PARTE SEGUNDA: INFERENCIA ESTADÍSTICA

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1 ESTADÍSTICA II PARTE SEGUNDA: INFERENCIA ESTADÍSTICA TEMA III: INTRODUCCION A LA INFERENCIA III..- Itroduccó III..- La eleccó de la muestra. Tpos de muestreo III.3.- Muestreo aleatoro smple. Estadístcos y dstrbucoes muestrales. III.3..- Cocepto de dstrbucó muestal III.3..- Mometos de las dstrbucoes muestrales.

2 Itroduccó a la fereca III..- Itroduccó E la práctca, co frecueca, estamos teresados e etraer coclusoes váldas respecto a u grupo grade de dvduos u objetos. Por ejemplo: porcetaje de torllos defectuosos producdos e u máqua durate ua semaa; gasto e almetacó de las famlas españolas; coefcete telectual de los uverstaros españoles, etc... S embargo, cosultar al grupo etero, a la poblacó, puede resultar dfícl o mposble ya sea por: a) Ser vable ecoómcamete por su elevado coste. b) El tempo requerdo para el estudo es muy grade y hasta es posble que las característcas de la poblacó varíe durate el tempo de estudo. c) Cuado el estudo mplca la destruccó del elemeto, como la vda meda de ua determada peza. d) Precsó, los datos de ua muestra puede coteer meos errores y estos e su caso ser más fácles de detectar y corregr que los datos de toda la poblacó. Por ello, e lugar de realzar u ceso, es decr, eamar a todos los elemetos de la poblacó, eamamos solamete ua parte de esta poblacó deomada muestra, que debe ser represetatva de la poblacó co el propósto de ferr las característcas de la msma a partr de los resultados hallados e la muestra a través de u proceso deomado "fereca estadístca", que cosste e geeralzar a la poblacó la formacó obteda de la muestra.

3 ESTADÍSTICA II Los valores obtedos a partr de la formacó de ua muestra, tales como la meda, la desvacó típca, etc... se deoma estadístcos, metras que a cualquera de esos valores obtedos e ua poblacó se les deoma parámetro. Es decr, s estamos estudado la estatura meda de ua poblacó y dspoemos de todos las estaturas de la poblacó, la meda obteda a partr de esta formacó es la meda poblacoal. Esta meda es úca, solo este u valor. S embargo, s osotros o teemos la estatura de todos los membros de la poblacó, so solo de ua parte de ellos, de ua muestra, la meda que obteemos co estos datos es u estadístco. Obsérvese que al seleccoar dos muestras de ua poblacó ambas o tee por que ser guales, e cosecueca, la meda de cada ua de ellas o tee por que ser gual. Por tato, los cálculos que hacemos co los datos de ua muestra depede de la muestra seleccoada. E cosecueca, los parámetros so característcas de la poblacó y so fjos, y los estadístcos so característcas de las muestras y so varables, so varables aleatoras. III..- La eleccó de la muestra. Tpos de muestreo U puto clave e el proceso de fereca es la eleccó de la muestra, es decr, qué elemetos so los que formará parte de la muestra, pues la forma de hacer la fereca y las propedades de ésta depederá de la maera e que u elemeto es seleccoado o o para formar parte de la muestra. Para poder etraer coclusoes sobre la poblacó a partr de ua muestra, ésta debe ser "represetatva" de dcha poblacó. Ello se cosgue seleccoado los 3

