CÁLCULO DIFERENCIAL. b) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) crecen cada vez más

Transcripción

1 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: CÁLCULO DIFERENCIAL Una función f(x) tiene por límite L en el número real x = c, si para toda sucesión de valores x n c del dominio que tenga por límite c, la sucesión de los valores correspondientes, f(x n ), tiene por límite L. (L puede ser un número real,. Se simboliza: Límites laterales: L es el límite de f(x) por la derecha (izquierda) de c si, para toda sucesión de valores x n c, del dominio que se acercan a c por la derecha (izquierda) la sucesión de los valores correspondientes, f(x n ), tiene por límite L. Se simbolizan: Si los límites laterales son iguales existe el límite de la función en el punto. LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO 1) Cuando x + la función puede comportarse de diferentes formas: a) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) se aproximan al número c b) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) crecen cada vez más c) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) son cada vez más negativos d) Al darle a x valores suficientemente grandes, los valores de f(x) oscilan 2) Cuando x - la función puede comportarse de las mismas formas anteriores. OPERACIONES CON LÍMITES: Si f(x) L (se lee límite de f(x) cuando x tiende a c es L ) y g(x) M, se verifica: f(x) + g(x) L + M f(x) g(x) L M f(x) / g(x) L / M f(x) g(x) L M Los límites son indeterminados si no se pueden calcular directamente haciendo los límites de cada término y operando, esto no quiere decir que no existan. Son indeterminaciones: CÁLCULO DE LÍMITES EN EL INFINITO: Potencias: si n > 0 Polinomios: Página 1

2 Cociente de polinomios: Cociente de otras expresiones infinitas: Utilizamos Diferencia de expresiones infinitas: o Si se puede efectuar la operación, primero la hacemos y luego hallamos el límite o Cuando hay radicales (Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada) El número e como resultado de límites de potencias: o En general para las indeterminaciones del tipo 1 tenemos la regla práctica: 2. CONTINUIDAD. Una función es continua en un punto si existe el límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto. Una función es continua en un intervalo abierto, (a, b), si lo es en cada uno de sus puntos. Una función es continua en un intervalo cerrado, [a, b], si lo es en el intervalo (a, b) y además en x = a por la derecha y en x = b por la izquierda, es decir: Página 2

3 Ejemplos: f(x) = x 2 es continua en todo f(x) = 1/x en el intervalo abierto (-1, 1) no es continua porque no lo es en x = 0 en el intervalo cerrado [0, 1] no es continua porque aunque es continua en el intervalo abierto (0, 1) porque f(x) = x 2 lo es, y continua en x = 0 por la derecha porque DISCONTINUIDADES. Una función es discontinua en x = a, si no cumple alguna de las condiciones de continuidad. Las discontinuidades se clasifican según la condición de continuidad que no se cumpla Existen tres tipos de discontinuidades: o Evitables: o 1ª especie o salto (finito o infinito), según que la diferencia entre los límites laterales sea un número real o infinito. Si cumple: o 2ª especie. Si cumple: OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS: Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en un punto, x = a, entonces también lo son las funciones, f(x) g(x), k f(x) (k = constante), f(x) g(x) y f(x)/g(x) (esto último, si g(a) 0). Si y = f(x) es continua en x = a y si g(y) es continua en f(a), entonces su función compuesta g(f(x)) es continua en x = a. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES: Las funciones: constante, f(x) = k, identidad, f(x) = x, potenciales, f(x) = x n, las polinómicas, las exponenciales, f(x) = a x, con a>0 y a 1, son continuas en todo su dominio (los números reales) Las funciones racionales (cocientes de polinomios) son continuas para todos los números reales que no anulen al denominador Las funciones irracionales, f(x) =,verifican: o si n es par son continuas en el intervalo, y son continuas en x=0 por la derecha. o si n es impar son continuas en todos los números reales Las funciones logarítmicas, f(x) =, con a>0 y a 1, son continuas en el intervalo, Las funciones trigonométricas f(x) = sen x, f(x) = cos x son continuas para todos los números reales. 3.ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN. En la gráfica de una función, los tramos en los que x toma valores muy grandes o muy pequeños se llaman ramas infinitas de la función. Cuando una rama infinita se acerca indefinidamente a una recta, a esa recta se la denomina asíntota de la función. Asíntotas verticales. Página 3

