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Transcripción

1 Univ. de Alcalá. Estadística Dpto. de Física y Matemáticas Grado en Biología Sanitaria Examen final. Martes, 20 de Enero de Apellidos: Nombre: INSTRUCCIONES (LEER ATENTAMENTE). Puedes descargar este examen en pdf desde esta dirección (busca el enlace Dropbox en la parte inferior de la página): El profesor te dirá la clave que necesitas para la descarga. Este examen representa cuatro puntos (sobre 10) de la nota final. La parte escrita del examen vale dos puntos y el cuestionario los dos restantes. Parte escrita: Debes contestar a la parte escrita en las hojas aparte que te vamos a entregar. IMPORTANTE: Debes entregar cada pregunta de esta parte en una hoja (o varias) aparte, para que puedan corregirse por separado. No mezcles dos preguntas en la misma hoja. Tu respuesta debe ser detallada, explicando con claridad los pasos que te conducen al resultado. Las respuestas numéricas sin explicaciones claras no se puntuarán. Para poder optar a una matrícula de honor, debes elegir al menos uno de los apartados opcionales que se indican. Puedes hacer tantos de estos apartados como quieras. Cuestionario: anota en la tabla de esta hoja todas las respuestas del cuestionario. ANOTA AQUÍ TUS RESPUESTAS AL CUESTIONARIO. Si te equivocas, puedes tachar e indicar la respuesta correcta debajo de la tabla. Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

2 Cuestionario. 1. Dada esta tabla de frecuencias de un conjunto de datos: Frecuencias calcula su varianza. Escribe tu respuesta con cuatro cifras significativas. 2. Los sucesos A y B, cumplen: ( ) 17 P (A) = 60 P (B) = ( ) P (A B) = ( ) Calcula la probabilidad del complementario de A B. Utiliza 4 cifras significativas en tu respuesta. 3. Los sucesos B 1,..., B n, donde n = 3 tienen estas propiedades: Son incompatibles dos a dos. Su unión es Ω, el espacio muestral completo. Además las probabilidades de los sucesos B i son, respectivamente: ( 11 56, 30 56, 15 ) 56 Mientras que las probabilidades condicionadas P (A B 1 ),..., P (A B n ) son: ( 21 28, 17 28, 8 ) 28 Calcula la probabilidad P (A). Utiliza 4 cifras significativas en tu respuesta. 4. La función de densidad f(x) de la variable aleatoria continua X es igual a 5 sen(10 x) si 0 x π 10 y es igual a 0 en otro caso (no es necesario que compruebes que f es una función de densidad). Calcula la varianza σx 2 de la variable aleatoria X. Usa 4 cifras significativas en tu respuesta. 5. Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución Chi cuadrado con 30 grados de libertad. Calcula el valor x de X tal que 0.9 = P (X < x ) 6. La variable aleatoria X es binomial, de tipo B(13, 0.6). Calcula la probabilidad P (4 X < 6). Escribe tu respuesta con 4 cifras significativas.

3 7. La variable aleatoria X es normal (y se desconoce su varianza). Se ha obtenido una muestra de tamaño 92, con media muestral X = 27.8, y cuasidesviación típica muestral s = Calcula el extremo superior b de un intervalo de confianza (a, b) para la media µ X, con un nivel de confianza del 95 %. 8. La variable aleatoria X es normal (y se desconoce su varianza). Se ha obtenido una muestra de tamaño n = 14, con media muestral X = y cuasidesviación típica muestral s = Se desea contrastar la hipotesis nula: H 0 : µ X = µ 0 siendo µ 0 = Hallar el p-valor de este contraste. Utiliza 4 cifras significativas en tu respuesta. 9. La variable aleatoria X es normal. Se ha obtenido una muestra de tamaño n=66 y cuasivarianza (varianza muestral) s 2 = Se desea contrastar la hipótesis nula: H 0 = {σ X = σ 0 } siendo σ 0 = Hallar el p-valor de este contraste. 10. Calcula la pendiente de la recta de regresión lineal para el conjunto de puntos cuyas coordenadas x son: (2.6, 3.31, 3.43, 5.93, 6.49, 9.03, 11.7, 17.6) y cuyas respectivas coordenadas y son: (0.186, 2.42, 2.91, 6.9, 11.5, 11.5, 18.7, 29.5)