4 Itroduccó a la fereca elemetos que compoe la muestra sguedo ua determada técca de obtecó de muestras. E estas téccas u elemeto comú es el compoete aleatoro. Podemos decr que ua muestra es aleatora cuado los elemetos de la poblacó que etra a formar parte de la msma so elegdos de forma aleatora. Formalmete dremos que ua muestra es aleatora cuado la forma de seleccoar la msma permte coocer la dstrbucó de probabldad de la muestra geérca, así como todas sus dstrbucoes codcoadas. Tpos de muestreo a) Muestro Aleatoro Smple: Decmos que ua muestra es aleatora smple cuado: () cada elemeto de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdo, () las observacoes se realza co reemplazameto, de maera que la poblacó es détca e todas las etraccoes. b) Muestreo Sstemátco: Sea la poblacó de tamaño N y queremos obteer ua muestra de tamaño. Sea k el etero más prómo a N/. La muestra sstemátca se obtee elgedo al azar medate muestreo aleatoro smple u elemeto etre los k prmeros tal como. El resto de los elemetos muestrales vedrá dado por +k, +k,... c) Muestreo Estratfcado: E ocasoes dspoemos de formacó a pror sobre la poblacó que podemos teer e cueta al seleccoar la muestra. Por ejemplo, cuado coocemos que los elemetos de la poblacó so heterogéeos respecto a la edad y queremos que la muestra cotega ua proporcó aáloga a la de la poblacó 4

5 ESTADÍSTICA II podemos, para cosegurlo, utlzar el muestreo estratfcado. Este muestreo se caracterza por dvdr los elemetos de la poblacó e clases o estratos y tomar por muestreo aleatoro smple o sstemátco, por ejemplo, detro de cada estrato u úmero determado de elemetos. S este k estratos de tamaño N, N,...,N k tales que NN +...+N k tomamos e cada estrato u úmero de elemetos determado. S por ejemplo e la poblacó este u 40% de persoas meores de 8 años, u 0% de edades compreddas etre los 8 y los 40 años y el 40% restate co edades superores a los cuareta años reproducmos estos porcetajes e la muestra. Por tato, cada estrato se caracterza por ser homogéeo respecto a los elemetos que lo compoe. d) Muestreo por Coglomerado o Cluster: E ocasoes la poblacó se ecuetra agrupada de forma atural e grupos o coglomerados. Por ejemplo, la poblacó española se dvde e provcas. S podemos supoer que cada grupo o coglomerado es ua muestra represetatva de la poblacó total respecto a la varable que se estuda, podemos seleccoar alguos de estos coglomerados al azar y detro de ellos tomar todos sus elemetos o ua muestra aleatora smple. Al cotraro que e el muestreo estratfcado, dode se espera que los estratos sea homogéeos e s y heterogéeos etre s, cuado muestreamos por coglomerados estos debe ser lo más homogéeos posble etre ellos y lo más heterogéeos posble detro de ellos. 5

6 Itroduccó a la fereca Por ejemplo, deseamos tomar ua muestra de la poblacó española para estudar la proporcó de persoas que está de acuerdo co ua determada ley socal. S supoemos que la edad y el seo puede flur e la opó deberíamos tomar ua muestra que reproduzca las proporcoes poblacoales respecto a estas varables, es decr, debemos tomar ua muestra estratfcada. Además, s podemos supoer que las provcas españolas so homogéeas respecto a la opó e vez de muestrear e todas ellas puede ahorrarse muchos costes seleccoado al azar u úmero de provcas 3 ó 4 y, detro de cada ua de ellas ua muestra aleatora o mejor estratfcada por las razoes ya epuestas. III.3.- Muestreo aleatoro. Estadístcos y dstrbucoes muestrales Para seleccoar ua muestra por este método e ua poblacó fta se umera los elemetos de la poblacó de a N y se toma úmeros aleatoros de tatas cfras como tega N. El valor del úmero aleatoro dcará el elemeto a seleccoar. E ua muestra aleatora smple, cada observacó tee la dstrbucó de probabldad de la poblacó de forma que, s deotamos por,,... a los elemetos de la muestra, todos so varables aleatoras depedetes dstrbudas détcamete co dstrbucó de probabldad f(). Por tato, su dstrbucó cojuta defda como el producto de las fucoes de desdad dvduales será: P(,,..., ) f( ).f( )...f( ) 6

