FÍSICA GENERAL I. Principios de conservación

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1 FÍSICA GENERAL I Principios de conservación 1 Una pelota de golf de kg se mueve a 6 ms -1 en la dirección +y. Una de béisbol de kg lo hace a ms -1 en la dirección x Qué magnitud y dirección tiene la cantidad de movimiento total del sistema formado por las dos pelotas? Un sistema está compuesto por tres partículas de masas 3kg, kg y 5kg. La primera partícula tiene una velocidad de 6u x ms -1. La segunda se mueve con velocidad 8 ms -1 en una dirección que forma un ángulo de 30º con el eje X. Halle la velocidad de la tercera partícula de modo que el centro de masas esté en reposo con respecto al observador. 3 Una camioneta de 100 kg avanza en una autopista recta a 1 ms -1. Otro coche de masa 1800 kg se mueve en el mismo sentido que la camioneta con una rapidez de 0 ms -1 tiene su centro de masas 40 m por delante del de la camioneta. a Determine la posición del centro de masas del sistema formado por los dos vehículos b Calcule la cantidad de movimiento total del sistema c Calcule la velocidad del centro de masas del sistema d Calcule la cantidad de movimiento total del sistema usando la velocidad del centro de masas 4 Usted está quieto sobre el hielo con una fricción insignificante entre sus pies y el hielo. Un amigo le lanza un balón de fútbol de 0.4 kg que viaja horizontalmente a 1 ms -1. Su masa es de 65 kg. a Si usted atrapa el balón con qué rapidez se mueven ambos después? b Si el balón le golpea y rebota moviéndose horizontalmente a 7 ms -1 qué rapidez tiene usted después del choque? 5 Dos vagones de ferrocarril ruedan juntos y se acoplan con un tercero que está inicialmente en reposo. Los tres ruedan juntos y se acoplan con un cuarto vagón en reposo. El proceso continúa hasta que la rapidez del tren formado es 1/10 de la de los dos vagones iniciales. Los vagones son idénticos. Ignorando la fricción, cuántos vagones tiene el tren final?

2 6 Un vagón tolva lleno de arena rueda con una rapidez inicial de 1 ms -1 sobre vías horizontales rectas. Ignore las fuerzas de fricción sobre el vagón. La masa total es de 8000 kg. La puerta de la tolva no cierra bien por lo que se fuga arena por el fondo. Después de 0 minutos se han perdido kg de arena Qué rapidez tiene entonces el vagón? 7 Las esferas A, B y C, cuyas masas son 0.0, 0.03 y 0.05 kgs, respectivamente, se acercan al origen deslizándose sobre una mesa sin fricción según se muestra en la figura. Las tres esferas llegan al origen simultáneamente y se pegan Cuál es la velocidad inicial de C si los tres objetos quedan en reposo después del choque? y B v B =0.5 ms -1 C v C 60º A v A =1.5 ms -1 x 8 Un hombre de 800 N y una mujer de 600 N de peso están sentados en un trineo de 100 N en reposo sobre el hielo sin fricción. Ellos ven una araña venenosa en el piso del trineo y saltan hacia fuera. El hombre salta hacia la izquierda con una velocidad de 5 ms -1, 30º arriba de la horizontal y la mujer salta hacia la derecha a 9 ms -1, 36.9º arriba de la horizontal. Calcule la velocidad horizontal del trineo después del salto. 9 Una partícula de 0. kg de masa que se mueve con una velocidad de 0.4 ms -1 choca con otra de 0.3 kg de masa que se encuentra en reposo. Después de la colisión la primera partícula se mueve a 0. ms -1 en una dirección que forma un ángulo de 40º con respecto a su dirección original. Halle la velocidad de la segunda partícula.

3 10 Un núcleo, originalmente en reposo, se desintegra radiactivamente al emitir un electrón con un momento lineal de mkgs -1 y un neutrino con un momento de mkgs -1 en una dirección perpendicular a la del electrón. a En qué dirección retrocede el núcleo residual? b Cuál es su momento lineal? 11 La fisión, que suministra la energía en las plantas nucleares, ocurre cuando un núcleo pesado se divide en dos núcleos medianos. Una reacción así ocurre cuando un neutrón choca con un núcleo de 35 U y lo parte en un núcleo de 141 Ba y uno de 9 Kr. Además salen despedidos dos neutrones del 35 U. Antes del choque la situación se muestra en la figura A; después, el 141 Ba se mueve en la dirección +z y el 9 Kr en la dirección z. Los tres neutrones se mueven en el plano x-y como se muestra en la figura B. y y neutrón emitido neutrón original neutrón v 0 núcleo en reposo x 35º 10º 30º x neutrón emitido Figura A Figura B Si el neutrón incidente tiene una velocidad inicial de ms -1 y final de ms -1 en las direcciones mostradas qué rapidez tienen los otros dos neutrones y qué puede decirse de la rapidez de los núcleos? La masa aproximada del núcleo de 141 Ba es kg y la del 9 Kr es de kg.

