Modelo para la simulación del comportamiento dinámico de rotores flexibles con apoyos no lineales sobre una estructura no rígida

Transcripción

1 Modlo para la simulación dl comportaminto dinámico d rotors flxibls con apoyos no linals sobr una structura no rígida Hllr G. Sánchz Acvdo (1), Jsús M. Pintor Borobia (1) Facultad d Ingnirías y Arquitctura, Univrsidad d Pamplona, Colombia. Actualmnt: Dpartamnto d Ingniría Mcánica, Enrgética y d Matrials, Univrsidad Pública d Navarra, Edificio los Pinos, Campus d Arrosadia, CP 316 Pamplona(España), léfono , Corro Elctrónico sanchz.44144@.unavarra.s sumn Est trabajo prsnta un plantaminto matmático para l análisis dinámico d rotors flxibls cuyos apoyos no stán situados sobr una structura ncsariamnt rígida. Utiliza l MEF para l studio d la dinámica d rotors y la síntsis d componnts para introducir l comportaminto d la structura sobr la qu s apoya l rotor. El modlo matmático dsarrollado calcula los parámtros modals y la rspusta n l stado stacionario y transitorio. Intgra las cuacions utilizando l método d Nwmark. Palabras Clav: Dinámica d rotors flxibls, síntsis d componnts, no linalidad. Abstract his articl prsnts a mathmatical formulation basd on FEM for th dynamic analysis of flxibl rotors who ar not groundd to a ncssarily rigid structur. Furthrmor, it uss th componnt synthsis in ordr to introduc th bhaviour of th structur whr th rotor is groundd. h dvlopd mathmatical modl calculats th modal paramtrs and th transint and stationary rspons. h Nwmark mthod is usd for th intgration.. Kywords: Flxibl rotordynamics, componnt synthsis, non linar. 1. Introducción El análisis d rotors flxibls constituy un campo d invstigación fundamntal a la hora d acrcars al conociminto dl comportaminto dinámico d las máquinas rotativas n gnral. Así lo corroboran múltipls trabajos d invstigación ddicados a

2 la labor d dsarrollar la capacidad d dscripción d la rspusta dinámica d aqullos, dond s han studiado las cuacions fundamntals dl moviminto dl rotor, así como sus condicions d contorno. El análisis dinámico d rotors flxibls s ha abordado numéricamnt mdiant varios métodos, ntr los cuals cab dstacar l Método d la Matriz d ransfrncia [1] y l Método d los Elmntos Finitos [, 3], st último utilizado n l prsnt trabajo. El MEF nació como un método d cálculo d structuras y no tardó mucho n sr aplicado a problmas d naturalza distinta, suponindo un gran adlanto n l análisis d fnómnos físicos, ntr llos la dinámica d rotors flxibls. Ésta fu studiada, inicialmnt, a través d lmntos sncillos compustos por vigas a flxión y discos rígidos y postriormnt mdiant la utilización d lmntos compljos. Entr los distintos fnómnos dinámicos propios d los rotors flxibls y qu son incluidos n l prsnt modlo s ncuntran l fcto giroscópico studiado por Grn [4] y Ditmbrg [5] y l sfurzo cortant qu fu introducido n stos modlos por imoshnko; la inrcia rotatoria y diamtral también furon ampliamnt studiadas. Otros parámtros importants tnidos n cunta por algunos invstigadors y considrados aquí son las cargas axials, l pso, l amortiguaminto intrno y los rrors d montaj, como xcntricidads o dsalinamintos, qu dan lugar a la aparición d furzas variabls n l timpo a conscuncia d la rotación. Finalmnt, s obtuvo un modlo matmático para la simulación dl comportaminto dinámico d rotors flxibls qu incluy todos los fnómnos mncionados antriormnt y admás tin n cunta qu la structura soport no tin porqu sr ncsariamnt rígida, así como sus apoyos pudn sr no linals.