7 ESTADÍSTICA II por las propedades vstas e temas y asgaturas aterores. III.3..- Cocepto de dstrbucó muestral Ua dstrbucó muestral es ua dstrbucó de probabldad de u estadístco muestral. S cosderamos todas las muestras posbles de tamaño que puede etraerse de la poblacó y, para cada muestra calculamos u determado estadístco (meda, varaza, etc...) obteemos así la dstrbucó de este estadístco que es la dstrbucó muestral. Ejemplo: Sea ua poblacó formada por 5 elemetos tales como: {0, 3, 6, 3, 8}. Determar la dstrbucó muestral de la meda para muestras de tamaño 3. Número posble de muestras s reemplazameto: N N! CN, ;!(N - )! 5 3 5! 3!! 0 Muestras {0,3,6} {0,3,3} {0,3,8} {0,6,3} {0,6,8} {0,3,8} {3,6,3} {3,6,8} {3,3,8} {6,3,8} Meda muestral

8 Itroduccó a la fereca Dstrbucó muestral de la meda Probabldad 0, 0, 0, 0, 0, 0, E este caso, el estadístco muestral ha sdo la meda de cada muestra y, por tato, obteemos la dstrbucó muestral de la meda. S embargo, podría ser cualquer estadístco como la varaza y de esta forma podríamos obteer la dstrbucó muestral de la varaza. III.3..- Mometos de las dstrbucoes muestrales El desarrollo de este apartado se puede ver esquematzado e el cuadro III.. Es coveete que el alumo sga este esquema a medda que vaya estudado los dsttos putos de este epígrafe, para de este modo teer ua dea más globalzada del msmo, así como famlarzarse co la omeclatura que utlzamos. III La esperaza y la varaza de la meda muestral Tal como se ha vsto e el ejemplo del epígrafe ateror, s obteemos la meda muestral como 8

9 ESTADÍSTICA II para todas las muestras posbles de tamaño de la poblacó, obteemos la dstrbucó muestral de la meda muestral (_,). Esta dstrbucó, como cualquer otra dstrbucó de probabldad de ua varable aleatora tee sus característcas tales como la meda, varaza, etc... 9

10 Itroduccó a la fereca CUADRO III.: ESQUEMA - NOMENCLATURA POBLACION N --> Tamaño de la poblacó MUESTRA --> Tamaño de la muestra MEDIA POBLACIONAL MEDIA MUESTRAL E[] µ N N MEDIA DE LA MEDIA POBLACIONAL MEDIA DE LA MEDIA MUESTRAL No tee setdo dado que la meda c poblacoal o es ua varable aleatora, ya que se trata de u valor úco. E[ ] µ µ c VARIANZA DE LA MEDIA POBLACIONAL VARIANZA DE LA MEDIA MUESTRAL No tee setdo dado que la meda poblacoal o es ua varable aleatora, ya que se trata de u valor úco. VAR[ ] c ( - µ ) c VARIANZA POBLACIONAL VARIANZA MUESTRAL ( - µ ) VAR[] N N S ( - ) MEDIA DE LA VARIANZA POBLACIONAL MEDIA DE LA VARIANZA MUESTRAL No tee setdo dado que la varaza poblacoal o es ua varable aleatora, ya que se trata de u valor úco. E[ S ] c S c () - 0

11 ESTADÍSTICA II E el ejemplo ateror, ua vez tomadas todas las muestras posbles de tamaño 3 de ua poblacó compuesta por los elemetos {0, 3, 6, 3, 8} obteíamos la dstrbucó muestral de la meda cuya meda, a la vsta del sguete cuadro _, vedrá dada por: µ j N.% 3.% 4.% y, cuya varaza y desvacó típca vale F (& (9& 0 6,6 F,57 Además, este uas relacoes determates etre los parámetros poblacoales y los estadístcos muestrales que permte ferr a la poblacó las característcas muestrales. Como hemos vsto,

12 Itroduccó a la fereca µ 6 y F,57 Obtegamos ahora el valor de la meda poblacoal, m y de la desvacó típca poblacoal, s. Para el caso de la meda poblacoal tedremos que {0,3,6,3,8} µ µ µ 5 5 De tal forma que llegamos a la coclusó de que LA MEDIA DE LA POBLACION ES IGUAL A LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA µ µ La demostracó o preseta gua dfcultad [ ] E( ) E( ) E Sedo u elemeto cualquera de la poblacó, sabemos que E cosecueca: E( ) µ

