación: 6

88 Ejmplo 9: En conomía una función muy conocida s la d intrés compusto. Si s invirtn C psos a un t intrés i compusto anualmnt n t años, l monto P sta dado por: P C( + i) Un ciudadano invirt $5. al % d intrés anual compusto. Cuánto tndrá al trcr año y d cuanto fu la ganancia n intrss? Vmos qu la función qu gobirna st fnómno s una función ponncial. Los datos: C $5. I %, t años La incógnita: P? Rmplazando n la cuación dl monto: t P C( + i) P 5.( +,) 5.(,) El monto al cabo dl trcr año s d $ La ganancia n st timpo fu d $65.5 Ejmplo 9: En mdicina la rcupración normal d una hrida s pud modlar por mdio d una función ponncial. Sa A l ára original d la hrida y A s l ára d la hrida dspués d n días. Lugo.5 n la función d rcupración s d la forma: A A En un procso d rcupración Cuántos mdirá una hrida a los días d,5 cm ára suprficial? A incógnita A,5 cm n días.5() Rmplazando n la cuación tnmos: A,5,55cm A los días la hrida ha disminuido n,55 cm Ejmplo 94: H s la concntración d ions hidrogno n mols por litro. Cuál srá la concntración d ions d hidrógno para un ph El ph d una solución química stá dada por la función: ph Log[ H ] dond [ ] + A partir d la cuación, s dspja [ H ] rmplazando l valor dl ph Log [ ] [ ] [ H H 6 Log H ] 6 Log 7

89 Por opracions invrsas: 6 Log + [ H ] + 6 [ ] H Lugo para un ph d 6, la concntración d ions hidrógnos s d - 6 Ejmplo 95: Una solución tin una concntración d X 8 ions hidrógno, cuál srá su ph. Con l grupo colaborativo, mustrn qu dicho ph 7,698 Ejmplo 96: La scala d Richtr prmit mdir l nivl d los sismos, dicha función stá dada por una cuación dond la mdida Richtr dpnd d la intnsidad mínima y la intnsidad n un instant dado. I R Log I R Nivl Ritchr I Intnsidad mínima I Intnsidad n un instant dado. En un sismo la intnsidad fu d 5 vcs la intnsidad mínima, cual srá l nivl d Richtr? 5I Como I 5 I ntoncs: R Log Log(5), 699 I Cuando la intnsidad d un sismo s 5 vcs la intnsidad mínima l nivl Ritchr s d,699 Ejmplo 97: En un sismo la intnsidad mínima s I, si l nivl d Ritchr s d 4,5 D cuanto fu la intnsidad d dicho sismo? Con la cuación d R, dbmos dspjar la intnsidad I, ntoncs: I R I R R Log I I I I 4,5 Rmplazando los datos: I I I I (.6,77) Para dicho sismo la intnsidad s.6,77 vcs su intnsidad mínima. Ejmplo 98: El númro d bactrias n un cultivo stá dado por la función: 5. Dond t s mid n horas. a-) cual s la tasa rlativa (TR) dl crciminto d la población d bactrias. b-) Cual s la población inicial dl cultivo c-) Cuantas bactrias habrá n l cultivo a las 5 horas. 8

90 a-) Dond: t Hr. y t Hr. 5..9,8 y ,56 Finalmnt:.,, 445, / b-) Población inicial: 5. 5 c-) , Ejmplo 99: Una sustancia radioactiva s dsintgra d tal forma qu la cantidad qu prmanc dspués d t días stá dfinida por la función:, Para m (t) n kilogramos. a-) Hallar la masa inicial d la sustancia. b-) Qué cantidad d masa hay a los días. c-) En qué timpo la masa srá d 5 kg. a-) Para la masa inicial: t, ntoncs:, Inicialmnt hay kilogramos. b-), Lugo:, 9,6 kg. c-), Rmplazando: 5, Entoncs:,85, Aplicando opración invrsa:,85, Entoncs: -,955 -,5t, dspjando la variabl: t 6,67 días.. TRIGONOMÉTRICAS: La trigonomtría sirv para solucionar problmas n muchas áras dl sabr. La Astronomía, la Física, la Gografía y otras s sirvn d la trigonomtría para rsolvr divrsidad d problmas. Las hrramintas para trabajar problmas con trigonomtría son conocr claramnt l Torma d Pitágoras, bunos principios d funcions trigonométricas, una calculadora cintífica para aclrar los cálculos; ojo NO para simplificarlos. Es prtinnt qu todos los cálculos s plantn mtódicamnt para comprndr l problma y su solución sa la prtinnt. Ejmplo : En un triángulo rctángulo l lado adyacnt mid cm. y l opusto mid cm. Hallar las mdidas d los lados y d los ángulos. Una gráfica nos ayuda para la solución. Para hallar l lado h s dcir la hipotnusa, por l torma d Pitágoras. h + y Rmplazando: h () + () h 5 h 5,6 cm. Para hallar l ángulo α, por mdio d la función sno s pud obtnr: 9

91 y sn( α ),8945 h,6 Para hallar l ángulo, aplicamos función invrsa: sn sn α sn [ ( )] (,8945) α 6,44 Para hallar l ángulo β s pud hacr d dos formas: - ) sn ( β ), 447 ó cos( β ), 8945,6,6 Aplicando función invrsa: [ ( )] sn sn (,447 ) cos [cos( β )] cos sn β ó (,8945 ) β sn (,447 ) 6,56 ó β cos (,8945 ) 6,55 Vmos qu l valor s smjant, ya qu stamos midindo n mismo ángulo. - ) Como la suma d los ángulos intrnos d un triángulo db sr 8 ntoncs por difrncia: + β β 9 6, (9 + 6,44 ) Los rsultados son iguals. Ejmplo : 6,56 S rquir disñar un tobogán como lo mustra la grafica, calcular la longitud dl tobogán sgún las spcificacions dadas. Dividamos l problma n parts:.) La part más alta. Por la función sno: sn ( 5 ) h 4, m h sn(5 ), La longitud d la primra part dl tobogán s d 4,87 mtros. cos( 5 ) 4,87 Ahora s db dtrminar cuánto rcorr n longitud horizontal, s dcir cuánto val : 4,87 cos( 5 ) 8,56 m

92 Lo qu s rcorr n s d 8,56 mtros..) La part más baja. Por la función sno: sn ( 5 ) h 5, m h sn (5 ),46 49 La longitud d la trcra part dl tobogán s d 5,49 mtros. El rcorrido n dtrminar cuánto rcorr n longitud horizontal, s dcir cuánto val : cos( 5 ) 5,49 Lo qu s rcorr n s d,65 mtros. 5,49 cos( 5 ),65.) El rcorrido total dl tobogán srá las dos inclinacions más la part horizontal, para hallar la part qu rcorr l tobogán horizontalmnt ( h ), dbmos rstan los rcorridos horizontals d la part alta y baja al toral d la longitud horizontal: h (8,56 +,65) 9,75 mtros La longitud total dl tobogán srá: 4,87 + 5,49 + 9,75 9,65 mtros Ejmplo : Un niño lva una comta qu stá a 6 mtros d altura y ést no pud soltar más curda. El ángulo qu la curda hac con l piso s d Cuánta piola tnía l niño? Con un gráfico nos orintamos: m El niño solo tnía mtros d piola para lvar la comta. ANGULO DE ELEVACIÓN: La prgunta s hallar h n la gráfica. La función sno s adcuada para rsolvr l problma. y sn (α ) h Rmplazando: sn ( ) h h sn( ) / Cuando un obsrvador ubicado n un punto dado, obsrva un objto qu sta a mayor altura qu la visual d ést, l ángulo formado s l conoc como ángulo d lvación.

93 S Obsrvador O Objto a obsrvar β Angulo d lvación. Ejmplo : Un obsrvador qu tin,7 mtros d altura, stá a 5 mtros d una iglsia, l ángulo d lvación a la punta d la torr d la iglsia s d 5 Cuál srá la altura d la iglsia? La incógnita s y. Primro calculamos la hipotnusa, por mdio d la función cosno: cos(β ) h Rmplazando: 5 cos( β ) cos(5 ) h h Dspjamos h, ntoncs: 5 5 h 55,7 cos(5 ),96 Como ya conocmos h, ahora sí podmos hallar y: y sn ( β ) y hsn( β ) h Rmplazando: y hsn( β ) 55,7 sn(5 ) 55,7 (,46), 5 La altura d la iglsia s d,5 mtros +,7 mtros 5,5 mtros ANGULO DE DEPRESIÓN: Es l formado por la visual y la horizontal, cuando l obsrvador sta a mayor nivl qu l objto obsrvado. S Obsrvador O Objto obsrvado β Angulo d dprsión

94 Ejmplo 4: Un futbolista sta a,5 mtros dl balón, l ángulo d dprsión s d dl futbolista? Cuál srá la statura y Altura dl futbolista. Primro s db hallar la hipotnusa, s dcir la distancia ntr l futbolista y l balón, lo qu s pud hacr por función cosno. cos(β ) h Rmplazando:,5,5 cos( ) h,67 h cos( ) Para hallar la altura dl futbolista, usando la función sno dl ángulo, dspjamos y: y sn( β ) y hsn( β ),67sn( ),885 h El futbolista tin una statura d, 885 mtros.

