LEYES DE LA DINÁMICA Y APLICACIONES

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1 CONTENIDOS. LEYES DE LA DINÁMICA Y APLICACIONES Unidad Cantidad de movimiento. 2.- Primera ley de Newton (ley de la inercia). 3.- Segunda ley de la Dinámica. 4.- Impulso mecánico. 5.- Conservación de la cantidad de movimiento 6.- Tercera ley de la Dinámica (acción y reacción). 7.- Sistemas de referencia: 7.1. Inerciales No inerciales (sólo introducción y algún ejemplo sencillo). 8.- La fuerza de rozamiento. 9.- Estudio de algunas situaciones dinámicas: 9.1. Dinámica de cuerpos aislados. Planos inclinados Dinámica de cuerpos enlazados. Cálculo de la aceleración y de la tensión Dinámica del movimiento circular uniforme. CANTIDAD DE MOVIMIENTO (p) Es el producto de la masa de una partícula por su velocidad. p = m v Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que v y es por tanto también tangente a la trayectoria. Como: v = v x i + v y j + v z k p = m v = m (v x i + v y j + v z k) = m v x i + m v y j + m v z k Con lo que: p = p x i + p y j + p z k PRINCIPIO DE INERCIA (PRIMERA LEY DE NEWTON) Se basa en las apreciaciones de Galileo. Si no actúa ninguna fuerza (o la suma vectorial de las fuerzas que actúan es nula) los cuerpos permanecen con velocidad (v) contante. Es decir, sigue en reposo si inicialmente estaba en reposo, o sigue con MRU si inicialmente llevaba una determinada v.

2 2 SEGUNDA LEY DE NEWTON La fuerza resultante aplicada a un objeto es igual a la variación de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, o lo que es lo mismo, al producto de la masa por la aceleración. d p d (m v) d v F = = = m = m a d t d t d t ya que la masa, al ser constante, sale fuera de la derivada. En general, suele existir más de una fuerza por lo que se usa: Σ F = m a DEDUCCIÓN DEL PRINCIPIO DE INERCIA En realidad el primer principio, se deduce fácilmente a partir del anterior: Σ F = m a. Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula (Σ F = 0) a = 0 v = constante. También puede deducirse: Si Σ F = 0 dp = 0 p = constante v = constante. Un coche de 900 kg de masa parte del reposo y consigue una velocidad de 72 km/h en 6 s. Calcula la fuerza que aplica el motor, supuesta constante. Δp = m v 2 m v 1 = m (v 2 v 1 ) = 900 kg 20 m/s i 0 i = i kg m/s Δp i kg m/s F = = = 3000 i N Δt 6 s Se pueden sustituir diferenciales por incrementos, pues aunque así obtendría Fuerza media, ésta coincidiría con F al considerarla constante. IMPULSO MECÁNICO (I). En el caso de que la fuerza que actúa sobre un cuerpo sea constante, se llama impulso al producto de dicha fuerza por el tiempo que está actuando. I = F Δ t = Δp = m v 2 m v 1 = m Δv El impulso mecánico aplicado a un objeto es igual a la variación en la cantidad de movimiento de éste.

3 3 Un tenista recibe una pelota de 55 g de masa con una velocidad de 72 km/h; y la devuelve en sentido contrario con una velocidad de 36 km/h. Calcula el impulso que recibe la pelota y la fuerza media que aplica el tenista, si el contacto de la pelota con la raqueta dura una centésima de segundo. I = F Δ t = Δp = m v 2 m v 1 = 0,055 kg ( 10 m/s) i 0,055 kg 20 m/s i I = 1,65 i kg m/s I 1,65 i kg m/s F = = = 165 i N Δ t 0,01 s Lógicamente, tanto la componente del impulso como la de la fuerza tienen signo negativo pues tienen sentido contrario al inicial de la pelota. TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO. De la propia definición de fuerza: dp F = dt se deduce que si F = 0, (o Σ F, resultante de todas aplicadas sobre una partícula), es 0, entonces p debe ser constante. Lo que significa que deben ser constantes cada una de sus componentes cartesianas: p x, p y y p z, y por tanto también las de la velocidad MRU. PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN (TERCERA LEY DE NEWTON) Si tenemos un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan entre sí, pero aislados de toda fuerza exterior, la cantidad de movimiento total de dicho sistema permanecerá constante. Δp total = Δp 1 + Δp 2 = 0 Si dividimos ambos miembros por Δ t Δp total Δp 1 Δp 2 Σ F = = + = 0 F 1 = F 2 Δt Δt Δt Es decir, la fuerza que ejercida sobre 1(debido a la interacción de 2) es igual que la ejercida sobre 2 (producida por 1).