3 . écnicas d Síntsis d Componnts La modlización matmática n l prsnt trabajo, s raliza para los componnts principals: apoyos, lmntos no ncsariamnt rígidos, qu s dnominan státicos aún cuando stén sujtos a vibracions, y lmntos rotativos, vr Figura 1. Estos últimos prsntan una problmática difrnt qu conduc a la utilización d técnicas distintas para simulación dinámica. Un análisis conjunto rsultaría compljo. otor Disco Nudo X i X j ka1 X1 Ca1 Elmnto otor kan Xn Can Part Estática Figura 1. prsntación simbólica dl rotor y su acoplaminto a la structura stática Las técnicas d Síntsis d Componnts [6] prmitn aprovchar los rsultados obtnidos d la modlización indpndint d ambos problmas, caractrizando la part stática, qu pud considrars linal, a través d sus parámtros modals obtnidos n l análisis modal xprimntal, para incluirla dspués n l modlo d la part rotativa. Con sto s rduc la compljidad y l tamaño dl problma dinámico. 3. Plantaminto Matmático La modlización dl rotor s ha llvado a cabo dividiéndolo n lmntos d rotor, qu dfinn la gomtría dl mismo a través d su longitud y diámtro, inicial y final, y qu aportan rigidz, masa, inrcia y amortiguaminto al sistma; stos lmntos vinn dfinidos ntr una sri d nudos. Cada nudo tin cuatro grados d librtad, dos dsplazamintos y dos giros, y n él pud situars un disco qu aporta masa inrcia, o

4 un apoyo qu introduc unos sfurzos como rsultado d la intracción ntr l rotor y la part stática. S ddujron, n primr lugar, las cuacions d quilibrio dinámico corrspondints al modlo complto, iniciando con las cuacions d moviminto asociadas al rotor mdiant la aplicación dl MEF [7]. Dspués, s plantaron las propias d la part stática xprsadas n función d los parámtros modals. Por último, la modlización matmática dsarrollada con los apoyos facilitó la xprsión d los sfurzos qu s introducn n l sistma complto rotor apoyos part stática [8]. D sta forma, l acoplaminto dl sistma d cuacions, part stática y rotor s llvó a cabo a través d los sfurzos d acción racción n los apoyos dl rotor. Para la dducción d las cuacions d moviminto, s hac ncsario l plantaminto d dos sistmas d coordnadas uno fijo y otro solidario a la scción. S han obtnido las xprsions d la nrgía cinética, potncial y d la función d disipación dl sistma n bas a las coordnadas gnralizadas, aplicando postriormnt las Ecuacions d Lagrang. S han considrado cuatro grados d librtad por nudo: dos dsplazamintos (V, W) y dos giros (B, C), qu dtrminan l cntro gométrico d la scción y su orintación, Figura. Las xprsions d la nrgía cinética y potncial dl lmnto rotor s han dducido intrpolando los dsplazamintos y vlocidads para cualquir scción n función d los valors d los nudos xtrmos; stas funcions d intrpolación son obtnidas a través d la oría d Viga d imoshnko.

5 Figura. Elmnto Finito d otor. nindo n cunta lo antrior, la nrgía cinética d un disco stá xprsada n la cuación (1), dond l vctor {q son las coordnadas gnralizadas, [M] la matriz d inrcia, {V l vctor d dscntramintos y [H] s una matriz qu postriormnt dará lugar a la matriz giroscópica ; también stán prsnts los momntos d inrcia polar y diamtral dl disco. 1 d 1 = { q [ M] { q + I { [ ] d { { { d pθ θq H q + θq V (1) La nrgía cinética dl lmnto rotor s obtin por intgración d la Ecuación (1) y aplicando las funcions d intrpolación al sistma [7]; dstaca n st procso la aparición d la xprsión para las furzas gnralizadas al considrar qu l cntro d gravdad d una scción cualquira no tin porqué star situado n la lína nutra y cuyas coordnadas son J y K. D forma simplificada quda la Ecuación (). lmnto 1 { [ ] 1 { { [ ] = q M q + I θ θq H { q θq { { V p + () sindo q = ; [ M] m [ Ψ ] [ M][ Ψ = ]ds ; [ H] [ Ψ ] [ H][ Ψ ]ds { { V, W,B,C L L = ; L Kcosθ Jsnθ Jcosθ Ksnθ { V m [ Ψ ] ds = ; [ H] d = I P ; La nrgía potncial dl rotor pud obtnrs como la suma d la dbida al momnto flctor (U ), al sfurzo cortant (U ) y a la carga axial (U A ) como s xprsa n la Ecuación (3) [7]; dond quda rprsntada la rigidz dbida al momnto flctor más l sfurzo cortant [K] y la asociada a la carga axial [A].