95 EJERCICIOS Rsolvr los siguints problmas utilizando todos los principios aprndidos n sta tmática tan intrsant. Si rquir d dibujos por favor utilizarlos.. Dado un cubo d lado l, prsar l volumn d cubo como función dl ára d la bas. Rta: V A. Para la gráfica dada, l prímtro P corrspond al total d la longitud, los dos triángulos son iguals. El ára total s d 4. m. Eprsar l prímtro n función d la longitud. Rta:. P( ) +. El crciminto d un bb d más d 84 días d gstación sta dado por la prsión: L( t),5 t 6,8 dond L s la longitud n cntímtros, t l timpo n smanas. Cuál srá la dad d gstación d un bb cuya longitud s d 5 cm? Rta: t 7, 5 smanas 4. Un jugador d fútbol tin un rcord d gols dado por 8 gols n 7 partidos. El jugador fu alinado n 8 jugos mantnindo l rcord d gols. a-) Eprsar l númro d gols como función dl númro d alinamintos dond participo l jugador. b-) Cuantos gols anoto n la tmporada d los 8 partidos. Rta: a-) 8 G( l) l b-) 85 gols 7 it 5. La tasa d intrés compusto sta dado por la prsión: Dond: A cantidad acumulada a los t años. C capital inicial, i intrés anual, prsado n tanto por uno y t años d C invrtidos. Rsolvr las siguints prguntas: a-) Si dpositamos $. al / 4 d intrés anual, Cuál srá l saldo a los 5 años d hacr l ahorro? A c Rta: A $.5,59 b-) En cirto timpo t, la cantidad acumulada s d $.5 l capital ahorrado fu d $8.5 y l intrés fu dl 9,% Qué timpo transcurrió para obtnr la cantidad acumulada? 4

96 Rta: t, años c-) Dspués d 4 años d dpósito, un capital prsnta una cantidad acumulada d $6. al 7,8% anual. D cuánto fu l dpósito inicial? Rta: c $ Un salvavidas stá n su torr d obsrvación a mtros dl altura. Una prsona implora su ayuda con un ángulo d dprsión d 5 A qué distancia d la bas d la torr sta la prsona qu solicita ayuda? Rta: 8,56 mtros 7. Un post d 5 mtros d altura db sr apoyado por un alambr qu lo fij a tirra. Si l alambr forma un ángulo d 5 con la horizontal. Cuál srá la longitud dl alambr? Rta: h 44,4 mtros 8. Una prsona d,6 mtros, proycta su sombra d,5 mtros a lo largo dl sulo. Cuál srá l ángulo d lvación dl sol sobr la sombra? Rta: α 54,6 9. Un coht s dispara y ést sub a un ángulo constant d 7 hasta llgar a una distancia d. mtros. Qué altitud alcanzo l coht? Rta: y.76, mtros 5

97 CAPÍTULO CINCO: TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA INTRODUCCIÓN En l contto qu s va a trabajar, cuando s habl d Trigonomtría s hac rfrncia a l análisis dl triangulo. Analizadas las funcions trigonométricas, s important profundizar éstas tmáticas n la mdida qu son ncsarias para afianzar los conocimintos n st campo, tals como las idntidads y las cuacions trigonométricas, cuyos conocimintos fortalcrán las comptncias cognitivas muy importants n l campo d las Matmáticas, insumos para cursos postriors y una hrraminta para la vida profsional d Ingniros, Administradors, Agrónomos, Zootcnistas y otros. En primra instancia s studiarán las idntidads fundamntals, obtnidas a partir d los principios d la circunfrncia unidad, hacindo las dmostracions básicas, djando las dmás como trabajo d invstigación para qu los studiants san partícips d su formación, sto s muy intrsant. A partir d éstas, s dsarrollarán idntidads divrsas. Postriormnt s trabajarán sobr unas idntidads muy spcíficas llamadas cuacions trigonométricas, las cuals son muy importants n l ámbito d la trigonomtría y dl mundo d las Matmáticas. Una vz obtnida una buna profundización d las tmáticas, l siguint paso srá la transfrncia, la cual s prsnta por mdio d divrsas aplicacions n difrnts campos, a través d jmplos modlos, los cuals djan vr los alcancs d la trigonomtría. Es prtinnt analizar cada jmplo, su plantaminto y su solución, con l fin d podr llvar la misma structura a difrnts conttos. 6

98 Lcción Trinta: Idntidads Trigonométricas sn ( ) + cos ( ) En trigonomtría istn unas cuacions muy particulars a las cuals s l llama idntidads trigonométricas, dichas cuacions tin la particularidad qu s satisfacn para cualquir ángulo. Dntro d st contto s analizarán varias class d idntidads, las básicas, las d suma y difrncia, las d ángulo dobl y las d ángulo mitad. IDENTIDADES BÁSICAS: Dntro d las idntidads básicas s prsntan 6 catgóricas, continuación: las cuals analizarmos a. Idntidad Fundamntal: Partindo dl torma d Pitágoras, la rlación d los lados dl triángulo y l círculo trigonométrico, s pud obtnr dicha idntidad. sn ( ) + cos ( ) Dmostración: A partir dl círculo trigonométrico unitario. h. S stá trabajando con la circunfrncia unitaria. (R ) Torma d Pitágoras: + y h Por dfinición d rlación trigonométrica: y sn ( α ) sn( α ) y h cos( α ) cos( α ) h Si rmplazamos a y n la cuación d Pitágoras tnmos: + y h sn ( α) + cos ( α) Finalmnt: sn ( α) + cos ( α). Idntidads d Cocint: Estas s obtinn por la dfinición d las rlacions trigonométricas a-) sn( α ) tan( α ) cos( α ) 7

99 Dmostración: y S sab qu: sn (α ) y cos( α ) Si dividimos sn (α) n cos(α) s obtin: h h y sn ( α ) Por dfinición: tan( α ) Así: tan( α ) cos( α ) y / / h h y b-) cot( α ) cos( α ) sn ( α ) Dmostración: Con los mismos argumntos utilizados para la tangnt, solo qu n st caso l cocint s cosno sobr sno. / h cos( α ) Por dfinición: cot( α ) Así cot( α ) y / h y y sn ( α ). Idntidads Rcíprocas: S ls llama d sta manra dbido a qu a partir d la dfinición, al aplicar l rcíproco, s obtin nuvos cocints. a-) sn ( α ) csc( α ) Rcíprocamnt csc( α ) sn( α ) Dmostración: y Como sn (α ) Entoncs aplicamos l rciproco: h h sn( α) y sn( α) y h S sab qu h csc( α ) Así las funcions sno y coscant son rcíprocas. y b-) cos( α ) sc( α ) Rcíprocamnt sc( α ) cos( α ) Dmostración: Como jrcicio para ralizar con l grupo colaborativo. c-) tan( α ) cot( α ) Rcíprocamnt cot( α ) tan( α ) Dmostración: Como jrcicio para trabajar con l grupo colaborativo y compartir con l Tutor. 8

100 4. Idntidads Pitagóricas: a partir d la idntidad fundamntal y las idntidads d cocint, s obtinn otras idntidads llamadas pitagóricas. Aunqu varios autors llaman a la idntidad fundamntal también pitagórica. a-) tan ( α ) + sc ( α ) Dmostración: A partir d la idntidad fundamntal sn ( α) + cos ( α), dividimos toda la prsión por cos ( α ), ntoncs: sn ( α) cos ( α) + tan ( α) + sc ( α) cos ( α) cos ( α) cos ( α) b-) cot ( α ) + csc ( α ) Dmostración: D la fundamntal, dividimos por sn ( α), ntoncs: sn α) cos ( α) + + cot sn ( α) sn ( α) sn ( α) ( ( α) csc ( α) 5. Idntidads Pars - Impars: Cuando s dfinió la simtría d las funcions trigonométricas, s hizo rfrncia a las funcions pars impars, d st hcho s obtin las funcions pars impars. Pars: cos( α α α ) cos( ) y sc( ) sc( ) α Impars sn ( α ) sn ( α ) tan( α ) tan( α ) cot( α ) cot( α ) csc( α ) csc( α ) 6. Idntidads d Cofunción: Cuando a π/ s l rsta un ángulo cualquira, s obtin la cofunción rspctiva. a-) π π sn ( α ) cos( α ) cos( α ) sn( α ) b-) π π tan( α ) cot( α ) cot( α ) tan( α ) 9

101 7. Idntidads Invrsas: Cuando a π s l suma o rsta un ángulo cualquira, s obtin la función pro con signo contrario, vamos los casos siguints. a-) sn ( π α ) sn( α ) sn( π + α ) sn( α ) b-) cos( π α ) cos( α ) cos( π + α ) cos( α ) c-) tan( π α ) tan( α ) tan( π + α ) Invstigar Las dmostracions s djan como jrcicio d invstigación. IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA: En muchas ocasions, un ángulo dado s pud prsar como suma o difrncia d ángulo notabls, por jmplo 5 s pud prsar como (45 ), 75 como ( + 45 ) y así con otros. Para st tipo d situacions s dond s utilizan las idntidads d suma y difrncia. a-) cos( α β ) cos( α ) cos( β ) + sn( α ) sn( β ) Dmostración: Vamos a utilizar como hrraminta la gomtría dl círculo trigonométrico unitario. Idntifiqumos las coordnadas d los puntos dados n la circunfrncia unidad. A (, y ) (, ) B (, y ) (cos (α β), sn (α β)) P (, y ) (cos (β), sn (β)) Q (, y ) (cos (α), sn (α))