4 1 En un instante concreto tres partículas se mueven como se muestra en la figura. y v 3 m 3 30º x m 1 v 1 v m Suponga que m 1 = kg, m = 0.5 kg, m 3 =1 kg, v 1 =1 ms -1, v = ms -1 y v 3 =4 ms -1. Las partículas están sujetas únicamente a sus interacciones mutuas, así que no actúan fuerzas externas. Después de cierto tiempo se observa que m 1 se mueve con una velocidad de -3 u x ms -1, mientras que m está en reposo. a Halle la velocidad de m 3 b Halle la velocidad del CM en los dos instantes mencionados en el problema c En un tiempo dado las posiciones de las masas son: r 1 =-0.8 u x +1.1 u y (m), r =- 0.8 u x -1.1 u y (m) y r 3 =1.4 u x u y (m) Trace la trayectoria del CM. 13 Un bate golpea una pelota de kg. Justo antes del impacto, la bola viaja horizontalmente hacia la derecha a 40 ms -1 y sale del bate viajando hacia la izquierda a 60 ms -1, 30º arriba de la horizontal. Si el tiempo de contacto es de 1.5 ms, calcule las componentes horizontal y vertical de la fuerza media sobre la pelota. 14 Un bate ejerce una fuerza horizontal F=(At-Bt ) u x sobre una pelota de kg entre t=0 y t= ms, donde A= Ns -1 y B= Ns -. En el instante inicial, t=0, la velocidad de la bola es -40u x - 5u y (ms -1 ). a Calcule el impulso del bate sobre la bola durante los ms que están en contacto b Calcule el impulso ejercido por la gravedad durante ese intervalo de tiempo c Calcule la fuerza media ejercida por el bate sobre la bola durante ese intervalo d Calcule la cantidad de movimiento y la velocidad de la bola en t= ms

5 15 Las masas de la figura se encuentran inicialmente en reposo. Desprecie la masa de la polea. m 1 m a Encuentre la velocidad y la aceleración del centro de masas del sistema formado por las dos masas en función del tiempo b Calcule los valores anteriores cuando m 1 =m 16 Un sistema consta de dos partículas. En t=0 una está en el origen, la otra, cuya masa es 0.6 kg, está sobre el eje y en y=80 m, el centro de masas del sistema, cuya velocidad es v CM =At u y (A=6ms -3 ), se encuentra sobre el eje y en y=4 m. a Calcule la masa del sistema b Calcule la aceleración del centro de masa en cualquier instante c Calcule la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema en t=3s 17 Dos masas m 1 =10 kg y m =6 kg están unidas por una barra rígida de masa despreciable, tal y como se indica en la figura. Estando inicialmente en reposo se someten a fuerzas F 1 =8 u x (N) y F =6 u y (N) y m 1 F 1 3m F m x a Encuentre las coordenadas de su centro de masa como función del tiempo b Exprese el momento total del sistema como función del tiempo 4m

6 18 Un chorro de líquido de sección transversal a incide sobre una superficie plana tal y como se muestra en la figura. El líquido después de impactar con la superficie se extiende sobre ella. a θ v Calcule la presión ejercida sobre la superficie si la densidad del líquido es ρ y la velocidad de sus partículas v. La presión se define como la fuerza normal por unidad de área 19 Dos partículas conectadas entre sí mediante una varilla ligera están en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento, como se muestra en la figura. Una tercera partícula de 0.5 kg de masa se acerca al sistema con velocidad v 0 = ms -1 y golpea a la masa de kg. y v 0 v f m = kg m 1 = 4 kg 30º 0.3 m x Calcule el movimiento resultante del centro de masas del sistema formado por las dos partículas si la partícula de 0.5 kg rebota con velocidad v f =1 ms -1 de la manera en que se muestra en la figura.