6 1 U Τ Α + + U + U = { q Τ[ [ Κ] [ Α] ]{ q (3) ambién s considran las furzas gravitatorias, qu suponn una modificación n la xprsión d la nrgía potncial, agrgando al sistma la Ecuación (4). L { q { P + m g( Jsnθ+ Ksnθ)ds U = (4) Las xprsions dl amortiguaminto tanto intrno, producido n los lmntos dl rotor, como xtrno, qu son introducidos por los apoyos y lmntos dl rotor, son obtnidas a través d la función d disipación d ayligh, dond s tinn n cunta las coordnadas móvils y las matrics d amortiguaminto xtrno intrno, suponindo sta última proporcional. Agrgando una coordnada más, común a todos los nudos ( θ ), l pso propio {P, acoplando las cuacions y aplicando Lagrang s obtinn las cuacions d moviminto, Ecuación (5). Las xprsions d la matriz [G] y [] s pudn ncontrar n [8] y, para un rotor d scción circular, la xprsión matricial s rsum n la Ecuación (6). [ M] { [ H]{ q + { V { [ H]{ q + { V + θ [ ] [ ][ ][ ] { K + C q i θ { V ' = { P I p { q θg [ ] + [ C ] + [ ][ C i ][ ] + θ { [ H]{ q PA { F = PA { P { q θ [ M ]{ X + [ C ]{ X + [ G ]{ X + [ K ]{ X = { F + { F i (5) (6) Sindo [M ] la matriz d inrcia, [C ] la matriz d amortiguaminto, [G ] la matriz giroscópica, [K ] la matriz d rigidz, {X l vctor d coordnadas d los nudos dl rotor y {F las furzas qu actúan sobr l mismo. Para la part stática s plantan las cuacions n función d los parámtros modals obtnidos xprimntalmnt, Ecuación (7), qu tin n cunta la masa, l amortiguaminto, la rigidz modal, su vctor d coordnada modals {η, la matriz d

7 modos d la part stática [ ] y las furzas qu actúan sobr la misma, tanto intrnas como xtrnas. [ m ]{ η + [ c ]{ η + [ k ]{ η = [ ] { f + [ ] { f (7) Por último, los apoyos incorporan al sistma unos sfurzos no linals, fruto d la intracción rotor apoyo part stática y su valor srá función dl moviminto rlativo ntr las parts rotativa y stática [8]. Una vz caractrizada la part stática a través d sus parámtros modals y la part rotativa mdiant l MEF, cuacions (6) y (7) rspctivamnt dond los vctors d furza corrspondn a la suma d las furzas intriors y xtriors tanto para la cuación d la part stática como para la dl rotor, s aplica la técnica d síntsis d componnts a través d las furzas d acción racción n los apoyos cuyo valor s igual pro d sntido contrario, Ecuación (8). Dond Fa s una función dpndint i d las incógnitas { f i { f i = { Fa ( x, η x, η ) = (8) l sistma d cuacions global quda rsumido así Ecuación (9): [ M ] [ ] [ H]{ q + { V [ ] [ m ] { { [ H]{ q + { V { K K + K BA { [ ] { BB K + [ k ] [ k ][ ] { AB AA [ ] [ ] a a [ k ] [ k ] + [ ] [ k ][ ] { { { { a I p G C + BB { q G { η + AB θ a [ ] { BB BA + C G + C + [ C ] [ C ][ ] { AB AA AA a a [ ] [ ] [ C ] [ C ] + [ ] [ C ][ ] { {[ H]{ q { q f { f B q A { [ ] A η B = { f θ PA G BA { P + C a θ { v ' = PA [ ] { f { P ( 9) dond [Ca] y [Ka] son matrics banda corrspondints al amortiguaminto y rigidz d los apoyos. a { q q B { η a θ 4. solución dl sistma d cuacions