102 La distancia d AB s igual a la distancia PQ, ntoncs: d(ab) d(pq), así: (B A) (Q P) Rmplazando, a partir dl torma d Pitágoras: [ ] + [ y y ] [ ] + [ y ] y [ cos( α β) ] + [ sn( α β) ] [ cos( α) cos( β) ] + [ sn( α) sn( β ) ] Elvando al cuadrado para liminar raíz: [ cos( α β ) ] + [ sn( α β ) ] [ cos( α) cos( β )] + [ sn( α) sn( β ) ] Dsarrollando los productos notabls: cos ( ) cos( ) + + sn ( ) Es igual a: cos α β α β ( α ) cos( α ) cos( β ) + cos Agrupando términos: cos ( ) + sn ( α β ( β ) + sn ( α ) sn( α ) sn( β ) + sn ( β ) [ α β α β) ] cos( α β) + [ cos ( α) + sn ( α) ] + [ cos ( β) + sn ( β) ] cos( α)cos( β) sn( α) sn( β) Por la idntidad fundamntal: cos( α β ) + + cos( α ) cos( β ) sn( α ) sn( β ) Oprando: cos( α β ) cos( α ) cos( β ) sn( α ) sn( β ) α β Simplificando: cos( ) cos( ) cos( ) + sn( ) sn( ) Así quda la dmostración d la difrncia d ángulos para cosno. α β α β b-) cos( α + β ) cos( α ) cos( β ) sn( α ) sn( β ) Dmostración: A partir d la dfinición: cos( α + β ) cos( α ( β )) cos( α ) cos( β ) + sn ( α ) sn ( β ) S sab qu: cos( β ) cos( β ) y sn( β ) sn( β ) Entoncs: cos( α + β ) cos( α ( β )) cos( α ) cos( β ) sn ( α ) sn ( β )

103 c-) sn ( α + β ) sn( α ) cos( β ) + cos( α ) sn( β ) Dmostración: A partir d la idntidad d difrncia d ángulos para cosno, las idntidads d cofunción y algunas transformacions sncillas. Inicialmnt: w ( α + β ) Ahora por idntidad d cofunción: cos( π w ) sn( w) Por otro lado: cos( π w ) cos( π ( α + β )) cos( π α β ) cos[ ( π α) β ] La última prsión la dsarrollamos como una difrncia d ángulos: cos[ ( π α) β ] cos( π α)cos( β ) + sn( π α) sn( β ) Pro cos( π α) sn( α) y sn ( π α) cos( α) Por idntidads d cofunción. Sustituyndo n la prsión antrior: cos[ ( π α) β ] sn ( α)cos( β ) + cos( α) sn( β ) Como cos[ ( π α) β ] cos[ π ( α + β )] cos[ π w ] sn( w) sn( α β ) + Finalmnt: sn ( α + β ) sn( α )cos( β ) + cos( α ) sn( β ) Así quda dmostrada la idntidad d suma d ángulos para sno. d-) sn( α β ) sn( α ) cos( β ) cos( α ) sn( β ) Dmostración: Por favor hacr la dmostración con l pquño grupo colaborativo y compartir con l Tutor. Una ida como s hizo para l caso b. -) tan( α + β ) tan( α ) + tan( β ) tan( α ) tan( β ) Dmostración: Por idntidads d cocint: sn( α + β ) sn( α) cos( β ) + cos( α) sn( β ) tan( α + β ) cos( α + β ) cos( α)cos( β ) sn( α) sn( β ) Dividimos la prsión por cos( α )cos( β ), sto dbido a qu dbmos llgar a tangnt y s sab qu tangnt s cocint ntr sno y cosno. Entoncs:

104 tan( α + β ) sn( α)cos( β ) + cos( α) sn( β ) cos( α)cos( β ) cos( α)cos( β ) sn( α) sn( β ) cos( α)cos( β ) sn( α)cos( β ) cos( α) sn( β ) + cos( α) cos( β ) cos( α) cos( β ) cos( α)cos( β ) sn( α) sn( β ) cos( α)cos( β ) cos( α) cos( β ) Utilizando idntidads d cocint: sn( α)cos( β ) cos( α) sn( β ) + cos( α) cos( β ) cos( α)cos( β ) tan( α + β ) cos( α)cos( β ) sn( α) sn( β ) cos( α)cos( β ) cos( α) cos( β ) tan( α) + tan( β ) tan( α) tan( β ) Así quda dmostrada la suma d ángulos para tangnt. f-) tan( α ) tan( β ) tan( α β ) + tan( α ) tan( β ) Dmostración: Con los mismos principios dl caso antrior, hacr la dmostración con l pquño grupo colaborativo. Postriormnt compartir con l Tutor. Ejmplo 5: Dtrminar l valor d sn ( π ) El ángulo s pud dscomponr n: Entoncs: sn ( π ) sn( π π ) 4 6 π π π 4 6 Aplicando la idntidad: sn ( π π ) sn( π )cos( π ) cos( π ) sn( π ) * Oprando: 6 6 sn ( π π ) sn( π ) * Ejmplo 6: Calcular cos(75 ) El ángulo propusto s pud dscomponr n dos ángulos notabls al sabr:

105 cos(75 ) cos( + 45 ) Por la idntidad d suma d ángulos para cosno: cos( + 45 ) cos( )cos(45 ) sn ( ) sn(45 ) Oprando: 6 6 cos( + 45 ) Por consiguint: cos(75 ) Ejmplo 7: Dmostrar qu tan( π + θ ) tan( θ ) Por la idntidad d suma para tangnt: tan( π ) + tan( θ ) tan( π + θ ) tan( π ) tan( θ ) Pro sabmos qu tan( π ) Rmplazamos: + tan( θ ) tan( θ ) tan( π + θ ) tan( θ ) * tan( θ ) * * 6 4 IDENTIDADES DE ÁNGULO DOBLE: Cuando n la suma d ángulos, los dos ángulos son iguals, s dcir: α β, s obtin los llamados ángulos dobls. Estos son una hrraminta muy usada n l moviminto parabólico. a-) sn ( β ) sn ( β ) cos( β ) Dmostración: Sabmos qué sn ( α + β ) sn( α )cos( β ) + cos( α ) sn( β ), pro como α β Entoncs: sn ( α + α ) sn( α )cos( α ) + cos( α ) sn( α ) sn( α ) cos( α ) + sn( α) cos( α ) Por consiguint: sn ( α + α ) sn( α )cos( α ) Finalmnt: sn ( α ) sn( α ) cos( α ) b-) cos( α ) cos ( α ) sn ( α ) Dmostración: Siguindo la misma mtodología dl caso antrior. 4

106 cos(α ) cos( α + α ) cos( α ) cos( α ) sn( α ) sn( α ) cos ( α ) sn Así cos(α ) cos ( α) sn ( α) ( α ) c-) tan( α ) tan( α ) tan ( α ) Dmostración: S dja para hacrlo n l grupo colaborativo y compartirlo con l Tutor. Una ida, rcordmos qu tan (α) sn (α)/cos (α) IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD: En ocasions s prsntan casos dond s rquir trabajar con ángulos mitad, lugo s prtinnt analizar idntidads d ést tipo. a-) sn α ( ) ± cos( α ) Dmostración: A partir d las idntidads d ángulo dobl podmos hacr stas dmostracions. cos( α) cos ( α) sn ( α) Por la idntidad fundamntal: cos ( α) sn ( α) Rmplazando: cos( α ) sn ( α ) sn ( α ) sn ( α ) cos( Dspjamos sn (α) s obtin: sn ( α) α ) α cos( ) α cos( Hacmos un rmplazo d α por α /, ntoncs: ( ) sn Dspjamos l sno, por consiguint: α cos( α ) sn ( ) ± α ) b-) cos( α + ) ± cos( α ) Dmostración: Por favor hacrlo individualmnt y lugo compartirlo con los compañros dl grupo colaborativo, las dudas con l Tutor. 5

107 c-) tan( α ) sn ( α ) + cos( α ) Dmostración: Igual qu n l caso antrior. IDENTIDADES DE PRODUCTO - SUMA: A continuación vamos a mostrar unas idntidads qu n ocasions son rquridas, las dmostracions stán n libros d Prcálculo y d Matmáticas, sría prtinnt qu s invstigaran como rfurzo a stas idntidads. a-) b-) c-) d-) sn ( α ) cos( β ) sn β [ sn ( α + β ) + ( α )] sn ( α ) sn ( β ) + β cos( α ) sn cos( α ) cos( β ) [ cos( α β ) cos( α )] ( β ) sn [ sn ( α + β ) ( α β )] [ cos( α + β ) + cos( α β )] Dmostración: S dmostrarán los casos a, b y d, para qu con stos rfrnts, ustds stimados studiants, dmustrn los dmás.. sn ( α ) cos( β ) [ sn ( α + β ) + sn ( α β )] Por idntidad d suma: sn ( α + β ) sn ( α ) cos( β ) + cos( α ) sn ( β ) Dspjando: sn ( α ) cos( β ) sn ( α + β ) cos( α ) sn ( β ) Adicionamos a los dos lados d la prsión: sn(α)cos(β) + cos(α)sn(β), lugo: sn ( α) cos( β) + sn( α) cos( β) + cos( α) sn( β) sn( α + β) cos( α) sn( β) + sn( α) cos( β) + cos( α) sn( β) Oprando n la primra part d la cuación sn(α)cos(β) + sn(α)cos(β) sn(α)cos(β) En la sgunda part d la cuación: sn ( α) cos( β) cos( α) cos( β) sn( α β) Entoncs: sn ( α) cos( β) + cos( α) sn( β) sn( α + β) + sn( α β) + cos( α) sn( β) Simplificando: sn ( α) cos( β) sn( α + β) + sn( α β) Por consiguint: sn ( α) cos( β) [ sn( α + β) + sn( α β) ]. sn ( α ) sn ( β ) [ cos( α β ) cos( α + β )] Por idntidad d suma: cos( α + β ) cos( α ) cos( β ) sn ( α ) sn ( β ) 6