7 0 El vector de posición de un cuerpo de 6 kg de masa está dado por r = [3(ms - )t - 6(ms -1 )t]u x -4(ms -3 )t 3 u y. Halle: a La fuerza que actúa sobre la partícula b El par que actúa sobre la partícula con respecto al origen c Los momenta lineal y angular de la partícula respecto al origen 1 Si las masas de las partículas de la figura son m 1 =4 kg, m =6 kg y sus velocidades v 1 = ms -1 y v =3 ms -1, determine los momentos angulares del sistema con respecto a O y al CM, y verifique la relación entre ellos. y m 1 v 1 3m v O m x 4m En t=0 una masa de 3 kg está en r=3u x (m) y tiene una velocidad 10 u y (ms -1 ). No existen fuerzas que actúen sobre la masa. Determine el momento angular de la masa con respecto al origen en t=0 s y en t=1 s. 3 Cuando la Tierra está en el afelio (la posición más alejada del Sol) el de julio su distancia al Sol es de m y su velocidad orbital es de ms -1. Halle su velocidad orbital en el perihelio (posición más cercana al Sol) aproximadamente seis meses después cuando su distancia al Sol es de m. En el afelio y en el perihelio las velocidades de la Tierra son perpendiculares a sus respectivos vectores de posición tomando el Sol como origen de coordenadas

8 4 En el tiempo t 0 una partícula de kg de masa se encuentra en el punto r 10 =u y +u z (m) y se mueve a 10 ms -1 en la dirección del eje +X. En el mismo instante otra partícula de 3 kg de masa se encuentra en el punto r 0 = -u x +u z (m) y se mueve a 8 ms -1 en la dirección de una recta perpendicular al eje Z y que forma un ángulo de 10º con el eje +X. Las partículas están sometidas únicamente a su interacción. a Exprese cada velocidad en forma vectorial b Encuentre la velocidad de su centro de masa c Exprese la velocidad de cada partícula con respecto al centro de masa d Encuentre el momento de cada partícula en el sistema C e Encuentre la velocidad relativa de las partículas f Encuentre la masa reducida del sistema g Dibuje la trayectoria del CM h Determine el momento angular del sistema respecto a su centro de masa i Obtenga el momento angular respecto al origen j Qué relación existe entre los valores encontrados en h e i? 5 Un proyectil de masa m es disparado desde el punto O con una velocidad inicial v 0 y un ángulo α sobre la horizontal. a Calcule el momento angular del proyectil respecto a O como función del tiempo b Determine la tasa de cambio con respecto al tiempo del momento angular del proyectil c Calcule el par del peso del proyectil con respecto al punto O 6 Calcule el trabajo hecho por una persona que arrastra 10 m un costal de harina de 65 kg con una fuerza de 50 N y después lo levanta para depositarlo en reposo en la caja de un camión que está a 75 cm del suelo Cuál es la potencia media desarrollada por la persona si empleó 45 s en todo el proceso?

9 7 El motor de un coche de masa m proporciona una potencia constante P a las ruedas para acelerar el coche. El coche está inicialmente en reposo. a Demuestre que el trabajo realizado por el coche en un tiempo t es Pt b Demuestre que la rapidez del coche en función del tiempo es v=(pt/m) 1/ c Demuestre que la aceleración del coche es a=(p/mt) 1/ d Demuestre que la posición del coche en función del tiempo es: x=x 0 +(8P/9m) 1/ t 3/ 8 Dos veleros sobre hielo compiten en un lago horizontal sin fricción. Los veleros tienen masas m y m, respectivamente, pero sus velas son idénticas, así que el viento ejerce la misma fuerza constante sobre cada uno. a Qué razón tienen las velocidades de los dos veleros en la meta? b Qué razón tienen los tiempos que tardan los dos veleros en llegar a meta? 9 Un electrón en movimiento tiene una energía cinética K 1. Después de realizarse sobre él una cantidad neta de trabajo W, se mueve con un tercio de su rapidez anterior y en la dirección opuesta. a Calcule W en términos de K 1 b Su respuesta depende de la dirección final del movimiento del electrón? 30 Un coche viaja por un camino plano con una rapidez v 0 en el instante en el que los frenos se bloquean, de modo que las llantas se deslizan en lugar de rodar. a Calcule la distancia mínima en que puede detenerse el coche en términos de v 0, g y el coeficiente de fricción cinética µ C entre las llantas y el camino b El coche se detiene en 98.3 m si v 0 =90 kmh -1, en qué distancia se detendrá si v 0 =60 kmh -1? 31 Un cuerpo de masa m parte del reposo y se desliza hacia abajo por un plano inclinado con un ángulo α. El coeficiente de fricción es µ C. Halle la tasa con la cual se disipa la energía cinética más la potencial.

