UNIDAD N 1: Conjuntos Numéricos

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1 UNIDAD N 1: Conjuntos Numéricos Contenidos: Conjuntos numéricos: Naturales, Enteros, Racionales (como razón y como número decimal), Irracionales y Reales. Lenguaje coloquial y simbólico. Intervalos. Opuesto de un número Real. La raíz cuadrada. Propiedades de las operaciones con números Reales. SITUACIÓN 1: Un día en la vida de Ernesto. 1) Completa la siguiente tabla marcando con una X el/los conjunto/s numérico/s al/a los que pertenecen algunos de los números del relato. Hágalo a partir de lo que recuerda. No importa si es correcto o no, ya tendrá oportunidad de chequear sus respuestas más adelante. NUMERO N Z Q R 6 0 1

2 NUMERO N Z Q R -7 67,80-29, ᴨ 2) De acuerdo con sus respuestas al ejercicio anterior, reflexione acerca de: NOTAS Y OBSERVACIONES N 1: Conjunto de los números naturales, enteros y racionales. El conjunto de los números naturales (N) está formado por todos los números enteros positivos (en la tabla anterior:6 y ). Si ampliamos este conjunto para incluir también a los números enteros negativos y al cero, formamos el conjunto de los números enteros (Z). Los números 6, 0, -7, y de la tabla pertenecen a éste conjunto. Para representar geométricamente a estos números utilizamos una recta en la que ubicamos al cero, elegimos una unidad y la repetimos a la derecha e izquierda del cero (conservar escala) de modo que a cada número entero le corresponda un punto de la recta: Al conjunto formado por todos aquellos números que pueden expresarse como cociente entre dos números enteros (con divisor distinto de cero) se denomina conjunto de los números racionales y se lo identifica con la letra Q. En lenguaje simbólico, todo número racional es un cociente al número a, y DENOMINADOR al número b. en el que a, b ϵ Z y b 0. En esta expresión llamamos NUMERADOR Los números enteros también forman parte del conjunto Q ya que cualquiera de ellos puede expresarse como un cociente entre dos números enteros. Por ejemplo: 5 = = = = Observe que todos los cocientes anteriores representan al mismo número racional. Una fracción cualquiera puede asociarse a un único número racional, aunque cada número racional se puede representar mediantes distintas fracciones. Estas fracciones reciben el nombre de FRACCIONES EQUIVALENTES. También podemos expresar a todo número racional en forma decimal, dividiendo el numerador por el denominador. Por ejemplo: = 0,5 = 0,75 = 6,25 En algunos casos su expresión decimal puede ser periódica (a partir de un cierto momento un subconjunto de dígitos de su mantisa se repite infinitamente). Por ejemplo: 5 = = 5, = 5, = 0, = 0, = 0, = 0, 2 Puede probarse que todo número racional posee un desarrollo decimal finito (su mantisa consta de un número finito de dígitos) o bien periódico. 2

3 En la tabla que usted completó, los números 6; 0; ; -7; 67,80; -29,4; 1 ; y son números racionales. Del mismo modo que lo hemos hecho con los conjunto N y Z, podemos representar a los números racionales sobre una recta de modo que a cada numero racional le corresponda un punto de la misma. 3) Escriba la expresión decimal de cada uno de los números racionales de la tabla. Señale cuánto vale el período en cada caso. 4) Utilizando la calculadora escriba la expresion decimal del número de la tabla. Qué característica tiene esta expresión? Compárela con la de los números racionales que escribió en el item anterior. 5) Realice lo pedido en las siguientes consignas y responda la pregunta planteada en cada caso: a- Cuántos números enteros hay entre los números 2 y 5? b- Calcule el promedio entre 2 y 5. c- Si ubicamos en la recta numérica los tres números que intervienen en lo pedido en el item b, Cómo queda ubicado el promedio entre 2 y 5 respecto de la ubicación de los números 2 y 5? d- Calcule el promedio entre 2 y el número obtenido en el item b. Ubique este número en la recta numérica. Cómo queda ubicado respecto de los números 2 y 5? e- Calcule el promedio entre 2 y el número obtenido en el item d y ubíquelo sobre la recta numérica. Cómo queda ubicado respecto de los números 2 y 5? f- Cuántas veces podríamos repetir el procedimiento realizado en los items b, d, y e? Es decir, Cuántas veces podriamos calcular el promedio entre 2 y el numero obtenido al calcular el promedio anterior? Dónde quedarían ubicados en la recta numérica los números obtenidos en cada oportuniad respecto de los numeros 2 y 5? g- Por lo tanto, Cuántos numeros racionales podemos encontrar entre 2 y 5? NOTAS Y OBSERVACIONES N 2: Conjuntos discretos y conjuntos densos. Entre los números 2 y 5 hay dos números enteros: 3 y 4. Entre dos número enteros cualesquiera siempre hay un número FINITO de números enteros. Por esta razón decimos que los conjuntos N y Z son CONJUNTOS DISCRETOS. Como habrá observado, el procedimiento propuesto por el ejercicio 5 puede repetirse indefinidamente. En todos los casos, el promedio obtenido es un número racional y su ubicación en la recta numérica es un punto que se encuentra entre los puntos correspondientes a los números 2 y 5. Por lo tanto podemos encontrar INFINITOS números racionales entre los números 2 y 5. Si extendemos lo observado respecto de estos dos números a cualquier otro par de números racionales, podemos decir que: entre dos números racionales distintos cualesquiera existen INFINITOS números racionales. Por esta razón, el conjunto de los números Q es un CONJUNTO DENSO. NOTAS Y OBSERVACIONES N 3: Conjunto de números Irracionales (I). Conjunto de números Reales (R). Conjuntos continuos. 3