8 El sistma s rsulv bajo trs hipótsis. En primr lugar plantando un problma d vibracions librs, n l qu s suponn nulas las furzas qu actúan sobr l sistma y qu constituy un problma d valors y vctors propios. Considrando apoyos linals s planta la solución d las cuacions dl sistma dando como rsultado valors compljos. En sgundo lugar plantando un problma d vibracions forzadas con furzas armónicas, conscuncia d dscntramintos y dsalinamintos dl rotor. Constituy l análisis n régimn stacionario y s rsulv para dos supustos apoyos linals y no linals [8]. Por último, plantando la prsncia d furzas variabls n l timpo actuando sobr l sistma: conllva obtnr la rspusta n régimn transitorio intgrando las cuacions dl moviminto n l timpo. Existn difrnts métodos d intgración numérica y l método d Nwmark, Ecuación (9), s l utilizado n l prsnt trabajo; por la naturalza no linal dl problma, s aplica l método itrativo d Nwton aphson para linalizarlo. { x t+ Δt = { x t + { Δxa { x t+ Δt = { x t + Δtx { t + { Δxa 1 { x = { x + Δtx { + Δt { x + { Δ x t+ Δt t t t (9) 5. sultados Las aplicacions dl modlo s ralizaron bajo l supusto d apoyos linals para la rsolución dl problmas d valors y vctors propios. Sin mbargo, la obtnción d la rspusta para l sistma n l timpo mantin la hipótsis d comportaminto no linal n los apoyos.

9 La topología dl rotor analizado corrspond a una bomba vrtical, hlicocntrífuga, xtraíbl, monofásica. Figura 3. Variación d las frcuncias naturals con la frcuncia d giro En las Figuras 3 y 4 s ha rprsntado la variación d las frcuncias naturals d vibración, y d los corrspondints amortiguamintos modals n función d la vlocidad d giro Figura 4. Variación dl amortiguaminto con la vlocidad d giro

10 La Figura 5 mustra la influncia d una variación n la rigidz aportada por los apoyos sobr las frcuncias naturals d vibración dl rotor analizado. Figura 5. Variación d las frcuncias naturals con la rigidz d los apoyos 6. Conclusions S han plantado las cuacions dl moviminto dl sistma rotor part stática y s ha dsarrollado un modlo d cálculo para l análisis dinámico d rotors flxibls con apoyos no linals y cuya structura soport no s ncsariamnt rígida. El modlo calcula los parámtros modals y simula la rspusta n stado stacionario y transitorio tnindo o no n cunta l propio pso, la carga axial y l caráctr infinitamnt rígido a torsión dl rotor. 6. frncias 1. J. Vrhovn, Shock and Vibrations Digst, Vol.() (1998), pág J. Vinyolas, E. Vra, II Congrso d Ingniría Mcánica, Svilla, K. Cavalca, Mchanical Systms and Signal Procssing, Articl in Prss, (4). 4.. Grn, rans ASME, Vol.(7) (1984), pág F. Ditmbrg, Production Enginring sarch Association, Londrs, (1961). 6. M. Sgura, J. Cligüta, VII Congrso Nacional. D Ing. Mcánica, Valncia, (1998).

11 7. E. Vra, Estudio Dinámico d otors Flxibls,. D., U. Navarra, S.S. (1998). 8. J. Pintor, Análisis d Comportaminto Dinámico d Bombas Hidráulicas Vrticals, Escula Suprior d Ingniros, San Sbastián, (1993).