108 Dspjando: sn ( α ) sn ( β ) cos( α ) cos( β ) cos( α + β ) Adicionamos a los dos lados d la prsión: sn(α)sn(β) + cos(α)cos(β), lugo: sn ( α ) sn( β) + sn( α) sn( β) + cos( α)cos( β) cos( α)cos( β) cos( α + β) + sn( α) sn( β) + cos( α)cos( β) Oprando n la primra part d la cuación sn(α)sn(β) + sn(α)sn(β) sn(α)sn(β) En la sgunda part d la cuación: cos( α) cos( β) + sn ( α) sn( β) cos( α β) Entoncs: sn ( α ) sn( β) + cos( α) cos( β) cos( α β) cos( α + β) + cos( α) cos( β) Simplificando: sn ( α ) sn( β) cos( α β) cos( α + β) Finalmnt: sn ( α ) sn( β) [ cos( α β) cos( α + β) ]. cos( α ) cos( β ) [ cos( α + β ) + cos( α β )] Por idntidad d suma: cos( α + β ) cos( α ) cos( β ) sn ( α ) sn ( β ) Dspjando: cos( α ) cos( β ) cos( α + β ) + sn ( α ) sn ( β ) Adicionamos a los dos lados d la prsión: sn(α)sn(β) + sn(α)sn(β), lugo: cos( α )cos( β ) + sn ( α) sn( β ) + cos( α)cos( α) cos( α + β ) + sn( α) sn( β ) + sn( α) sn( β ) + cos( α)cos( α) Oprando n la primra part d la cuación y rmplazando por idntidad n la sgunda part: cos( α) cos( β) + sn ( α) sn( β) cos( α + β) + sn( α) sn( β) + cos( α β) Simplificando: cos( α)cos( β) cos( α + β) + cos( α β) Finalmnt: cos( α)cos( β) [ cos( α + β) + cos( α β) ] IDENTIDADES DE SUMA - PRODUCTO: También n ocasions son rquridas las idntidads d suma producto. Las dmostracions son prtinnts qu s invstigaran como rfurzo a sta tmática. a-) sn ( α ) + sn ( β ) sn α + β cos α β b-) sn ( α ) sn ( β ) cos α + β sn α β c-) cos( α ) + cos( β ) cos α + β cos α β d-) cos( α ) cos( β ) sn α + β sn α β 7

109 Lcción trinta y uno: Dsarrollo d Idntidads Trigonométricas n θ sn( θ ) cos n θ Al inicio d st capítulo s hizo l análisis d las idntidads básicas, idntidads d suma y difrncia, idntidads d ángulo dobl, idntidads d ángulo mitad, idntidads d suma-producto idntidads d producto suma. Con stos insumos y los principios matmáticos conocidos, s tinn los argumntos para dmostrar idntidads trigonométricas. Una idntidad trigonométrica s una cuación qu s cumpl para cualquir ángulo, ntoncs dmostrar una idntidad s prcisamnt dmostrar la igualdad. El procso s pud dsarrollar d trs manras. Asumindo qu la gnralización d una idntidad s d la forma a b. A partir dl primr término a llgar a l sgundo b por mdio d procdimintos matmáticos adcuados.. A partir dl sgundo término b llgar al primro a, también utilizando métodos matmáticos adcuados.. Hacindo transformacions simultánamnt a los dos términos d la igualdad para llgar a una quivalncia. S part d a b, s hacr transformacions adcuadas hasta llgar a una quivalncia d la forma p p No ist una rgla o norma para sabr cual método lgir, pro por princia y facilidad s aconsjabl utilizar la técnica o la, partindo dl término más compljo para llgar al más sncillo, ya qu s más fácil simplificar qu amplificar. Ejmplo 8: Eprsar como solo función d cos() la siguint fracción: sn tan ( ) ( ) Lo qu s db hacr s utilizando las idntidads básicas y hacindo las transformacions prtinnts llgar a obtnr solo cos(), [ vamos: ] sn ( ) sn ( ) sn( ) cos ( ) sn ( ) sn( ) cos ( ) sn( tan ( ) ( ) ( ) ) sn sn cos ( ) Finalmnt: cos ( ) sn( ) cos ( ) cos ( ) Ejmplo 9: tan( ) + sc( ) tan( ) Rducir la siguint prsión n términos d la función sno. + sc( ) Al igual qu l jmplo 6, hacindo las transformacions adcuadas a la prsión inicial, con las idntidads básicas y los principios aritméticos sobr fraccions, llga a una prsión qu solo tnga sn(), vamos: 8

110 sn( ) ( ) sn( ) sn( ) + ( )( sn ) + tan( ) + sc( ) tan( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos ( ) + sc( ) + (cos( ) + ) cos( ) cos( ) Sumando las fraccions dl numrador y djando una fracción n numrador y dnominador, para aplicar producto d trmos y mdios. Simplificando cos() y factorizando lo obtnido, rsulta: cos ( ) sn( ) + sn( )cos( ) cos( )cos ( ) cos( cos( ) + cos( ) Volvindo a simplificar y rorganizando: [ cos( ) sn( ) + sn( ) ] sn( ) [ cos( ) + ] cos( ) + cos( ) cos( ) + cos( ) ( )( ) )[ cos ( ) sn( ) + sn( )cos( ) ] ( cos( ) + )( cos( )cos ( ) ) sn( ) sn( ) ( )( ) cos( ) sn ( ) La prsión inicial qudo solo como función sn(). Ejmplo : tan( ) Dmostrar qu: sn( ) sc( ) cos( ) [ cos( ) sn( ) + sn( ) ] ( cos( ) + )( cos ( ) ) Por la prsión dada, s más prtinnt partir dl primr término y llgar al sgundo. sn( ) tan( ) cos( ) sn( )cos( ) sn( ) Así quda dmostrada dicha idntidad. sc( ) cos( ) cos( ) Ejmplo : Dmostrar la siguint idntidad. cos( )[ sc( ) cos( ) ] sn ( ) Sgún la idntidad plantada, s más prtinnt partir d la primra prsión para llgar a la sgunda, s dcir, l método. cos ( ) cos( ) [ sc( ) cos( ) ] cos( ) cos( ) cos( ) cos ( ) cos( ) cos( ) Por la idntidad fundamntal: cos ( ) sn ( ) Ejmplo : Dmostrar la idntidad cos( ) + sn( ) sn( ) cos( ) S obsrva qu las dos parts son muy parcidas n la cantidad d términos qu prsnta, lugo s pud partir d cualquira d llas. Para nustro caso, partimos d la primra para llgar a la sgunda part. 9

111 Aplicamos la conjugada al dnominador, opramos y aplicamos al idntidad fundamntal.. cos( ) cos( )( + sn( )) cos( )( + sn( )) cos( )( + sn( )) sn( ) ( sn( ))( + sn( )) sn ( ) cos ( ) cos( )( + sn( )) + sn( ) Simplificamos: cos ( ) cos( ) Esta última prsión s la sgunda part d la idntidad propusta. Ejmplo : Dmostrar la idntidad: sn( ) [ tan( ) sc( ) ] + sn( ) Para dmostrar sta idntidad tommos la primra opción, partir d la primra prsión para llgar a la sgunda. Dsarrollamos l producto notabl y aplicando idntidads: sn ( ) sn( ) tan ( ) tan( )sc( ) + sc ( ) * + cos ( ) cos( ) cos( ) sc ( ) Eprsando sobr un solo dnominador y simplificando: sn ( ) sn( ) + [ sn( ) ][ sn( ) ] [ sn( ) ][ sn( ) ] [ sn( ) ][ sn( ) ] cos ( ) sn ( ) [ sn( ) ][ + sn( ) ] [ sn( ) ][ + sn( ) ] [ sn( ) ][ sn( ) ] [ sn( ) ] Finalmnt: sn( ) + sn( ) + sn( ) [ ][ ] [ ] Ejmplo 4: cos ( ) sn ( ) 4 Dmostrar la idntidad: + sn ( ) sn ( ) cos( ) sn( ) Es prtinnt tomar l primro para llgar al sgundo. Inicialmnt dsarrollamos la difrncia d cubos. cos ( ) sn ( ) ( cos( ) sn( ) )( cos ( ) + cos( ) sn( ) + sn ( ) ) cos( ) sn( ) cos( ) sn( ) Simplificando, rorganizando términos y aplicamos la idntidad fundamntal. cos ( ) + sn ( ) + cos( ) sn( ) + cos( ) sn( ( ) ) Convrtimos cosno como sno, por la idntidad fundamntal: + cos( ) sn( ) + sn( ) sn ( ) + sn ( )( sn ( )) Finalmnt: + sn ( )( sn ( )) + sn ( ) sn 4 ( ) Así quda dmostrada la idntidad. 4