4 Asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas. 4.TASAS DE VARIACIÓN Y DERIVADAS La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f(x) en el intervalo cerrado [a, b] es la variación relativa de la función f con relación a la variable x en ese intervalo, es decir: Ejemplo: T.V.M. de f(x) = x 2 en [1, 2] es: Geométricamente, la T.V.M. de f(x) en [a, b] se interpreta como la pendiente de la función en ese intervalo: m = tg (), siendo el ángulo que forma la recta secante a la función en el intervalo [a, b], con el eje OX. En el ejemplo anterior la 3. La tasa de variación instantánea de f(x) en el punto x = a es el límite de las tasas de variación media de la función en el intervalo [a, a+h], cuando h tiende a 0, es decir: Al número real obtenido se le llama derivada de la función f(x) en x = a y lo simbolizaremos por: Ejemplo: Para la función, f(x) = x 2 GEOMÉTRICAMENTE, la derivada de una función, f(x), en un punto x = a, coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto P(a, f(a)) La ecuación de la recta tangente a f(x) en x = a: será y f(a) =. (x a). DERIVADAS LATERALES La derivada por la derecha de f(x) en x = a se define: La derivada por la izquierda de f(x) en x = a se define: Para que exista la derivada de una función continua en un punto, sus derivadas laterales deben existir y ser iguales. Entonces decimos que la función es derivable en ese punto. Una función f (x) es derivable en un intervalo abierto, si lo es en cada uno de sus puntos. Definición: Si una función y= f (x) es derivable en un intervalo, la asignación a define en él una nueva función que se llama función derivada de f (x) y se denota por y = Página 4

5 DERIVADAS SUCESIVAS. Dada una función derivable, f (x), podemos hallar su función derivada, y =. Muchas veces esta nueva función es también derivable, y a su función derivada se la llama derivada segunda de f (x) y se denota y = Este razonamiento podemos repetirlo para definir la derivada tercera, cuarta,..., n-ésima de f(x) que simbolizamos,, f 4) (x),..., f n) (x), respectivamente. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD: Teorema: Si una función es derivable en un punto x = a la función) es continua en x = a Observación: el teorema recíproco no es cierto. Comprobarlo para la función,. Consecuencias: - Si f (x) NO es continua en x = a f (x) NO es derivable en x = a - Si f (x) es continua en x = a será derivable en x = a si existen las derivadas laterales y son iguales. REGLAS DE DERIVACIÓN. DERIVADA Suma o diferencia de funciones Producto de un número por una función Producto de funciones Cociente de funciones Regla de la cadena TABLA DE DERIVADAS: f, g son funciones; a es un número Función constante Función identidad Función potencial Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Función potencial-exponencial Funciones trigonométricas Página 5

6 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA. Calculo de la recta tangente a la gráfica de una función y = f (x), en el punto de coordenadas (a, f (a)):.por ejemplo el perfil de una carretera viene definido por la función,. Qué señal aparecerá en el km 9? Cuál es la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto? Aparecerá el 17%, la ecuación de la recta tangente a la curva en ese punto será: Monotonía de una función: Si f (x) es derivable en un punto x=a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de la derivada, pues se verifica: Si (a) > 0 la función es estrictamente creciente en el punto x = a Si (a) < 0 la función es estrictamente decreciente en el punto x = a Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función vienen determinados por los puntos en que la derivada primera cambia de signo, por eso para estudiar en la práctica la monotonía seguiremos los siguientes pasos: 1) Hallamos los puntos donde la función no sea derivable y los puntos en que la derivada es cero. Estos puntos nos dividen el dominio en intervalos. 2) Estudiamos el signo de la derivada de f (x) en cada uno de los intervalos hallados. Máximos y mínimos relativos o extremos relativos o puntos críticos: Definición: Una función f (x) tiene en el punto P(a, f(a)) un máximo relativo, si existe un entorno de a, en el que se verifica para todo x a de dicho entorno. Definición: Una función f (x) tiene en el punto P(a, f (a)) un mínimo relativo, si existe un entorno de a, en el que se verifica para todo x a de dicho entorno. Los máximos o mínimos relativos se llaman también extremos relativos o puntos críticos. Teorema: Sea f (x) una función definida en el intervalo abierto (a, b), si f (x) alcanza un máximo o un mínimo en un punto, y es derivable en dicho punto, entonces (es decir la recta tangente en ese punto es paralela al eje OX). El teorema recíproco es falso. Por ejemplo f (x) = x 3 verifica tiene ningún extremo relativo en x = 0. y no Este teorema nos da una condición necesaria, pero no suficiente, para que en x = c la función tenga un extremo relativo. En la práctica podemos utilizar dos criterios para determinar los extremos relativos: Página 6