10 3 Un paquete de 4 kg baja m deslizándose por una rampa inclinada 15º bajo la horizontal. µ C =0.35 entre el paquete y la rampa. Calcule el trabajo realizado sobre el paquete por: a La fricción b La gravedad c La fuerza normal d Todas las fuerzas Si el paquete tiene una rapidez de.4 ms -1 en la parte superior de la rampa: e Qué rapidez tiene después de bajar deslizándose m? f Qué distancia baja el paquete por la rampa antes de detenerse? 33 Un trineo de 0 kg se desliza por una colina desde una altura de 0 m. El trineo inicia su movimiento a partir del reposo y tiene una velocidad de 16 ms -1 cuando llega al pie de la colina. Calcule la pérdida de energía debida a la fricción. 34 Usted y su bicicleta tienen una masa combinada de 80 kg. Al llegar a la base de un puente usted viaja a 6 ms -1. La altura del puente es de 5. m y su rapidez en la cima es de.5 ms -1. a Qué trabajo total se efectúa sobre usted y su bicicleta al subir de la base a la cima del puente? b Cuánto trabajo realizó usted con la fuerza que aplicó a los pedales? 35 Un bloque de 0.5 kg se empuja contra un resorte horizontal de masa insignificante y constante de recuperación k= 100 Nm -1, comprimiéndolo 0. m. Al soltarse el bloque se mueve 1 m sobre una mesa horizontal antes de detenerse Cuál es el coeficiente de fricción entre el bloque y la mesa?

11 36 Un paquete de 0. kg se libera del reposo en el punto A de una vía que forma un cuarto de círculo de radio 1.6 m, tal y como se muestra en la figura. El paquete es tan pequeño relativo a dicho radio que puede tratarse como una partícula. Se desliza por la vía y llega al punto B con rapidez 4. ms -1. A partir de ahí el paquete se desliza 3 m sobre una superficie horizontal hasta C, donde se detiene. A R B C a Qué coeficiente de fricción cinética tiene la superficie horizontal? b Cuánto trabajo realiza la fricción sobre el paquete entre A y B? 37 Un bloque de madera de kg se coloca contra un resorte comprimido en la base de una pendiente de 37º (punto A). Al soltarse el resorte, el bloque sube por la pendiente. En el punto B, a una distancia de 6 m pendiente arriba de A, la velocidad del bloque es 7 ms -1 dirigida pendiente arriba y ya no está en contacto con el resorte. Entre el bloque y la pendiente el coeficiente de rozamiento es 0.5. La masa del resorte es insignificante. Calcule la energía potencial almacenada inicialmente en el resorte. 38 La fuerza que actúa sobre una partícula es F=7u x -6u y (N). a Calcule el trabajo realizado cuando la partícula va del origen a r=-3u x +4u y (m) b Calcule la potencia media si tarda 0.6 s en ir de un lugar al otro c Calcule el cambio de energía cinética si la masa de la partícula es de 1 kg d Calcule, si es posible, la diferencia de energía potencial entre el origen y punto r 1 =-3u x +4u y (m) e Determine la energía potencial en el punto r=7u x +16u y (m) si la energía potencial en el origen es cero 39 Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza F=-k/r u r. La trayectoria es un círculo de radio R. Muestre que: a la energía total es E=-k/R si asumimos que E 0 b la velocidad es v=(k/mr) 1/ c el momento angular es L=(mkR) 1/ p r