112 EJERCICIOS Rducir a la función trigonométrica propusta los siguints jrcicios.... tan( ) + sc( ) tan( ) + sc( ) csc ( ) cot ( ) tan( A ) + cot( A) csc( A) En función solo d sn() En función solo d cos() En función solo d sc(a) Dmostrar las siguints idntidads trigonométricas. sn( π ) 4. sc( ) tan( ) sn( ) 5. [ sn ( θ ) + cos( θ )] + [ sn( θ ) cos( θ )] 6. sn( β + π ) sn( β ) 7. + tan( ) tan( + π ) 4 tan( ) 4 4 sn ( ) cos ( ) 8. cos ( ) 4

113 Lcción Trinta y dos: Ecuacions Trigonométricas Sn () π Antriormnt s dcía qu las idntidads trigonométricas son igualdads qu s cumpl para cualquir ángulo. Eistn cirtas idntidads qu s cumpln para ángulos spcíficos, a dichas idntidads s ls llama cuacions trigonométricas. DEFINICIÓN: Las cuacions trigonométricas, son idntidads qu satisfacn ángulos spcíficos, cuya solución s prsa n mdidas d ángulos, pud sr n grados o radians. La rsolución d cuacions trigonométricas rquir d un bun manjo d las funcions trigonométricas invrsas; admás, d los principios d álgbra y trigonomtría. Para qu la cuación sa más fácil d dsarrollar, s prtinnt rducir toda la prsión a una sola función, gnralmnt sno o cosno, d tal manra qu s puda obtnr l ángulo o los ángulos solución. Es important aclarar qu si no s dic otra cosa, la solución para nustro caso s dará solo para la circunfrncia unidad: π. Algunos autors acostumbrar a dar al solución gnral, rcordmos qu las funcions trigonométricas son priódicas, ya qu s rpitn cada p intrvalo. Ejmplo 5: Rsolvr: sn ( ) El procso n gnral consist n dspjar l ángulo. Para l caso qu nos proponn, aplicando la función invrsa dl sno quda rsulto l problma. ( sn ( ) sn ( sn( )) sn ) sn ( ) El siguint paso s idntificar n dond l sno val ½, para los cuadrants positivos, ya qu l valor s positivo. S sab qu l sno val ½ n para l primr cuadrant y 5 para l sgundo cuadrant. Rcordmos qu l sno s positivo n I y II cuadrants. y 5 Ejmplo 6: Rsolvr: cos( ) Como la prsión stá n función solo d cosno, s pud dspjar, aplicando la invrsa d cosno. cos( ) cos (cos( )) cos ( ) cos ( ) Dbmos idntificar n dond l cosno val -/. El cosno s ngativo n los cuadrants II y III, lugo n dichos cuadrants db star la solución. Rcordmos qu cos ( ) -/ y cos (4 ) -/. Por consiguint: y 4 (π/ y 4π/) 4

114 Ejmplo 7: Rsolvr la siguint cuación: sn ( ) cos( ) Eprsmos la cuación n función solo d cosno: sn( ) cos( ) sn( ) cos( ) sn( ) sn ( ) Elvando al cuadrado toda la cuación y oprando términos smjants: sn ( ) sn ( ) sn ( ) + sn ( ) sn ( ) Dspjamos sn(): sn ( ) sn ( ) sn( ) ± sn( ) ± Vmos qu tnmos valors positivos y ngativos, lugo habrá solución n los cuatro cuadrants. sn ( ) ± sn ( sn( )) sn ( ± ) S sab qu l sno val n 45, lugo s db proyctar a los dmás cuadrants. 45, 5, 5, 5 (π/4, π/4, 5 π/4, 7 π/4) Ejmplo 8: Hallar la solución d la cuación: tan 5 ( ) 9 tan( ) 4 Inicialmnt s factoriza: tan( )[ tan ( ) 9] Por la ly dl producto nulo: tan( ) o [ tan ( ) 9] 4 Para l caso tan( ) : tan (tan( )) tan () tan () En la circunfrncia unidad la tangnt val n:, π, π. 4 4 Para l caso [ tan ( ) 9] tan ( ) 9 tan ( ) ± tan ( ) ± tan( ) ± La tangnt val Para + : π /, 7π / 6 n π /, pro como prsnta signo + y -, habrá 4 ángulos d solución. Para : π /, 5π /, π /, π, 7π / 6, π /, 5π /, π 4

115 Ejmplo 9: Rsolvr la cuación: sc( ) tan( ) cos( ) Primro dbmos hacr las transformacions ncsarias para prsar la cuación como una sola función, para st caso scogmos sn(). sn( ) sn( ) sc( ) tan( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) Oprando la última fracción y aplicando idntidad fundamntal. sn ( ) cos ( ) sn( ) sn ( ) sn ( ) sn( ) S factoriza la última prsión: sn ( ) [ sn( ) ] Por la rgla dl producto nulo: - ) sn ( ) sn ( sn( )) sn () sn (), π y π -) [ sn ( ) ] sn( ) sn ( sn( )) sn () sn El sno val n: π /. Esta solución s rchaza POR QUÉ? La solución final:, π y π Ejmplo : Rsolvr la cuación: cos () sn () Como s ha dicho s db prsar como una sola función, vamos: cos () sn () cos () sn () tan () cos () cos () Qué opracions s hiciron n l paso antrior?, por favor analizarlas intrprtarlas. tan () tan() ± Utilizando idntidads d ángulo dobl para la tangnt. tan( ) tan( ) ± ± tan ( ) Rorganizando la última prsión. tan( ) ± tan( ) tan ( ) tan ( ) + tan( ) tan ( ) ± 4 4()( ) ± 8 ± Por la cuadrática: tan( ) ± () 44 ()

116 Así: y + π Entoncs: tan ( + ),5 8 En l primr cuadrant, pro la tangnt también s positiva n l trcr cuadrant, lugo: 9 8 +,5,5 π 8 tan ( ) 67, 5 Equivalnt n ángulo positivo a 9,5 π 8 En l cuarto cuadrant, pro la tangnt también s ngativa n l sgundo cuadrant, lugo: ,5,5 π 8 Solución total: π 8 5, 8 π, 9 8 π, 8 π Estimado studiant, por favor analizar st jmplo y hacr sus propias conclusions. Lcción Trinta y trs: Análisis d Triángulos no rctángulos En los aparts antriors s han analizado situacions d los triángulos rctángulos, pro istn divrsos fnómnos qu no sigun st patrón, la bas d un tlscopio dl obsrvatorio intrnacional, las vlas d un barco, las caras d las pirámids d Egipto, no tinn forma d triángulos rctángulos, sabmos qu a st tipo d triángulo s ls llama Triángulos No Rctángulos. FUENTE: FUENTE: El trabajo qu s dsarrollará n st apart s l análisis d triángulos no rctángulo. El soport dl studio stá n los llamados tormas d sno y cosno, los cuals prmitn dtrminar los lados y ángulos d triángulos no rctángulos. 45

117 TEOREMA DE SENO: Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opustos A, B, C. rspctivamnt, s cumpl: sn ( A) sn ( B) sn ( C ) a b c Dmostración: La dmostración la vamos a hacr para un triángulo acutángulo, pro s cumpl para cualquir triángulo. Sgún la grafica: h sn ( B) h csn( B) c h sn ( C) h bsn( C) b Como h s igual para los dos casos, s igualan: Similarmnt s pud probar qu: Por consiguint: sn( B) csn( B) bsn( C) b sn ( A) sn( B) a b sn ( A) sn( B) sn( C) a b c sn( C) c D sta manra s pud hallar los lados y ángulos d cualquir triángulo, pro sta mtodología s prtinnt para triángulos no rctángulos. En st contto s pudn ncontrar varios casos: - ) LAA ó ALA: Conocr un lado y dos ángulos - ) LLA: Conocr dos lados y un ángulo opusto a uno d llos - ) LLL: Conocr los trs lados. Ejmplo : Para l triángulo qu s prsnta n la gráfica, hallar todos los lados y ángulos d la misma. A 4 S trata d un caso LLA, ntoncs: sn( A) sn( B) sn(4 ) a b sn( B) sn(4 ) sn( B) 46

118 (,647) Dsarrollando: sn ( B), 484 Para hallar l ángulo, aplicamos función invrsa d sno: sn ( sn( B)) sn (,484) B sn (,484) 5,6 Para hallar l ángulo C, por l torma d la suma d ángulos para un triángulo: A + B + C ,6 + C 8 65,6 + C 8 Dspjando: C 8 65,6 4,64 En sguida podmos hallar l lado c: sn( C) sn( A) sn(4,64 ) sn(4 ) sn(4,64 ) c c c sn(4 ) (,989) c 4,,647 Rsolvindo: 4 Es obvio qu la longitud d c db sr mayor qu la d a y la d b. Ejmplo : En un triángulo dos d sus ángulos midn 48 y 57, l lado qu sta ntr llos mid 47 cm. Hallar los lados rstants. Sgún l problma: A 57 y B 48 El problma s d tipo LAA o ALA Primro hallmos C: C 8 ( ) 75 sn( A) sn( C) csn( A) csn(57 ) 47,886 a 4,8 a c sn( C) sn(75 ),966 Para hallar l lado b: sn( B) sn( C) csn( B) 47sn(48 ) 4,47 b 6,6 b c sn( C) sn(75 ),966 Así, los lados midn: b 6,6 cm. y a 4,8 cm. Más adlant n los problmas d aplicación s rfurza st tma sobr torma d sno. 47