4 6) El conjunto Q, es continuo? Por qué? 7) El conjunto R, es denso? Por qué? 8) Escriba la expresión decimal de los números y. Indique el período en cada caso. 9) Escriba la expresión fraccionaria de los números 0,4 ; 0, ; 0,9 ; 0,. NOTAS Y OBSERVACIONES N 4: Formas de expresión de los números racionales. Tal como fue dicho en las NOTAS Y OBSERVACIONES N 1, podemos expresar a cualquier número racional en forma fraccionaria o decimal. En los ejercicios 8 y 9 le pedimos que pase de una forma de expresión a otra. Para resolver lo pedido en el ejercicio 8, es suficiente con realizar la división entre el numerador y el denominador de la fracción. Para resolver lo pedido en el ejercicio 9 puede guiarse de los siguientes ejemplos: 0,5 = = 0,25 = = 0,2 = = 0, = = 1, = = = Fracciones Irreducibles (no se pueden simplificar) 10) Analice cada una de las siguientes frases para decidir si es V o F. Para aquellas que considere falsas, escriba un ejemplo que lo demuestre. a- La expresión a representa un número negativo. b- El opuesto del número a es el número a. c- El opuesto de número siempre es un número negativo. d- El inverso del numero a es el número a (recuerde que si a un número se lo multiplica por su inverso se obtiene 1). e- La distancia entre un número real y 0 es 5, entonces ese número es 5. NOTAS Y OBSERVACIONES N 5: Opuesto de un número real. A partir de ésta presentación, revise sus respuestas al resto de los ítems del ejercicio 10. 4

5 11) En qué casos la expresión a representa a un número positivo? Y a un número negativo? 12) Ubique en la recta numérica los números a, b y 0: 13) Represente sobre la recta numérica los conjuntos de números indicados a continuación. Utilice una recta distinta en cada caso. a- b- c- d- e- f- g- h- i- j- 14) Identifique cuáles de los conjuntos del ejercicio 13 son discretos, y cuáles son continuos NOTAS Y OBSERVACIONES N 6: Lenguaje coloquial. Lenguaje matemático. Formas de expresión simbólica de los conjuntos numéricos. Para simbolizar al conjunto de todos los números reales menores o iguales que 3, escribimos {x ϵ R/ x 3} o (-, 3] 5

6 15) Escriba utilizando dos notaciones simbólicas distintas los conjuntos representados en el ejercicio 13 no considerados en las NOTAS Y OBSERVACIONES N 6. 16) Represente sobre la recta numérica los siguientes conjuntos de números: A= {T ϵ R / - 2 T < } B= {T ϵ Z / - 2 T < } C= [, + ) D= (- 10, - ) 17) Dados los intervalos A = [-4, 2), B = (-1, 6) y C = (-, 1) escriba como intervalo los conjuntos: SITUACION 3: Propiedades de las operaciones en R a- A B b- A B c- B C 1) Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas. En cada caso que lo sea, dé un ejemplo que lo demuestre (a éste tipo de ejemplo se lo llama contraejemplo) 2) Decida cuál de las siguientes igualdades son verdaderas y cuáles, falsas. En todos los casos a, b, c, d, x e y son números reales; m y n son números naturales. Hágalo a partir de lo que recuerda. No importa si es correcto o no, ya tendrá oportunidad de chequear sus respuestas más adelante. 6

7 NOTAS Y OBSERVACIONES N 7: Propiedades de las operaciones en R En lo que sigue, retomamos los ejercicios 1 y 2, presentamos un resumen referido a las propiedades de las operaciones en el conjunto de los números reales. Partiendo del supuesto que a, b y c pertenecen al conjunto de los números reales, en tanto que m y n pertenecen al conjunto de los números Naturales: 7

8 3) A partir de las NOTAS Y OBSERVACIONES N 7 y de la bibliografía de consulta ubicada en el ANEXO, revise sus respuestas de los puntos 1 y 2. En el caso de tener que realizar una corrección, no borre lo realizado, señalice el error y corríjalo en otra hoja, o incluso en algún sector de la misma si tiene el espacio. 4) Resuelve los siguientes cálculos combinados, aplica propiedades cuando sea posible: 4. a. : = 4. b. + : 7 (185 - ) 0 = 4. c. + - = 8