4 PARTE ESCRITA (RECUERDA QUE DEBES ELEGIR DOS EJERCICIOS) 1. El spam constituye un problema grave para cualquier sistema de comunicación en la red. Por esa razón se han desarrollado muchos sistemas de filtrado antispam, que en su mayoría se basan en métodos estadísticos. El objetivo de uno de estos sistemas es predecir si los mensajes son spam o no, con un grado alto de fiabilidad. Para hacer esto, los sistemas analizan características de los mensajes y tratan de identificar aquellas que distinguen los mensajes spam de los que no lo son. Por ejemplo, podemos preguntarnos si la aparición de números en el mensaje afecta a la probabilidad de que el mensaje sea spam. Hemos obtenido una muestra de 3921 mensajes de correo electrónico. La siguiente tabla de doble entrada contiene parte de la información de cuantos de esos mensajes son spam, y en cuantos de ellos aparece algún número. Con número Sin número Total Spam 149?? 367 No spam?????? Total???? 3921 a) Sabemos además que si elegimos al azar uno de los mensajes que no contiene números, la probabilidad de que no sea spam es igual a Completa la tabla b) Supongamos que se eligen al azar, de forma independiente y con reemplazamiento, 10 mensajes de esa muestra. Cuál es la probabilidad de que al menos 4 de ellos contengan spam? Por otro lado, cuántos mensajes debemos elegir como mínimo para que la probabilidad de que al menos uno de ellos sea spam supere el 50 %? c) Opcional, se tendrá en cuenta para asignar las Matrículas de Honor. Si se elige un mensaje al azar de la muestra, calcula las posibilidades (odds) a favor de que sea spam. Calcula también las posibilidades a favor de que contenga números. Supongamos que usamos la presencia de números como una prueba diagnóstica. Cuál es la sensibilidad de esta prueba? Cuál es su especificidad? Calcula los valores predictivos positivo y negativo de la prueba, la probabilidad de cometer un falso positivo y un falso negativo y la razón de verosimilitud positiva de la prueba. Úsala para calcular las posibilidades (post-prueba) a favor de que un mensaje que contiene números sea de tipo spam. 2. Una empresa de bollería fabrica unos pasteles que contienen dos ingredientes que aportan grasas al producto final (además, esos son los únicos ingredientes que aportan grasas). La cantidad (por 100 gramos) de grasas del primer ingrediente sigue una distribución normal de tipo N(12.2, 3.4). La cantidad de grasa (por 100 gramos) del segundo ingrediente sigue una distribución de tipo N(8.3, 2.1). Cada pastel debe contener 40 gramos del primer ingrediente y 25 gramos del segundo. a) El fabricante sospecha que algo ha ido mal en el proceso de fabricación y que el contenido en grasas es mayor de lo que debería ser. Para comprobarlo hemos tomado una muestra de 200 pasteles y hemos encontrado que la cantidad media de grasas que contienen es de 7.1 gramos. Confirman esos datos las sospechas del fabricante? Haz un contraste al 95 % de significación. b) Opcional, se tendrá en cuenta para asignar las Matrículas de Honor. Calcula la potencia del contraste que has realizado, usando un tamaño del efecto igual a δ = (a) Se realiza un estudio sobre el nivel de colesterol medio en los individuos de dos poblaciones costeras, una situada en el litoral Cantábrico (Cudillero) y otra en el Mediterráneo

5 (Altea). Se toman muestras aleatorias de tamaño 6 en cada una de las poblaciones y se analiza el colesterol total de cada individuo de la muestra. Los resultados son los que se indican en la tabla que hay a continuación. Cudillero Altea Analiza las posibles diferencias entre el colesterol medio en ambas poblaciones. (b) Opcional, se tendrá en cuenta para asignar las Matrículas de Honor. Conocidos los resultados del apartado anterior, se decide ampliar el estudio añadiendo una muestra tomada en una localidad del interior (Calasparra). Calasparra Analiza las posibles diferencias entre el colesterol medio en los individuos de las tres poblaciones. 4. La siguiente tabla recoge las medidas de altura (en cm) y peso (en kg) de un grupo de mujeres. altura peso Puedes usar estos comandos de R para generar esos mismos valores y no tener que copiarlos a mano. Los comandos deben funcionar en cualquier instalación de R. Si tienes problemas para generar los datos, avisa a tu profesor. data(women) altura = women$height * 2.54 peso = women$weight * 0.45 (a) Con esos datos calcula la media, cuasidesviación típica, la mediana y el rango intercuartílico de cada una de las variables. Hay algún valor atípico? Calcula también la covarianza de ambas variables, y la recta de regresión, usando la altura como variable independiente x, y el peso como variable dependiente y. Calcula el coeficiente de correlación.

6 (b) A la vista del diagrama de dispersión, se ha propuesto una ecuación de la forma y = a x b para estos datos, donde a y b son constantes, y como antes x =altura, y =peso. Puedes calcular el valor de a y b? Indicación: toma logaritmos en ambos lados de la ecuación y haz un cambio de variable, llamando x = ln(x), ỹ = ln(y) para obtener la ecuación de una recta. En R, la función log calcula el logaritmo neperiano. Cuál de los dos modelos produce un coeficiente de correlación más alto? (c) Opcional, se tendrá en cuenta para asignar las Matrículas de Honor. Calcula un intervalo de confianza para la pendiente de la recta del apartado (a). Calcula también un intervalo de predicción para el peso cuando la altura es de 165cm. 5. Este ejercicio tiene dos apartados. a) La duración en minutos de una llamada telefónica típica viene dada por una variable aleatoria continua cuya función de densidad es 1 2 f(x) = 3 e 2x/3 1 3 e x/3 si x > 0, 0 en otro caso. Calcula la duración media y la desviación típica de esa duración. Calcula la probabilidad de que la duración de la llamada esté entre 3 y 6 minutos. Si una llamada dura más de tres minutos, Cuál es la probabilidad de que no pase de los seis minutos? b) Cuatro jugadores, a los que llamaremos A, B, C y D juegan a un juego. Hay una urna que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras. Los jugadores A, B C y D extraen una bola cada uno por orden (empieza A, sigue B), sin reemplazamiento. El primer jugador que extraiga una bola blanca gana 10 euros. Inicialmente supongamos que los jugadores no ponen dinero. Calcula el valor esperado de la ganancia de cada uno de esos jugadores. Ahora, si son los jugadores los que ponen el dinero, qué cantidad deben poner cada uno de ellos al principio de la partida para que el juego resulte justo para todos y cada uno de ellos?