119 TEOREMA DE COSENO: Eistn situacions dond l torma d sno no s pud aplicar d manra dircta, n casos como tnr dos lados y l ángulo ntr llos o tnr los trs lados. Para stos casos y otros, la solución s l torma dl cosno. Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opustos A, B, C. rspctivamnt, s cumpl: a b + c bc cos A b a + c ac cos B c b + a ab cos C Dmostración: La dmostración s hará con un triángulo obtusángulo, pro la situación s cumpl para cualquir triángulo. Para l caso dl triángulo qu tnmos: (, ) B (, y ) (b, ) A (, y ) (acos(α), asn(α)) Por mdio d la distancia uclidia s pud hallar la magnitud d c. c c ( ) + ( y y) ( b a cos( α)) + ( asn( α)) Distancia Euclidia: Dsarrollando los productos notabls: c b abcos( ) + a cos ( ) + a sn ( ) Factorizando y agrupando términos: c a (cos ( α) + a sn ( α)) + b abcos( α) Aplicando la idntidad fundamntal. c a + b ab cos( ) Así quda dmostrado para c, d manra similar s pud hacr para a y b. El studiant n l grupo colaborativo db hacr la dmostración para a y b, con los mismos argumntos pustos para c, compartindo con l Tutor dichas dmostracions. α α α α Ejmplo : Dl triángulo pusto a continuación, dtrminar sus lados y ángulos. Aplicando la cuación dl torma para cosno. Asumindo qu: 48

120 a, b 4. Entoncs: c c cos( 5 ()( 4 ) cos( 5 ) ) 5 5,46 9,574 Para hallar c tramos raíz cuadrada, lugo: c 9,574 c, 9 Ahora podmos hallar l ángulo α. a b + c bc cos( α ) cos( α ) Rmplazando: cos( α ) 4 (9,57 ) (4)(,9 ) 6,57 4,7 cos( α ),67 α cos (,67) a,67 47,9 b bc c Para calcular l ángulo β, ntoncs: Ejmplo 4: β 8 (5 + 47,9 ) 8 97,9 8,7 Dado un triángulo T, cuyos lados midn a 8 cm. b 5 cm. y c 7 cm. Hallar los ángulos dl triángulo T. La gráfica nos ilustra l caso qu s pon n l nunciado dl jmplo. Como s conocn los trs lados, s pud utilizar l torma d cosno, para hallar A y B, ya qu C s obtin por difrncia como n los casos antriors. c a + b ab cos( A) 7 cos( A) 5 8 ( 5 )( 8 ) a b c bc 4 8 Rmplazamos: cos( A ), 5 cos( A ),5 A cos (,5) 6 Ahora calculamos l ángulo b: b a + c Rmplazando: ac cos( B ) cos( B ) b a ac c 49

121 cos( B ) (7 )( 8 ) 8.8.,7857 cos( B ),7857 B cos (,7857 ) 8, Finalmnt para calcular C: C 8 (6 + 8, ) 8,79 Lcción Trinta y cuatro: Aplicación d las funcions trigonométricas. Una vz analizados los principios sobr triángulos no rctángulos, ahora podmos rsolvr problmas dond s rquira la utilización d stos principios. Rsolvr problmas d sta índol, no ist una mtodología dfinida, paro s prtinnt tnr prsnt los siguints aspctos.. Lr l problma las vcs qu san ncsarios para ntndr lo qu s tin y lo qu s dsa obtnr.. Hacr n lo posibl un gráfico plicativo, qu ilustr l fnómno.. Aplicar l torma prtinnt, sgún las condicions dl problma plantado. 4. Ralizar los cálculos ncsarios, para buscar la rspusta. 5. Hacr las conclusions dl caso. Ejmplo 5: Hallar la longitud d las diagonals d un parallogramo si sus lados midn 5 y 8 cm. Admás uno d sus ángulos mid 5 Una gráfica nos ayuda n la solución Podmos calcular l lado BC, por mdio dl torma d cosno. BC (5)(8) cos( A ( ) ) Admás: Cos(5 ),647 Dsarrollando: ( BC ) (,647) 79 54,6 758, 4 Para hallar la distancia s db trar raíz cuadrada: ( BC ) 758,4 BC 758,4 5, 5 En sguida podmos calcular l lado AD, pro ncsitamos l ángulo B ó C. Podmos hallar l ángulo B, así: Como A + B + C + D 6, pro A D y B C, por sr un parallogramo rgular. Entoncs: 5 + B C 6, lugo: B + C 6 6 Como B C, ntoncs: B AD (5)(8) cos( B ( ) ) 5

122 ( AD ) (5)(8)cos( ( AD ) ,4 4, 4 ( AD ) 4,4 AD 4, Ejmplo 6: ) (,6478) Un Topógrafo quir dtrminar la distancia ntr dos casas dnominadas con A y B, dsd l punto d obsrvación dl Topógrafo, l ángulo ntr las dos casas y ést s d 6. La distancia dl punto d obsrvación y la casa A s d m. y la distancia d st a la casa B s d m. Qué distancia spara las dos casas? S db hallar la distancia AB Por l torma d cosno: ( AB ) + ()() cos(6 ) S sab qu Cos(6 ),5 ( AB ) (,5) 44 4 ( AB ) 4 AB,55 La distancia ntr las dos casas s d,55 mtros. Ejmplo 7: Un Golfista golpa la plota dsplazándola mtros n lína rcta, la plota quda a 5 mtros dl hoyo. El ángulo qu s forma n l punto dond qudo la plota, con la ubicación dl Golfista y l hoyo s d 5 Cuál srá la distancia dl Golfista al hoyo? G Ubicación dl Golfista H Ubicación dl hoyo P Ubicación d la plota p Distancia dl golfista al hoyo Por l torma dl cosno s pud rsolvr l problma. p () + (5) ()(5) cos(5 Dsarrollando: p (,866) p 6.6 p 454,48 El golfista sta a 454,48 mtros dl hoyo. ) 5

123 Ejmplo 8: Un difico tin n la cima la bandra d la compañía, la altura dl dificio s d 8 mtros. El ángulo d lvación d la bas dl piso y la cima dl dificio s d 55 y l ángulo d lvación d la bas dl piso y la punta d la bandra s d 56,5. Cuál srá la altura dl asta d la bandra? h Altura dl asta d la bandra l Visual dl piso a la cima dl dificio m Visual dl piso a la punto dl asta d la bandra. A ángulo rcto. B 55 C 56,5 b Altura dl dificio 8 mtros c Altura dl dificio más l asta d la bandra Por torma d sno: sn ( C) sn( B) c b Rmplazando los datos corrspondints: sn(56,5 ) sn(55 ) sn(56,5 ) 8m c c 8 sn(55 ) 5,99 8,48,89 La altura dl dificio y l asta s d 8,48 mtros. Como s conoc la altura dl dificio, por difrncia s haya la altura dl asta. h c b. Entoncs: h 8,48 8,48 mtros. El asta d la bandra mid,48 mtros. 5

124 EJERCICIOS Rsolvr las siguints cuacions trigonométricas para la circunfrncia unidad. Por favor hacr todo l procdiminto.. cos( ) Rta:, π. sn ( ) Rta:, π π. sc( θ ) Rta: θ, π cos( 4θ ) sn(θ ) Rta: θ 5, 75, 5 5. tan ( α ) + tan( α ) Rta: α π, π 4 π 5 6. sn ( ) + sn( ) Rta:, π, π Una circunfrncia tin un radio d 5 cm. subtndido por l ángulo cntral d 6 Cuál srá la longitud dl arco d la circunfrncia? Rta: 5, 7 cm. 8. Una prsona s ncuntra a mtros d la bas d una torr inclinada, l ángulo d lvación dsd su posición a la punta d la torr s d 4 a su vz la torr forma un ángulo con l sulo d 7 Cuál srá la altura d la torr? Rta: h 49,8 mtros 9. Asumindo qu las orbitas d Mrcurio y Tirra con circulars y s ncuntran n l mismo plano. La tirra s ncuntra a 9,X 7 millas dl sol y mrcurio s ncuntra a,6x 7 millas dl sol. Si mrcurio s v dsd la tirra y l ángulo ntr mrcurio, tirra y sol s d 8,5 sindo la tirra l vértic. Qué tan ljos stá la tirra d mrcurio? Rta:,5X 8 millas 5

125 CAPÍTULO SEIS: HIPERNOMETRÍA INTRODUCCIÓN La palabra HIPERNOMETRÍA, s acuño n st contto hacindo rfrncia a l análisis d las funcions Hiprbólicas, d la misma manra como al análisis d las funcions trigonométricas s l dnomina Trigonomtría, s posibl qu la palabra no sa muy técnica, pro la ida s qu con lla; n st matrial, s idntifiqu l análisis d las funcions hiprbólicas. En la part d funcions trascndntals s analizaron las funcions hiprbólicas, sus principios y caractrísticas. Así las funcions hiprbólicas tinn unas idntidads básicas. Lcción Trinta y cinco: Funcions Hiprbólicas. Dntro d las funcions trascndntals istn unas funcions qu s obtinn a partir d la combinación d las funcions ponncials y son llamadas funcions hiprbólicas y cuyo nombr stá rlacionado con la hipérbola, al igual qu l triángulo con las trigonométricas. La importancia d stas funcions stá n qu istn algunas structuras arquitctónicas qu prsntan una curvatura qu no s prcisamnt una parábola, como s l caso dl arco Gatway n E.E. U.U. También son muy usadas como hrraminta para rsolvr cuacions difrncials. Funt: wikipdia. Otro campo d acción d st tipo d función s cuando s suspnd un cabl homogéno flibl ntr dos puntos a la misma altura, s forma una curva dnominada Catnaria, dicha curva s modlada por una función hiprbólica. FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO: La función sno hiprbólico dnotado por f() snh(), s dfin d la siguint manra: snh( ) Dominio: Todos los rals, ya qu la variabl pud tomar cualquir valor ral. Imagn: la imagn d la función sno hiprbólico son también todos los rals. Simtría: Para la función sno hiprbólico s cumpl: snh(-) -snh(), lugo s una función impar, por consiguint s simétrica rspcto al orign d coordnadas cartsianas. Monotonía: La función s monótona, ya qu crcint n su dominio, como s pud obsrvar n la gráfica. La gráfica: Para graficar sta función s utiliza dos rfrncias, consistnt n dos funcions ponncials, al sabr: 54