4 4 Al actuar las dos fuerzas sobre cuerpos distintos ejercer, en general efectos también distintos (aceleraciones distintas). Por ejemplo, la fuerza con la que nos atrae la Tierra (Peso) tiene el mismo módulo y sentido contrario que la Fuerza con nosotros atraemos a la Tierra. Es evidente, en este caso que mientras la Tierra ejerce sobre nosotros un efecto apreciable (aceleración de la gravedad), el efecto de 60 o 70 kp que ejercemos sobre la Tierra es absolutamente despreciable. Un libro está apoyado en la superficie horizontal de una mesa y se tira de él horizontalmente con una cuerda ligera. Identifica las fuerzas que actúan sobre el libro y sus correspondientes pares acción-reacción. Hay tantas fuerzas como parejas de cuerpos interaccionan. Con el libro interaccionan: la Tierra, la cuerda y la mesa. La Tierra actúa sobre el libro (peso) y el libro atrae a la Tierra (despreciable para la Tierra). La cuerda aplica al libro la Tensión y el libro actúa sobre la cuerda con una fuerza igual pero de sentido contrario. El libro empuja a la mesa con una fuerza igual a su peso. La reacción de la mesa es la fuerza normal. Igualmente, la mesa se opone al deslizamiento del libro con una fuerza de rozamiento y el libro actúa sobre la mesa con una fuerza igual pero de sentido contrario. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN DOS CUERPOS. Ya hemos visto que si Σ F= 0, p debe ser constante. En el caso de que la interacción sea un choque: Σ p antes = Σ p después m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 En el choque elástico v 1 y v 2 (velocidad con que salen rebotados los objetos) son distintos. En el choque inelástico v 1 = v 2. (los dos objetos salen juntos incrustado el uno en el otro). Una canica de 8 g lleva una velocidad constante de 4 m/s, y golpea una bola de madera de 200 g que está en reposo. Si como resultado del choque la canica sale rebotada con una velocidad de 2 m/s, calcula la velocidad con que comienza a moverse la otra bola. m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2

5 5 8 g 4 m/s i g 0 i = 8 g ( 2 m/s) i g v 2 Despejando v 2 obtenemos: 32 g m/s i + 16 g m/s i v 2 = = 0,24 i m/s 200 g Ejercicio A: Una bola de billar choca a una velocidad de 4 m/s con otra bola igual que está parada. Después del choque, la primera bola se mueve en una dirección que forma 30º con la inicial, y la segunda con 60º con la dirección inicial de la primera. Calcula el módulo de la velocidad final de cada bola. (Sol: 2 m/s y 3,46 m/s) SISTEMAS DE REFERENCIA Inerciales: El origen (observador) está en reposo o MRU. Son aplicables las leyes de Newton. Las aceleraciones son producidas por fuerzas debidas a la interacción entre cuerpos (contacto o a distancia). Sistemas no inerciales El origen (observador) lleva una determinada aceleración. No son aplicables las leyes de Newton. Se introducen las llamadas fuerzas de inercia F inercia (virtuales) que no son el resultado de la interacción entre cuerpos sino un artificio matemático para poder aplicar las leyes de Newton: F i = m a Cuando el sistema se encuentra en equilibrio se cumple el principio de D Alembert: Σ F reales + F inercia = 0 Comparativa de ambos sistemas en algunos casos Viaje en autobús Al arrancar con aceleración a, la persona se siente impulsada hacia atrás: Sist. Inercial: (fuera del autobús). No existe fuerza y por tanto tampoco a (nadie le empuja, permanece quieto por inercia).

6 6 Sist. No inercial: (dentro del autobús). Como experimenta el viajero una aceleración a (hacia atrás) deberá existir una fuerza: F i = m a Dentro de un ascensor Sea un cuerpo de masa m suspendido del techo por una báscula. Al subir el ascensor con aceleración a, el objeto marca en la báscula una fuerza superior a su peso: Sist. Inercial: (fuera del ascensor). No existe equilibrio puesto que el objeto acelera con a luego T + P = m a (T m g = m a) T = m (g + a) (T es la fuerza que marca la báscula) Sist. No inercial: (dentro del ascensor). Hay equilibrio. Se aplica el principio de D Alembert: Σ F = 0; T + P + F i = 0 (T m g m a = 0) T = m (g + a) Al tomar una curva Sea una pelota de masa m que viaja sobre una plataforma móvil con velocidad lineal constante. Al tomar la curva la plataforma se produce sobre ésta una aceleración normal a n, mientras que sobre la pelota no existe aceleración. Sist. Inercial: (fuera de la plataforma). La pelota sigue recta con v constante y se sale de la plataforma que gira. Sist. No inercial: (dentro de la plataforma). La pelota sale lanzada hacia el exterior una aceleración igual cuyo módulo vale v 2 /R. Ello implica la existencia de una fuerza (virtual) hacia el exterior que se conoce como fuerza centrífuga. FUERZA DE ROZAMIENTO (F R ) Es la fuerza que aparece en a superficie de contacto de los cuerpos, oponiéndose siempre al movimiento de éstos. Depende de: Los tipos de superficie en contacto. La fuerza normal N de reacción de la superficie sobre el objeto (normalmente igual en módulo a P N excepto que se aplique una fuerza no horizontal sobre el mismo). No depende de: La superficie (cantidad).