7 Criterio de la derivada 1ª: Al estudiar la monotonía, analizamos los cambios de crecimiento de la función: o Si f (x) es creciente a la izquierda de x = a, es decir derecha ( en x=a, f (x) tiene un máximo relativo. y decreciente a la o Si f (x) es decreciente a la izquierda de x = a ( en x=a, f (x) tiene un mínimo relativo. y creciente a la derecha Criterio de la derivada 2ª: Dada una función derivable en x = a, al menos dos veces, si, sabemos que en x=a, f (x) tiene un posible extremo relativo. Entonces se verifica: - Si en x = a, f (x) tiene un máximo relativo. - Si en x = a, f (x) tiene un mínimo relativo. Resumiendo, los extremos relativos de una función los podremos encontrar: 1) En los puntos donde no sea derivable (aplicando la definición) 2) En los puntos donde es derivable y la derivada 1ª sea nula. Optimización: Optimizar un proceso es conseguir que una magnitud sea lo mayor o lo menor posible sujeta a unas condiciones. Los problemas de optimización tienen como objetivo hallar el máximo ó mínimo absoluto de una función en una región. Definición: El máximo (mínimo) absoluto de una función es el mayor (menor) valor que toma dicha función en su dominio. Es decir, si f (x) es una función definida en un intervalo, I, que contiene al punto a. Se dice que f (a) es el máximo absoluto de f (x) en I si f (a) f (x), para todo x del intervalo I. Análogamente, diremos que f (a) es el mínimo absoluto de f (x) en I si todo x del intervalo I. En un intervalo cerrado, I = a, b, hallaremos los extremos absolutos así: f (a) f (x), para 1) Si f (x) es derivable en (a, b) hallamos las soluciones, x 1, x 2,..., de la ecuación f (x) = 0 y calculamos, f (a), f (b), f (x1), f (x2),... El mayor de los números de esta lista es el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto 2) Si f (x) es continua pero no derivable en algún punto d del intervalo, añadimos f (d) a la lista de antes. Curvatura: Definición: Una función, f (x), se dice que es cóncava hacia arriba en un punto x = a, - se simboliza - (o cóncava hacia abajo en un punto x = a, ) si en un entorno de dicho punto la gráfica de la función está por encima (o por debajo) de la recta tangente en el punto (a, f (a)) Página 7

8 Criterio de curvatura: Dada una función derivable en x = a, al menos dos veces. Se verifica: - Si f(x) es cóncava hacia arriba en el punto - Si f(x) es cóncava hacia abajo en el punto. En la práctica estudiaremos los intervalos de curvatura siguiendo los siguientes pasos: 1) Hallamos los puntos donde la función no sea derivable y los puntos en que la derivada segunda es cero. Estos puntos nos dividen el dominio en intervalos. 2) Estudiamos el signo de la derivada segunda de f (x) en cada uno de los intervalos hallados. Definición: Los puntos de la gráfica donde la concavidad cambia de sentido se llaman puntos de inflexión. En los puntos de inflexión la recta tangente atraviesa la gráfica Criterio para determinar puntos de inflexión: Si una función, f (x), es derivable al menos 3 veces en un punto (a, f (a)), si se verifica: y entonces la función tiene en x = a un punto de inflexión. Regla de L Hôpital: Dadas dos funciones reales f (x) y g (x) que cumplen: Este teorema nos permite resolver el caso de indeterminación y sigue siendo válido en el caso de indeterminación. En ambos casos a se puede sustituir por cualquiera de los símbolos a +, a -, a, +, - El resto de indeterminaciones se pueden trasformar en una de las dos anteriores y luego, si es posible, aplicamos el teorema de L Hôpital, como sigue: o La indeterminación del producto, 0, la resolvemos pasando el producto a cociente. o La indeterminación de la suma,, la resolvemos haciendo la diferencia. o Las indeterminaciones de las potencias, 1, 0 0, 0, las resolvemos tomando logaritmos: Siendo y = f (x) g (x) se verifica ln y = g(x) lnf(x) Página 8