126 y y y Esto dbido a qu la función snh() s una combinación d stas. Grafica Función sno hiprbólico: COSENO HIPERBÓLICO: La función cosno hiprbólico dnotado por f() cosh(), s dfin d la siguint manra: cosh( ) + Dominio: Todos los rals, ya qu la variabl pud tomar cualquir valor ral. Imagn: la imagn d la función cosno hiprbólico son los rals mayors iguals a uno. (y ) Simtría: Para la función cosno hiprbólico s cumpl: cosh(-) cosh(), lugo s una función par, por consiguint s simétrica rspcto al j y. Monotonía: La función no s monótona, ya qu crcint y dcrc n su dominio, la gráfica prmit obsrvar sta situación. La gráfica: Para graficar sta función s utiliza como rfrncia las siguints funcions. y y y Esto dbido a qu la función cosh() s una combinación d stas. 55

127 Grafica Función sno hiprbólico: TANGENTE HIPERBÓLICA: La función tangnt hiprbólica dnotada por f () tanh(), s dfin d la siguint manra: tanh( ) + Dominio: Todos los rals, ya qu la variabl pud tomar cualquir valor ral. Imagn: la imagn d la función tangnt hiprbólico intrvalo (-,). son todos los rals comprndidos n l Simtría: La función tangnt hiprbólica s una función par, por consiguint s simétrica rspcto al orign d coordnadas. Monotonía: La función tanh() s monótona, ya qu s crcint n su dominio. Asíntotas: Esta función tin dos asíntotas horizontals, n y y y - La gráfica: Para graficar sta función s utiliza como rfrncia las funcions combinadas d sno y cosno hiprbólicos. Grafica Función tangnt hiprbólico: 56

128 COTANGENTE HIPERBÓLICA: La función cotangnt hiprbólica dnotada por f () coth(), s dfin d la siguint manra: coth( ) + Dominio: Todos los rals, difrnt d cro; s dcir, (, ) (, ) Imagn: la imagn d la función cotangnt hiprbólico son los rals comprndidos n los intrvalos,, ( ) ( ) Simtría: La función cotangnt hiprbólica s una función impar, ya qu cumpl la condición coth(-) -coth(), por consiguint s simétrica rspcto al orign d coordnadas. Monotonía: La función coth() s monótona, ya qu s dcrcint n su dominio. Asíntotas: Esta función tin dos asíntotas horizontals, n y y vrtical n. y -. Admás una asíntota La gráfica: Para graficar sta función s utiliza como rfrncia las funcions combinadas d cosno y sno hiprbólicos. Grafica Función cotangnt hiprbólica: Para las funcions scant y coscant hiprbólicas, s hac un rsumn n l siguint cuadro. FUNCIÓN DOMINIO IMAGEN SIMETRIA MONOTONÍA ASÍNTOTAS Sch() Los Rals Intrvalo (, ] Rspcto al No s y j y. monótona y Csch() (-α,) U (, α) (-α,) U (, α) Rspcto al Monótona. Es orign dcrcint n su dominio y 57

129 Gráficas: Función scant hiprbólica: Función coscant hiprbólica: Lcción Trinta y sis: Idntidads d las funcions hiprbólicas. IDENTIDADES BÁSICAS: Dntro d las idntidads básicas s prsntan las siguints catgóricas:. Idntidad Fundamntal Uno: Análogamnt a la idntidad fundamntal d las trigonométricas, n la hiprbólicas s tin una idntidad fundamntal.. cosh ( ) snh ( ) 58

130 59 Dmostración: Por la dfinición d las funcions sno hiprbólico y cosno hiprbólico Idntidad Fundamntal Dos: ) ( tanh ) ( sc + h Dmostración: Por la dfinición d las funcions scant hiprbólico y tangnt hiprbólico Idntidads d Cocint: Estas s obtinn por las rlacions d sno hiprbólico y cosno hiprbólico. a-) Dmostración: Como + ) tanh( Pro: ) tanh( ) cosh( ) ( ) tanh( snh + + b-) Dmostración: Con los mismos argumntos utilizados para la tangnt, solo qu n st caso l cocint s cosno hiprbólico sobr sno hiprbólico. Como + ) coth( ) cosh( ) ( ) tanh( α α α snh ) ( ) cosh( ) coth( α α α snh

131 + cosh( ) Pro: coth( ) + coth( ) snh( ) 4. Idntidads Rcíprocas: S ls llama d sta manra dbido a qu a partir d la dfinición, al aplicar l rcíproco, s obtin nuvos cocints. a-) snh ( α ) csc h ( α ) Rcíprocamnt csc h ( α ) snh( α ) Dmostración: S dja como jrcicio para hacr n forma individual. b-) Rcíprocamnt cosh( α ) sc h( α ) sc h( α ) cosh( α ) Dmostración: Como jrcicio para ralizar con l grupo colaborativo. c-) tanh( α ) coth( α ) Rcíprocamnt coth( α ) tanh( α ) Dmostración: Como jrcicio para trabajar con l grupo colaborativo y compartir con l Tutor. 5. Idntidads Cuadráticas: a partir d la idntidad fundamntal y las idntidads d cocint, s obtinn otras idntidads llamadas cuadráticas. a-) tanh ( α ) sc h ( α ) Dmostración: A partir d la idntidad fundamntal cosh ( α) snh ( α), dividimos toda la prsión por cosh ( α ), ntoncs: cosh ( α) snh ( α) tanh ( α) sc h ( α) cosh ( α) cosh ( α) cosh ( α) Dspjando s obtin: tanh ( α ) sch ( α) sch ( ) tanh ( ) b-) coth ( α ) + csc h ( α ) 6

132 Dmostración: D la fundamntal, dividimos por sn ( α), ntoncs: cosh ( α) snh ( α) coth ( ) csc h ( ) snh ( α) snh ( α) snh ( α) Dspjando tnmos: coth ( ) csc h ( ) coth ( ) + csc h ( ) IDENTIDADES DE SUMA Y DIFERENCIA: a-) b-) snh ( α ± β ) snh( α)cosh( β ) ± cosh( α) snh( β ) cosh( α ± β ) cosh( α) cosh( β ) ± snh( α) snh( β ) IDENTIDADES DE ÁNGULO DOBLE: a-) snh ( β ) snh ( β ) cosh( β ) Dmostración: Sabmos qué snh ( α + β ) snh( α )cosh( β ) + cosh( α ) snh( β ), pro como α β ntoncs: snh ( α + α ) snh( α )cosh( α ) + cosh( α ) snh( α ) snh( α ) cosh( α ) + snh( α) cosh( α ) Oprando: snh ( α + α ) snh( α )cosh( α ) Así quda dmostrada sta idntidad. b-) cosh( α ) cosh ( α ) + snh ( α ) Dmostración: Siguindo la misma mtodología dl caso antrior. cosh(α ) cosh( α + α ) cosh( α )cosh( α ) + snh ( α ) snh( α ) cosh ( α ) + snh Así cosh(α ) cosh ( α ) + snh ( α ) ( α ) IDENTIDADES AL CUADRADO: snh ( ) cosh( ) cosh( ) + cosh ( ) IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD: a-) snh α ( ) ± cosh( α ) 6

133 b-) cosh( α ) cosh( α ) + Lcción Trinta y sit: Funcions Hiprbólicas Invrsas D las funcions hiprbólicas: snh(), tanh(), coth() y csch() son inyctivas, lugo tinn invrsa. Para l caso d cosh() y sch(), por no sr inyctivas, s ls db rstringir su dominio. El siguint cuadro rsum las funcions hiprbólicas invrsas, n dond s prsnt la palabra invstigar n para qu ustd stimado studiant, indagu n difrnts funts para ncontrar la rspusta a dicho intrrogant. FUNCIÓN DOMINIO IMAGEN SIMETRÍA MONOTONÍA EXPLÍCITA Snh - () Rals Rals Impar Crcint Ln ( + ) + y Ln ( + ) Invstigar Crcint + Cosh - () Para Tanh - () - < < Rals Impar Crcint + Ln Coth - () Invstigar Invstigar Invstigar Invstigar Invstigar Sch - () < y Invstigar Dcrcint + Ln Para < Csch - () Invstigar Invstigar Invstigar Invstigar Invstigar Dl cuadro surg una prgunta Cómo s obtin la forma plicita d la función? A manra d jmplo dsarrollmos la dl cosh - (). + Sa y cosh ( ) y + La última prsión la multiplicamos por, lugo: 4y ( + ) 4 y + Dividimos por toda la última prsión Igualando a cro s obtin: y Ajustándola a una cuación cuadrática: ( ) y( ) + 6