12 40 Una esquiadora parte de la cima de una enorme bola de nieve sin fricción, con rapidez inicial muy pequeña y baja esquiando por el costado. En el punto en que ella pierde contacto con la nieve y sigue una tangente qué ángulo forma con la vertical una línea radial desde el centro de la bola a la esquiadora? 41 Un bloque de hielo de 0.1 kg se coloca contra un extremo de un resorte horizontal de masa insignificante cuyo otro extremo se encuentra fijo. El resorte está montado en una mesa que se encuentra a 1.9 m sobre el suelo. La fuerza que hay que aplicar al resorte para comprimirlo una distancia x respecto a su posición de equilibrio es proporcional a dicha distancia y la constante de proporcionalidad es k=300 Nm -1. Inicialmente el resorte se comprime m respecto a su posición de equilibrio, después se suelta y el bloque se desliza sobre la mesa, cae por el borde y llega al suelo. Si la fricción entre el hielo y la mesa es insignificante Qué rapidez tiene el bloque al tocar el suelo? 4 Un carro de un juego de un parque de atracciones rueda sin fricción por la vía de la figura, partiendo del reposo en A, que se encuentra a una altura h sobre la base del lazo. A B h C R a Qué valor mínimo debe tener h en términos de R para que el carro no se caiga en B? b Si h=3.5r y R=5 m calcule la rapidez, la aceleración radial y la aceleración tangencial de los pasajeros cuando el carro está en C c Haga un diagrama a escala de las componentes de la aceleración en C

13 43 Normalmente ignoramos la energía cinética de las espiras en el movimiento de un resorte, pero vamos a tratar de obtener una aproximación razonable de esta cantidad. Considere un resorte de masa M, longitud en equilibrio L 0 y constante de fuerza k. Al estirarse o al comprimirse a una longitud L la energía potencial es 1/k(L-L 0 ). Considere que el resorte descrito tiene un extremo fijo y otro moviéndose con una rapidez v. Suponga que la rapidez de los puntos a lo largo del resorte varía linealmente con la distancia l medida desde el extremo fijo. Suponga también que la masa M del resorte se distribuye uniformemente a lo largo del mismo. a Calcule la energía cinética del resorte en términos de M y v. Sugerencia: calcule la energía cinética de elementos de longitud dl del resorte y sume todas sus contribuciones En un rifle de resorte, el resorte de masa 0.34 kg y k=300 Nm -1 se comprime.5 cm respecto a su longitud no comprimida. El resorte empuja una esfera de kg horizontalmente. El trabajo efectuado por la fricción es insignificante. b Calcule la rapidez de la esfera cuando el resorte recupera su posición no comprimida. c Qué energía cinética final tienen la esfera y el resorte? 44 La interacción entre dos nucleones puede representarse por medio de la energía potencial de Yukawa E p (r)=-v 0 (r 0 /r)e -r/r0, donde r es la separación de las partículas y V 0 y r 0 son constantes. a Determine la fuerza entre las dos partículas en función de su separación b Determine el valor de la fuerza en r=r 0 45 Una partícula está sujeta a una fuerza asociada con la energía potencial E p (x)=3x - x 3. a Trace la gráfica de E p (x) b Determine la dirección de la fuerza en cada intervalo apropiado de la variable x c Analice los movimientos posibles de la partícula para los diferentes valores de su energía total d Encuentre las posiciones de equilibrio (estable o inestable)

14 46 Considere el sistema de la figura. La cuerda y la polea tienen masas insignificantes y la polea no tiene fricción. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de 8 kg y la mesa es de 0.3. Los bloques se liberan del reposo. 8 kg 6 kg a Calcule la rapidez del bloque de 6 kg después de descender.5 m b Si los bloques se mueven inicialmente con una rapidez de ms -1 y se detienen después de moverse.95 m Cuál es ahora el coeficiente de fricción cinético? 47 Compruebe que si la energía cinética interna de un sistema de dos partículas es E k,int, los módulos de las velocidades de las partículas con respecto al CM son: v 1 m Ek,int = m1 ( m1 + m ) 1/ y v m1e k,int = m ( m1 + m ) 1/ 48 El dispositivo de la figura se conoce como péndulo balístico. m 1 m h Se utiliza para determinar la velocidad de una bala midiendo la altura del bloque h después de que la bala penetra en él. Verifique que la velocidad de la bala está dada por la expresión: v = ( gh) 1/ m1 + m m 1

15 49 Una bala de masa m y velocidad v pasa por la lenteja de un péndulo de masa M y sale con una velocidad v/. La lenteja está en el extremo de una cuerda de longitud l. Calcule el valor mínimo de v para que el péndulo describa un círculo completo l v v/ Soluciones 1 P=-0.9 u x u y (kgms -1 ) v 3 =-6.37 u x u y (ms -1 ) 3 a Si r camioneta =0 r CM =4 u x (m) b P=50400 u x (kgms -1 ) c v CM =16.8 u x (ms -1 ) 4 a v = u x (ms -1 ) b v = u x (ms -1 ) v= 1 (ms -1 ) 7 v C =0.75 u x u y (ms -1 ) 8 v x =-0.71 (ms -1 )

