Curvas. Definición 6. Una curva cerrada simple o una curva de Jordan es una curva cerrada con la propiedad de que f(t 1 ) = f(t 2 ) t 1 = t 2

Transcripción

1 Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) Curvas Definición. Una función vectorial f : I R R 2 continua en I = [a, b] se llama trayectoria ó camino. Definición 2. A la imagen de una trayectoria se le llama curva. Definición 3. Si la función continua f I R R n esta definida en el intervalo cerrado I = [a, b] diremos que el punto f(a) R n es el punto inicial del camino o trayectoria f, en tanto que f(b) R n es el punto final de f. Definición 4. Una curva cerrada es una curva con la propiedad de que f(a) = f(b), esto es, el punto terminal sobre la curva coincide con el punto inicial. Definición 5. Un arco simple o curva simple es una curva con la propiedad de que f(t ) = f(t 2 ) t = t 2, es decir la curva no se cruza a si misma. Definición 6. Una curva cerrada simple o una curva de Jordan es una curva cerrada con la propiedad de que f(t ) = f(t 2 ) t = t 2 Ejercicio.-Demuestre que toda curva del tipo f(t) = (at + b, ct + d) donde a y c son reales no nulos, es simple Demostración. Para que f(t) sea una curva simple debe ocurrir que f(t ) = f(t 2 ) t = t 2 t, t 2 I tenemos que f(t ) = (at + b, ct + d) y f(t 2 ) = (at 2, ct 2 + d) f(t ) = f(t 2 ) (at + b, ct + d) = (at 2 + b, ct 2 + d) at + b = at 2 + b y ct + d = ct 2 + d t = t 2 por lo que f es simple

2 Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 2 Ejercicio.-Demuestre que la curva f(t) = (t 2 +, t 2 ) no es simple Demostración. Tenemos que f() = ( 2, 2 ) = (2, 0) = (( ) 2 +, ( ) 2 ) = f( ) pero por lo que f no es simple Parametrización de Curvas Definición 7. Sea C R n. Decimos que C es una curva si existe α : I R R n derivable en un intervalo I tal que α(t) = C. Si además α (t) 0, t I decimos que C es una curva regular (suave). Se dice que α es una parametrización de C. Ejemplo Sea R R 2 la recta cuya ecuación cartesiana es ax + by + c = 0 Muestre que si x 0 = (x 0, y 0 ), x = (x, y ) son dos puntos diferentes que pertenecen a R entonces la función α(t) = x 0 + t(x x 0 ) es una parametrización de R. Solución En este caso se tiene que x 0 + t(x x 0 ) = (x 0 + t(x x 0 ), y 0 + y(y y 0 )) evaluando en la ecuación cartesiana a(x 0 + t(x x 0 )) + b(y 0 + y(y y 0 )) + c por lo que α(t) = C, = ax 0 + atx atx 0 + by 0 + bty bty 0 + c = (ax 0 + by 0 ) t(ax 0 + by 0 ) + t(ax + by ) + c = c + c c + c = 0 t R

3 Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 3 Curvas Rectificables Definición 8. Para funciones vectoriales: Sea f(t) una curva dada por f(t) = (f (t),..., f n (t)) t [a, b] y sea P una partición de [a, b] P = {a = t 0, t,..., t n=b } la suma L = Σ f(t k ) f(t k ) es una aproximación a la longintud de la curva. Si los números L estan acotados para todas las particiones de [a, b], entonces se dice que la curva C es rectificable y que la longitud de la curva esta dada por L C = sup L = sup Σ f(t k ) f(t k ) Si los números L no estan todos acotados se dice que la curva C no es rectificable. Teorema. Sea C una curva dada por f(t) = (f (t), f 2 (t),..., f n (t)) t [a, b] una condición necesaria y suficiente para que C sea rectificable es que f i i =,..., n tengan variación acotada Demostración. Necesidad. Supóngase que C es rectificable y que L C existe y sea P cualquier partición de I. Entonces f i (t k ) f i (t k ) f ( t k ) f(t k ) Dado que un vector tiene una longitud mayor que cualquiera de sus componentes. Por lo tanto fi (t k ) f i (t k ) f ( t k ) f(t k ) L C Por lo tanto f i tiene variación acotada para toda i y para toda partición P de [a,b]. Suficiencia. Supongamos ahora que f,..., f n tiene variación acotada esto significa que existe vf,..., vf n por lo que f ( t k ) f(t k ) f (t k ) f (t k ) + f 2 (t k ) f 2 (t k ) f n (t k ) f n (t k ) Por lo tanto vf + vf vf n f( t k ) f(t k ) f i (t k ) f i (t k ) vf i Por lo tanto f ( t k ) f(t k ) esta acotada y por lo tanto f es rectificable Teorema 2. Si f es monótona en [a,b], entonces f es de variación acotada en [a,b] Demostración. Sea f creciente. Entonces partición de [a,b] f(t k ) f(t k ) 0 por lo tanto f(t k ) f(t k ) = f(t k ) f(t k ) = f(b) f(a) k= k= Teorema 3. Si f es una función continua en [a,b] y existe f y es ésta acotada en el interior de [a,b] f (x) M x (a, b), entonces f es de variación acotada en [a,b] Demostración.

4 Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 4 Dem: Por el teorema del valor medio con t k (t k, t k ) por lo tanto f(t k ) f(t k ) = k= por lo tanto f es de variación acotada f(t k ) f(t k ) = (t k t k )f (t k) t k t k f (t k) k= t k t k M = (b a)m Ejemplo: Mostrar que la siguiente función vectorial (curva) f(t) = [t, t 2 ] es rectificable Solución: Tenemos que f (t) = t es monotona y continua en [0,] por lo tanto f es de variación acotada. Para f 2 (t) = t 2 es monotona y continua en [0,] por lo tanto f 2 es de variación acotada. Finalmente como f y f 2 son de variación acotada entonces la curva f es rectificable Ejemplo: Mostrar que la siguiente función vectorial (curva) f : [0, ] R 2 dada por f(t) = [t, t cos ( π 2t) ] donde f(0) = (0, 0) no es rectificable Solución: En este caso tenemos que revisar cada una de las funciones componentes. Para x (t) = t en [0, ] tenemos que x es monotona creciente y según el resultado anterior, es de variación acotada. ( π Para x 2 (t) = t cos Ahora tomamos la partición 2t) P = Por definición f(x 0 ) = 0 y para x i 0 se tiene que Por lo tanto k= { 0 = x 0, x = 2n, x 2 = 2n,..., 3, } 2, x n = f () = cos ( ) π 2 = 2 cos (π) = 2 3 = 3 cos ( ) 2π 4 = 4 cos (2π) = 4 5 = 5 cos ( ) 5π 6 = 6 cos (3π) = 6 f(t i ) f(t i ) = ( 0 ) i= = ( 6 + = ) 2 +

5 Introducción a las Funciones Vectoriales (Funciones de R R n ) 5 = 2 ( ) ( ) +... = ( ) + esta última es la serie armónica la cual no converge a medida que n es suficientemente grande, por lo tanto f(t i ) f(t i ) no es acotada y en consecuencia la función no es de variación acotada, i= por lo tanto la curva no es rectificable