13 ESTADÍSTICA II E[ ] * * µ Es decr, tal y como pretedíamos demostrar, la esperaza de la dstrbucó muestral de la meda es gual a la meda poblacoal: E[ ] µ µ Sguedo co el ejemplo, y calculado e este caso la desvacó típca poblacoal tedremos que: {0,3,6,3,8} (0-6 ) +(3-6 ) +(8-6 ) 5 6, ,6 5 6,6,57 39,6 6,9 Luego : N -. N - S la poblacó es fta, o s las muestras se obtee co reemplazameto (que es el supuesto que vamos a cosderar ormalmete) tedremos que E geeral, se utlza esta epresó cuado el tamaño de la muestra es meor que el 5% de la poblacó. Para ver ejemplos co etraccó de muestras co reemplazameto ver los problemas propuestas para este tema. 3

14 Itroduccó a la fereca N - * N - etoces De tal forma que llegamos a la coclusó de que: LA VARIANZA POBLACIONAL ES IGUAL A LAS VARIANZA DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA POR EL TAMAÑO MUESTRAL * Demostracó: VAR( ) E [ - µ ] E [ - µ ] E - µ E - E E ( - ) - µ µ µ E ( - µ ) + j ( - µ )( j - µ ) Dode j ( - µ )( j - µ )0 (Por ser y j depedetes) Por tato, VAR( ) E[ - µ ] Cocluyedo 4

15 ESTADÍSTICA II Pudedo escrbr VAR( ) ( µ, ) Como vemos la varaza de la dstrbucó muestral de la meda es versamete proporcoal al tamaño de la muestra. Otra característca de gra mportaca cuado trabajamos co estadístcos es que s la varable poblacoal se dstrbuye ormalmete, etoces, la dstrbucó muestral de la meda també será ormal sea cual sea el tamaño de la muestra S N( µ, ) N( µ, ) Ahora be, s la varable poblacoal o se dstrbuye ormalmete pero el tamaño muestral es sufcetemete grade, etoces la dstrbucó muestral de la meda será apromadamete ormal debdo al Teorema Cetral del Límte III La meda de la varaza muestral E el apartado ateror hemos establecdo ua relacó etre la formacó muestral y ua característca poblacoal, e cocreto, acerca de la meda de la poblacó, aalzado la dstrbucó muestral de la meda. De la msma forma podemos obteer la dstrbucó muestral de la varaza muestral. 5

16 Itroduccó a la fereca S tomamos ua muestra aleatora de observacoes de ua poblacó co meda y varaza descoocdas, la varaza muestral vee dada por s ( - ) Calculado la varaza muestral para todas las muestras posbles de tamaño, obtedremos la dstrbucó muestral de la varaza que, como toda dstrbucó de probabldad se caracterza por su meda E(s ), meda de la dstrbucó muestral de la varaza y su varaza, VAR(s ), varaza de la dstrbucó muestral de la varaza. La epresó de la varaza de la dstrbucó muestral vee dada por: S ( - co lo que tedremos que su esperaza será ) ( - ) E[ S ] E E µ [ [( - µ )- ( - ) ] ] [( - µ ) +( - µ ) - ( - µ )( - ) ] E µ 6

17 E ( - ) + ( - ) - ( - ) ( - µ µ µ µ ESTADÍSTICA II ) [ ( - µ ) ]- E ( - µ ) ( - ) E( - ) + E µ µ [ ] [ ( ) E[ - µ ] -E ( -µ ) - ) ] + E [ - ] - E ( - ) µ µ * -µ ) + µ [ - VAR( ) ] - [ + E [ - µ ] - E [( - ) ] ] µ [ - E [ - µ ] ] [ - E [ - µ ] ] [ - ] * * - * - Luego la esperaza de la varaza muestral: E [ ] S * - 7

18 Itroduccó a la fereca III La cuasvaraza Dado la relacó que este etre la varaza poblacoal y la varaza muestral defmos ua ueva medda, vsta ya e temas prevos, que es la cuasvaraza. sˆ ( - ) - Por tato sˆ s. - de forma que E( s ˆ ) E( -.s ) ( -) E( s ) ( -) ( -).. Es decr, la esperaza de la cuasvaraza muestral es la varaza poblacoal. 8