16 9 v=0.164 u x u y (ms -1 ) 10 a ν 30º e n b p n = (kgms -1 ) 11 v Ba / v Kr =-0.65 v 1 = (ms -1 ) v = (ms -1 ) 1 a v 3 =4.54 u x - u y (ms -1 ) b v CM = u x u y (ms -1 ) c y= x 13 F media = u x u y (N) 14 a J=1 u x (kgms -1 ) b J= u y (kgms -1 ) c F media =6000 u x (N) d p= 6. u x u y (kgms -1 ) v= 4.76 u x u y (ms -1 ) 15 a v CM m1 m = m1 + m gt u y a CM m1 m = m1 + m g u y = CM b v a = 0 CM 16 a M= kg b a CM =1 (ms -3 ) t u y c F ext =7 u y (N)

17 17 a r CM = [1.5 (m) (ms - ) t ] u x + [1.875 (m) (ms - ) t ] u y b P= 8 (kgms - ) t u x + 6 (kgms - ) t u y 18 P=ρv cos θ 19 r CM = [0.086 (m) (ms -1 ) t] u x + [0.05 (m) (ms -1 ) t] u y 0 a F= 36 (N) u x (Ns -1 ) t u y b τ O = [-88 (kgm s -5 ) t (kgm s -4 ) t ] u z c p= [36 (kgms - ) t - 36 (kgms -1 )] u x -7 (kgms -3 ) t ] u y l O = [-7 (kgm s -5 ) t (kgm s -4 ) t 3 ] u z 1 L O = 48 u z (kgm s -1 ) L O = 14.4 u z (kgm s -1 ) Mr CM v CM =33.6 u z (kgm s -1 ) L O (t=0s)= L O (t=1s)= 90 u z (kgm s -1 ) 3 v p = (ms -1 ) 4 a v 1 = 10 u x (ms -1 ) v = -4 u x +6.9 u y (ms -1 ) b v CM =1.6 u x u y (ms -1 ) c v 1CM =8.4 u x u y (ms -1 ) v CM =-5.6 u x +.77 u y (ms -1 ) d p 1CM =16.8 u x -8.31u y (kgms -1 ) p CM =-16.8 u x +8.31u y (kgms -1 ) e v 1 = v 1CM = 14 u x -6.9 u y (ms -1 ) f µ=1. kg g y=1.96 (m)+.6x, z=1.6 m h L O =-8.3 u x u y u z (kgm s -1 ) i L O =-41.5 u x -4 u y u z (kgm s -1 ) j Mr CM v CM ==33. u x +1.8 u y u z (kgm s -1 )

18 5 a b L L& O O 1 = v0mgcosα t = v mgcosα t u 0 z u z c τ O = v mgcosα t u 0 z 6 W=477.7 J P media =10.6 W 7 8 vm a = v b t t m m m 1 = 9 30 a W b No a 8 = 9 K I v0 d = µ C g b d=43.68 m de dt 31 = µ mg cosα[ senα µ cosα ]t c c 3 a W=-6.5 J b W=0.3 J c W=0 J d W=-6. J e v=1.63 ms -1 f d=3.7 m

19 33 - E=1360 J 34 a W=-1190 J b W=886.8 J 35 µ C = a µ c =0.3 b W=-1.37 J 37 E p =166.7 J 38 a W=-45 J b P media =-75 W c E k =-45 J d E p =45 J e E p =47 J α=48.19º 41 v=8.7 ms -1 4 a h min =.5R b v=35 ms -1 a r =-49 ms - a t =9.8 ms - c 43 1 a E k = Mv 6 b v=3.9 ms -1 c E k,r =0.6 J E k,e =0.4 J

20 44 a b F r r0 ( r) = V0 r0 e V F( r0 ) = er 0 0 u r 1 r 1 + rr 0 u r 45 a Ep x b F=Fu x : F>0 si x<0, F<0 si 0<x<, f>0 si <x c E<4 movimiento limitado espacialmente si y sólo si -1<x inicial < E>4 movimiento limitado espacialmente d x=0 (equilibrio estable) y x= (equilibrio inestable) 46 a v=3.55 ms -1 b µ C = M 49 v = 5gl m