7 7 Tipos de fuerza de rozamiento: Estático: Se opone y anula a la fuerza lateral mientras el cuerpo esté en reposo. Es igual a la fuerza necesaria para iniciar un movimiento (de sentido contrario). Cuando un cuerpo está en reposo y se ejerce una fuerza lateral, éste no empieza a moverse hasta que no la fuerza no sobrepasa un determinado valor (F re ). La fuerza de rozamiento se opone y anula a la fuerza lateral mientras el cuerpo esté en reposo. Cinético (o dinámico): Es la fuerza que se opone a un cuerpo en movimiento (F rc ). Es algo menor que F re (en el mismo caso). Cálculo de F R F re (máxima) = μ e N ; F rc = μ c N En donde μ e y μ c son los coeficientes de rozamiento estático y cinético respectivamente, que dependen ambos de la naturaleza de las superficies en contacto y N es la normal (perpendicular a). La normal N es la fuerza de reacción de la superficie de deslizamiento sobre el objeto debido a la P N y al resto de componentes perpendiculares al movimiento. Manera práctica de obtención de F re y F rc. Se pone el objeto sobre la superficie y se va inclinando ésta hasta que empiece a moverse el objeto. En ese instante: P T = F re Al no haber fuerzas exteriores: N = P N m g sen α = μ re m g cos α sen α μ re = = tg α cos α Una vez iniciado el movimiento puede bajarse el ángulo hasta α. Análogamente, μ rc = tg α. Calcular las fuerzas de rozamiento estático y cinético al arrastrar una caja de 5 kg con una fuerza de 20 N aplicada a una cuerda que forma un ángulo con el suelo de 30º, sabiendo que μ e = 0,15 y μ c = 0,12. Se moverá la caja?

8 8 F = 20 N se descompone en: F x = 20N cos 30º = 17,3 N; F y = 20N sen 30º = 10,0 N N = P F y = 5 kg 9,8 m/s 2 10 N = 39 N F re = μ e N = 0,15 39 N = 5,85 N F rc = μ c N= 0,12 39 N = 4,68 N Sí se moverá hacia la derecha, pues F x > F re DINÁMICA DE CUERPOS AISLADOS. Se basa en la segunda ley de Newton: Σ F = m a Hay que determinar todas las fuerzas que actúa sobre el cuerpo y sumarlas vectorialmente. Si hay fuerzas oblicuas al movimiento suelen descomponerse éstas en paralelas y perpendiculares al mismo. Estática: Estudia los cuerpos en equilibrio Se cumple que: a = 0 Σ F = 0. MOVIMIENTO SOBRE PLANO HORIZONTAL. Si arrastramos un objeto tirando con una fuerza F de una cuerda que forma un ángulo α con la horizontal. Dibujamos todas las fuerzas que actúan. Descomponemos la fuerza F en F x y F y. Si existe rozamiento determinamos si F x > F re para comprobar si se mueve. Aplicamos : Σ F x = m a; Σ F y = 0 Calcular la aceleración de la caja del ejemplo anterior: Datos: m = 5 kg F = 20 N, α = 30º, μ c = 0,12. Calculamos todas las componentes de las fuerzas existentes:

9 9 F x = 20N cos 30º = 17,3 N; F y = 20N sen 30º = 10,0 N F y = 0 N = P F y = 5 kg 9,8 m/s 2 10 N = 39 N F rc = μ c N = 0,12 39 N = 4,68 N Una vez que sabemos que F x > Fr re, aplicamos: Σ F x = m a; 17,3 N 4,68 N = 5 kg a 17,3 N 4,68 N a = = 2,524 m s 2. 5 kg PLANOS INCLINADOS. Puede descender sin necesidad empujarlo si P T > F re. de Si arrastramos o empujamos con una fuerza F hacía abajo, descenderá si F + P T > F re. Si arrastramos o empujamos con una fuerza F hacía arriba: Ascenderá si: F > F re + P T No se moverá si: P T F re < F < F re + P T Descenderá si F < P T F re Recordad que F r tiene siempre sentido contrario al posible movimiento. Se moverá un baúl de 100 Kg situado en una superficie inclinada 15º con la horizontal, sabiendo que μ e y μ c valen 0,30 y 0,28 respectivamente. P T = P sen α = 980 N sen 15 = 253,6 N P N = P cos α = 980 N cos 15 = 946,6 N Al no existir otras fuerzas oblicuas: N = P N (sentido contrario) F re = μ e N = 0,30 946,6 N = 284 N Como P T < F re el baúl no se moverá. No se mueve hacia arriba porque F re no toma su valor máximo.

10 10 Qué fuerzas habrá que realizar en el ejercicio anterior a) hacia abajo, b) hacia arriba, para que el baúl comience a moverse? c) Con qué aceleración se moverá si se empuja hacia abajo con una fuerza de 100 N. Datos: m = 100 kg, α = 15º, μ e = 0,30 y μ c = 0,28. P T = 253,6 N ; P N = N = 946,6 N; F re = 284 N a) F mínima (abajo) > 284 N 253,6 N = 30,4 N b) F mínima (arriba) > 284 N + 253,6 N = 537,6 N c) F c = μ c N = 0,28 946,6 N = 265,0 N Σ F = 100 N + 253,6 N 265,0 N = 88,6 N = 100 kg a a = 0,886 m s 2 DINÁMICA DE CUERPOS ENLAZADOS. Cálculo de aceleración y tensión. La acción que ejerce un cuerpo sobre otro se traduce en la tensión de la cuerda que los enlaza, que es lógicamente igual y de sentido contrario a la reacción del segundo sobre el primero. Se aplica la 2ª ley de Newton a cada cuerpo por separado, obteniéndose una ecuación para cada uno con igual a. Tenemos en cuenta únicamente las fuerzas que tienen la dirección del movimiento, pues las perpendiculares se anulan (P 1 = N). Utilizaremos componentes escalares con los que se consideran positivas las fuerzas a favor y negativas las que van en contra. Al sumar las ecuaciones miembro a miembro deben desaparecer las tensiones.

11 11 Cuál será la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda suponiendo que hay movimiento y que m 1 = 5 kg y m 2 = 2 kg y μ c vale 0,08? m 2 1 F r Cuerpo 1: T F rc = m 1 a T μ c m 1 g = m 1 a Cuerpo 2: P 2 T = m 2 a m 2 g T = m 2 a 2 kg 9,8 m/s 2 0,08 5 kg 9,8 m/s 2 = (5 kg + 2 kg) a 2 kg 9,8 m/s 2 0,08 5 kg 9,8 m/s 2 a = = 2,24 m/s 2 5 kg + 2 kg T = 5 kg 2,24 m/s + 0,08 5 kg 9,8 m/s 2 = 5,12 N Ejercicio B: 2 Se moverá el sistema de la figura y en caso de que lo haga hacia qué lado? Datos: m 1 = 6 kg; m 2 = 2 kg; μ e = 0,12; μ c = 0,10; α = 30º. Ejercicio C: Calcular la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda del ejemplo anterior. Datos: m 1 = 6 kg ; m 2 = 2 kg ; μ e = 0,12; μ c = 0,10; α = 30º. DINÁMICA DEL M.C.U. Se cumplen las siguientes condiciones: v = v = k a t = 0 a n = a n = v 2 / R = v 2 / R = cte donde a n es un vector dirigido hacia el centro de la trayectoria. Aplicando la 2ª ley de Newton deberá haber una fuerza también dirigida hacia el centro cuyo F n = m a n = m v 2 / R que se conoce como fuerza centrípeta (F C ). En caso de objetos que giran horizontalmente debido a una cuerda: F = T. En caso de un coche que gira F = F. C r P 1T N α P 1 P 2 Una bola de 200 g, sujeta a una cuerda de 1,5 m se mueve a v cuyo módulo constante es 6 m/s sobre una mesa sin rozamiento describiendo un círculo. Calcular la tensión de la cuerda. C T P 1 N T