134 y + ( y ) 4 Así: y + y Entoncs: y + y Dspjando la variabl : Ln ( ) Ln ( y + y ) Ln ( y + y ) Así, aplicando la dfinición d invrsa: f ( ) Ln( + ) Para En l pquño grupo colaborativo s db trabajar n la dmostración d las dmás funcions plícitas d las hiprbólicas invrsas. Lugo s db socializar con l tutor para aclarar las dudas ncontradas. 6

135 EJERCICIOS. Hallar l valor d f( a) para las funcions dadas. a-) f ( ) snh( ) Para y. Rta: y b-) g ( ) tanh( ) Para y 4. Rta: y Dada la función f() 4cosh(). Cuál srá l valor d la función para: a-) Rta: 4 b-) Rta: + 4. Vrificar qu: a-) cosh() + snh() b-) cosh() + snh() 64

136 AUTOEVALUACIÓN UNIDAD DOS. Para la función a) g() b) g() - 4 g ( ) Cual srá l valor d para:. Dmustr qu la función y s dcrcint.. Dmustr qu la función y 4 5 s crcint 4. Dmustr qu la función y + 4 s simétrica rspcto al orign d coordnadas. 5. En qué condicions una parábola y una circunfrncia s función? 5 + Dada las funcions f ( ) y 4 6. f ( ) * g ( ) f ( ) 7. g ( ) San ( ) 4 ( ) 4 g( ) Hallar. f sn y g ( ) 4cos ( ) Hallar: 8. f ( ) + g( ) f ( ) 9. g ( ) Dadas las siguints funcions, hacr la dscripción idntificando: Dominio, Imagn, monotonía, simtría, gráfica.. f ( ) [ ] f ( ) 5. 65

137 Para las funcions dadas, idntificar dominio, imagn, simtría si la tin, monotonía si la tin, asíntotas si las tin y hacr una bosqujo d la gráfica. 4. g ( ) +. h ( ) q ( ) ( ) 5. La concntración d un fármaco n la sangr, sta dado por la función: 5t c ( t) ( t horas) ( t + ) a-) Cuál srá la concntración inicial dl fármaco? b-) Cuanto fármaco hay a las 4 horas? Dscribir las funcions dadas a continuación, incluyndo la gráfica. 6. I ( ) 7. M ( ) f ( ) Log (4 ) 9. h ( ) Log ( + 4). N ( ) Ln ( ) + 6. K ( ) Ln N ( ) Ln ( ) K ( ) Ln 4. Para las funcions dfinidas, hallar las rstants y hacr la gráfica plicativa. 7 a-) sn ( α ) b-) tan( α ) Hallar l valor d las prsions propustas: a-) sn (( π ) + cos( π ) b-) tan( ( π ) + cot( π ) sn( ) 6 c-) sc( ( π ) + csc( π ) + cot( π ) d-) cos( ( 5π ) 4 tan( 7π ) + sc( π ) La longitud dl arco d un sctor circular, n una circunfrncia mid 7,7 cm. si l ángulo s d π /, Cuál srá l valor dl radio?. 66

138 Para Las funcions dadas a continuación, a partir d la función bas, idntificar cuáls furon los cambios prsntados y hacr la gráfica. 7. g ( ) h ( ) 4 9. p ( ) + 4. s ( ) 4 cos( π ) D las siguints funcions dtrminar si son inyctivas y justificar la rspusta.. p( ) 4 4. m ( ) Las funcions dadas a continuación son inyctivas, hallar la función invrsa y su dominio.. f ( ) g( ) l( ) 4 Para cada una d las funcions dadas, idntificar la invrsa. 6. h ( ) N( ) Log 8. Para las funcions dadas a continuación, graficas la función y su invrsa. 4 a-) g( ) b-) J ( ) Log ( ) Hallar l valor d y para las siguints funcions. 9. y tan (,74) 4. y sc (,5 ) 4. sn (cos (,77)) 67

139 π 4. tan (cos( )) 6 4. Dmustr qu si ( ) snh( ) f ( ) snh ( ) Ln + Una ayuda: snh() + cosh() y qu: cosh () + snh () f, ntoncs: ( + ) 44. Un cilindro circular rcto d volumn V, altura h y radio R tin una altura l dobl dl radio. Eprsar l volumn dl cilindro como función dl radio. 45. Sa la función g ( ) 8 l punto (, y) stá sobr la gráfica d g(), Eprsar la distancia D qu s prsnta dsd p(, y) al punto q(, -) como función d. 46. En una invstigación s dtrmino qu l ára dl curpo s su suprfici stá dada por: Log ( A),44 +,45 Log ( m) +,75 Log ( h) Dond: a ára suprficial, m masa dl curpo n Kg y h altura n mtros. Rsolvr: a-) Una prsona tin 75 Kg d pso y,8 mtros d altura. Cuál srá lára suprficial d sus curpo? b-) Una prsona psa 68 Kg, su ára suprficial s d,565 m Cuál srá sui statura? c-) Para montar un jugo mcánico, la prsona db tnr máimo 6 Kg d pso. José s mdido y prsnta un ára suprficial d,75 m y una statura s d,9 mtros. Podrá José montar n l jugo mcánico? 47. El pntágono d los EE. UU. Tin forma d pntágono rgular, cuyo lado mid 98 pis. Cuál srá l ára dl pntágono? 48. Un dslizadro forma un ángulo d 5 con la horizontal, si la distancia dl punto dond llga l dslizadro n tirra a la horizontal dond inicia ést s d mtros, Qué longitud tin l dslizadro? 49. Una d las 7 maravillas dl mundo s la pirámid d Kops, su altura original fu d 48 pis y pulgadas. Pro con l timpo ha prsntado pérdida d pidra, así su altura ha disminuido, sgún la figura. Cuál srá la altura actual d la pirámid? 68

140 Rducir a la función trigonométrica propusta los siguints jrcicios. 5. sn ( ) + cos( ) + + cos( ) sn( ) En función solo d csc() Dmostrar las siguints idntidads trigonométricas. 5. cos( t π ) ( cos( t) + sn( t) ) 4 cos(7) + cos( ) 5. cot(4t) sn(7) + sn( ) tan( y) sn() sn(y) 5. tan( + y) sn() + sn(y) Rsolvr las siguints cuacions trigonométricas para la circunfrncia unidad. Por favor hacr todo l procdiminto. 54. sn ( ) + sn(5) θ 55. sn θ cos sn( θ ) + cos( ) sn ( α) + sn( α) 58. Las casas d José y Albrto stán al dados opustos dl río, un Ingniro db hacr un punt qu comuniqu las dos casas, para lo cual ubica a mtros d la casa d José por la misma orilla, l Todolito (aparato para visualizar puntos distants) obtnindo los siguints datos: El ángulo ntr las casas y l todolito s d 5, sindo l todolito l vértic. El ángulo ntr las casas y l todolito s d 4, sindo la casa d José l vértic. Cuál srá la longitud dl punt? 59. Para mdir la altura d una montaña, un Topógrafo dtrmina qu l ángulo d lvación dsd su ubicación a la punta d la montaña s d 5, lugo camina mtros y mid l nuvo ángulo l cual fu d 5 Cuál srá la longitud d la punta d la montaña hasta la ubicación inicial dl Topógrafo? 6. Dos autos partn d una intrscción d dos carrtras, cuya sparación s d 8, uno viaja a 8 Km/hr y l otro a Km/hr., al cabo d 45 minutos Qué tan sparados starán los autos? 6. Dadas las funcions f() coth() y g() 4sch(). Cuál srá l valor para: a-). b-) 5 6. En un cuadro hacr un parallo d las funcions hiprbólicas, idntificando similituds y difrncias. 69

141 LABORATORIO Para dsarrollar st laboratorio, dbmos tnr disponibl l softwar MAPLE. Gráficos d Funcions: S habr l softwar, s rcta, scribindo rstart, lo qu indica qu podmos iniciar sin problma. Lugo s invoca: para trabajar con funcions. Cuando s pulsa clic drcho, hay divrsos opcions para mjorar la prsntación. Vamos jmplos: Función cuadrática y función racional. 7

142 Ahora funcions trascndntals: Eponncial y logarítmica. Ejrcicios: Graficar con Mapl. Idntificando l dominio, imagn, simtría y monotonía.. g ( ) 5 6. h ( ) 6. f ( ) 4 Para las funcions trigonométricas: En la página principal, s va por hrramintas, tutorials, prcalculo, funcions stándar. Allí ncuntra todas las funcions trigonométricas, dond pudn programar la qu ds. 7

143 El jmplo básico qu aparc s l siguint: A partir d st s pud graficar l qu s ds. Ejmplo: f() sn(). En la gráfica s la d color azul. 7

144 Ejmplo: f() cos(+)+4. La gráfica s la d color azul. a, b, h -, k 4 Ejmplo: f() tan(-6)+. La gráfica s la d color azul. a, b, h, k Ejrcicios: Graficar las siguints funcions:. f() cot(6). g() 4sn(). h() 5cos(-4) + 4. m() sc(+4) 7

145 Opracions con Funcions: Para oprar funcions, s procd d la siguint manra: Para invocar l paqut s pulsa hrramintas, cargar paqut, funcions matmáticas. Cuando aparc la hoja cargada con l paqut, s db pulsar: [> n la part suprior d la vntana, así s pud trabajar. Vamos algunos jmplos l Mapl. Ejrcicios:. f() y g() f() y g() f() y g() f() 5sn() y g() 4cos() 5 74