12 12 El peso de la bola P queda compensado por la reacción del plano N, por lo que ambas fuerzas se anulan La tensión T es la responsable del movimiento circular. Es por tanto la fuerza centrípeta. m v 2 0,2 kg (6 m/s) 2 T = = = 4,8 N R 1,5 m La misma bola de 200 g, sujeta a una cuerda de 1,5 m se hace girar en aire a velocidad constante describiendo un péndulo cónico. Si la cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical. cuál será la velocidad de la bola? La tensión es ahora una fuerza oblicua que descomponemos en T x que será la fuerza centrípeta y T y que neutralizará el peso de la bola: 0,2 kg v 2 T x = T sen 30º = 1,5 m sen 30º T y = T cos 30º = 0,2 kg 9,8 m/s 2 = 1,96 N Resolviendo el sistema obtenemos que: v = 2,06 m/s Movimiento de un cubo en vertical. T + P = m a n Ecuaciones escalares: Arriba: T + m g = m a n = m v 2 / R Abajo: T m g = m a n = m v 2 / R Si v = cte, T tiene que ser mucho mayor abajo. La velocidad mínima para que el agua no caiga se obtendrá cuando T (arriba) tome el mínimo valor posible, es decir 0. m g = m v 2 / R v = ( g R) 1/2

13 13 La misma bola gira ahora en un plano vertical. Sabiendo que v A = 10 m/s, v B = 8,4 m/s, v C = 6,4 m/s, calcular la tensión de la cuerda en cada punto y la aceleración tangencial. a) m v 2 T A m g = R 0,2 kg (10 m/s) 2 T A = 1,96 N + = 15,3 N 1,5 m 2 b) m v 0,2 kg (8,4 m/s) 2 T B = = = 9,4 N R 1,5 m 2 c) m v 0,2 kg (6,4 m/s) 2 T C = m g = 1,96 N R 1,5 m T C = 3,5 N Sólo existe a t en B pues F T = P (m a t = m g) a t = g = 9,8 m/s 2 En a) y c) at es nula. Curvas sin peralte (con rozamiento) La fuerza de rozamiento hacia el interior de la curva es precisamente la fuerza centrípeta. v 2 Eliminando la masa podemos obtener el radio en función de la velocidad o viceversa: F R = μ m g = m R Un coche de 1500 kg circula a 30 m/s por una carretera siendo 0,2 su coeficiente de rozamiento estático entre las ruedas y el suelo. Calcula el radio mínimo de la curva sin peraltar. 2 2 v (30 m/s) R = = = 459 m g μ (9,8 m/s 2 ) 0,2 Curvas peraltadas (sin rozamiento) 2 v R = v = μ R g g μ

14 14 N x = N sen α ; N y = N cos α F y = 0 N cos α m g = 0 m g N = cos α La N x es la responsable del giro: m g N x = N sen α = sen α cos α v 2 N x = m g tg α = m R R = 2 v g tgα Un coche de 1200 kg circula por una curva de 50 m de radio peraltada 30º. Suponiendo que no exísta rozamiento cuál será la velocidad que deberá llevar para no derrapar. Qué ocurriría si llevara una velocidad inferior? v = (R g tg α) ½ = (50 m 9,8 m s 2 tg 30º) ½ = 16,8 m/s Ejercicio: Si v fuese inferior iría cayendo hacia el interior del peralte al no existir rozamiento. Por qué los astronautas situados en la estación espacial Alfa a sólo unos cientos de km de la superficie terrestre flotan en la nave? Ejercicio: Su peso es algo menor que en la superficie de la Tierra, pero es bastante significativo. Debido a que el peso está dirigido hacia el centro de la Tierra, actúa de fuerza centrípeta que lo mantiene en órbita (está continuamente cayendo). Si utilizáramos un sistema de referencia no inercial (la nave), tendríamos que acudir a una fuerza inercial (centrifuga) para explicar el aparente equilibrio. Cual será a altura de una órbita geoestacionaria? (los satélites permanecen siempre en la vertical de un punto de la Tierra) La velocidad angular del satélite es igual a la terrestre: 2π rad / s = 7, rad/s El peso del satélite es igual a la fuerza centrípeta:

15 15 Ejercicio: M T m G = m ω 2 (R T + h) (R T + h) 2 M T N m 2 5, kg (R T + h) 3 = G = 6, ω 2 kg 2 (7, s 1 ) 2 R T + h = 4, m h = 4, m 6, m = 3, m Cuántas veces menos pesará un objeto situado en un satélite en órbita geoestacionaria en comparación la superficie terrestre? El peso de un objeto en la superficie terrestre es: m 9,8 m/s 2. El peso en la órbita geoestacionaria es: M T N m 2 5, kg m G = m 6, = m m/s 2 (R T + h) 2 kg 2 (4, m) 2 El cociente es: m 9,8 m/s 2 = 43,8 veces menos m m/s 2